王娜娜，解青，蘇星宇，任祝寅,,*

1.清華大學(xué) 航空發(fā)動(dòng)機(jī)研究院，北京 100084 2.清華大學(xué) 燃燒能源中心，北京 100084

湍流燃燒是航空發(fā)動(dòng)機(jī)、沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)、組合發(fā)動(dòng)機(jī)、內(nèi)燃機(jī)等動(dòng)力裝置工作的核心能量轉(zhuǎn)換過(guò)程，燃燒組織的好壞直接關(guān)系到發(fā)動(dòng)機(jī)的壽命、效率、污染物排放等[1-2]。而發(fā)動(dòng)機(jī)湍流燃燒過(guò)程十分復(fù)雜，包括湍流、霧化/蒸發(fā)、輻射等多物理過(guò)程以及和化學(xué)反應(yīng)的強(qiáng)耦合，具有非定常、多尺度的特征。目前隨著更嚴(yán)格的高效、低排放等要求[3]，湍流燃燒開(kāi)始趨于近極限燃燒組織[4-5]，亟需在穩(wěn)定可控燃燒方面取得突破。這就需要進(jìn)一步加深對(duì)湍流燃燒機(jī)理的認(rèn)識(shí)，實(shí)現(xiàn)流動(dòng)和化學(xué)反應(yīng)的有效匹配和調(diào)控。對(duì)于該問(wèn)題，數(shù)值仿真是當(dāng)前重要的研究手段之一[6-7]，從而支撐航空發(fā)動(dòng)機(jī)的自主研發(fā)，仿真技術(shù)體現(xiàn)了一個(gè)國(guó)家的高端裝備研發(fā)水平[8]。

然而，數(shù)值模擬中的湍流模型、燃燒模型和化學(xué)反應(yīng)動(dòng)力學(xué)模型等均涉及大量模型參數(shù)，這些參數(shù)可能具有很大的不確定性。以化學(xué)反應(yīng)動(dòng)力學(xué)為例，從氫氣到大分子碳?xì)淙剂系姆磻?yīng)機(jī)理由數(shù)十到近千步反應(yīng)組成，而每步反應(yīng)均有一定的不確定性，導(dǎo)致僅在化學(xué)反應(yīng)動(dòng)力學(xué)模型中，就存在海量的不確定性參數(shù)[9-11]。這些模型參數(shù)的不確定性將導(dǎo)致仿真結(jié)果存在不確定性[12]。隨計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展、數(shù)值模擬研究方法重要性的提升，湍流燃燒模擬的不確定性分析在國(guó)內(nèi)國(guó)際上得到了越來(lái)越多的關(guān)注[13]。2014年，美國(guó)NASA經(jīng)過(guò)大量調(diào)研形成了一份綜合分析報(bào)告[14]，對(duì)計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)(Computational Fluid Dynamics, CFD)所涉及的技術(shù)到2030年時(shí)的需求及能力做了分析和預(yù)測(cè)。其中，針對(duì)不確定性分析單獨(dú)給出了發(fā)展時(shí)間軸，預(yù)測(cè)在2025年之前需要實(shí)現(xiàn)不確定性在CFD中的傳遞。湍流燃燒模擬的模型不確定性來(lái)自于模型假設(shè)自身的不確定性以及模型參數(shù)的不確定性，前者可稱(chēng)為模型格式不確定性，Mueller和Raman[15]在這方面開(kāi)展了大量工作，探究了小火焰燃燒模型不確定性在湍流燃燒模擬中的傳遞。本文則主要綜述包含模型參數(shù)在內(nèi)的輸入?yún)?shù)不確定性在湍流燃燒中的傳遞。輸入?yún)?shù)的不確定性分析可以得到各部分模型參數(shù)以及初始/邊界條件不確定性的傳遞規(guī)律和參數(shù)敏感性，揭示湍流燃燒的主控物理機(jī)制，有助于量化數(shù)值仿真精度，提高航空發(fā)動(dòng)機(jī)的設(shè)計(jì)和優(yōu)化水平，尤其對(duì)近極限條件下如高溫升航空發(fā)動(dòng)機(jī)、超聲速?zèng)_壓發(fā)動(dòng)機(jī)的設(shè)計(jì)具有重要意義。

湍流燃燒的輸入?yún)?shù)空間通常包含化學(xué)反應(yīng)動(dòng)力學(xué)模型的反應(yīng)常數(shù)、湍流模型、燃燒模型參數(shù)以及初始/邊界條件。由于參數(shù)眾多且單次多維湍流燃燒模擬計(jì)算成本高，使得湍流燃燒模擬的不確定性和敏感性分析面臨的最大困難是“維度災(zāi)難”。因此，目前已有的研究集中在單一模型和少量模型參數(shù)的不確定性分析上。在化學(xué)反應(yīng)動(dòng)力學(xué)模型不確定性研究方面：學(xué)者利用靈敏度分析法降維，研究了化學(xué)反應(yīng)速率常數(shù)不確定性對(duì)模型預(yù)測(cè)輸出[16]、火焰?zhèn)鞑ニ俣萚17]的影響，聲振對(duì)層流預(yù)混火焰的火焰?zhèn)鬟f方程的影響[18]，以及輸運(yùn)概率密度函數(shù)法湍流火焰模擬中單一基元反應(yīng)對(duì)射流抬舉高度和局部熄火/再燃的影響[19-22]。在湍流模型不確定性研究方面：學(xué)者基于多項(xiàng)式混沌展開(kāi)，研究了Smagorinsky模型系數(shù)Cs和湍流普朗特?cái)?shù)以及施密特?cái)?shù)不確定性在非預(yù)混鈍體穩(wěn)定火焰大渦模擬(Large Eddy Simulation, LES)中的傳遞[13]，Cs不確定性對(duì)湍動(dòng)能預(yù)測(cè)影響[23]，雷諾平均法(Reynolds-Averaged Navier Stokes, RANS)單方程和雙方程模型系數(shù)層面的不確定性分析[24]，模型系數(shù)對(duì)不同雷諾數(shù)下管道流動(dòng)的影響[25]，基于重心圖法的模型格式層面的不確定性分析[26-27]，以及在高速射流[28]、邊界層分離[29]等問(wèn)題中的應(yīng)用。在燃燒模型不確定性研究方面：學(xué)者研究了小火焰模型不確定性在Sandia D火焰LES中的傳遞[30]，進(jìn)一步，采用隨機(jī)搭配法研究了Delft III射流火焰上游溫度不確定性對(duì)下游碳煙生成預(yù)測(cè)的影響[31]，以及湍流燃燒模型格式不確定性對(duì)混合分?jǐn)?shù)、溫度分布以及一氧化碳生成的影響[15]。

然而僅考慮單一模型的不確定性無(wú)法量化多物理耦合下不確定性傳遞規(guī)律、難以表征不同物理過(guò)程中的主控因素。同時(shí)將化學(xué)動(dòng)力學(xué)模型、湍流模型、燃燒模型以及初始/邊界條件納入不確定性研究中，可以從全局敏感性的角度分析輸入?yún)?shù)對(duì)湍流燃燒目標(biāo)量影響的內(nèi)在物理機(jī)制，是當(dāng)前一個(gè)重要研究方向。開(kāi)展考慮多模型和初始/邊界條件的湍流燃燒不確定性研究的關(guān)鍵是有效的海量輸入?yún)?shù)降維方法。

近幾年，Constantine等[32-33]提出了活性子空間(Active Subspace, AS)降維方法，該方法基于梯度的偏協(xié)方差矩陣特征分解，得到活躍特征方向，構(gòu)建輸入?yún)?shù)低維子空間，利用輸入?yún)?shù)在該子空間的投影得到活躍變量，降低輸入?yún)?shù)維度。該方法和其他常用敏感性降維方法的區(qū)別在于，敏感性分析保留的是影響較大的輸入?yún)?shù)，而子空間分析保留的是影響較大的輸入?yún)?shù)空間中的方向，這些方向是參數(shù)自身的線(xiàn)性組合，從而實(shí)現(xiàn)最大程度降維的同時(shí)保證精度。同時(shí)，活躍方向向量的分量值提供了目標(biāo)量相對(duì)于輸入?yún)?shù)的全局敏感性信息[34]。AS方法和其他常用降維方法如主成分分析(Principle Component Analysis, PCA)法均是對(duì)空間進(jìn)行基的變換，識(shí)別重要方向，以達(dá)到降維的目的。但是兩者仍有本質(zhì)區(qū)別：前者得到的重要方向上映射的梯度最大，而后者分析中，沿重要方向數(shù)據(jù)的方差最大。也就是說(shuō)AS分析對(duì)象為高維映射，而PCA分析對(duì)象為數(shù)據(jù)集；前者可得到低維響應(yīng)面或預(yù)測(cè)模型，后者的目的則是實(shí)現(xiàn)對(duì)物理系統(tǒng)的低維描述。在燃燒領(lǐng)域的研究中，PCA被廣泛用來(lái)識(shí)別化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)的低維流形[35]、重構(gòu)組分空間[36]以降低反應(yīng)系統(tǒng)維度，并在后續(xù)燃燒問(wèn)題求解中只對(duì)少數(shù)個(gè)主成分(Principle Components, PCs)求解輸運(yùn)方程[37-40]，可極大地減少LES等湍流燃燒模擬中組分方程的個(gè)數(shù)[41-43]。

目前活性子空間方法在動(dòng)力裝置的機(jī)理分析和優(yōu)化方面已有了成功應(yīng)用。Constantine等[44]采用活性子空間方法將七維運(yùn)轉(zhuǎn)參數(shù)降為一維，研究了它們對(duì)HyShot II沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)性能的影響。最近，Constantine等進(jìn)一步將活性子空間方法應(yīng)用在了設(shè)計(jì)方法發(fā)展[45]、翼型設(shè)計(jì)[46]、渦輪葉片設(shè)計(jì)[47]、以及高超聲速模擬不確定性分析[48]中。Magri等[49]采用該方法分析了雙環(huán)形燃燒器的熱聲穩(wěn)定的不確定性，Guan等利用活性子空間構(gòu)造了碳?xì)淙剂闲镣橹礫50]和標(biāo)準(zhǔn)生成焓[51]的預(yù)測(cè)模型，并且將該方法應(yīng)用在了可變正時(shí)汽油機(jī)的換氣策略標(biāo)定中[52]。

在湍流燃燒控制機(jī)理和模擬不確定性量化方面，Ji等首次將該方法應(yīng)用在了化學(xué)反應(yīng)動(dòng)力學(xué)模型不確定性在自著火、層流火焰[53]和湍流火焰[54]模擬中的傳遞研究中，他們?cè)诹憔S燃燒模擬和湍流燃燒模擬中均得到了反應(yīng)速率常數(shù)的低維子空間。Vohra等[55]將速率常數(shù)、活化能以及初始狀態(tài)均考慮到輸入?yún)?shù)空間中，對(duì)H2/O2反應(yīng)得到了一維子空間。這些研究都實(shí)現(xiàn)了對(duì)海量化學(xué)動(dòng)力學(xué)模型參數(shù)的降維。Wang等則率先發(fā)展了反應(yīng)動(dòng)力學(xué)、物理模型和邊界條件參數(shù)連續(xù)降維方法，將動(dòng)力學(xué)模型參數(shù)降維得到一維活性子空間后，聯(lián)立湍流燃燒模型參數(shù)和邊界條件參數(shù)再一次降維[56]，得到了物理化學(xué)模型參數(shù)和邊界條件不確定性的傳遞規(guī)律，揭示了超聲速湍流射流火焰的主控物理機(jī)制[57]?；钚宰涌臻g方法在湍流燃燒模擬的不確定性量化和主控機(jī)制分析方面有巨大的應(yīng)用潛力，并且有助于后續(xù)的湍流燃燒調(diào)控分析。

本文將綜述活性子空間方法在湍流燃燒模擬中已有的應(yīng)用。首先簡(jiǎn)述活性子空間方法理論及針對(duì)湍流燃燒模擬發(fā)展的連續(xù)降維方法。然后介紹動(dòng)力學(xué)參數(shù)、物理模型參數(shù)以及邊界條件不確定性在燃燒模擬中傳遞的典型應(yīng)用，以及研究得到的湍流燃燒機(jī)理。并進(jìn)一步討論展望基于活性子空間分析方法的湍流燃燒調(diào)控。

1 活性子空間方法

活性子空間方法可以在m維輸入?yún)?shù)空間x∈m中識(shí)別出對(duì)應(yīng)于目標(biāo)量(Quantity of Interest, QoI)即輸出量f(x)的低維結(jié)構(gòu)，沿該低維方向f對(duì)x的梯度最大。通過(guò)對(duì)f(x)梯度的協(xié)方差矩陣做特征分解，可以得到輸入空間的活性子空間：

(1)

式中：π為輸入?yún)?shù)的聯(lián)合概率密度函數(shù)(Probability Density Function, PDF)；C為對(duì)稱(chēng)半正定矩陣；W=[w1,w2,…,wm]為特征向量矩陣；Λ=diag(λ1,λ2,…,λm)為對(duì)應(yīng)特征值組成的對(duì)角矩陣；其中λ1,λ2,…,λm從大到小降次排列，如果特征值λn遠(yuǎn)大于λn+1，即λn?λn+1，n

圖1 活性子空間分析中基變換以及響應(yīng)面構(gòu)建示意圖

如果在仿真計(jì)算中可以直接得到映射f的梯度，那么，活性子空間可通過(guò)如下步驟在輸入空間中的隨機(jī)采樣計(jì)算得到：

1)根據(jù)輸入?yún)?shù)x∈m的概率密度分布π(x)，在輸入空間采M個(gè)樣本{x(1),x(2),…,x(M)}。

3)估算矩陣C：

5)根據(jù)特征值的大小將特征值矩陣和特征向量矩陣分塊：

(2)

(3)

接著對(duì)C進(jìn)行特征分解，進(jìn)行后續(xù)活性子空間分析。目前有限差分、全局線(xiàn)性擬合以及全局二次擬合均在實(shí)際中有了成功應(yīng)用，表1總結(jié)了3種方法需要的樣本數(shù)以及應(yīng)用的文獻(xiàn)[59-60]，其中，α為取樣系數(shù)，β為期望獲得的子空間最大維度。

表1 梯度近似方法

以上討論的為針對(duì)單一目標(biāo)量的活性子空間，對(duì)于多目標(biāo)量，Ji等[53]發(fā)展了共享活性子空間方法。假設(shè)對(duì)于d個(gè)目標(biāo)量，映射fi可以完全降維到其一維活躍向量ui所展成的一維活性子空間中(i=1,2,…,d)，即

(4)

(5)

若對(duì)于i=1,2,…,d式(5)均成立，則v即為d個(gè)目標(biāo)量的共享子空間。經(jīng)過(guò)對(duì)v的求解發(fā)現(xiàn)，共享子空間是單一目標(biāo)量子空間的線(xiàn)性組合。對(duì)于實(shí)際燃燒問(wèn)題，由于物理過(guò)程的復(fù)雜性，在構(gòu)建多目標(biāo)量的共享子空間時(shí)，可增加每個(gè)單一目標(biāo)量的活性子空間維度，以囊括更多的物理過(guò)程，提高共享子空間中對(duì)原空間映射近似的準(zhǔn)確性。詳細(xì)推導(dǎo)以及高維活性子空間的共享子空間方法可參見(jiàn)Ji等[53]文獻(xiàn)。獲得共享子空間后，在對(duì)多目標(biāo)量的不確定性PDF量化和多目標(biāo)量?jī)?yōu)化調(diào)控時(shí)，可以極大增加計(jì)算效率。對(duì)于多目標(biāo)量?jī)?yōu)化，由于A(yíng)S識(shí)別的是梯度變化最大的方向，并以該方向?yàn)榛鶚?gòu)建子空間，因此即使目標(biāo)間存在矛盾性關(guān)系也不影響共享子空間的建立，但會(huì)體現(xiàn)在不同目標(biāo)量在該子空間中響應(yīng)面不同上。在進(jìn)行后續(xù)的多目標(biāo)優(yōu)化調(diào)控時(shí)，則需根據(jù)實(shí)際問(wèn)題需求，進(jìn)一步建立代價(jià)函數(shù)，通過(guò)極小化代價(jià)函數(shù)，對(duì)輸入?yún)?shù)進(jìn)行折中調(diào)控，達(dá)到多目標(biāo)量?jī)?yōu)化的目的。

2 湍流燃燒仿真不確定性和主控機(jī)制分析

對(duì)于帶有詳細(xì)化學(xué)反應(yīng)的湍流燃燒模擬，不確定性來(lái)自于模擬反應(yīng)動(dòng)力學(xué)的反應(yīng)機(jī)理以及燃燒模型、湍流模型等物理模型和初始/邊界條件。通常碳?xì)淙剂系姆磻?yīng)機(jī)理包含數(shù)十到數(shù)千個(gè)基元反應(yīng)，考慮每個(gè)基元反應(yīng)建模參數(shù)的不確定性，輸入?yún)?shù)空間將達(dá)到數(shù)十到數(shù)千維。此時(shí)，即使采用活性子空間方法，所需的樣本數(shù)即湍流燃燒模擬次數(shù)仍然巨大，在當(dāng)前的計(jì)算資源下難以實(shí)現(xiàn)。因此，Wang等提出連續(xù)降維方法[56]，如圖2所示，利用零維或一維化學(xué)動(dòng)力學(xué)模型作為替代模型，首先將動(dòng)力學(xué)模型參數(shù)進(jìn)行降維，降維后的活性動(dòng)力學(xué)參數(shù)與物理模型參數(shù)組成新的輸入空間再次降維，實(shí)現(xiàn)采用較小計(jì)算量完成湍流燃燒仿真不確定性分析和主控物理機(jī)制分析。以下對(duì)該方法進(jìn)行簡(jiǎn)單闡述。

圖2 連續(xù)降維方法示意圖

第1步為反應(yīng)動(dòng)力學(xué)參數(shù)空間降維。首先，根據(jù)實(shí)際工況的湍流燃燒模擬提取出用于零維或一維替代模型模擬的初始條件，選取適當(dāng)QoI替代湍流燃燒模擬中的真實(shí)QoI。此處，適當(dāng)QoI對(duì)子空間分析的合理性將在3.1節(jié)中通過(guò)文獻(xiàn)結(jié)論綜述進(jìn)一步說(shuō)明。再次，利用子空間分析得到替代模型映射的活躍方向。最后，將原輸入?yún)?shù)向量投影到活躍方向上，得到對(duì)應(yīng)活躍變量，對(duì)于碳?xì)淙剂蟻?lái)說(shuō)，活躍變量的個(gè)數(shù)通常為1～5個(gè)[53]，從而實(shí)現(xiàn)由數(shù)千維到個(gè)數(shù)維的動(dòng)力學(xué)參數(shù)降維。

第2步為動(dòng)力學(xué)和其他物理模型參數(shù)空間降維。首先，將第1步中得到的活躍變量與物理參數(shù)組成新的輸入空間，此時(shí)該空間維度由于第1步的降維已較原輸入空間有了極大程度的降低。再次，在降維空間中采少量樣本進(jìn)行湍流燃燒模擬，進(jìn)行活性子空間分析，得到該降維空間的活性子空間。最后，在該子空間中構(gòu)建低維響應(yīng)面，進(jìn)行不確定性量化計(jì)算，同時(shí)根據(jù)子空間分析目標(biāo)量的主控物理機(jī)制。

對(duì)于復(fù)雜的燃燒問(wèn)題，如燃?xì)廨啓C(jī)燃燒室中的燃燒過(guò)程，在明確目標(biāo)量的基礎(chǔ)上，選擇和目標(biāo)量所涉及的主要物理過(guò)程一致的零維或一維模擬，作為替代模擬。在復(fù)雜燃燒過(guò)程的熱力學(xué)狀態(tài)時(shí)空演化中選取若干狀態(tài)點(diǎn)作為替代模型的初始狀態(tài)，分別求解不同狀態(tài)下的活性子空間。最后結(jié)合共享子空間方法，得到上述子空間的共享子空間，以及對(duì)應(yīng)的動(dòng)力學(xué)活躍變量，用于后續(xù)動(dòng)力學(xué)-物理模型參數(shù)降維。

3 結(jié)果綜述和展望討論

本節(jié)首先綜述了化學(xué)動(dòng)力學(xué)參數(shù)不確定性的活性子空間分析；接著，綜述了輸入?yún)?shù)拓展到物理模型常數(shù)和邊界條件的情況，并且簡(jiǎn)明闡述了文獻(xiàn)中分析得到的湍流燃燒機(jī)理。另外，綜述了活性子空間方法在模型燃燒系統(tǒng)的性能預(yù)測(cè)中的應(yīng)用。最后，討論了基于活性子空間分析方法的湍流燃燒調(diào)控。

3.1 化學(xué)動(dòng)力學(xué)參數(shù)不確定性

Ji等[54]針對(duì)湍流射流Cabra火焰[61]開(kāi)展了活性子空間分析，研究了動(dòng)力學(xué)參數(shù)的不確定性在湍流燃燒模擬中的傳遞。射流火焰的模擬結(jié)果如圖3所示，目標(biāo)量為火焰推舉高度H。在他們的工作中，采用了氫氣/空氣反應(yīng)機(jī)理Li-2004[62]機(jī)理以模擬氫氣氧化的反應(yīng)動(dòng)力學(xué)過(guò)程。將基元反應(yīng)的速率常數(shù)作為不確定性輸入?yún)?shù)，進(jìn)一步依據(jù)Sheen等[63]的研究將速率常數(shù)定量為相互獨(dú)立的對(duì)數(shù)正態(tài)分布：

圖3 Cabra湍流射流火焰OH質(zhì)量分?jǐn)?shù)云圖仿真結(jié)果[54]

(6)

式中：kr為第r個(gè)基元反應(yīng)的速率常數(shù)；kr0為其對(duì)應(yīng)的名義值；Fr為其對(duì)應(yīng)的不確定性因子[64]，各個(gè)反應(yīng)所對(duì)應(yīng)的Fr見(jiàn)表2。

表2 基元反應(yīng)所對(duì)應(yīng)的不確定性因子

通過(guò)分析84個(gè)湍流燃燒模擬樣本數(shù)據(jù)，得到了21維動(dòng)力學(xué)參數(shù)空間的活性子空間，對(duì)應(yīng)活躍方向的分量如圖4中三角符號(hào)所示。由該分量得到的全局敏感性信息可以看出，鏈分支反應(yīng)R1和R11對(duì)火焰推舉高度的影響最為顯著，其次，反應(yīng)R9的影響也較為顯著，但是其分量符號(hào)與R1和R11相反，原因是該反應(yīng)降低了混合氣的活性從而抑制了自著火的發(fā)生。之后，他們?cè)谠撘痪S子空間中利用多項(xiàng)式擬合構(gòu)建了一維響應(yīng)面，最后通過(guò)50 000個(gè)樣本點(diǎn)得到了火焰推舉高度的不確定性概率密度分布。

此外，Ji等在他們的工作中探究了采用零維自著火模擬計(jì)算子空間，該模擬的工況為Cabra射流火焰模擬的參考工況，目標(biāo)量為點(diǎn)火延遲時(shí)間(Ignition Delay Time, IDT)。得到的動(dòng)力學(xué)參數(shù)的活性子空間如圖4中的圓圈符號(hào)和正方形符號(hào)所示，兩者分別為采用有限差分和全局線(xiàn)性擬合得到的結(jié)果。通過(guò)對(duì)比采用湍流燃燒模擬和零維自著火模擬得到的活躍向量方向，Ji等認(rèn)為，實(shí)際湍流燃燒中擴(kuò)散作用使得火焰穩(wěn)定區(qū)域前緣的HO2濃度較高，而零維自著火模擬中不能體現(xiàn)擴(kuò)散作用，所以R11和R13在零維模擬的影響小于其在湍流燃燒模擬中的影響。但總體來(lái)說(shuō)，兩者最敏感的基元反應(yīng)均是R1、R9和R11，并且，兩者的活躍方向向量的內(nèi)積為0.91，說(shuō)明方向幾乎一致。

圖4 Cabra火焰推舉高度的活躍方向分量[54]

因此，Ji等認(rèn)為，如果低成本替代模擬和湍流燃燒模擬的主控物理過(guò)程一致，那么，可以采用替代模型初步探究子空間的維度以及活躍方向向量的主控分量，從而確定敏感度較大的輸入?yún)?shù)。進(jìn)一步，可以在湍流燃燒模擬中將不敏感的輸入?yún)?shù)剔除，從而減少樣本個(gè)數(shù)，減少活性子空間分析的計(jì)算成本[54]。Wang等[56]同樣開(kāi)展了替代模型和對(duì)應(yīng)湍流燃燒模擬的活性子空間分析，通過(guò)兩者得到的活躍方向向量的內(nèi)積為0.97，表3總結(jié)了文獻(xiàn)中采用替代模型和湍流燃燒模擬得到的子空間的相近程度。該結(jié)果進(jìn)一步說(shuō)明對(duì)于湍流燃燒模擬中動(dòng)力學(xué)參數(shù)部分，可以采用具有相同主控物理過(guò)程的低成本替代模擬進(jìn)行確定，從而降低湍流燃燒模擬的樣本數(shù)和計(jì)算成本，同時(shí)也說(shuō)明了第2節(jié)中所闡述的連續(xù)降維方法的合理性。

表3 替代模擬和湍流燃燒模擬活躍方向內(nèi)積

3.2 化學(xué)動(dòng)力學(xué)-物理模型參數(shù)不確定性

Wang等[56-57]采用連續(xù)降維方法分析了Burrows-Kurkov(B-K)超聲速壁面射流火焰[65-66]的主控物理機(jī)制?；鹧娴臏囟仍茍D如圖5所示，其中L為火焰推舉長(zhǎng)度。圖6展示了火焰推舉長(zhǎng)度對(duì)輸入?yún)?shù)的敏感性，作者發(fā)現(xiàn)，動(dòng)力學(xué)參數(shù)中反應(yīng)R1、R3以及R9對(duì)火焰的點(diǎn)火起始位置影響最為顯著，如圓圈符號(hào)所示，其中反應(yīng)標(biāo)號(hào)和表2中給出的一致。反應(yīng)R1主導(dǎo)了火焰點(diǎn)火位置，這與Wu等[67]對(duì)B-K火焰的化學(xué)爆炸反應(yīng)模態(tài)分析的結(jié)論一致，即他們研究發(fā)現(xiàn)，火焰穩(wěn)定位置上游處的OH和H主導(dǎo)了化學(xué)爆炸混合層。

圖5 B-K火焰溫度云圖仿真結(jié)果[56]

圖6 B-K火焰推舉長(zhǎng)度的活躍方向向量分量[56]

當(dāng)進(jìn)一步將湍流模型和燃燒模型參數(shù)考慮在內(nèi)時(shí)，此時(shí)的活躍方向分量展示了推舉長(zhǎng)度對(duì)動(dòng)力學(xué)和物理模型參數(shù)的敏感性，以及物理模型參數(shù)的攝動(dòng)動(dòng)對(duì)關(guān)鍵反應(yīng)的影響，如圖6中三角符號(hào)所示?？梢钥闯龇磻?yīng)R1和湍流普朗特?cái)?shù)(Prt)對(duì)推舉長(zhǎng)度的影響最顯著，根據(jù)該子空間中響應(yīng)面的單調(diào)遞增[56]特性，可以進(jìn)一步得出，R1的反應(yīng)速率越快或湍流普朗特?cái)?shù)越大則推舉長(zhǎng)度越小，這是因?yàn)镽1反應(yīng)速率的增加可以減短自著火時(shí)間，湍流普朗特?cái)?shù)的增加則會(huì)減小當(dāng)?shù)氐耐牧鳠釘U(kuò)散，兩者都將有利于氫氣自著火的發(fā)生，從而使得推舉長(zhǎng)度減短。另外作者從輸入空間參數(shù)攝動(dòng)相互影響的角度得出，當(dāng)物理模型的參數(shù)為不確定性輸入?yún)?shù)時(shí)，動(dòng)力學(xué)模型參數(shù)中H2/O2鏈分支反應(yīng)的敏感性被略微抑制，而HO2生成和消耗反應(yīng)的敏感性被一定程度增強(qiáng)，從而揭示了B-K火焰點(diǎn)火起始位置的主控過(guò)程以及他們之間的相互作用機(jī)制。

圖7 活性子空間隨壁面射流火焰流向的空間演化[57]

3.3 模型燃燒系統(tǒng)燃燒性能預(yù)測(cè)

Ji等[53]發(fā)展了基于活性子空間的共享子空間方法，用來(lái)解決多目標(biāo)量的活性子空間問(wèn)題。他們用該方法探究了內(nèi)燃機(jī)甲烷和二甲醚(DME)均質(zhì)壓縮點(diǎn)火(Homogeneous Charge Compression Ignition, HCCI)的點(diǎn)火曲軸轉(zhuǎn)角和點(diǎn)火失敗概率。在該研究中，采用零維HCCI模型模擬的燃燒系統(tǒng)來(lái)近似三維湍流燃燒模擬。HCCI的子空間由點(diǎn)火過(guò)程中6個(gè)熱力學(xué)狀態(tài)下的定容自著火模擬訓(xùn)練得到，其中對(duì)于DME，該6個(gè)熱力學(xué)狀態(tài)包含了由低溫化學(xué)帶來(lái)的兩級(jí)著火和負(fù)溫度系數(shù)(Negative Temperature Coefficient, NTC)的狀態(tài)點(diǎn)。以下簡(jiǎn)要闡述DME點(diǎn)火過(guò)程主控物理機(jī)制的活性子空間分析。

圖8(a)展示了低溫(650 K)、中等溫度(850 K)以及高溫(950 K)HCCI點(diǎn)火過(guò)程中參考狀態(tài)下的點(diǎn)火延遲時(shí)間的第1個(gè)活躍方向向量分量。其中低溫工況包含了兩級(jí)著火，高溫工況為一級(jí)著火過(guò)程?？梢钥闯?，不同溫度下IDT的活躍方向具有顯著區(qū)別。650 K工況下IDT對(duì)高標(biāo)號(hào)反應(yīng)相對(duì)敏感，例如氫原子提取反應(yīng)以及之后的低溫反應(yīng)路徑所涉及的反應(yīng)。而850和950 K工況下IDT對(duì)低標(biāo)號(hào)反應(yīng)也相對(duì)敏感，對(duì)應(yīng)于小分子反應(yīng)，該現(xiàn)象和NTC現(xiàn)象一致，即隨溫度的升高，與HO2相關(guān)的基元反應(yīng)的重要性顯著增加。進(jìn)一步由參考工況下的子空間訓(xùn)練得到了共享子空間用于HCCI的點(diǎn)火成功概率分析，如圖8(a)中菱形符號(hào)所示，得出的點(diǎn)火成功概率隨曲軸轉(zhuǎn)角的關(guān)系如圖8(b)所示，點(diǎn)火失敗概率為37.9%。

圖8 點(diǎn)火延遲時(shí)間的活性子空間和共享子空間以及HCCI成功點(diǎn)火概率[53]

Zhang等[68]對(duì)振蕩燃燒神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型系統(tǒng)開(kāi)展了活性子空間分析。通過(guò)非穩(wěn)態(tài)良好攪拌器(Perfect Stirred Reactor, PSR)模型模擬振蕩燃燒過(guò)程，得到了從混合氣摩爾分?jǐn)?shù)、當(dāng)量比、熱值、流率波動(dòng)等8個(gè)輸入?yún)?shù)到目標(biāo)量最高溫度的映射。他們得到了目標(biāo)量的一維輸入子空間，通過(guò)分析對(duì)應(yīng)活躍方向向量分量發(fā)現(xiàn)，增加混合氣中燃料質(zhì)量分?jǐn)?shù)尤其是CO質(zhì)量分?jǐn)?shù)將使最高溫度顯著增加從而提升燃燒系統(tǒng)的穩(wěn)定性。同時(shí)當(dāng)量比的影響也較大，在化學(xué)計(jì)量當(dāng)量比附近減少當(dāng)量比同樣會(huì)帶來(lái)最大溫度的提升。進(jìn)一步，他們將子空間所對(duì)應(yīng)的活躍變量替代原有的8個(gè)輸入變量，顯著簡(jiǎn)化了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型的結(jié)構(gòu)形式，如圖9(a)所示。簡(jiǎn)化后的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果如圖9(b)中雙點(diǎn)劃線(xiàn)所示，與原模型的預(yù)測(cè)值(藍(lán)色點(diǎn)劃線(xiàn)所示)幾乎一致。但是，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練時(shí)間縮短了73%，單步預(yù)測(cè)時(shí)間加快了3倍。

圖9 振蕩燃燒神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和溫度預(yù)測(cè)曲線(xiàn)[68]

Briones等[69]采用活性子空間方法探究了小型化凹腔燃燒室?guī)缀螀?shù)對(duì)燃燒的影響，共包含空氣入口參數(shù)、凹腔長(zhǎng)度以及噴油位置15個(gè)幾何參數(shù)。在他們的分析中，沒(méi)有得到目標(biāo)量(最大和平均溫度)所對(duì)應(yīng)的低維活性子空間，但是，通過(guò)和Spearman敏感性分析得到的結(jié)果對(duì)比，發(fā)現(xiàn)活性子空間分析中最大特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量分量得到的參數(shù)的敏感性和Spearman秩相關(guān)系數(shù)得到的敏感性一致，說(shuō)明在該情況下即使目標(biāo)量不存在低維的輸入?yún)?shù)子空間，活性子空間分析中最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量仍能夠用來(lái)做全局敏感性分析。

3.4 討 論

從以上綜述的研究進(jìn)展可以看出，當(dāng)前湍流燃燒模擬的活性子空間分析多集中在主控物理過(guò)程分析和正向不確定性的量化上，這些分析可以揭示特定目標(biāo)量的的主控機(jī)制，從而探究湍流燃燒機(jī)理。但是，更進(jìn)一步需要實(shí)現(xiàn)對(duì)湍流燃燒的調(diào)控，這就需要建模-計(jì)算-驗(yàn)證形成閉環(huán)，如圖10所示。循環(huán)的右半側(cè)從物理模型到仿真計(jì)算結(jié)果，其中由模型和邊界條件帶來(lái)的不確定性即可通過(guò)活性子空間對(duì)海量參數(shù)的降維實(shí)現(xiàn)，同時(shí)如上文綜述的研究來(lái)探究物理問(wèn)題的主控機(jī)制。循環(huán)的左半側(cè)則為，從仿真計(jì)算結(jié)果結(jié)合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或設(shè)計(jì)目標(biāo)，反向調(diào)整輸入?yún)?shù)，實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)量的調(diào)控。

圖10 基于仿真計(jì)算的優(yōu)化調(diào)控循環(huán)

在目標(biāo)量調(diào)控的活性子空間研究方面，Constantine等[44]在對(duì)HyShot II超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)仿真研究中，利用構(gòu)建的一維單調(diào)響應(yīng)面，確定了滿(mǎn)足安全運(yùn)行所對(duì)應(yīng)的目標(biāo)量約束的操作參數(shù)范圍。如果實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或設(shè)計(jì)目標(biāo)是關(guān)于目標(biāo)量的概率分布，此時(shí)參數(shù)調(diào)控問(wèn)題為反向概率問(wèn)題，即貝葉斯問(wèn)題，在采用馬爾科夫鏈蒙特卡羅(Markov Chain Monte Carlo, MCMC)采樣時(shí)可以引入活性子空間方法，使采樣空間減縮到后驗(yàn)概率密度空間的子空間中[33]，從而提高反向參數(shù)調(diào)整的效率。湍流燃燒模擬反向問(wèn)題可以得到滿(mǎn)足目標(biāo)要求的輸入?yún)?shù)分布從而實(shí)現(xiàn)對(duì)湍流燃燒的調(diào)控。

4 結(jié) 論

活性子空間分析在湍流燃燒模擬中的應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)了對(duì)包括動(dòng)力學(xué)模型參數(shù)、湍流燃燒模型以及邊界條件參數(shù)等海量輸入?yún)?shù)的降維，得到了復(fù)雜物理化學(xué)過(guò)程中的主控機(jī)制，有助于揭示湍流燃燒的機(jī)理，進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)對(duì)湍流燃燒的調(diào)控。主要工作和結(jié)論包括：

1)闡述了活性子空間方法和針對(duì)包含化學(xué)反應(yīng)機(jī)理的湍流燃燒模擬的連續(xù)降維方法。該方法在對(duì)化學(xué)動(dòng)力學(xué)參數(shù)降維中采用了替代模型，極大降低了所需湍流燃燒模擬次數(shù)。

2)總結(jié)了活性子空間方法和連續(xù)降維方法在Cabra火焰和B-K壁面射流火焰中的應(yīng)用。揭示了湍流射流火焰中的關(guān)鍵化學(xué)反應(yīng)以及主控物理過(guò)程的空間演化。

3)總結(jié)了模型燃燒系統(tǒng)的活性子空間分析，包括零維HCCI點(diǎn)火系統(tǒng)化學(xué)動(dòng)力學(xué)主控機(jī)制分析、非穩(wěn)態(tài)PSR振蕩燃燒的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的輸入?yún)?shù)降維，以及凹腔燃燒室?guī)缀螌?duì)湍流燃燒的影響。

4)對(duì)于湍流燃燒調(diào)控的活性子空間分析，可根據(jù)子空間中的低維響應(yīng)面對(duì)輸入?yún)?shù)進(jìn)行調(diào)整，從而調(diào)控湍流燃燒過(guò)程。另外，可以通過(guò)在活性子空間中采用MCMC采樣，開(kāi)展反向概率研究，實(shí)現(xiàn)湍流燃燒調(diào)控。