蔣夢(mèng)涵, 李海濤

(山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,山東濟(jì)南 250014)

1 引言

1969年,考夫曼[1]提出了用布爾網(wǎng)絡(luò)去建模基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò).布爾網(wǎng)絡(luò)是一類離散時(shí)間有限值動(dòng)態(tài)系統(tǒng).用布爾網(wǎng)絡(luò)建?；蛘{(diào)控網(wǎng)絡(luò)時(shí),每個(gè)基因有“1”和“0”兩種表達(dá)形式,分別表示基因的激活與非激活狀態(tài),并且每個(gè)基因的狀態(tài)更新受自己及其鄰居基因的影響.因此,利用布爾網(wǎng)絡(luò)來研究基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)是一種有效的方法,其網(wǎng)絡(luò)特性對(duì)該問題的研究起到了至關(guān)重要的作用,成為學(xué)術(shù)界的一個(gè)熱點(diǎn)研究問題.布爾網(wǎng)絡(luò)不僅被用在生物系統(tǒng)中[2],而且還被用來研究網(wǎng)絡(luò)演化博弈[3]、大規(guī)模集成電路[4]、內(nèi)燃機(jī)[5]、網(wǎng)絡(luò)故障定位[6]、移位寄存器[7].

程代展教授提出了矩陣半張量積這一有效數(shù)學(xué)工具來研究布爾網(wǎng)絡(luò).使用矩陣半張量積,布爾網(wǎng)絡(luò)可被轉(zhuǎn)化為代數(shù)狀態(tài)空間形式[8],進(jìn)而為利用經(jīng)典控制理論研究布爾網(wǎng)絡(luò)搭建了橋梁[9].近年來,使用矩陣半張量積方法,關(guān)于布爾網(wǎng)絡(luò)的若干基本問題得到了深入研究,包括能控性[10-13]、能觀性[14-17]、干擾解[18-20]、輸出跟蹤[21-22]等.值得一提的是,作為自動(dòng)控制領(lǐng)域的基本問題,穩(wěn)定和鎮(zhèn)定在布爾網(wǎng)絡(luò)的研究中起著重要作用,包括揭示一些生命現(xiàn)象以及設(shè)計(jì)疾病的干預(yù)治療方案等.矩陣半張量積方法在布爾網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定和鎮(zhèn)定方面也得到了較為成熟的應(yīng)用,一些有效的控制設(shè)計(jì)方法被提出,包括能達(dá)集方法[23]、Lyapunov 函數(shù)方法[24-25]、采樣控制[26-27]、牽制控制[28-29]、事件觸發(fā)控制[30]、凸規(guī)劃[31]等.

研究表明,對(duì)于生物系統(tǒng)或復(fù)雜網(wǎng)絡(luò),當(dāng)對(duì)一部分節(jié)點(diǎn)施加控制時(shí),可能更易表現(xiàn)出系統(tǒng)或網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)良特性[32].例如,對(duì)狀態(tài)Mdm2和Wipl施加控制可以促進(jìn)細(xì)胞凋亡[33].這種控制策略稱為牽制控制.文獻(xiàn)[34]將牽制控制引入到布爾網(wǎng)絡(luò)中.一般來說,布爾網(wǎng)絡(luò)的牽制控制有兩種方法:第1種為選擇一些牽制節(jié)點(diǎn)來施加控制[34];第2種方法是通過改變狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的列來構(gòu)造牽制控制[28].

在實(shí)際基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)中,多模態(tài)切換過程大量存在.從細(xì)胞層面來看,真核細(xì)胞的生長(zhǎng)與分裂可以看作由四大過程形成的多模態(tài)切換過程[35].將控制輸入看作切換信號(hào)時(shí),布爾控制網(wǎng)絡(luò)可以看作切換系統(tǒng)[36].近年來,切換系統(tǒng)在理論發(fā)展和實(shí)際應(yīng)用上得到了廣泛的關(guān)注[37].特別地,國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者使用矩陣半張量積研究了切換布爾網(wǎng)絡(luò)的能控性[38]、穩(wěn)定和鎮(zhèn)定[39]、同步控制[40]、輸出跟蹤[21]等問題,并取得了許多優(yōu)秀的成果.據(jù)筆者所知,目前尚未發(fā)現(xiàn)使用牽制控制方法研究切換布爾網(wǎng)絡(luò)任意切換集合可穩(wěn)的文獻(xiàn).

集合鎮(zhèn)定是非線性控制中一個(gè)非常重要的問題,有著重要的實(shí)際應(yīng)用[41-42].它的基本思想為,一個(gè)系統(tǒng)或一組相互關(guān)聯(lián)的系統(tǒng)是否能收斂或鎮(zhèn)定到狀態(tài)空間中的某個(gè)集合[42].集合鎮(zhèn)定問題可以認(rèn)為是傳統(tǒng)鎮(zhèn)定問題的推廣.近年來,布爾網(wǎng)絡(luò)的集合鎮(zhèn)定問題也得到了廣泛關(guān)注,在同步控制[43]、輸出跟蹤[44]等方面得到了重要應(yīng)用.然而,切換布爾網(wǎng)絡(luò)的分布式集合鎮(zhèn)定問題尚無相關(guān)研究結(jié)果.

本文使用牽制控制策略,研究切換布爾網(wǎng)絡(luò)的分布式集合鎮(zhèn)定問題.本文的創(chuàng)新點(diǎn)總結(jié)如下:一方面,本文給出帶牽制控制的切換布爾網(wǎng)絡(luò)的代數(shù)形式,并建立切換布爾網(wǎng)絡(luò)在任意切換信號(hào)下集合鎮(zhèn)定控制器的設(shè)計(jì)方法;另一方面,本文定義新的矩陣除法對(duì)控制器進(jìn)行降維,給出分布式控制器的設(shè)計(jì)方法.

本文剩余部分組織如下:第2節(jié)給出矩陣半張量積的基本知識(shí).第3節(jié)給出切換布爾網(wǎng)絡(luò)以及帶牽制控制的切換布爾網(wǎng)絡(luò)的方程及等價(jià)代數(shù)形式.第4節(jié)給出本文的主要結(jié)果.第5節(jié)給出本文的結(jié)論.

本文使用的符號(hào)列舉如下:

1) Z+和N分別表示正整數(shù)集和自然數(shù)集.

2) Coli(A)表示矩陣A的第i列,Col(A)表示矩陣A的所有的列組成的集合.

2 預(yù)備知識(shí)

本文使用的主要工具為矩陣半張量積,本節(jié)對(duì)其定義和主要性質(zhì)進(jìn)行回顧.

定義1 令A(yù) ∈Rm×n,B ∈Rp×q.A與B的矩陣半張量積表示為AB,其定義為

這里l=lcm(n,p)是n和p的最小公倍數(shù),?表示矩陣的張量積.

這里,F稱為邏輯函數(shù)f的結(jié)構(gòu)矩陣.

3 問題描述

有n個(gè)節(jié)點(diǎn)和m個(gè)模態(tài)的切換布爾網(wǎng)絡(luò)可以描述為

4 主要結(jié)果

4.1 牽制控制設(shè)計(jì)

首先給出系統(tǒng)(4)任意切換集合可穩(wěn)和切換-狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖的定義.

定義2(任意切換集合可穩(wěn)) 給定非空集合O ?Dn,如果對(duì)于任意切換信號(hào)σ:N→W和任意初始狀態(tài)x0∈Dn,都存在正整數(shù)T,使得對(duì)于任意正整數(shù)t≥T,都有x(t;x0)∈O,則稱切換布爾網(wǎng)絡(luò)(4)任意切換可穩(wěn)到集合O.

定理1 若Π ?O,則系統(tǒng)(4)任意切換可穩(wěn)到集合O.

證 用反證法.若Π ?O,但系統(tǒng)(4)不能任意切換可穩(wěn)到集合O,即存在切換信號(hào)σ:N→W,存在初始狀態(tài)x0∈Dn,對(duì)于任意正整數(shù)T,存在時(shí)刻t≥T,滿足x(t;x0)/∈O.當(dāng)T充分大時(shí),x(t;x0)∈Π,這與Π ?O矛盾.證畢.

令Li=δ2n[ri,1··· ri,2n],i=1,··· ,w.基于定理1,下面給出一個(gè)算法使系統(tǒng)(4)任意切換可穩(wěn)到給定集合O.=1,··· ,w中的第r1,··· ,rm列元素轉(zhuǎn)化為集合O中的元素,得到L′i,i=1,··· ,w;

進(jìn)而,根據(jù)定義3,Lσ(t)所對(duì)應(yīng)的切換-狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖即可獲得,如圖1所示.

圖1 例1中對(duì)應(yīng)L′1和L′2的切換-狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖Fig.1 Switching-state transition graph corresponding to L′1 and L′2 in Example 1

對(duì)應(yīng)的切換-狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如圖2所示.

圖2 例1中對(duì)應(yīng)L′′1和L′′2的切換-狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖Fig.2 Switching-state transition graph corresponding to L′′1 and L′′2 in Example 1

4.2 分布式控制設(shè)計(jì)

使用矩陣半張量積方法,系統(tǒng)(8)可以表示為如下代數(shù)形式:

步驟2 構(gòu)造矩陣B=δm[γ1··· γq],滿足Colβj(B) = Colj(A),j= 1, ···,n; 當(dāng)k ∈{1, ···,2n}{βj:j=1,··· ,n}時(shí),Colk(B)∈Δm.

定義4 給定邏輯矩陣A ∈Lm×n,C ∈Lq×n,若存在B ∈Lm×q使得A=BC,則通過算法2得到矩陣B的運(yùn)算叫做A對(duì)C的矩陣除法.

注6矩陣除法合法的前提條件與文獻(xiàn)[46]中定理4的前提條件相同.

5 結(jié)論

本文使用牽制控制的方法解決了切換布爾網(wǎng)絡(luò)在任意切換下集合可穩(wěn)的問題.基于代數(shù)狀態(tài)空間方法,給出了具有牽制控制的切換布爾網(wǎng)絡(luò)的代數(shù)形式.基于該代數(shù)形式,給出了一個(gè)通過改變列來使得切換布爾網(wǎng)絡(luò)任意切換集合可穩(wěn)的算法,并根據(jù)變化后的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,設(shè)計(jì)出相應(yīng)的狀態(tài)反饋牽制控制.此外,本文使用邏輯矩陣分解的思想解決了切換布爾網(wǎng)絡(luò)的分布式集合鎮(zhèn)定問題.未來的研究可致力于優(yōu)化本文所提出的分布式牽制控制方法,并用來解決同步控制,跟蹤控制等問題.