胡 慶，吳益平，苗發(fā)盛，張龍飛，李麟瑋

（中國地質(zhì)大學(xué)(武漢)工程學(xué)院，湖北 武漢 430074）

0 引言

我國是一個地質(zhì)災(zāi)害頻發(fā)的國家，其中滑坡占地質(zhì)災(zāi)害總數(shù)的51%以上[1]。研究表明，降雨與邊坡失穩(wěn)破壞緊密相關(guān)。降雨入滲會導(dǎo)致濕潤鋒下移，進(jìn)而降低坡體的基質(zhì)吸力，弱化巖土體參數(shù)，使坡體下滑力增大，抗滑力減小[2]。所以研究降雨作用下邊坡的濕潤鋒分布規(guī)律，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行邊坡穩(wěn)定性分析是很有必要的。

國內(nèi)外對于降雨入滲模型的研究，都是在1911年GREEN 等[3]提出Green-Ampt 模型的基礎(chǔ)上改進(jìn)的。例如，MEIN 等[4]考慮了降雨強(qiáng)度小于土體滲水能力情況下的GA 模型，即ML 模型。CHU[5]分析了地表有積水和無積水的降雨入滲情況。PHILIP[6]對于具有初始水頭的均勻各向同性的均質(zhì)土壤的平面斜坡滲透問題，給出了非線性不飽和滲流方程的解。MUNTOHAR 等[7]考慮了土體的非飽和特性。饒鴻等[8]提出了以含水率為變量的抗剪強(qiáng)度公式。常金源等[9]研究了考慮動水壓力的淺層滑坡的Green-Ampt 模型，提出了邊坡飽和的臨界時間。李秀珍等[10-11]改進(jìn)了原有的Mein-Larson 模型，研究了考慮飽和土、非飽和土等邊坡的穩(wěn)定性以及失穩(wěn)破壞概率。孟慶成等[12]分析了水力滯回性對邊坡穩(wěn)定性的影響。王進(jìn)等[13]考慮了水對巖土參數(shù)的弱化作用，提出了坡面供水強(qiáng)度以及入滲能力的概念。唐揚等[14]考慮了初始含水率與深度呈線性關(guān)系的情況。然而這些模型都是基于直線形態(tài)的邊坡進(jìn)行分析的，沒有考慮邊坡為曲線形態(tài)的情況。事實上對于實際的邊坡，曲線形態(tài)的邊坡占88%左右[15]，而邊坡表面的應(yīng)力分布情況很大程度上受坡面形態(tài)的影響[16]。所以開展曲線形態(tài)的邊坡降雨入滲規(guī)律研究和穩(wěn)定性分析是十分必要的。

鑒于此，文章基于降雨入滲基本理論，將Mein-Larson入滲模型和坡形函數(shù)相結(jié)合，探究凹形邊坡在高強(qiáng)度和低強(qiáng)度兩種降雨條件下的入滲規(guī)律，并結(jié)合極限平衡分析方法，推導(dǎo)凹形邊坡穩(wěn)定性計算方法。按照坡形擬合以及坡形簡化的思路，將實際邊坡考慮成凹形邊坡和直線坡進(jìn)行穩(wěn)定性計算，并與數(shù)值模擬分析對比，對上述模型進(jìn)行驗證。

1 凹形邊坡降雨入滲模型

1.1 坡形函數(shù)

目前主要通過指數(shù)、對數(shù)和雙曲線三類函數(shù)來描述坡面形態(tài)。為了研究方便，假定邊坡幾何滿足指數(shù)函數(shù)，建立以坡形中點為原點的全局坐標(biāo)系，則坡形函數(shù)可表示為[17]：

式中：θc——最大等效坡角；

H——邊坡等效高度。

邊坡表面曲線如圖1所示。

圖1 坡面函數(shù)曲線Fig.1 Slope function curve

對于任意一點P(x,y)，可以得到該點的切線斜率f(x)為：

將點P的切線和水平方向間的角度記作β，即點P的等效坡角，則

因此對于坡面任何一點P，可以根據(jù)數(shù)學(xué)關(guān)系確定該點的等效坡角β。

1.2 凹形邊坡降雨入滲模型

針對已提出的Mein-Larson 模型，可以總結(jié)出降雨入滲的規(guī)律曲線如圖2所示。

圖2 降雨入滲規(guī)律曲線Fig.2 Rainfall infiltration law curve

假定降雨強(qiáng)度為p，飽和滲透系數(shù)為Ks，土體滲水能力為fp。

事件A：低強(qiáng)度降雨條件下，p

事件B：p

事件C：Ks

大多數(shù)的降雨情況可能是在積水狀態(tài)下的恒定降雨強(qiáng)度的降雨入滲，如曲線D 所示，其中ts表示初始狀態(tài)為積水時的降雨入滲下，其累積的降雨量達(dá)到Ip所用的時間。

因此針對于凹形邊坡降雨入滲模型，本文根據(jù)降雨入滲規(guī)律，主要從恒定降雨條件下的兩種情況來進(jìn)行介紹。

對于凹形邊坡，先考慮邊坡上任意的一點P(x,y)的降雨入滲，做出其降雨入滲的計算簡圖（圖3）。

圖3 降雨入滲模型計算簡圖Fig.3 Calculation diagram of rainfall infiltration model

圖中：p——降雨強(qiáng)度；

X*——點 P 沿邊坡向下的切線方向；

Z*——點P垂直切線指向坡體內(nèi)部的方向；

θs——P點處土體飽和體積含水率；

θi——P點的初始體積含水率；

β——點P的等效坡角。

（1）高強(qiáng)度降雨時（p>Ks）

當(dāng)t小于積水時間tp時，即圖2中的線段B。此時降雨累積入滲量Ip為：

積水時間tp為：

當(dāng)時間t大于積水時間tp時，此時降雨累積入滲量I為：

ts是初始狀態(tài)為積水的降雨情況下，總?cè)霛B量I=Ip花費的時間，則ts為：

綜上所述，可以得到各時段Z*方向濕潤鋒的入滲深度為：

（2）低強(qiáng)度降雨時（p

此時雨水都進(jìn)入土體中，累積入滲量I為：

同理可以求得Z*方向濕潤鋒的入滲深度為：

值得注意的是，當(dāng)?shù)刃陆遣蛔儠r，以上公式即為坡面形態(tài)為直線的Mein-Larson 模型。

當(dāng)點P變化時，P點的等效坡角也在變化，其濕潤鋒深度也隨之變化。當(dāng)坡面某入滲點確定時，其濕潤鋒深度也唯一確定。因此可以通過具體坡形函數(shù)來確定任意一點的等效坡角，并根據(jù)以上公式得到任意一點濕潤鋒的入滲深度，從而探究凹形邊坡的降雨入滲規(guī)律，計算過程可以通過Matlab 編程來實現(xiàn)。

2 凹形邊坡穩(wěn)定性計算方法

2.1 凹形邊坡穩(wěn)定性計算公式

在進(jìn)行穩(wěn)定性公式推導(dǎo)前，對該凹形坡作如下假設(shè)：

（1）邊坡下部基巖為微透水或不透水，且基巖面近似與坡面平行；

（2）邊坡物質(zhì)為均質(zhì)體，滿足各向同性；

（3）地表無積水產(chǎn)生，即地表水頭h=0。

為了求出凹形邊坡在恒定降雨條件下的穩(wěn)定性計算公式，將邊坡等分成n塊，每塊間距為dx。任取某塊邊坡進(jìn)行分析（圖4），濕潤鋒以上部分為區(qū)域Ⅰ，濕潤鋒以下部分為區(qū)域Ⅱ。區(qū)域Ⅰ的坡體已經(jīng)全部飽和，區(qū)域Ⅱ的坡體仍處于天然狀態(tài)。

圖4 邊坡穩(wěn)定性計算示意圖Fig.4 Schematic diagram of slope stability calculation

計算邊坡的穩(wěn)定性系數(shù)時，對于任意一塊坡體的濕潤鋒豎直入滲深度，取該塊坡體兩端點濕潤鋒豎直入滲深度的平均值，記為ZW，其坡角為兩端點等效坡角的平均值，記為β。對于區(qū)域Ⅰ的坡體，采用浮重度γ′進(jìn)行計算，對于區(qū)域Ⅱ的坡體，采用天然重度γt進(jìn)行計算。

對所取塊體進(jìn)行力學(xué)分析，區(qū)域Ⅰ的抗滑力、下滑力和滲透力分別為：

區(qū)域Ⅱ的抗滑力和下滑力分別為：

式中：dW1——區(qū)域Ⅰ的重力；

dW2——區(qū)域Ⅱ的重力。

其分別為：

式中：c′，φ′——飽和狀態(tài)下的黏聚力和內(nèi)摩擦角；

c，φ——天然狀態(tài)下的黏聚力和內(nèi)摩擦角；

γw——水的重度；

Zw——該塊坡體豎直方向上的濕潤鋒深度，且Zw=Z*f/cosβ；

其他參數(shù)意義同上。

因此區(qū)域Ⅰ整體的抗滑力、滲透力以及下滑力可以通過條塊求和獲得，記為：

區(qū)域Ⅱ整體的抗滑力以及下滑力可以通過條塊求和獲得，記為：

2.2 凹形邊坡破壞模式分析

對于本文研究的凹形邊坡，其潛在滑移面的確定應(yīng)該分別從濕潤鋒與基巖面兩處展開分析，通過比較兩者穩(wěn)定性系數(shù)大小來判斷滑移面可能存在的位置。

下面討論凹形邊坡滑移面的兩種形式：

（1）當(dāng)在濕潤鋒面發(fā)生滑移：

式中：FS1——濕潤鋒處的穩(wěn)定性系數(shù)。

（2）當(dāng)在基巖面發(fā)生滑移：

式中：FS2——基巖處的穩(wěn)定性系數(shù)。

做出凹形邊坡兩種穩(wěn)定性的關(guān)系圖如圖5所示。當(dāng)降雨時間小于tz時，濕潤鋒的入滲深度接近于0，因此濕潤鋒處穩(wěn)定性系數(shù)接近于無窮大，而此時基巖穩(wěn)定性系數(shù)是某一定值，此時邊坡穩(wěn)定性系數(shù)以基巖為主；當(dāng)降雨時間大于tz時，邊坡穩(wěn)定性系數(shù)以濕潤鋒為主。隨著降雨時間的增加，濕潤鋒入滲深度不斷增大，直到幾乎接近基巖面（t=tH時），此時兩者的穩(wěn)定性系數(shù)相同。

圖5 穩(wěn)定性系數(shù)變化曲線Fig.5 Variation curve of stability coefficient

2.3 兩種降雨條件下的穩(wěn)定性分析

（1）高強(qiáng)度降雨時（p>Ks）

此時濕潤鋒的深度由公式（14）確定，在確定了濕潤鋒的深度后，結(jié)合上文提出的凹形邊坡穩(wěn)定性計算公式，運用Matlab 編程得出基巖和濕潤鋒的穩(wěn)定性與降雨時間的關(guān)系，從而實現(xiàn)凹形邊坡的穩(wěn)定性評價。

（2）低強(qiáng)度降雨時（p

此時濕潤鋒的深度由式（16）確定，在確定了濕潤鋒的深度后，結(jié)合上文提出的凹形邊坡的穩(wěn)定性計算公式，運用Matlab 編程得出基巖和濕潤鋒的穩(wěn)定性與降雨時間的關(guān)系，從而實現(xiàn)凹形邊坡的穩(wěn)定性評價。

3 實際邊坡降雨入滲規(guī)律與穩(wěn)定性研究

選取四川省阿壩州松潘縣某工程邊坡為例[18]，對邊坡的穩(wěn)定性進(jìn)行理論探討。邊坡所在區(qū)域為岷山山脈中部，地形以高中山為主，氣候呈現(xiàn)地域性變化的特點，而且該區(qū)域降雨分布不均勻，夏季的降雨量占全年的80%，日最大降水量為50 mm，持續(xù)時間最長為22 d。因此假定降雨強(qiáng)度為0.048 m/d，持續(xù)降雨20 d。邊坡巖土體相關(guān)參數(shù)主要來源于參考文獻(xiàn)[18]（表1）。

表1 邊坡巖土及水文參數(shù)表Table 1 Geotechnical and hydrological parameters of slope

3.1 實際邊坡入滲規(guī)律研究以及穩(wěn)定性分析

按照坡形擬合以及坡形簡化的思路，將實際邊坡分別考慮成凹形邊坡與直線邊坡進(jìn)行降雨入滲規(guī)律研究與穩(wěn)定性計算，對本文推導(dǎo)的凹形坡穩(wěn)定性計算模型與傳統(tǒng)斜坡穩(wěn)定性計算模型進(jìn)行分析對比。

3.1.1 凹形邊坡穩(wěn)定性計算

選取實際邊坡（即邊坡數(shù)值模型18～36 m 區(qū)段）表面的特征點，基于Matlab 軟件，用坡形函數(shù)對坡面特征點進(jìn)行擬合，擬合效果如圖6所示。從圖6可以看出，坡形函數(shù)能較好地擬合出實際邊坡的坡面形態(tài)。

圖6 坡面與水平距離關(guān)系曲線Fig.6 Relationship curve between slope and horizontal distance

基于上文的凹形邊坡入滲模型，利用Matlab 編程軟件，可以得到邊坡濕潤鋒入滲深度與時間關(guān)系曲線（圖7）、不同降雨時刻（取4 d、8 d、12 d）濕潤鋒與坡面相對位置（圖8）、以及凹形坡穩(wěn)定性系數(shù)和時間的關(guān)系（圖9）。

圖7 濕潤鋒入滲深度隨時間變化曲線Fig.7 Variation curve of wetting front depth with time

圖8 不同降雨時刻濕潤鋒面與坡面的關(guān)系圖Fig.8 The relationship between wetting front and slope at different rainfall time

對圖7、圖8分析可知，濕潤鋒入滲深度與時間呈正比關(guān)系，最大入滲深度為4.47 m，而且濕潤鋒面為凹線形態(tài)，與坡面平行。

從圖9可以看出，在降雨初期，濕潤鋒穩(wěn)定性系數(shù)較基巖大，當(dāng)降雨時間等于10 d 時，基巖穩(wěn)定性系數(shù)為1.004，而濕潤鋒穩(wěn)定性系數(shù)為1.07，穩(wěn)定性以基巖為主，根據(jù)《滑坡防治工程勘查規(guī)范》 (GB/T32864—2016)，此時凹形邊坡為欠穩(wěn)定狀態(tài)；繼續(xù)降雨，邊坡穩(wěn)定性系數(shù)小于1，會發(fā)生失穩(wěn)破壞。

圖9 邊坡穩(wěn)定性系數(shù)隨時間變化曲線圖Fig.9 Curve of slope stability coefficient with time

3.1.2 直線邊坡穩(wěn)定性計算

基于Matlab 軟件，將實際邊坡（即邊坡數(shù)值模型18～36 m 區(qū)段）的坡面形態(tài)直接簡化成直線坡，實際邊坡簡化效果如圖10所示。從圖10可以看出，單純對坡面形態(tài)進(jìn)行簡化，會使得研究對象發(fā)生“失真”的情況，此時等效坡角的正切值恒為0.8。

圖10 坡面與水平距離關(guān)系曲線Fig.10 Relationship curve between slope and horizontal distance

基于上文的凹形邊坡入滲模型，當(dāng)?shù)刃陆呛愣ú蛔儠r，利用Matlab 編程軟件，可以得到邊坡濕潤鋒入滲深度與時間關(guān)系曲線（圖11）、不同降雨時刻（取4 d、8 d、12 d）濕潤鋒與坡面相對位置（圖12）。

圖11 濕潤鋒入滲深度隨時間變化曲線Fig.11 Variation curve of wetting front depth with time

圖12 不同降雨時刻濕潤鋒面與坡面的關(guān)系圖Fig.12 The relationship between wetting front and slope at different rainfall time

從圖11可以看出，濕潤鋒入滲深度與時間呈正比關(guān)系，最大入滲深度為3.75 m，比凹形邊坡的濕潤鋒最大入滲深度小。從圖12可知，隨著降雨的持續(xù)，邊坡的濕潤鋒面為直線形，始終與坡面平行。

根據(jù)文獻(xiàn)[9]中淺層斜坡滑動穩(wěn)定計算模型，可以得到直線邊坡的穩(wěn)定性系數(shù)如圖13所示。從圖13可以看出，隨著降雨時間的增加，邊坡穩(wěn)定性系數(shù)逐漸減小，當(dāng)降雨時間等于8 天時，邊坡的穩(wěn)定性系數(shù)為1.02，根據(jù)《滑坡防治工程勘查規(guī)范》 (GB/T32864—2016)，此時直線邊坡為欠穩(wěn)定狀態(tài)；繼續(xù)降雨，邊坡穩(wěn)定性系數(shù)小于1，會發(fā)生失穩(wěn)破壞。其穩(wěn)定性系數(shù)比實際邊坡當(dāng)作凹形邊坡分析得到的穩(wěn)定性系數(shù)小。

圖13 邊坡穩(wěn)定性系數(shù)隨時間變化曲線圖Fig.13 Curve of slope stability coefficient with time

3.2 數(shù)值模擬分析

3.2.1 邊坡數(shù)值模型建立

根據(jù)實際邊坡，建立邊坡數(shù)值模型（圖14），其中上層為粉質(zhì)黏土，下層為變質(zhì)粉砂巖，地下水位線位于坡腳以下2.5 m 處，在模型兩側(cè)設(shè)置定水頭邊界，降雨邊界設(shè)定參照文獻(xiàn)[19]。

圖14 邊坡數(shù)值模型Fig.14 Numerical model of slope

3.2.2 數(shù)值模擬分析

運用GeoStudio 的SEEP/W 模塊對邊坡開展?jié)B流模擬，首先設(shè)定邊界條件，實現(xiàn)邊坡穩(wěn)態(tài)模擬，得到瞬態(tài)分析的初始狀態(tài)，并在坡體上邊界設(shè)定0.048 m/d 的單位流量，持續(xù)降雨20 d。

濕潤鋒入滲深度變化可以通過土體含水率梯度的變化來表征，因此可以通過含水率的等值線云圖大致判斷濕潤鋒的變化規(guī)律[20]，取降雨4 d、8 d、12 d 的含水率等值線云圖（圖15）。

從圖15可以看出，隨著降雨的持續(xù)，土體含水率因為雨水的進(jìn)入而不斷增加，且含水率的等值線與坡面近似平行，根據(jù)濕潤鋒與含水率梯度的關(guān)系，可以推斷出濕潤鋒面應(yīng)該與坡面近似平行，且濕潤鋒面為凹線形態(tài)，更加符合將實際邊坡當(dāng)作凹形邊坡分析時的降雨入滲規(guī)律。

圖15 不同降雨時長下邊坡的體積含水率等值線云圖Fig.15 Contour nephogram of volume moisture content of slope under different rainfall duration

為了進(jìn)一步得到濕潤鋒的深度隨著降雨時間的變化，本文設(shè)置了邊坡前部、中部、后部三個含水率的監(jiān)測剖面，記錄了降雨時間為1 d、3 d、6 d、9 d、12 d、15 d、18 d 時含水率隨深度的變化曲線，并根據(jù)文獻(xiàn)[20]中概化濕潤鋒深度的判定方法，得到了不同降雨時間下邊坡前、中、后部概化濕潤鋒的深度（圖16）。

從圖16中可以發(fā)現(xiàn)，在降雨初期，邊坡表面含水率急劇增加，而坡體內(nèi)部含水率接近于初始含水率，隨著降雨時間的增加，雨水不斷下滲，坡體內(nèi)部含水率不斷增大。同一降雨時間下，邊坡前部濕潤鋒深度最大，中部濕潤鋒深度其次，后部最小，這是因為在降雨時，水進(jìn)入土體的同時，會因為重力勢能的作用向坡體前部流動，這也符合實際情況。

圖16 不同降雨時間下邊坡不同部位的概化濕潤鋒深度Fig.16 Generalized wetting front depth at different parts of slope under different rainfall time

根據(jù)以上分析繪制出在邊坡前、中、后部概化濕潤鋒深度與時間的關(guān)系見圖17。濕潤鋒入滲深度和時間成正比關(guān)系，濕潤鋒最大入滲深度為4.35 m，這跟將實際邊坡當(dāng)作凹形邊坡分析時的濕潤鋒入滲深度更接近，表明本文提出的改進(jìn)Mein-Larson 模型能夠較為準(zhǔn)確地描述凹形邊坡的降雨入滲規(guī)律。

圖17 邊坡不同部位的濕潤鋒入滲深度隨時間的變化曲線Fig.17 Variation curve of infiltration depth of wetting front with time in different parts of slope

在上文SEEP/W 瞬態(tài)分析基礎(chǔ)上，在邊坡后部以及前部設(shè)置滑移面進(jìn)出口，并輸入邊坡巖土數(shù)據(jù)，運用GeoStudio 的SLOPE/W 模塊，并基于Morgenstern-Price方法對凹形邊坡開展穩(wěn)定性分析，得出降雨強(qiáng)度等于0.048 m/d 時凹形邊坡穩(wěn)定性系數(shù)和時間關(guān)系見圖18。

圖18 邊坡穩(wěn)定性系數(shù)隨時間變化曲線Fig.18 Variation curve of slope stability coefficient with time

對圖17分析得出，隨著降雨的持續(xù)，實際邊坡的穩(wěn)定性系數(shù)逐漸減小。當(dāng)連續(xù)降雨10 d 后，穩(wěn)定性系數(shù)減小到1.003，這與凹形邊坡的穩(wěn)定性計算得出的結(jié)果（1.004）十分接近，相對誤差不超過0.1%，而此時直線邊坡的穩(wěn)定性系數(shù)早已小于1，進(jìn)一步佐證了將實際邊坡當(dāng)作凹形邊坡進(jìn)行分析時，其穩(wěn)定性計算結(jié)果更符合實際。

綜上所述，通過本文計算模型中的坡形函數(shù)來擬合實際邊坡的坡面形態(tài)，所得到的研究對象更符合實際。同時相對于淺層斜坡模型的計算結(jié)果，本文推導(dǎo)的凹形坡降雨入滲與穩(wěn)定性計算模型的分析結(jié)果與數(shù)值模擬的分析結(jié)果更接近，表明本文的模型計算結(jié)果更符合實際情況，可靠性更高。

4 結(jié)論

（1）通過對實際邊坡的濕潤鋒分布規(guī)律進(jìn)行研究發(fā)現(xiàn)：采用坡形簡化得到的濕潤鋒最大入滲深度為3.75 m，采用坡形擬合得到的濕潤鋒最大入滲深度為4.47 m，更接近于邊坡數(shù)值模擬得到的最大概化濕潤鋒深度4.33 m。表明推導(dǎo)的凹形坡降雨入滲模型更貼合實際入滲情況。

（2）在低強(qiáng)度降雨條件下，相比淺層斜坡計算模型，文章采用凹形坡穩(wěn)定性模型計算的結(jié)果與數(shù)值模擬分析的結(jié)果更接近，其相對誤差不超過0.1%，表明該模型可靠度較高；同時該模型不僅考慮了邊坡表面形態(tài)的影響，而且考慮了邊坡可能發(fā)生的兩種破壞模式，具有計算簡便，應(yīng)用范圍更加廣泛的特點。

（3）提出的降雨入滲模型，當(dāng)?shù)刃陆铅?恒定時，該模型就變?yōu)橐话愕腗ein-Larson 降雨入滲模型。表明一般的Mein-Larson 降雨入滲模型是本模型的一種特殊情況。