李永紅，梁 振

(1.中南林業(yè)科技大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410004；2.中南林業(yè)科技大學(xué)工程流變學(xué)湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙 410004)

許多工程實(shí)際問(wèn)題常采用有限元法對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析。對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，需多次對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，采用實(shí)時(shí)計(jì)算方法分析可以減少計(jì)算時(shí)間?？s減基法(reduced basis method, RBM)作為一種實(shí)時(shí)計(jì)算方法，在20世紀(jì)70年代被提出[1]，該方法可在全局范圍內(nèi)進(jìn)行近似計(jì)算，并對(duì)計(jì)算結(jié)果的誤差范圍進(jìn)行估計(jì)[2]。整個(gè)計(jì)算過(guò)程可以分為離線階段和在線階段，離線階段計(jì)算的量與設(shè)計(jì)參數(shù)無(wú)關(guān)，只需計(jì)算1次，可以先行計(jì)算完成。設(shè)計(jì)參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，在線階段可以快速得到縮減基法結(jié)果[3]。近年來(lái)，縮減基法被用于各個(gè)領(lǐng)域。Jiang等[4]將縮減基法運(yùn)用于聲學(xué)的多頻分析中，對(duì)復(fù)雜聲學(xué)散射等問(wèn)題進(jìn)行優(yōu)化，提高了系統(tǒng)運(yùn)行效率。Feng等[5]應(yīng)用縮減基法求解多元材料在熱荷載情況下的熱響應(yīng)值，確定了各設(shè)計(jì)參數(shù)最優(yōu)解。Shi等[6]將縮減基法運(yùn)用于電磁場(chǎng)中，把介質(zhì)散射體參數(shù)化并對(duì)介質(zhì)散射較強(qiáng)的電磁場(chǎng)高效建模，將其與邊界元法結(jié)合，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行快速計(jì)算。李永紅等[7]將求逆縮減基法用于車架結(jié)構(gòu)分析，并對(duì)誤差進(jìn)行估計(jì)，計(jì)算量大大降低，結(jié)果也有很高的精度。張正等[8-9]將縮減基法應(yīng)用在區(qū)間結(jié)構(gòu)的可靠性分析，對(duì)參數(shù)域的失效范圍進(jìn)行了快速求解；對(duì)減基空間的完備性也做了研究，以向量子空間夾角大小來(lái)檢查結(jié)構(gòu)響應(yīng)解的精確性。馬營(yíng)利等[10]將線彈性算子中的部分參數(shù)顯示化，把結(jié)構(gòu)劃分為敏感區(qū)和非敏感區(qū)，結(jié)合縮減基法實(shí)現(xiàn)了礦用車架的快速計(jì)算。

上述關(guān)于縮減基法的研究，需預(yù)先將設(shè)計(jì)參數(shù)從線彈性算子中分離出來(lái)。將線彈性算子分成多個(gè)與設(shè)計(jì)參數(shù)無(wú)關(guān)的矩陣，該步驟計(jì)算煩瑣且不易求解，影響了縮減基法的應(yīng)用。本文將對(duì)縮減基法進(jìn)一步改進(jìn)，結(jié)合ANSYS分析設(shè)計(jì)參數(shù)與結(jié)構(gòu)單元之間的聯(lián)系，分離線彈性算子中的設(shè)計(jì)參數(shù)，從而解決縮減基法應(yīng)用瓶頸問(wèn)題，同時(shí)將改進(jìn)后的縮減基法應(yīng)用到平面框架結(jié)構(gòu)[11-12]。

1 縮減基法理論及改進(jìn)

1.1 縮減基法基本理論

結(jié)構(gòu)進(jìn)行求解時(shí)，與自身幾何或者物理參數(shù)有關(guān)的結(jié)點(diǎn)位移組成高維解空間。縮減基法通過(guò)Galerkin映射，將解映射到低維解空間，在低維解空間擬合結(jié)果。

結(jié)構(gòu)的平衡方程為如下形式：

K(μ)u(μ)=F?u(μ)∈X

(1)

式中：μ為結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)參數(shù)；K(μ)為結(jié)構(gòu)剛度矩陣；u(μ)為結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移向量；F為結(jié)構(gòu)荷載向量；X為真實(shí)的高維解空間。

對(duì)于大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)，求解式(1)會(huì)耗費(fèi)大量時(shí)間。結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，每一次設(shè)計(jì)參數(shù)變化都要求解上式。因此，能快速求解結(jié)構(gòu)并得到高精度結(jié)果對(duì)于優(yōu)化設(shè)計(jì)十分重要。

系統(tǒng)能量為

(2)

在設(shè)計(jì)參數(shù)變化范圍內(nèi)，選M組設(shè)計(jì)參數(shù)為樣本參數(shù)，計(jì)算對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)得到位移，組成的矩陣為

P=[u(μ1),u(μ2),…,u(μM)]

(3)

P中的第i項(xiàng)設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)，可以用有限元法求出對(duì)應(yīng)的位移u(μi)。將這N組位移構(gòu)成減基矩陣z，寫成如下形式：z=[u(μ1),u(μ2),…,u(μM)]。z矩陣中的解向量u(μi)(i=1,2,…,M)是線性無(wú)關(guān)的，真實(shí)解X中各項(xiàng)可以用減基矩陣z中的元素線性表達(dá)。當(dāng)取新的設(shè)計(jì)參數(shù)μnew時(shí)，對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)的位移可以看作是減基矩陣z中各項(xiàng)的線性組合，即

u(μnew)=za(μnew)

(4)

式中：a(μnew)為系數(shù)向量。將式(4)代入式(2)，系統(tǒng)能量可寫成

(5)

由能量最小原理并結(jié)合式(5)可得到

zTK(μnew)za(μnew)=zTF

(6)

令KN(μnew)=zTK(μnew)Z，F(xiàn)N=zTF，式(6)可寫成

KN(μnew)a(μnew)=FN

(7)

當(dāng)結(jié)構(gòu)中的設(shè)計(jì)參數(shù)改變時(shí)，用縮減基法求解，可以轉(zhuǎn)化為在低維的解空間求解式(7)。

對(duì)于線彈性問(wèn)題，剛度矩陣K(μ)可以分解成兩部分，一部分與設(shè)計(jì)參數(shù)有關(guān)，另一部分與設(shè)計(jì)參數(shù)無(wú)關(guān)，表示為下列形式：

(8)

式中：σq(μ)為從剛度矩陣中分離出來(lái)的與設(shè)計(jì)參數(shù)有關(guān)的函數(shù)關(guān)系；Kq為剛度矩陣中與設(shè)計(jì)參數(shù)無(wú)關(guān)的矩陣；Q為剛度矩陣中設(shè)計(jì)參數(shù)能夠分離的項(xiàng)數(shù)，與求解的問(wèn)題有關(guān)。

基于這種分解，縮減基法可以進(jìn)行快速有效的實(shí)時(shí)計(jì)算。將式(8)代入式(6)，可寫成

(9)

(10)

1.2 縮減基法的參數(shù)分離

縮減基法將線彈性算子分離成與設(shè)計(jì)參數(shù)有關(guān)的部分和與設(shè)計(jì)參數(shù)無(wú)關(guān)的部分后，計(jì)算過(guò)程可分為離線階段和在線階段，但將設(shè)計(jì)參數(shù)從線彈性算子中分離并不容易實(shí)現(xiàn)?；诂F(xiàn)有的研究基礎(chǔ)和成果，采用ANSYS建模提取相關(guān)信息，對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)與結(jié)構(gòu)線彈性矩陣的關(guān)系進(jìn)行分析研究，通過(guò)計(jì)算得到與設(shè)計(jì)參數(shù)無(wú)關(guān)的線彈性算子。

(11)

(12)

表示Q組設(shè)計(jì)參數(shù)與KN(μi)的關(guān)系式矩陣。

(13)

由式(13)可得到

(14)

2 數(shù)值算例

住宅樓和商住樓多采用框架結(jié)構(gòu)。與磚混結(jié)構(gòu)相比，框架結(jié)構(gòu)在抗拉、抗剪、切抗變形能力上有很大的優(yōu)勢(shì)，有很好的剛度和強(qiáng)度，牢固性比較強(qiáng)，因此能抵抗外界環(huán)境發(fā)生變化所受的作用力(地震力、風(fēng)荷載等)。以多層框架結(jié)構(gòu)為例，取其中的一榀平面框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析, 用梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)澐志W(wǎng)格建立有限元模型，如圖1所示。該模型有540個(gè)單元，521個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)具有3個(gè)自由度，整個(gè)結(jié)構(gòu)共有1 563個(gè)自由度。在第一排架柱作用集中力N1，對(duì)該種荷載情況進(jìn)行分析，如圖2所示?？蚣芙Y(jié)構(gòu)模型的剛度矩陣與梁?jiǎn)卧獜椥阅Ａ縀、截面面積A、截面慣性矩I、長(zhǎng)度l、泊松比ν、厚度h有關(guān)，且橫梁和柱的組合形式也會(huì)引起剛度矩陣的變化。

圖1 平面框架結(jié)構(gòu)的有限元模型

圖2 結(jié)構(gòu)荷載情況

該結(jié)構(gòu)所選用的材料為鋼筋混凝土材料，泊松比為0.2，密度為2 500 kg/m3。本例首先取梁?jiǎn)卧M成的一簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，如圖3所示。利用ANSYS提取圖3結(jié)構(gòu)的剛度矩陣等相關(guān)信息，對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)和剛度矩陣的變化進(jìn)行分析，將設(shè)計(jì)參數(shù)從剛度矩陣中分離出來(lái)。

圖3 梁?jiǎn)卧M成的簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)模型

平面框架結(jié)構(gòu)選取的設(shè)計(jì)參數(shù)變化范圍如下：E=3.0～4.5 GPa，A=0.09～0.36 m2，I=0.24～0.96 m4，l=0.2～0.6 m。整個(gè)計(jì)算過(guò)程分成離線階段和在線階段。

在線階段：選取新設(shè)計(jì)參數(shù)時(shí)，算出σq(μnew)，代入式(10)求得a(μnew)，由式(4)求得應(yīng)用改進(jìn)縮減基法得到的位移解uGRBM(μnew)。

為了驗(yàn)證改進(jìn)縮減基法的計(jì)算精度，任意選取新設(shè)計(jì)參數(shù)如表1所示，采用有限元法求出位移結(jié)果u(μnew)，令s(μnew)=Fu(μnew)；用求逆縮減基法得到位移結(jié)果uGRBM(μnew)，令s′(μnew)=FuGRBM(μnew)。按式(15)計(jì)算并比較計(jì)算精度，μ1～μ8的誤差e分別為0.031、0.062、0.021、0.035、0.029、0.012、0.078、0.010。

表1 設(shè)計(jì)參數(shù)選取

(15)

為更明確地檢驗(yàn)改進(jìn)縮減基法的計(jì)算精度，以有限元結(jié)果為精確解，將改進(jìn)縮減基法各節(jié)點(diǎn)位移結(jié)果按照最小二乘法計(jì)算相對(duì)誤差ε，μ1～μ8的相對(duì)誤差分別為0.043%、0.057%、0.039%、0.063%、0.031%、0.018%、0.059%、0.026%。

設(shè)計(jì)參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，該算例用有限元方法做一次運(yùn)算需72s，用改進(jìn)縮減基法計(jì)算，在在線階段計(jì)算一次需要0.009 1 s，計(jì)算效率明顯提升。在結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)和優(yōu)化中，需要對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行多次分析，采用改進(jìn)縮減基法優(yōu)勢(shì)明顯。

3 結(jié) 語(yǔ)

本文對(duì)縮減基法進(jìn)行了改進(jìn)，經(jīng)過(guò)分析所求結(jié)構(gòu)單元組成的簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)，得出該單元類型設(shè)計(jì)參數(shù)和線彈性算子的關(guān)系式。將多組設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)應(yīng)的位移結(jié)果組成減基矩陣，采用改進(jìn)縮減基法求出與設(shè)計(jì)參數(shù)無(wú)關(guān)的項(xiàng)。取新的設(shè)計(jì)參數(shù)時(shí)，可以實(shí)時(shí)得到與之對(duì)應(yīng)的線彈性算子，并計(jì)算出結(jié)果。以一多層平面框架結(jié)構(gòu)為例，驗(yàn)證了計(jì)算結(jié)果的精度。與之前的縮減基法相比，改進(jìn)的縮減基法無(wú)需預(yù)先知道設(shè)計(jì)參數(shù)與線彈性算子的分離關(guān)系，以相同單元類型的簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)為對(duì)象算出與設(shè)計(jì)參數(shù)無(wú)關(guān)的矩陣，為將縮減基法用到復(fù)雜結(jié)構(gòu)提供了思路，對(duì)縮減基法的應(yīng)用有重要的價(jià)值。