陳慶發(fā)，劉恩江，秦世康

(廣西大學資源環(huán)境與材料學院，廣西南寧，530004)

對于由礦石顆粒組成的散體介質(zhì)體系，目前的研究大多從宏觀尺度描述其流動規(guī)律，但未從細觀尺度對散體內(nèi)部復雜的力學特性進行探討[1?3]。而散體介質(zhì)具有獨特的多尺度結構，即單個顆粒(微觀尺度)、接觸力沿接觸路徑傳遞所形成的力鏈(細觀尺度)以及散體介質(zhì)整體(宏觀尺度)[4?5]。隨著對散體介質(zhì)研究的深入，多尺度研究法受到了人們的廣泛關注。在孫其誠等[6]提出的“顆粒?力鏈?散體介質(zhì)”多尺度結構研究框架中，力鏈是連接單個顆粒與散體介質(zhì)整體的橋梁，力鏈網(wǎng)絡的復雜響應決定了散體介質(zhì)體系的宏觀行為。因此，開展放礦過程中散體介質(zhì)體系內(nèi)部力鏈演化特征研究具有重要意義。

近年來，學者們針對力鏈受力特性及其演化特征開展了大量研究。在散粒體宏觀形變方面，安令石[7]基于有限差分?離散元耦合原理，建立凍土路基耦合計算模型，分析了路基土顆粒間力鏈演化規(guī)律及平均配位數(shù)的變化規(guī)律，從細觀角度揭示了路基的變形機理；羅滔等[8]以尖角堆石顆粒材料為研究對象，借助于力鏈網(wǎng)絡形態(tài)演化規(guī)律，分析了試樣先縮減后剪脹的宏觀特性。在散體介質(zhì)力學行為方面，TORDESILLAS 等[9]從力鏈演化和運動學的角度研究了應變局部化過程中非共軸性的微觀力學起源，探討了單剪試驗和雙軸試驗中試樣宏觀力學特性的關系；胡超[10]通過堆石體雙軸壓縮多尺度數(shù)值試驗，在細觀層面研究了堆石顆粒體系的力學特性；ESTEP等[11?12]采用光彈性技術和數(shù)字圖像處理方法分別研究了密集顆粒流中顆粒的位移與運動方向、力鏈的動態(tài)力學行為對顆粒流系統(tǒng)基底的影響，并對力鏈中的損傷點進行了預測。

上述研究表明，散體介質(zhì)宏觀行為與力鏈存在密不可分的關系。因此，本文構建多漏斗放礦數(shù)值試驗模型，并對多漏斗放礦過程中散體介質(zhì)體系內(nèi)部力鏈數(shù)量、長度、強度、方向等演化特征進行量化研究，以期揭示散體介質(zhì)體系細觀層面的力學特性，加強對放礦過程中礦石流動規(guī)律的認知。

1 數(shù)值試驗模型的構建

1.1 數(shù)值試驗模型尺寸參數(shù)的選擇

考慮模型的可實現(xiàn)性及試驗的便利性，結合文獻[13]中關于試驗模型相似常數(shù)的取值，確定物理試驗模型與實際礦塊原型的相似比為1∶25[13?14]。

物理試驗模型與礦塊結構原型參數(shù)取值對比如表1所示。

表1 物理試驗模型與礦塊結構原型參數(shù)取值對比Table 1 Comparison of parameter values between physical test model and ore block structure prototype

本文數(shù)值試驗模型與文獻[14]中物理試驗模型參數(shù)保持一致。

1.2 礦石散體參數(shù)的測定

有關礦石顆粒密度、塊度、內(nèi)摩擦角和黏聚力等物理力學參數(shù)的測定詳見文獻[14]，下面對部分參數(shù)的測定過程進行介紹。

1.2.1 自然安息角的測定

自然安息角φz是指自然濕度條件下，散體介質(zhì)在某一特定條件下堆積，其自然靜止坡面與水平面之間的夾角。安息角可用無底圓筒法進行測量，計算公式為

式中：φz為自然安息角；hzd為椎體高度；dzd為椎體底面直徑。

散體介質(zhì)安息角測定實驗結果如表2所示。

表2 安息角測定實驗結果Table 2 Experimental results of repose angle measurement

由表2 可知，多次測定后，安息角均值為35.79°。因此，數(shù)值試驗模型中的礦石散體的自然安息角設定為35.79°。

1.2.2 礦石塊度的測定

松散礦石的塊度U是指松散礦石中不同尺寸礦石質(zhì)量分數(shù)，其計算公式為

式中：mj為某一粒級石樣的質(zhì)量；mz為石樣總質(zhì)量。

試驗中，礦石塊度的測定采用篩分法。首先，將石塊按粒徑劃分為不同等級，并選取4個相對應尺寸的篩格，孔徑分別為2，4，7 和12 mm；然后，隨機選取石樣，用四分法對石樣進行縮分，將縮分后的石樣用選取的篩格進行篩分，篩分時必須按規(guī)定的給料制度給料并保證一定的震蕩時間，確保篩分結果具有可比性；最后，在篩分完成后，稱取篩出的某一級塊度范圍內(nèi)的石子質(zhì)量，計算出某一塊度石子的質(zhì)量分數(shù)。

礦石塊度測定實驗結果如表3所示。

表3 礦石塊度測定實驗結果Table 3 Experimental data of ore block size determination

1.3 接觸模型及其細觀參數(shù)的選擇

以礦石散體物理力學參數(shù)測定結果為基礎，選擇合理接觸模型并設定其細觀參數(shù)。

礦石顆粒是由大量形態(tài)不同的塊體組成，若采用隨機分布的方法生成礦石顆粒，則在后續(xù)分析過程中會頻繁出現(xiàn)漏斗堵塞的情況，影響最終的統(tǒng)計結果。WENSRICH 等[15]建議通過調(diào)整抗轉(zhuǎn)動摩擦因數(shù)來反映顆粒形態(tài)對散體介質(zhì)體系流動的影響。在PFC 軟件所提供的接觸模型中，抗?jié)L動線性接觸模型增加了抗?jié)L動系數(shù)，會降低顆粒的轉(zhuǎn)動能力，顆粒間接觸與非均勻塊體間的接觸相似[16]。因此，本文選取抗?jié)L動線性接觸模型模擬礦石顆粒之間的接觸，以抵消礦石顆粒形態(tài)對礦巖散體流動的影響，并根據(jù)表3中的礦石塊度測定結果，選取顆粒質(zhì)量分數(shù)最大的粒度范圍作為參考，將數(shù)值試驗模型中礦石顆粒半徑設置為8 mm。

抗?jié)L動線性接觸模型細觀參數(shù)主要包括顆粒的有效模量、法向剛度比和切向剛度比、摩擦因數(shù)、抗轉(zhuǎn)動系數(shù)。其中，有效模量與巖石顆粒的彈性模量有關，法向剛度比和切向剛度比與巖石的泊松比有關，這2個參數(shù)可通過相關的力學試驗獲得，其余參數(shù)則可通過顆粒的自然安息角進行標定[17]。本文在安息角測定結果的基礎上，通過礦石顆粒堆積數(shù)值試驗，并結合數(shù)值試驗模型的實際情況，設定模型中的摩擦因數(shù)及抗轉(zhuǎn)動系數(shù)。

1.4 模型的構建

多漏斗放礦數(shù)值試驗模型的構建過程如下。

1)墻體生成。利用“wall creat”命令構建1個長為168 cm，寬為128 cm，放礦口間距為24 cm的多漏斗放礦數(shù)值試驗模型。整個模型的邊壁由23面墻組成，其中，底部由7 個尺寸相同(從左到右依次編號為1～7 號)的放礦口組成，放礦口側壁與水平面呈45°夾角，所有放礦口共計21面墻；剩余2面墻代表數(shù)值試驗模型的邊壁。

2)初始顆粒的生成。通過“ball generate”命令在墻體模型y軸正方向0.08～128.00 cm 范圍內(nèi)生成若干礦石顆粒，這些顆粒的重力加速度g=9.81 m/s2，其細觀力學參數(shù)如表4 所示。為使散體介質(zhì)體系內(nèi)的顆粒盡快充填密實，初始顆粒的接觸模型設置為線性接觸模型，顆粒之間的摩擦因數(shù)取0.3；同時，為方便觀察放礦過程中礦石顆粒的流動現(xiàn)象，待模型平衡后，以10 cm為間隔將礦石顆粒標記為不同的顏色。

表4 墻體及初始礦石顆粒力學參數(shù)Table 4 Mechanical parameters of wall and initial ore particles

3)真實顆粒的生成。模型平衡后，將顆粒接觸模型由線性接觸模型變?yōu)榭節(jié)L動線性接觸模型，此時散體介質(zhì)體系內(nèi)顆粒的細觀力學計算參數(shù)如表5 所示。打開放礦口后，礦石顆粒從放礦口放出，礦石流動隨即開始。放礦過程中，每計算若干時步，關閉放礦口，待模型在自重作用下解算平衡后，再次打開放礦口，進入下一循環(huán)計算過程，直至放礦結束。

表5 真實顆粒的力學參數(shù)Table 5 Mechanical parameters of real particles

構建的放礦數(shù)值試驗模型如圖1所示。

圖1 放礦數(shù)值試驗模型Fig.1 Numerical model of ore drawing

2 力鏈的識別

力鏈的形成需滿足3 個條件[18?20]：1)顆粒串內(nèi)相互接觸顆粒之間的接觸為強接觸；2)必須由3個及3個以上相互接觸的顆粒組成顆粒串；3)顆粒串內(nèi)相鄰接觸之間的夾角應小于某個角度α。

根據(jù)以上3 個成鏈條件，設置力鏈識別判據(jù)如下。

2.1 強接觸判據(jù)

強接觸為接觸力大于或等于平均接觸力的接觸，散體介質(zhì)體系內(nèi)平均接觸力-F為

式中：N為接觸總數(shù)，F(xiàn)i為接觸編號為i的接觸力。

因此，強接觸判據(jù)為：Fˉ≤Fi。

2.2 力鏈長度判據(jù)

顆粒串必須由3個及3個以上相互接觸顆粒所組成，即該顆粒串中接觸的個數(shù)必須大于或等于2，故力鏈的長度L表達式為

式中：n為1條力鏈上所含接觸的個數(shù)。

因此，力鏈長度判據(jù)為：L≥3。

2.3 接觸夾角判據(jù)

在離散元模型中，接觸為2個顆粒中心點之間的連線，假如顆粒I，Ⅱ和Ⅲ之間存在2個接觸，顆粒I和Ⅱ之間的接觸為AB，其法向量為(xAB，yAB)，顆粒Ⅱ和Ⅲ之間的接觸為BC，其法向量為(xBC，yBC)，那么接觸AB與接觸BC之間的夾角θ為

顆粒成鏈的角度閾值α為

式中：-Z為模型內(nèi)顆粒的平均配位數(shù)。

因此，顆粒成鏈的接觸夾角判據(jù)為：α≥θ。

根據(jù)力鏈識別判據(jù)，編寫力鏈識別程序，實現(xiàn)力鏈的自動檢索及識別。力鏈自動檢索及識別的具體流程如下：首先，利用PFC2D導出不同放礦節(jié)點條件下散體介質(zhì)體系內(nèi)部顆粒位置、半徑及接觸位置、接觸力等信息；然后，為實現(xiàn)條件1)中所提要求，篩選出體系中的強接觸；最后，依據(jù)條件2)與條件3)，利用Matlab 軟件編制力鏈識別程序，實現(xiàn)對力鏈的檢索及識別。

3 力鏈演化特征

3.1 力鏈數(shù)量及長度變化

基于放礦數(shù)值試驗模型，利用PFC2D輸出的不同放礦節(jié)點條件下散體介質(zhì)體系內(nèi)部接觸力信息，對所有接觸力中的強接觸進行篩選，并在篩選出的強接觸基礎上，利用力鏈識別程序?qū)崿F(xiàn)對力鏈接觸的篩選。不同放礦節(jié)點條件下散體介質(zhì)體系內(nèi)部力鏈數(shù)量統(tǒng)計結果如圖2所示。

圖2 多漏斗放礦過程中散體介質(zhì)體系內(nèi)部力鏈數(shù)量變化規(guī)律Fig.2 Variation law of internal force chain of bulk medium system during multi-funnel drawing

由圖2可知，多漏斗放礦過程中，體系內(nèi)部力鏈數(shù)量由第1次放礦結束時的503條逐漸減少至放礦結束時的69條，總體上呈指數(shù)形式減少。同時，根據(jù)力鏈形成所需具備的3個條件可知，即便是強接觸，也并不能全部參與力鏈的組成。

多漏斗放礦過程中強接觸與力鏈接觸占比如圖3 所示。由圖3 可以看出，多漏斗放礦過程中，大部分接觸為弱接觸，強接觸占比較小，保持在37%左右，變化幅度不超過3%；而力鏈接觸占比僅14%左右，變化幅度也不超過3%。

圖3 多漏斗放礦過程中強接觸與力鏈接觸占比Fig.3 Proportions of strong contact and force chain contact during multi-funnel drawing

綜合圖2 和圖3 可知，在多漏斗放礦過程中，隨著礦石顆粒的持續(xù)放出，體系內(nèi)部礦石顆粒逐漸減少，接觸總數(shù)也在不斷減少，但體系內(nèi)部力鏈不斷發(fā)生斷裂重組，并在斷裂重組過程中達到新的平衡，且由于強接觸占比與力鏈接觸占比均保持相對穩(wěn)定，使得力鏈數(shù)量隨放礦次數(shù)呈指數(shù)形式減少。

基于對力鏈數(shù)量及強接觸、力鏈接觸占比的研究，將不同放礦節(jié)點條件下體系內(nèi)部力鏈數(shù)進行歸一化處理，進一步對不同放礦節(jié)點條件下體系內(nèi)部力鏈長度的分布概率進行統(tǒng)計，結果如圖4所示。

圖4 多漏斗放礦過程中力鏈長度概率分布Fig.4 Probability distribution of force chain length in multi-funnel drawing process

通過圖4可知，不同放礦節(jié)點條件下，力鏈長度的分布概率表現(xiàn)出相似的變化規(guī)律，即力鏈長度越長，其形成的概率越小，兩者呈指數(shù)關系遞減(需要注意的是，存在力鏈長度大于15 的情況，但在力鏈長度統(tǒng)計過程中，長度大于15 的力鏈數(shù)量極少，不會對其變化規(guī)律產(chǎn)生影響)。對多漏斗放礦過程中散體介質(zhì)體系內(nèi)部力鏈長度概率分布進行擬合：

式中：a1=15.71，b1=0.93，c1=0.04。擬合相關系數(shù)R2=0.998，說明擬合效果好。

利用式(7)對不同放礦節(jié)點條件下力鏈長度概率分布進行擬合時，擬合相關系數(shù)均達到0.99 以上，說明擬合效果好。對比發(fā)現(xiàn)，本文得到的不同放礦節(jié)點條件下力鏈長度概率分布規(guī)律與文獻[21?22]中所得規(guī)律一致。

根據(jù)圖4中力鏈長度概率分布的規(guī)律，將長度等于3的力鏈視為短力鏈，長度為4～6的力鏈視為中等長度力鏈，長度大于6的力鏈視為長力鏈，統(tǒng)計不同放礦節(jié)點條件下3種力鏈的概率分布，如圖5所示。

圖5 多漏斗放礦過程中3種類型力鏈概率分布Fig.5 Probability distribution of three types of force chains during multi-funnel drawing

由圖5 可知：在多漏斗放礦過程中，3 種力鏈的整體分布規(guī)律是一致的，即不同放礦節(jié)點下，短力鏈出現(xiàn)概率最大，中等長度力鏈出現(xiàn)概率次之，長力鏈出現(xiàn)概率最小。但3種力鏈的分布也有一定的差別：對于短力鏈和中等長度力鏈而言，在不同放礦節(jié)點中總是呈現(xiàn)出相反的變化規(guī)律即短力鏈出現(xiàn)概率增加時，中等長度力鏈出現(xiàn)概率就會減小，且短力鏈與中等長度力鏈出現(xiàn)概率波動幅度較大；而對于長力鏈，從放礦開始直至第12 次放礦過程結束，其分布概率保持相對穩(wěn)定，但從第13 次放礦開始至整個放礦過程結束，其分布概率逐漸減小為0。

在放礦前中期，散體介質(zhì)體系內(nèi)部力鏈發(fā)生斷裂重組，導致體系內(nèi)部一方面不斷形成長力鏈，另一方面，長力鏈斷裂、彎曲形成中等長度力鏈及短力鏈；隨著放礦的進行，體系內(nèi)部不斷重復發(fā)生力鏈斷裂重組，使得3種力鏈的分布情況保持基本不變；至放礦后期，受體系內(nèi)礦石顆粒數(shù)量的影響，形成長力鏈的概率變小，但長力鏈仍斷裂、彎曲形成中等長度力鏈及短力鏈，使得力鏈分布呈現(xiàn)出以短力鏈和中等長度力鏈為主，長力鏈逐漸減少的現(xiàn)象。

3.2 力鏈強度演變過程

力鏈強度為某條力鏈中所有法向接觸力的均值，其表達式為

式中：f為力鏈強度。

在多漏斗放礦過程中，不同放礦節(jié)點條件下力鏈強度演變規(guī)律如圖6所示。

圖6 多漏斗放礦過程力鏈強度演化規(guī)律Fig.6 Strength evolution law of force chain during multifunnel drawing

從圖6可知，在多漏斗放礦過程中，隨著礦石顆粒放出，力鏈強度呈指數(shù)形式減小，這是因為：在放礦初期，受到礦石顆粒自身重力影響，顆粒之間接觸緊密，因此力鏈強度較大，而隨著礦石顆粒放出，礦房內(nèi)的顆粒逐漸減少，顆粒之間接觸的緊密程度有所下降，顆粒與顆粒之間的接觸力逐漸變小，力鏈強度也逐漸減小。

根據(jù)不同放礦節(jié)點條件下散體介質(zhì)體系內(nèi)部力鏈強度的變化規(guī)律，對體系內(nèi)部力鏈強度的概率分布進行統(tǒng)計，結果如圖7 所示。由圖7 可知，在多漏斗放礦過程中，不同放礦節(jié)點條件下力鏈強度的分布概率均先呈指數(shù)形式上升，再呈指數(shù)形式下降，并在0.65處出現(xiàn)峰值；同時，不同放礦節(jié)點條件下力鏈強度概率分布規(guī)律相似，這表明在由礦石顆粒組成的散體介質(zhì)體系內(nèi)部，力鏈網(wǎng)絡大部分是由弱力鏈組成，強力鏈只占力鏈網(wǎng)絡的小部分，強力鏈和弱力鏈相互交織構成一個完整力鏈網(wǎng)絡，共同維持著整個散體介質(zhì)體系的穩(wěn)定。

圖7 不同放礦節(jié)點條件下力鏈強度概率分布Fig.7 Probability distribution of force chain strength under different ore drawing node conditions

對不同放礦節(jié)點條件下散體介質(zhì)體系內(nèi)部的力鏈強度分布概率進行擬合：

式中：a2=0.019，b2=0.616，c2=0.756，d2=0.253。

利用式(9)對力鏈強度分布進行擬合后發(fā)現(xiàn)，擬合相關系數(shù)達到0.99以上，擬合程度較好。

3.3 力鏈方向分布變化

為了解放礦過程中散體介質(zhì)體系內(nèi)部力鏈方向分布的變化規(guī)律，將360°等分為36 個區(qū)間，并對每個區(qū)間內(nèi)力鏈數(shù)量及強度進行統(tǒng)計，求出每個區(qū)間內(nèi)力鏈的平均強度，由此可得不同放礦節(jié)點條件下力鏈方向分布，如圖8 所示(圖中僅選擇具有代表性的力鏈方向)。

圖8 多漏斗放礦過程中力鏈方向演化規(guī)律Fig.8 Evolution law of force chain direction during multifunnel drawing

為定量描述散體介質(zhì)體系內(nèi)部力鏈方向的變化規(guī)律，結合ROTHENBURG等[23]的研究成果，對散體介質(zhì)體系內(nèi)部力鏈強度與方向的統(tǒng)計結果進行擬合：

式中：fn(θ)為力鏈強度的分布函數(shù)；f0為力鏈平均強度；βn為傅里葉級數(shù)，表示力鏈方向分布的各向異性程度；θn為力鏈的主方向角；ω為頻率。

通過對力鏈方向進行擬合發(fā)現(xiàn)，式(10)能較好地反映對應放礦節(jié)點力鏈方向的波峰，總體擬合效果較好。不同放礦節(jié)點條件下參數(shù)擬合結果如表6所示。

綜合圖8及表6可知，在第12次放礦前，礦房內(nèi)礦巖顆粒呈整體下移的狀態(tài)，體系自重是力鏈方向角的主要影響因素。因此，力鏈主要沿鉛垂方向分布，故散體介質(zhì)體系內(nèi)部力鏈分布主方向角θn始終保持在90°左右，力鏈方向分布形態(tài)呈花生狀；對于各向異性程度表征參數(shù)βn而言，由于除鉛垂方向外，其余各方向的力鏈逐漸減少，導致第12 次放礦結束前各向異性程度表征參數(shù)βn逐漸增大。而自第13次放礦開始，體系內(nèi)部顆粒減少，放礦口側壁逐漸成為影響力鏈方向分布的主要因素，使得與水平方向呈45°的力鏈逐漸增多，體系內(nèi)部力鏈分布主方向角θn由84.40°變化為30.16°，力鏈方向分布形態(tài)呈花瓣狀；由于與水平方向呈±45°的力鏈逐漸增多，使得各向異性程度表征參數(shù)βn逐漸減小。

表6 不同放礦節(jié)點條件下參數(shù)擬合結果Table 6 Fitting results of parameters under different drawing nodes

對于體系內(nèi)部力鏈平均長度f0而言，因為其經(jīng)過歸一化處理，所以一直保持不變。

4 結論

1)在多漏斗放礦過程中，力鏈數(shù)量總體上呈指數(shù)形式減少，但不同放礦節(jié)點條件下力鏈的組成情況相同，即短力鏈占比最大，中等長度力鏈占比次之，長力鏈占比最??；不同放礦節(jié)點條件下力鏈長度的概率分布也呈指數(shù)形式減少。

2) 在放礦過程中，力鏈強度波動范圍較大，總體上隨放礦次數(shù)增加而呈指數(shù)形式減少；不同放礦節(jié)點條件下力鏈強度的概率分布規(guī)律也具有一致性，即力鏈強度的分布概率均先呈指數(shù)形式上升，后呈指數(shù)形式下降，并在0.65-F處達到峰值。

3)在放礦前中期，散體介質(zhì)體系內(nèi)部力鏈分布主方向角θn始終保持在90°左右，各向異性程度表征參數(shù)βn逐漸增大；在放礦后期，與水平方向呈45°的力鏈逐漸增多，體系內(nèi)部力鏈分布主方向角θn由84.40°變化為30.16°，各向異性程度表征參數(shù)βn逐漸減小。