太原工業(yè)學(xué)院理學(xué)系 連高社

前言

中國(guó)是一個(gè)農(nóng)業(yè)大國(guó)，而山西省的農(nóng)業(yè)并不十分發(fā)達(dá)，“三農(nóng)” 問(wèn)題一直都是中國(guó)關(guān)注的重點(diǎn)問(wèn)題，就其本質(zhì)上而言，“三農(nóng)”問(wèn)題的核心就是增收，提高農(nóng)民的可支配收入。農(nóng)村居民人均可支配收入的高低是評(píng)判農(nóng)村經(jīng)濟(jì)發(fā)展快慢和農(nóng)村居民生活水平是否提高的重要依據(jù)。因此本文的重點(diǎn)就是預(yù)測(cè)山西省農(nóng)村居民人均可支配收入。

1 指數(shù)函數(shù)模型

人均可支配收入，是指平均每個(gè)人可以用來(lái)自由支配的收入，一般來(lái)說(shuō)，可支配收入常常被用來(lái)衡量一個(gè)地區(qū)人們的生活水平，二者之間成正比，可支配收入越高，就意味著當(dāng)?shù)厣钏皆礁撸虼瞬捎棉r(nóng)村人均可支配收入作為農(nóng)村居民收入的指標(biāo)進(jìn)行研究。設(shè)初始數(shù)據(jù)變量為PCDI（人均可支配收入），用Eviews8.0 做出PCDI 的時(shí)序圖，可以看到，人均可支配收入隨著時(shí)間的推移快速增長(zhǎng)，呈現(xiàn)出指數(shù)增長(zhǎng)的形式，因此現(xiàn)在以PCDI作為因變量，時(shí)間t 作為自變量，構(gòu)造人均可支配收入關(guān)于時(shí)間的指數(shù)函數(shù)模型[1]。

首先重新定義時(shí)間t 的取值范圍為1~19 （對(duì)應(yīng)原來(lái)的2000~2018 年），將因變量人均可支配收入PCDI 取自然對(duì)數(shù)得lnpcdi，先在Eviews8.0 軟件中，采用最小二乘法擬合出lnpcdi 與t 的線性回歸方程，最后再把線性回歸方程進(jìn)行還原，得到指數(shù)模型表達(dá)式。

由上述參數(shù)估計(jì)結(jié)果可知，給定顯著性水平0.05，變量t 與常數(shù)項(xiàng)前系數(shù)對(duì)應(yīng)的P 值均小于顯著性水平，故拒絕原假設(shè)，認(rèn)為變量系數(shù)均有效；模型的擬合優(yōu)度R2=0.994665，表明模型擬合效果非常好。

將上述線性模型還原為指數(shù)模型，表達(dá)式為：

2 ARIMA 模型

ARIMA 模型是通過(guò)差分的方式把所要研究的時(shí)間序列模型轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)的，然后再進(jìn)行建模的，所以ARIMA（p，d，q）稱(chēng)為差分自回歸移動(dòng)平均模型，其中的d 就是在做平穩(wěn)化處理時(shí)的差分次數(shù)。ARIMA 模型最后是檢驗(yàn)殘差的，可以很好地減小預(yù)測(cè)的誤差，但是ARIMA 模型本身認(rèn)為所要研究的時(shí)間序列從始至終的趨勢(shì)是一致的，所以它在預(yù)測(cè)時(shí)，不能分析到有意外的發(fā)生[2]。

2.1 數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性處理和白噪聲檢驗(yàn)

從數(shù)據(jù)和PCDI 的時(shí)序圖可以看出，變量PCDI 具有明顯的上升趨勢(shì)，因此可以基本認(rèn)為變量PCDI 不是平穩(wěn)時(shí)間序列，需要對(duì)變量PCDI 進(jìn)行平穩(wěn)化處理。對(duì)變量PCDI 直接進(jìn)行一次差分，得到變量DPCDI，時(shí)序圖如圖1 所示。

圖1 變量DPCDI 時(shí)序圖

由圖1 可知，變量DPCDI 不具有明顯的趨勢(shì)性與周期性，因此可初步認(rèn)為變量DPCDI 具有一定的平穩(wěn)性。

對(duì)變量PCDI、DLPCDI 進(jìn)行ADF 檢驗(yàn)，變量PCDI 存在單位根，變量PCDI 為非平穩(wěn)時(shí)間序列。變量DPCDI 沒(méi)有單位根，具有平穩(wěn)性。變量DPCDI 是非白噪聲的。

2.2 模型識(shí)別與參數(shù)估計(jì)

觀察自相關(guān)圖與偏自相關(guān)圖，變量DPCDI 自滯后1 階后快速落入隨機(jī)區(qū)間內(nèi)。為尋找合適的模型估計(jì)參數(shù)，采用窮舉法，分別建立帶有常數(shù)項(xiàng)的ARI(1,1)、ARI(2,1)以及ARIMA(1,1,1)等模型。

建模后，綜合考慮AIC 準(zhǔn)則與SIC 準(zhǔn)則，并結(jié)合模型系數(shù)的有效性，最終選擇ARI(1,1)模型作為最終的預(yù)測(cè)模型，ARI（1,1）模型的擬合優(yōu)度為0.565901，表明模型擬合效果良好。具體的模型表達(dá)式與參數(shù)估計(jì)如公式3 所示：

給定顯著性水平為0.05，參數(shù)AR(1)與常數(shù)項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)的P值均小于顯著性水平，說(shuō)明模型系數(shù)顯著不為0。

2.3 模型檢驗(yàn)

對(duì)模型的殘差進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)，殘差的各個(gè)Q 統(tǒng)計(jì)量所對(duì)應(yīng)的P 值都遠(yuǎn)大于0.05，可以認(rèn)為模型的殘差是白噪聲序列。所以認(rèn)為AIR(1,1)模型是可以進(jìn)行建模和預(yù)測(cè)的。

2.4 模型預(yù)測(cè)

利用ARI(1,1)模型使用Eviews 進(jìn)行預(yù)測(cè)，對(duì)2000~2018 年數(shù)據(jù)采用靜態(tài)預(yù)測(cè)法擬合，對(duì)2019~2023 年的數(shù)據(jù)采用動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)法預(yù)測(cè)。

3 灰色預(yù)測(cè)模型

著名學(xué)者鄧聚龍教授創(chuàng)建了灰色系統(tǒng)理論[3]，灰色模型在數(shù)據(jù)的處理和對(duì)未來(lái)趨勢(shì)的預(yù)測(cè)等方面都很有獨(dú)到性。

通過(guò)Matlab 計(jì)算得到如下結(jié)果：a（發(fā)展系數(shù))=-0.1022，b（灰作用量）=1896.44143535264。

所以模型表達(dá)式為

此外，用MATLAB 代碼求出的Q=0.0541，C=0.0969，P=1，用求出的三個(gè)指標(biāo)對(duì)照精度表，進(jìn)行精度對(duì)比，可得：

從表1 可以看出，相對(duì)誤差Q 合格，均方差比值C 和小概率誤差P 均是好，說(shuō)明該模型擬合較好，可以進(jìn)行建模和預(yù)測(cè)。

表1 灰色模型檢驗(yàn)指標(biāo)精度表

4 組合預(yù)測(cè)模型

組合預(yù)測(cè)的思想就是依據(jù)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)建立一個(gè)函數(shù)，然后通過(guò)已知的信息求出這個(gè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極值，這樣就可以得到每一種預(yù)測(cè)模型的權(quán)重系數(shù)，就得到了最優(yōu)的組合預(yù)測(cè)模型[4]。

將第t 期實(shí)際值、預(yù)測(cè)值分別記為y1、fit，則預(yù)測(cè)的誤差為：

求解條件極值：

其中，Wn=(W1,W2,...,Wn)是組合權(quán)重向量，En=(Cij)n×n是預(yù)測(cè)誤差信息矩陣，

對(duì)于本文所要研究的3 種單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型，設(shè)f1為指數(shù)函數(shù)模型，f2為灰色GM(1,1)預(yù)測(cè)模型，f3為ARMA 預(yù)測(cè)模型。那么可以通過(guò)Excel 求出這三種單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型的信息誤差矩陣為：

用MATLAB 編程計(jì)算，可得到組合預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)權(quán)重向量為：w=(-0.024252428 0.279343498 0.74490893)T，所以建立的組合預(yù)測(cè)模型表達(dá)式為：

5 模型效果評(píng)價(jià)與預(yù)測(cè)

從表2 可以看出，組合預(yù)測(cè)模型的各種誤差指標(biāo)都小于其他的單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型，因此可以認(rèn)為組合預(yù)測(cè)模型的誤差更小，預(yù)測(cè)更準(zhǔn)確，可以用組合預(yù)測(cè)模型來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)，現(xiàn)在利用該模型對(duì)山西省農(nóng)村居民2019~2023 年的可支配收入進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果如表3 所示：

表2 四種模型預(yù)測(cè)效果評(píng)價(jià)指標(biāo)比較

表3 四種模型對(duì)2019~2023 年的預(yù)測(cè)值

最終預(yù)測(cè)出2019~2023 年的山西省農(nóng)村居民人均可支配收入分別為：10750 元，11521 元，12334 元，13193 元，14103 元，每年的增長(zhǎng)率分別為：7.17%，7.06%，6.96%，6.90%，可以看出山西省農(nóng)村居民人均可支配收入每年都在穩(wěn)定增長(zhǎng)，而且增長(zhǎng)率較平穩(wěn)。