劉 雷，林 志，彭再云，王衍程

(重慶交通大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，重慶 400074)

0 引 言

一般認為，1944年Morgenstern等[1]書的出版，標志著系統(tǒng)化對策論的出現(xiàn)，他們主要研究了矩陣對策與合作對策。此后，在1950年[2]與1951年[3]，Nash在其基礎上相繼發(fā)表了關于非合作對策的兩篇重要文章，引入了非合作對策均衡點的概念(即Nash均衡點)，從而完善了現(xiàn)代非合作對策理論。其中，很多學者圍繞Nash均衡點的存在性問題進行了大量研究，也取得了很多成果。經(jīng)典對策問題的支付映射是單值的(一個數(shù)或一個向量)[4-6]，然而，受客觀條件和一些不確定因素的影響，要精確計算出其對應值很困難，甚至不可能，通常只能得到這個值的大概范圍。此時，相應對策問題的支付映射就變成了一個集值映射。因此，研究帶有集值支付映射的對策問題是非常必要且有實際意義的。

在此背景下，文獻[7]在支付映射為集值的條件下，討論了對策系統(tǒng)的Loose Nash均衡點的存在性；文獻[8]在Loose Nash均衡點的基礎上，重新刻畫了支付映射為集值時對策系統(tǒng)Nash均衡點的定義，并證明了其存在性，但是其均不帶約束條件，實際應用時具有一定的局限性，且均未討論其均衡點的穩(wěn)定性。

良定性(Well-posedness)是穩(wěn)定性理論和數(shù)值分析中的一個重要概念。1966年，Tykhonov[9]在近似解序列的基礎上提出了無約束優(yōu)化問題良定性的概念；在同一年，Levitin等[10]將Tykhonov定義的良定性推廣到了帶約束的優(yōu)化問題中，人們分別稱其為Tykhonov良定性和Levitin-Polyak良定性(簡稱為LP良定性)。近年來，有關帶約束優(yōu)化問題的LP良定性的研究愈加熱門[11-14]，但尚未有關于集值映射Nash均衡點的良定性分析。

本文將文獻[8]中無約束集值映射的Nash均衡點，推廣到了帶約束的廣義集值映射Nash均衡點，并證明了其存在性。它以通常的Nash均衡點[4-6]及集值映射的Loose Nash均衡點[7]為特例，應用更加廣泛。此外，通過定義LP近似解序列，證明了LP良定性的充分和必要條件，并在此基礎上，得到了廣義集值映射Nash均衡點的LP良定性結果。

1 預備知識

定義1 設Y是Hausdorff拓撲線性空間，C?Y是Y中的一個錐，C為凸錐，當且僅當C+C=C；C為尖錐，當且僅當C∩C={θ}，其中θ是Y中的零元。

定義2設Y是Hausdorff拓撲線性空間，對集合A,B?Y，數(shù)α∈R，記A+B={a+b:a∈A,b∈B}，αA={αa:a∈A}。

在本文中，除非特別說明，均定義如下：指標集I={1,2,…,n}至少有兩個元素，對任何i∈I，Xi，Yi是Hausdorff拓撲線性空間，Ki是Xi中的一個非空緊凸子集，Ci是Yi中的一個閉凸尖錐且intCi≠?，記

其中，積空間X是一個Tychonoff乘積空間，對每個x∈K，記為x=(xi,x-i)。討論下面廣義集值映射Nash均衡問題：設指標集I是局中人集合，對每個局中人i∈I，集值映射Fi:K→2Yi是局中人i的支付映射，集值映射Gi:K-i→2Ki是其可行約束對應映射，尋找

則x*被稱為廣義集值映射對策系統(tǒng)的一個Nash均衡點。一個廣義集值映射的對策系統(tǒng)通常被表示為(SVNGP)：Γ={Ki,Gi,Fi}i∈I。

注3 在不帶約束的情況下，此定義包含Loose Nash均衡點[7]作為一個特例，具體推論可見文獻[8]。同樣可證，當文獻[8]中的錐Ci(x*)為固定錐時，上述定義中的x*也為文獻[8]中的Nash均衡點。

定義3X是一個Hausdorff拓撲空間，Y是一個拓撲向量空間，K是X中的一個非空子集，C是Y中的一個閉凸尖錐，集值映射F:K→2Y。若對Y中零元θ的任何開零域V，存在x在K中的開零域U(x)，使得對任何x′∈U(x)，有F(x′)?F(x)+V+C，則稱F在x處是上半C-連續(xù)的；若F在K的每一點均是上半C-連續(xù)的，則稱F在K上是上半C-連續(xù)的；若-F在K上是上半C-連續(xù)的，則F在K上是上半-C連續(xù)的。

定義4[8]X和Y為Hausdorff拓撲線性空間，K是X中的一個非空子集，對任意x∈K，稱Fi(·,x-i):Ki→2Yi是Ci-廣義擬凹的，如果對任意yi∈2Yi，集合{ui∈Xi：存在zi∈Fi(ui,x-i)，zi∈yi+intCi}是凸集。

定義5[15]X和Y是兩個拓撲空間，K是X中的一個非空子集，F(xiàn):K→Y是K到Y的一個集值映射，若對任意x∈K，F(xiàn)(x)恒為Y的緊子集，則稱F為緊值映射。

引理1[15]X為拓撲空間，Y為正則拓撲空間，K是X中的一個非空子集，F(xiàn):K→2Y，若F在x0∈K處上半連續(xù)且閉值，則對任意xn→x0，對任意yn∈F(xn)且yn→y0，有y0∈F(x0)。

引理2[15]X和Y為拓撲空間，K是X中的一個非空子集，且Y滿足第一可列公理，F(xiàn):K→2Y，若F在x0∈K處下半連續(xù)，則對任意xn→x0，對任意y0∈F(x0)，有n0使對任意n≥n0,存在yn∈F(xn)滿足yn→y0。

(i)Hi是緊值的；

則所有集合Hi(xi)(i∈I,xi∈Ki)有公共元素，即

2 存在性及其證明

定理1 設I是局中人的集合，對每個i∈I，Ki是Xi中的非空緊凸子集，集值映射Fi:Ki→2Yi，集值映射Gi:K-i→2Ki?？紤]廣義集值映射的對策系統(tǒng)Γ，對?i∈I，如果

(i)?x-i∈K-i，Gi(x-i)是上半連續(xù)的且具非空凸緊值；

(ii)?x∈K，F(xiàn)i(·,·)是上半連續(xù)的且具非空緊值；

(iii)?x-i∈K-i，F(xiàn)i(·,x-i)是Ci-廣義擬凹的；

(iv)?x∈K，F(xiàn)i(ui,·)是下半連續(xù)的；

(v)?x∈K，存在yi∈Fi(x)，使(yi-Fi(x))∩(-intCi)=?。

證明對每個i∈I，作映射Hi:Gi(x-i)→2Gi(x-i)如下：

Hi(ui)={xi∈Gi(x-i):存在yi∈Fi(xi,x-i)，使(yi-Fi(ui,x-i))∩(-intCi)=?},?ui∈Gi(x-i)。

即有

因此x0∈Hi(ui)，從而Hi(ui)是閉集當然也是緊集。

(2) 對任意的xi∈Gi(x-i)，由條件(iii)有

{ui∈Gi(x-i):xi?Hi(ui)}=

{ui∈Gi(x-i):?yi∈Fi(xi,x-i)，

?zi∈Fi(ui,x-i),zi∈yi+intCi}

是凸集。

證畢。

注4 當集值映射F簡化為向量值函數(shù)時，應用上述定理1，依然可得到廣義向量對策系統(tǒng)解的存在性結果。

3 良定性及其證明

定義廣義集值映射對策系統(tǒng)(SVNGP)的Nash均衡點的解集為S，其中

S={x=(xi,x-i)∈K:?i∈I,xi∈Gi(x-i)}

且存在yi∈Fi(xi,x-i)，使yi-zi?-intCi,?zi∈Fi(ui,x-i),?ui∈Gi(x-i)。

定義7如果存在唯一的(SVNGP)解x*，且每一個近似解序列都收斂到x*，則稱(SVNGP)為LP良定的；如果(SVNGP)的解集是一個集合且每一個近似解序列都有收斂子序列收斂到解集中的某點，則稱(SVNGP)為廣義LP良定的(簡稱為GLP良定的)。

注5如果(SVNGP)是GLP良定的，那么其解集一定是非空緊值的。

為了刻畫良定性問題，下面引入(SVNGP)近似解集的概念：對ε∈R+，(SVNGP)的LP近似解集為

且存在yi∈Fi(xi,x-i)，使yi-zi+εei?-intCi,?zi∈Fi(ui,x-i),?ui∈Gi(x-i)。

引理4對每個i∈I，若集值映射Gi:K-i→2Ki在K-i上上半連續(xù)且具緊值，序列{εn}?R+，{xn}?K，使得對每個i∈I，有

定理2考慮(SVNGP)Γ={Ki,Gi,Fi}i∈I，對每個i∈I，如果

(i)?x-i∈K-i，Gi(x-i) 是上半連續(xù)的且具非空凸緊值；

(ii)?x∈K，F(xiàn)i(·,·)是連續(xù)的且具有非空緊值；

(iii)?x-i∈K-i，F(xiàn)i(·,x-i)是Ci-廣義擬凹的；

(iv)?x∈K，存在yi∈Fi(x)，使(yi-Fi(x))∩(-intCi)=?。

則意味著存在ε0>0，使得

即意味著存在ε0>0,使得

-intCi0-Ci0∈-intCi0

由定理2及定理3，即可得到(SVNGP)的GLP良定性。

定理4對(SVNGP)，Γ={Ki,Gi,Fi}i∈I，假設定理2的條件(i)-(iv)全部滿足，則(SVNGP)是GLP良定的。

(1)G1(x2)，G2(x1)在[1,2]上均是連續(xù)且具非空凸緊值；

(2)F1(x1,x2)，F(xiàn)2(x1,x2)在[1,2]×[1,2]上均是連續(xù)的；

(3) 對任何x2∈[1,2]，F(xiàn)1(·,x2)是C1-廣義擬凹的，x1∈[1,2]，F(xiàn)2(x1,·)是C2-廣義擬凹的；

(4) ?xi∈[1,2]，i=1,2，存在0∈Fi(x1,x2)，使得(0-Fi(x1,x2))∩(-intCi)=?。

同樣定理2的條件均被滿足，因此可使用定理4得出上述例子的Nash均衡點是GLP良定的。

注6 當集值映射F簡化為向量值函數(shù)時，應用上述定理4，依然可得到廣義向量對策系統(tǒng)解的良定性結果。

4 結論與討論

本文討論了帶有約束條件的廣義集值映射Nash均衡點的存在性與良定性的相關性質(zhì)，其在支付映射或者約束對應映射具有非線性擾動或難以精確計算時也可適用。此外，證明了Levitin-Polyak良定性的充分和必要條件，在此基礎上，得到了廣義集值映射Nash均衡點的Levitin-Polyak良定性結果，得出了大多數(shù)情況下廣義集值映射Nash均衡點具有良定性的穩(wěn)定結論，進一步加強了其實際應用價值，豐富了其穩(wěn)定性的研究內(nèi)容。接下來，非緊性條件下的廣義集值映射Nash均衡點的存在性及其他穩(wěn)定性將是下一步的研究方向。