劉娟，陳功

(蚌埠學(xué)院 理學(xué)院，安徽 蚌埠，233030)

通過數(shù)學(xué)建模的方法建立疾病傳播模型稱為傳染病動(dòng)力學(xué)。傳染病動(dòng)力學(xué)是生物數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，利用數(shù)學(xué)方法對(duì)模型進(jìn)行分析，可以顯示傳染病的流行規(guī)律，這對(duì)于傳染病的預(yù)防與控制具有較重要的意義。近年來，傳染病動(dòng)力學(xué)受到了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，不同類型的傳染病模型被提出[1-5]，文獻(xiàn)[6]研究了具有年齡結(jié)構(gòu)的SIRS傳染病模型：

(1)

模型式(1)為用微分方程表示確定型模型，沒有考慮隨機(jī)干擾，在確定型模型中加入隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)可以得到隨機(jī)生物模型，這也是生物數(shù)學(xué)的一個(gè)研究熱點(diǎn)[7-9]。與確定型模型相比，隨機(jī)干擾可以使模型的許多性質(zhì)發(fā)生變化，因此，考慮外部干擾，本文在模型(1)中加入隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)，用白噪聲來表示。外界白噪聲對(duì)模型的影響有多種，本文假設(shè)白噪聲影響參數(shù)為β，此處β為接觸率，即βdt→βdt+σdB(t)。其中，B(t)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，σ2為白噪聲強(qiáng)度。引入白噪聲后得到隨機(jī)模型式(2)，本文主要研究隨機(jī)模型式(2)中I(t)和R(t)的持久性。

(2)

將模型式(2)的等式兩邊相加，可以得到

d(X+S+I+R)=[A-μ(X+S+I+R)-εI]dt

≤

[A-μ(X+S+I+R)]dt

對(duì)于d(X+S+I+R)=[A-μ(X+S+I+R)]dt，由初始條件可得

(3)

為模型式(2)的正不變集。為了研究方便，假設(shè)(X(0),S(0),I(0),R(0))∈Γ*。

1 I(t)和R(t)的持久性

生物系統(tǒng)的持久性，指的是系統(tǒng)中的某一類群體在一定時(shí)期內(nèi)能夠持續(xù)生存、不會(huì)出現(xiàn)滅絕現(xiàn)象，利用數(shù)學(xué)符號(hào)可以定義持久性含義[10]。設(shè)f(t)為生物系統(tǒng)中的某一群體，規(guī)定兩類持久性的含義如下：

定理1 設(shè)Y(0)=(X(0),S(0),I(0),R(0))為模型(2)的初始條件，若白噪聲強(qiáng)度滿足

則模型(2)的解I(t)滿足：

其中

，

證明在模型(2)兩邊取0到t的積分，并除以t，得到

(4)

有

=

解得

(5)

其中:

由式(3)可知

(6)

=

(7)

對(duì)式(7)兩邊取0到t的積分并除以t，利用式(5)結(jié)果，得

(8)

由強(qiáng)大數(shù)定律可知

(9)

(10)

(11)

對(duì)上式兩邊再取0到t的積分，并除以t，將〈S(t)〉的結(jié)果代入，得

(12)

由式(6)易知

(13)

(14)

由式(11)和式(14)可得定理(1)。

。

2 結(jié)論

在一類具有年齡結(jié)構(gòu)SIRS傳染病模型的基礎(chǔ)上，加入隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)，研究了一類隨機(jī)SIRS傳染病模型的持久性。利用It公式及強(qiáng)大數(shù)定律得到了I(t)和R(t)持續(xù)存在的充分條件。結(jié)果表明，當(dāng)白噪聲強(qiáng)度σ2不太大且滿足一定條件時(shí)，〈I(t)〉和〈R(t)〉將在一定范圍內(nèi)取值，即模型中的疾病會(huì)持續(xù)存在，不會(huì)消失，這對(duì)于傳染病的預(yù)防與控制是不利的。