滕兆春, 楊文秀

(蘭州理工大學 理學院, 甘肅 蘭州 730050)

隨著人類社會的發(fā)展和科學技術的進步，能源環(huán)境問題已成為當前最緊迫的問題之一.越來越多的科學研究者們更傾向于尋求研發(fā)高性能、低污染、清潔型對環(huán)境友好的新型材料，而熱電技術的出現(xiàn)實現(xiàn)了對這一理念的創(chuàng)新突破.這是一個通過轉換利用太陽熱能、回收工業(yè)部門和汽車尾氣中廢熱的一項具有開創(chuàng)性、前瞻性的高新技術[1].而這種創(chuàng)新型技術最本質的參數(shù)是Seebeck系數(shù)s，在將系統(tǒng)內(nèi)的溫差直接轉換為電壓方面起著不可或缺的作用，一個高性能的熱電材料同時還應保證具有高的電導率γ，低的熱導率κ，通常用熱電系數(shù)值Z=s2γ/κ來描述.熱電材料就是近年來科學研究者不斷挖掘不斷完善的新型清潔材料，高性能熱電材料就是熱電技術的核心，人們習慣用熱電性能指數(shù)ZT的大小來衡量熱電材料性能的高低.按工作溫度可分為高溫(≥700 ℃)、中溫(400～700 ℃)和低溫(30～400 ℃)熱電材料，在室溫附近的Bi-Te化合物是目前公認的最好的熱電材料，也是研究最多、最為成熟的，它廣泛用于熱電制冷元件；高溫區(qū)的Si-Ge化合物大多用于航天設備的溫差發(fā)電系統(tǒng).

在近60年的歷史中，熱電材料研究領域幾經(jīng)停滯，但每一次都會以新的方式復興[2].Riffat等[3]發(fā)現(xiàn)熱電材料制成的小型熱電器件它們是可靠的能量轉換器，具有體積小、重量輕、無傳動部件、無噪聲運動等優(yōu)點特點，因為沒有機械運動部件，降低了噪音和振動的產(chǎn)生，進而可以將其用于工程中，用來減小或消除響應帶來的對機械的損耗.雖然熱電材料是一種面對能源和環(huán)境問題最佳的選擇，但是由于在材料的制備過程中或多或少存在操作誤差或機器設備不夠精密，所制備的材料會存在含有雜質、裂紋等問題，科學研究者們對存在的該類問題進行了大量的分析.Wang等[4-5]分析了含橢圓夾雜的熱電材料板的二維、三維問題，發(fā)現(xiàn)最大熱電場集中總是出現(xiàn)在與加載方向垂直的橢圓軸的端點，且在夾雜物周圍的熱不透硬夾雜物會發(fā)生最大的應力集中.Wang等[6]分析了由絕緣層隔開的n型和p型熱電偶組成的多層熱電材料(TEM)中的瞬態(tài)層間應力，和絕緣層厚度和材料性能對剝離應力的影響.研究發(fā)現(xiàn)，總體上瞬態(tài)時的層間應力水平高于穩(wěn)態(tài)時的層間應力水平.Song等[7]在研究熱電材料板裂紋的二維問題發(fā)現(xiàn)，裂紋尖端的熱流場、電流場和應力場均表現(xiàn)出傳統(tǒng)的平方根奇異性.Al-Merbati等[8]通過商業(yè)軟件ABAQUS對熱電發(fā)電機進行熱力學和熱應力分析時發(fā)現(xiàn)，在一定的幾何結構下，器件的熱效率會有所提高，且在這種情況下，管腳中產(chǎn)生的最大熱應力略有降低，這對設備的預期壽命會有所提高.Jin[9-10]利用層合復合材料的熱彈性理論，研究了多層薄膜熱電材料結構中的熱應力和變形以及屈曲，發(fā)現(xiàn)用層合板模型計算的熱應力比用材料強度模型預測的熱應力要大得多.Gao等[11]利用ANSYS軟件中的有限元分析模型，根據(jù)熱電材料的各向異性力學性能和熱電性能，給出了透射電鏡的熱應力分布.

到目前為止，熱電材料已成功應用于人造衛(wèi)星、太空飛船等高性能接收器及傳感器等領域[12].這是一種不需要繁瑣復雜的附加條件就可以直接將熱能轉化為電能的環(huán)境友好型能源材料，從而可以將其大規(guī)模地應用于發(fā)電和取代現(xiàn)有的氟利昂制冷機，為解決能源問題開辟了新的途徑，同時也可緩解環(huán)境污染等問題[13].因為它具有這些突出的優(yōu)點，許多國家都對熱電材料技術給予了充分的重視并給與大力支持.對高性能熱電材料不管是從材料學還是力學方面進行分析，都是近期的一個新研究熱點，且在熱電薄膜和熱電板的熱應力及其斷裂力學等研究方面也取得了有價值的成果，但是研究的范圍還很受局限，目前對熱電材料梁力學性能的分析在國內(nèi)外還未見有相關文獻報道.

作為熱電材料的基本結構之一，熱電材料梁在實際熱電工程中具有重要應用.因此本文將Wang等[14]給出的熱電耦合控制方程拓展應用到熱電材料梁，基于熱電材料梁的一維瞬態(tài)控制方程和熱應力分析理論，著重研究了兩種類型Bi2Te3熱電材料在不同時刻沿厚度方向溫度和熱應力的變化及最值出現(xiàn)的區(qū)域.由此為熱電材料梁在受到熱沖擊時對熱應力的分析提供了必要的數(shù)值分析和理論依據(jù)，這對熱電材料梁工程安全性評估和后續(xù)力學行為的研究提供一個有力的支撐.

1 瞬態(tài)熱電場控制方程的建立

1.1 熱電平衡方程

根據(jù)熱電材料系統(tǒng)內(nèi)部的電荷和能量守恒以及熱能和電能相互轉換關系可得出熱電材料的平衡方程.考慮熱電材料各向同性，電和熱沿電勢和溫度梯度的方向流動[14]，并忽略系統(tǒng)內(nèi)的電或磁的瞬態(tài)效應干擾.設Ω表示以閉合曲面Γ為界的區(qū)域內(nèi)的體積，dS為曲面微分元，n為向外的法向量，dx為Ω中的體積微元.根據(jù)散度定理[5,15]和高級微積分可知下列關系式成立：

(1)

式中：j為電流密度.式(1)可以改寫為

-?·j=-ji,i=0

(2)

式中：i為求和下標i=1,2,3.式(2)為第一個熱電平衡方程.

熱電材料的固有屬性是在系統(tǒng)內(nèi)發(fā)生熱能Q1與電能Q2的相互轉換，根據(jù)能量守恒定律和瞬態(tài)響應特性，即

Q1+Q2=CvT,t

(3)

其中熱能和電能分別為

(4)

式中：Cv=ρc代表體積比熱,J/(m3·℃),ρ為材料質量密度，c為比熱；q為熱流密度矢量；V和T分別為電勢和溫度；t為時間.則式(3)可簡化為

(5)

式(5)為第二個熱電平衡方程.

1.2 熱電本構方程

熱電材料的系統(tǒng)內(nèi)溫度發(fā)生變化，就會產(chǎn)生電勢梯度，從而發(fā)生熱與電的相互轉換，該現(xiàn)象為塞貝克效應：

(6)

式中：φi為電勢梯度,V/m;s為Seebeck系數(shù).當熱電材料系統(tǒng)內(nèi)溫度恒定時存在歐姆定律

(7)

式中：γ為電導率.將式(6)與式(7)疊加即可得第一個熱電本構方程[5,14,16]：

(8)

當熱電材料內(nèi)無電流產(chǎn)生時，傅里葉定律成立：

(9)

式中：κ為熱導率.

熱電材料系統(tǒng)內(nèi)的機理很是復雜，其中帕爾貼效應與湯姆遜效應的深層機理[15]為

q=Te=sTj

(10)

式中：e為熵,J/℃.再將式(9)與式(10)疊加即可得第二個熱電本構方程:

(11)

將式(2)和式(8)代入式(5)結合式(11)可得瞬態(tài)熱沖擊下熱和電耦合的控制方程

(12)

2 熱電材料梁力學計算模型

2.1 熱沖擊下熱電材料梁溫度場的建立

建立模型如圖1所示的長×寬×高為L×b×h的兩端固定的矩形截面熱電材料梁.受到熱沖擊后的熱電材料梁系統(tǒng)內(nèi)的溫度為只關于z坐標的一維溫度場，該溫度場可以表示為T=T(z,t).在上表面h/2處受到熱沖擊后系統(tǒng)產(chǎn)生溫度變化，在t=0時刻，熱電材料梁系統(tǒng)溫度為T0(T0為系統(tǒng)的參考溫度)；t>0時，梁兩側的溫度突然改變至T(h/2,t)=Ta、T(-h/2,t)=Tb.

圖1 熱電材料梁計算模型

將式(12)的控制方程改寫為只關于z坐標的一維熱沖擊控制方程如下：

(13)

式(13)可看作是由穩(wěn)態(tài)項與瞬態(tài)項的和，為了方便求解可引入輔助函數(shù)，令

T(z,t)=U(z,t)+W(z)

(14)

式中：W(z)和U(z,t)代表溫度場所滿足的穩(wěn)態(tài)項和瞬態(tài)項，將式(14)代入式(13)，式(13)可改寫為

(15)

將式(15)簡化為關于W(z)和U(z,t)的兩方程如下：

(16)

(17)

式(16)為二階常微分方程，利用邊界條件積分得

(18)

得出瞬態(tài)溫度場T(z,t)的穩(wěn)態(tài)項W(z)的函數(shù).

式(17)為熱傳導方程，故采用分離變量法求解.令

U(z,t)=Z(z)T(t)

(19)

代入式(17)得

κZ″T=CvZT′

(20)

即

(21)

等號左邊為關于z的函數(shù)，右邊為關于t的函數(shù)，要使等式成立，等式兩邊只能為一常數(shù)，令其參數(shù)為-λ，則式(21)化為以下兩微分方程：

利用邊界條件求解式(22)得其特征值為λn，其值為

則對應的特征函數(shù)為

(24)

式中：Cn為任意常數(shù).

將λn代入常微分方程(23)得

n=1,2,3,…

(25)

式中：Dn為任意常數(shù).

(26)

式中：Cn是由式(24)的Cn和式(25)的Dn并入組合成新的常數(shù).對式(26)再疊加求和得

(27)

式中：n=1,2,3,…，得出瞬態(tài)溫度場T(z,t)的瞬態(tài)項U(z,t)的函數(shù).

將初始條件Uz,0=T0-Wz代入式(27)，可得

n=1,2,3,…

(28)

式中:Cn可利用傅里葉三角級數(shù)表示如下:

將式(18)和式(27)代入式(14)可得瞬態(tài)溫度場的完整表達式

n=1,2,3,…

(29)

2.2 瞬態(tài)熱沖擊下熱電材料梁熱應力場的建立

熱電材料梁受熱沖擊作用時，梁內(nèi)各點將會產(chǎn)生溫度的變化，從而導致梁出現(xiàn)膨脹或收縮變形，若外部約束使膨脹或收縮變形不能自由發(fā)生時，在熱電材料梁結構中就會出現(xiàn)熱應力.近代線性熱應力理論創(chuàng)始于1835年，由法國人J.M.C.杜哈梅爾初次提出，隨后在1841年，德國人諾曼伊曼初次導出線性熱應力理論，他們兩者提出的理論基本相同，故將現(xiàn)代的線性熱應力理論稱為杜哈梅爾—諾伊曼理論[17].

根據(jù)熱應力理論，在自由狀態(tài)下，梁在熱環(huán)境中的軸向自由伸長量為

Δl=αΔTl

(30)

式中：α表示熱電材料的熱膨脹系數(shù);ΔT表示溫度的變化,ΔT(z,t)=T(z,t)-T0.軸向自由伸長線應變?yōu)?/p>

εxxz,t=αΔT(z,t)

(31)

則得到熱電材料梁內(nèi)熱應力與溫度變化的關系為

(32)

式中：E為熱電材料的彈性模量.

3 計算結果與分析

3.1 p型Bi2Te3熱電材料梁溫度場及熱應力場

Bi2Te3合金在熔點溫度時的化合物組分中富含Bi原子，過剩的Bi原子在晶格中占據(jù)了Te原子的位置后形成p型Bi2Te3熱電材料；反之，過剩的Te原子在晶格中占據(jù)了Bi原子的位置，則形成n型Bi2Te3熱電材料.一般規(guī)定n型半導體熱電材料的seebeck系數(shù)取負值，p型半導體熱電材料的seebeck系數(shù)取正值[18].Bi2Te3熱電材料其它相關物理參數(shù)結合文獻[19]和文獻[20]，見表1.

表1 兩種類型Bi2Te3熱電材料相關物理參數(shù)

熱電材料梁的幾何參數(shù)為L=0.1 m、h=0.004 m、b=0.003 m，初始參考溫度為T0=25 ℃，受到熱載荷沖擊后梁上表面溫度變?yōu)門a=240 ℃、下表面溫度變?yōu)門b=30 ℃，由于在方程(2)中-ji,i=0可以得出電流密度j為一常數(shù)，取j0=3.199×106A/m2[15].

通過MATLAB對溫度場和熱應力場解析函數(shù)的編程計算發(fā)現(xiàn)溫度場和熱應力場沿厚度z方向的特性曲線呈拋物線分布.梁產(chǎn)生熱應力場主要是因為受到熱沖擊時熱電材料梁系統(tǒng)內(nèi)存在溫度梯度，使梁受熱不均勻導致.對圖2和圖3溫度場和熱應力場特性曲線分析發(fā)現(xiàn)，在達到穩(wěn)態(tài)前梁的中性層以下的溫度呈陡坡式的劇增，進而所對應的熱應力也出現(xiàn)劇增；但是時間的增加溫度和熱應力隨厚度z方向的增加趨于緩慢，且隨時間的增加溫度小幅度向受熱沖擊前回轉，逐漸趨于穩(wěn)態(tài)化后均不再隨時間變化；在梁的中性層以上：溫度場沿厚度z方向總體呈現(xiàn)緩慢下坡式的遞減最終達到與梁上層溫度一致，但是隨時間的增加溫度和熱應力出現(xiàn)小幅度的增加這與中性層以下的變化恰好相反.導致這種變化的原因是因為圖4表示的溫度場的瞬態(tài)項特性曲線是以三角函數(shù)的變化出現(xiàn)有正有負，且隨時間的增加溫度場瞬態(tài)項變化曲線走勢變的舒緩最終不再隨時間變化，進而影響了不同時刻下瞬態(tài)溫度場和熱應力整體的變化趨勢.以中性層為分界線，分界線兩側呈現(xiàn)不同的變化趨勢，熱應力沿梁厚度方向z出現(xiàn)增加、減小最終趨于穩(wěn)定.熱電材料梁在達到穩(wěn)態(tài)前最大熱應力發(fā)生在中性層附近，在達到穩(wěn)態(tài)后最大熱應力向高溫區(qū)移動，證明在穩(wěn)態(tài)下梁的最大熱應力發(fā)生高溫區(qū)，并且達到穩(wěn)態(tài)后的熱應力最值大于瞬態(tài)時的熱應力最值，這與熱環(huán)境下梁的應力分析相符.

圖2 不同時刻溫度沿p型Bi2Te3熱電材料梁截面厚度方向的變化曲線 (T0=25 ℃)

圖3 不同時刻熱應力沿p型Bi2Te3熱電材料梁截面厚度的變化曲線

圖4 不同時刻p型Bi2Te3熱電材料梁溫度場中的瞬態(tài)項沿截面厚度方向的變化曲線

3.2 p型和n型Bi2Te3熱電材料梁溫度場和熱應力場的對比分析

在t=5 s時溫度場已達到穩(wěn)態(tài)不再隨時間變化，在相同溫度區(qū)間內(nèi)不同型的熱電材料物理參數(shù)不同，則材料的性能也不同.從圖5兩種熱電材料梁溫度場特性曲線發(fā)現(xiàn)p型Bi2Te3熱電材料梁系統(tǒng)內(nèi)溫度大于n型Bi2Te3熱電材料梁系統(tǒng)內(nèi)溫度，n型Bi2Te3熱電材料梁的溫度場變化比p型Bi2Te3熱電材料梁的較為緩慢.從圖6三個不同時間下的p型和n型Bi2Te3熱電材料梁熱應力具體特性曲線變化圖可以直觀得到，n型Bi2Te3熱電材料梁的熱應力小于p型Bi2Te3熱電材料的熱應力，n型熱電材料熱應力比p型熱電材料熱應力變化緩慢，不會出現(xiàn)劇增劇減的現(xiàn)象.根據(jù)n型、p型熱電材料梁溫度和熱應力變化的特征，如果將其應用于制作熱電器件的電偶，可以得出當電流從n型材料傳遞到p型材料時為冷卻效應，當電流從p型材料傳遞到n型材料時為加熱效應，這與帕爾貼效應得出的結論是一致的.

圖5 p型和n型Bi2Te3熱電材料梁溫度沿截面厚度的變化曲線(T0=25 ℃、t=5 s)

圖6 不同時刻p型和n型Bi2Te3熱電材料梁的熱應力沿厚的變化曲線

4 結論

本文基于瞬態(tài)熱沖擊下熱電材料的控制方程，采用分離變量法推導出的熱電材料梁瞬態(tài)溫度場，并結合梁的熱應力分析理論得出瞬態(tài)熱應力場的解析函數(shù)表達式，利用數(shù)學軟件MATLAB求解出相應的特性曲線，得出如下結論：

1) Bi2Te3熱電材料梁在電流密度為j0=3.199×106A/m2時溫度場隨厚度方向z的函數(shù)變化呈拋物線分布，因受溫度場瞬態(tài)項的正負變化，導致溫度場隨梁厚度的變化出現(xiàn)有增有減的現(xiàn)象.

2) 在達到穩(wěn)態(tài)后熱應力不再受時間的影響，并且最大熱應力向高溫區(qū)移動，穩(wěn)態(tài)下的最大熱應力大于瞬態(tài)下的最大熱應力.

3) p型Bi2Te3熱電材料梁的熱應力比n型熱電材料產(chǎn)生的熱應力大，說明n型Bi2Te3熱電材料梁在受到熱沖擊后的力學性能要比p型Bi2Te3熱電材料梁的力學性能更好.不易在受到熱沖擊短期內(nèi)由于熱應力對材料力學性能的影響而快速進入疲勞期，導致結構受損，從而影響熱電材料梁的使用壽命.