李 敏 張雪松 李依倫 陳偉民

*(北京航空航天大學航空科學與工程學院， 北京 100191)

?(成都東軟學院， 成都 611844)

**(巴黎- 薩克雷大學，土壤，結(jié)構(gòu)與材料力學實驗室，法國巴黎 91190)

??(中國科學院力學研究所，北京 100190)

本文中的量級估計泛指具有相同物理意義的物理量或無量綱量之間的比較，并不限定于數(shù)學上有嚴格約定的數(shù)量級定義與相關(guān)問題。

無論在科學研究還是工程設(shè)計領(lǐng)域，基于一定的假設(shè)進行問題簡化是一種常見手段。作為機械大類的專業(yè)基礎(chǔ)課，材料力學的分析方法充分體現(xiàn)了這一特征，其中學生最為熟悉的包括材料連續(xù)、均勻、各向同性假設(shè)，以及三種基本變形模式中的平面假設(shè)。

事實上，絕大多數(shù)假設(shè)條件只是最終給出的結(jié)果，其依據(jù)往往是各相關(guān)物理量包括無量綱量的比較：如果某些量相比其他量非常小，這些量或者其造成的影響將被忽略，這是假設(shè)簡化的立足點。當然也有一些假設(shè)本身就是事實，只不過不是根據(jù)理論分析而是由實驗現(xiàn)象得出的猜測，例如上面提及的平面假設(shè)更大程度上是為了避免引入復雜的數(shù)學推導，即便如此，在基本解適用范圍討論中往往也是基于物理量的量級估計。

在材料力學的問題分析中存在大量的量級估計，但是教材中通常只是給出了結(jié)論，沒有細節(jié)論述，作為教師需要了解相關(guān)細節(jié)以便輔導學生，或者將其作為研討課的素材。

本文內(nèi)容來源于教學實踐中對理論公式適用范圍描述的細節(jié)，其中大部分歸結(jié)于材料力學研究對象三維尺寸的差異或基于小變形條件，注意到這一點對于材料力學教師把握引導方向有一定的參考價值。

1 基本變形模式之間變形的量級估計

拉壓、扭轉(zhuǎn)與彎曲是絕大部分材料力學教材提及的三種基本變形模式[1-4]，其變形分別為

式(1)～式(3) 分別為一端固定一端自由均勻截面(常見為矩形與圓形，扭轉(zhuǎn)為圓與圓環(huán)截面) 直桿承受軸向載荷F、軸向力矩T與橫向載荷F的自由端軸向位移Δl(拉壓變形)、扭轉(zhuǎn)角φ(扭轉(zhuǎn)變形)與撓度w(彎曲變形)，其中桿件長、寬、高分別為l，b，h(圓形半徑為r)，E與G分別為材料彈性模量與剪切模量，A，IP與I分別為桿件截面面積、極慣性矩與(軸) 慣性矩。

式(1)～式(3)中拉壓與彎曲變形的量綱同為長度，而扭轉(zhuǎn)變形為無量綱的角度，所以首先基于物理意義比較拉壓與彎曲變形的量級。在結(jié)構(gòu)與載荷大小相同的情況下

式中kS與kB分別為桿件拉伸與彎曲剛度。很明顯，對于常見的工程長梁，拉壓變形比彎曲變形至少低2～3 個量級，或者換言之，拉壓剛度比彎曲剛度至少大2～3 個量級。

認識到這個量級差異不僅對于后續(xù)能量原理中各部分取舍的講解有益，更重要的是對于學生理解結(jié)構(gòu)設(shè)計中梁桿尺寸匹配，特別是傳感器細節(jié)設(shè)計有幫助。圖1 是目前處于研究熱點的柔性電子器件典型結(jié)構(gòu)細節(jié)：為了獲得拉伸方向(x方向) 較大的柔度，彎曲微梁是主承力結(jié)構(gòu)的周期單胞。圖2 是加速度傳感器的微機械梳狀結(jié)構(gòu)：利用垂直于測量方向(x方向) 的微梁(AA與BB) 較大的變形，明顯改變器件的電容用于表征x方向的加速度。

圖1 柔性器件微梁結(jié)構(gòu)示意圖

圖2 加速度傳感器梳狀結(jié)構(gòu)微梁示意圖

除此之外還有大量力傳感器、壓力傳感器、溫度傳感器都是利用微梁結(jié)構(gòu)放大測量靈敏度，這種利用梁長度的方次效應(yīng)提高靈敏度的模式與利用鏡面偏轉(zhuǎn)光路放大位移的模式類似，甚至可以聯(lián)合使用–– 在微納米材料性能測試領(lǐng)域，納米壓痕儀(包括原子力顯微鏡)利用了微梁變形+激光光路偏轉(zhuǎn)，極大提高了位移(變形) 測量的靈敏度，目前醫(yī)學界的大量檢測設(shè)備也都使用了該方式。該領(lǐng)域類似的結(jié)構(gòu)形式非常多，教師可以查找相關(guān)圖片作為教學講解實例。

其次，圓軸扭轉(zhuǎn)導致的最大線位移與橫截面半徑r相關(guān)，與撓度w相比較不失一般性，考慮一對作用在端面上的F形成扭力矩，即T=2Fr的情況下

由此可見，一般情況下，扭轉(zhuǎn)造成的最大線位移相比彎曲撓度也有2 個量級的差異，與拉壓變形量基本相當。

這里考慮一種特殊情況–– 開口薄壁桿件的扭轉(zhuǎn)：材料力學教材中對開口薄壁桿件扭轉(zhuǎn)強調(diào)開口薄壁結(jié)構(gòu)相比閉口薄壁結(jié)構(gòu)，前者應(yīng)力大，變形更大。切應(yīng)力大的原因往往使用圖3 加以說明[1]：在相同扭矩條件下，開口薄壁形成微扭矩的臂長δi相比閉口的臂長hi小很多，所以開口薄壁扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力遠大于閉口薄壁扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力。事實上也可以觀察圖3看出開口薄壁變形大的原因：在開口薄壁扭轉(zhuǎn)桿件的橫截面上，完全類比于彎曲變形，包括應(yīng)力分布模式，差異在于邊界約束條件。開口薄壁變形的扭轉(zhuǎn)角公式

圖3 開口薄壁扭轉(zhuǎn)變形橫截面切應(yīng)力分布示意圖

其中?h，?δ分別表示與hi，δi同量級量。式(7) 表明兩種位移基本相當，具體取決于桿件長度、橫截面尺寸與壁厚之間的相互關(guān)系，由此可見薄壁結(jié)構(gòu)開口將造成較大變形，極大降低扭轉(zhuǎn)剛度。

2 基本變形模式中變形量的量級估計

除了不同變形模式之間的比較，同一種變形模式中也存在不同方向或者類型的位移(變形) 量，例如在彎曲變形模式中使用撓曲軸為唯一參量表征彎曲變形，其簡化基礎(chǔ)中包含忽略原始軸線方向的位移Δ，對于懸臂梁自由端承受集中力的情況，由撓曲軸總長與其水平軸投影之差[5]

由此可見，在小變形條件下，自由端截面形心的水平位移相比軸線撓度屬于高階小量。

事實上，在彎曲應(yīng)力章節(jié)中最為關(guān)鍵的公式適用范圍推廣是：彎曲正應(yīng)力公式由純彎曲擴展到橫力彎曲，其基礎(chǔ)是忽略了剪切效應(yīng)對軸向應(yīng)變的影響。關(guān)于該部分分為兩種情況。

(1) 如果分布載荷q= 0 (如圖4(a))，則不同截面翹曲程度一致(aa′=bb′)，截面翹曲并不顯著影響軸向正應(yīng)變及其相互關(guān)系，所以由純彎條件導出的正應(yīng)力公式可以推廣到橫力彎曲；

(2) 如果分布載荷q/= 0 (如圖4(b))，則不同截面翹曲程度不同(aa′/=bb′)，剪切效應(yīng)影響軸向應(yīng)變，所以由純彎條件導出的正應(yīng)力公式推廣到橫力彎曲不正確，但對于長度大于高度5 倍以上的工程長梁，該公式仍然滿足工程計算精度。

圖4 橫力彎曲截面翹曲影響示意圖

對于第二種情況，教材中均未給出證明或原理性說明，利用三維彈性理論[6-7]或者有限元數(shù)值分析進行解釋一定可行，但是從材料力學教學的角度，使用量級估計對于學生理解與掌握更加合適。為了不引入過于復雜的表達式，并考慮到講解彎曲應(yīng)力部分還未涉及廣義胡克定律，所以此處不涉及由于橫向擠壓應(yīng)力造成的軸向應(yīng)變(事實上，擠壓應(yīng)力最大值為分布載荷q，其與軸向正應(yīng)力有較大差異，由此引入的偏差也是小量)，僅僅考慮剪切效應(yīng)的影響。

以中性軸處的切應(yīng)變估計剪切效應(yīng)的影響(圖4(b) 中SS線)

其中εqx與εMx分別表示剪切與彎曲引入的軸向正應(yīng)變，式(10) 中彎矩M采用ql2進行量級估計，其比值展示了二者有兩個量級的差異，同時也為講解長高比為5 的判據(jù)提供依據(jù)。

剪切效應(yīng)不僅影響正應(yīng)力分布，也影響彎曲變形(撓度)，關(guān)于該部分的描述在經(jīng)典教材中都有體現(xiàn)[1]，其量級比同樣等于高長比的平方，這里不再贅述。

3 變形協(xié)調(diào)分析中的量級估計

在平面應(yīng)變狀態(tài)應(yīng)變分析部分[1]，圖5(a) 表征僅存在切應(yīng)變γ(εx=εy= 0) 時，α方位應(yīng)變與γ的變形協(xié)調(diào)關(guān)系。與另外僅存在εx/= 0 或εy/= 0的狀態(tài)不同，此變形協(xié)調(diào)圖為了便于在原始幾何構(gòu)型上表征變形量，對變形狀態(tài)進行了簡化：僅γ/=0狀態(tài)下，原始矩形OABC應(yīng)該變形為OAB′′C′′(如圖5(b))，而不是OAB′C′。筆者所教班級每年都有不少學生對此提出疑義，為了解決學生疑惑，除展示采用OAB′′C′′產(chǎn)生的不方便外，對由此帶來的偏差進行量級估計是有益的。

觀察圖5(a)中與應(yīng)變分析相關(guān)各量，主要是γdy以及與之同量級值，而采用OAB′′C′′模式造成偏差的量級為Δdy=(1-cosγ)dy(見圖5(b))

圖5 平面應(yīng)變狀態(tài)純剪變形協(xié)調(diào)示意圖

在小變形條件下γ ＜＜1，由此可知，這種簡化對變形協(xié)調(diào)中各量造成的偏差屬于高階小量，不影響后續(xù)結(jié)論的正確性。

類似的情況在變形協(xié)調(diào)分析中還有不少，包括學生們最熟悉的切線代圓弧，盡管材料力學中切線代圓弧方法被廣泛使用，但并無推導式證明，只有部分章節(jié)中例題或習題的數(shù)值結(jié)果可以驗證結(jié)論。事實上，使用量級估計的方式更為簡潔，也便于學生理解，以該方法最早出現(xiàn)的桁架節(jié)點位移分析為例(見圖6)

采用切線代圓弧方法，圖6 中A點水平位移為AA2(AC桿的變形量)，如果按照圓弧相交的方法A點水平位移為AA3，二者差異為A2A3，使用量級估計的模式

圖6 桁架節(jié)點位移分析變形協(xié)調(diào)示意圖

在小變形條件下β ＜＜1，由此可見切線代圓弧方法對節(jié)點位移求解造成的影響可忽略，垂直方向影響類似，此處不再贅述。

4 小結(jié)

基于一定的假設(shè)進行問題簡化是一種常見分析方法，提出假設(shè)并簡化問題分析難度的基礎(chǔ)在很大程度上是量級估計，即評估不同因素對問題影響的程度。

本文挑選了部分在材料力學教學過程中可以使用量級估計說明簡化假設(shè)的實例，多與變形量相對大小有關(guān)，最終的結(jié)論往往歸結(jié)于桿件不同方向尺寸的差異和小變形條件下變形量的大小，從而以另一個角度審視材料力學以桿件作為研究對象的目的：正是基于不同方向幾何尺寸的差異，應(yīng)力與變形的分析過程得到了極大簡化，使材料力學分析方法有別于彈性力學，成為相對獨立的模式。

量級估計不僅僅用于理論分析，該方式在解決實際工程問題中更為重要：事實上，工程實踐中最能體現(xiàn)科技人員素質(zhì)之處在于出現(xiàn)了非常規(guī)的狀況，例如現(xiàn)有的分析軟件或?qū)嶒炘O(shè)備不具備完全對應(yīng)的功能，此時需要科技人員基于量級估計的方法衡量影響因素的大小進行問題轉(zhuǎn)化，充分利用現(xiàn)有手段解決非常規(guī)問題，這也是培養(yǎng)學生解決復雜系統(tǒng)工程問題能力的重要方面。