陳 就 夏林海 沙 豐 吳長波 陳劍平

中國民用航空局第二研究所航材技術(shù)研究中心，成都，610041

0 引言

CP型單螺桿壓縮機具有體積小、容量大、單級壓縮比大和效率高等其他類型壓縮機無可比擬的優(yōu)點，能夠較好地滿足軍事、醫(yī)藥等領(lǐng)域?qū)嚎s機高性能和環(huán)保的要求[1]。國內(nèi)外關(guān)于單螺桿壓縮機的研究主要集中在壓縮機幾何結(jié)構(gòu)優(yōu)化、壓縮性能、流場分析等結(jié)構(gòu)和特性方面[2-5]。單螺桿壓縮機中的核心零件單螺桿齒槽結(jié)構(gòu)為球面包絡(luò)，相比其他類型的齒類零件，其齒槽結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜，加工難度也更大。目前國內(nèi)常見的CP型單螺桿(以下簡稱“單螺桿”)的加工方法主要有仿形車削法和圓柱二次包絡(luò)銑削法[1]。仿形車削主要通過成形車刀模擬星輪齒形進(jìn)行螺旋切削，車刀刃越靠近前端其切削周期越長，局部磨損也越嚴(yán)重，另外，車刀刀臺轉(zhuǎn)速慢，單次切削空行程也很大，導(dǎo)致仿形車削存在加工精度差和效率低等問題。圓柱二次包絡(luò)銑削法結(jié)合了先進(jìn)的伺服控制技術(shù)，采用成形銑刀對左右齒面分別銑削，該方法相比仿形車削法具有加工效率高、刀具磨損均勻等優(yōu)點，但仍存在左右齒面分別銑削時出現(xiàn)接刀痕和螺桿齒槽的分度誤差等缺陷。

單次包絡(luò)成形加工方法是具有螺旋齒面特征零件高精度和高效率的齒形加工方法之一，采用回轉(zhuǎn)刀具(如銑刀、砂輪等)加工，既可以實現(xiàn)成形銑削，也可以實現(xiàn)成形磨削，如滾刀、蝸桿、齒輪、螺桿等零件的單次包絡(luò)成形，對此國內(nèi)學(xué)者有深入的研究[6-10]，研究結(jié)果表明這些零件都能通過單次包絡(luò)加工而成。而對于單螺桿齒槽可否采用單次包絡(luò)成形加工，還有待研究。

本文根據(jù)單螺桿的螺旋齒面結(jié)構(gòu)，結(jié)合空間嚙合原理，建立了單次包絡(luò)成形加工數(shù)學(xué)模型，分析了理論加工的誤差，并根據(jù)計算得出的誤差值，探究了單次包絡(luò)成形應(yīng)用于單螺桿加工的可行性。

1 計算坐標(biāo)系及刀具的成形運動

為了便于計算，建立固定坐標(biāo)系σ(OXYZ)、工件(單螺桿)坐標(biāo)系σ1(O1X1Y1Z1)及刀具坐標(biāo)系σ2(O2X2Y2Z2)，如圖1所示。在起始狀態(tài)，刀具坐標(biāo)系σ2(O2X2Y2Z2)與固定坐標(biāo)系σ(OXYZ)重合，工件坐標(biāo)系σ1(O1X1Y1Z1)沿固定坐標(biāo)系σ(OXYZ)偏置位移(0，A，0)T。

圖1 計算坐標(biāo)系Fig.1 Calculation coordinates system

刀具在單螺桿齒槽的成形運動有兩個：單螺桿繞X1軸的轉(zhuǎn)動，角速度為ω1；刀具隨刀臺繞Z2軸的轉(zhuǎn)動，角速度為ω2。為便于描述，以右旋齒形為例進(jìn)行說明，令ω1=(1，0，0)T，根據(jù)單螺桿與星輪的聯(lián)動關(guān)系，有ω2=(0，0，k/z)T，其中，k為單螺桿的頭數(shù)，z為與單螺桿相配星輪的齒數(shù)。成形刀具繞自身軸線Y2做回轉(zhuǎn)運動與齒槽成形無關(guān)，令成形刀具的自轉(zhuǎn)角速度為0。

2 成形刀具截面刃形計算

令成形刀具回轉(zhuǎn)軸線Y2與固定坐標(biāo)系軸線Y重合，且單螺桿在X1O1Y1軸截面上的某個齒形關(guān)于Y2軸對稱的時刻稱為初始狀態(tài)，該截面齒形為基準(zhǔn)齒形，如圖2所示，其中B為單螺桿齒槽寬，D為單螺桿外徑，h為齒槽深。對基準(zhǔn)齒形作離散處理，所有離散點將分別在成形加工的某一時刻進(jìn)入嚙合，通過空間嚙合原理確定刀具與螺桿接觸時的空間嚙合點。由嚙合原理可知，這些空間嚙合點既是單螺桿齒槽回轉(zhuǎn)面上的點，也是成形刀具回轉(zhuǎn)面上的點，將這些點分別繞Y2軸回轉(zhuǎn)一定角度返回到X2OY2軸截面上，即可得到成形刀具的截面刃形。

圖2 加工初始狀態(tài)示意圖Fig2 The initial state diagram of machining

2.1 基準(zhǔn)齒形徑矢與截面切矢

將基準(zhǔn)齒形離散成N個離散點，記任一離散點P在工件坐標(biāo)系σ1中的徑矢為RW，截面切矢為τW，由于P點及其截面切矢τW均在軸截面X1O1Y1上，因此對基準(zhǔn)齒形方程上的P點求導(dǎo)，有

(1)

式中，f(x，y)為X1O1Y1軸截面上的基準(zhǔn)齒形方程。

設(shè)P點進(jìn)入嚙合時，螺桿轉(zhuǎn)動角度為β，刀臺轉(zhuǎn)動角度為θ，由前述聯(lián)動關(guān)系可知：

(2)

通過坐標(biāo)變換可知，在固定坐標(biāo)系中的徑矢和切矢分別為

(3)

(4)

j=(0，1，0)T

在刀具坐標(biāo)系中的徑矢和切矢分別為

(5)

(6)

2.2 P點的相對運動速度

在固定坐標(biāo)系σ(OXYZ)中，P點處的成形運動有兩個，分別為隨螺桿繞X1軸轉(zhuǎn)動的線速度v1和隨刀臺繞Z2軸轉(zhuǎn)動的線速度v2：

v1=ω1×(R-Aj)

(7)

v2=ωT×R

(8)

在坐標(biāo)系σ(OXYZ)中，當(dāng)P點成為嚙合點時，該點處的相對運動速度為

v12=v1-v2

(9)

2.3 回轉(zhuǎn)刀具在P點處的法矢

單螺桿齒槽面由成形刀具單次包絡(luò)而成，且齒槽基準(zhǔn)齒形是包絡(luò)面上的曲線，由解析幾何可知，在固定坐標(biāo)系σ中，P點處的法矢n垂直于P點的相對運動速度v12和截面切矢τ：

n=v12×τ

(10)

轉(zhuǎn)至刀具坐標(biāo)系σ2(O2X2Y2Z2)中即為

(11)

2.4 空間嚙合線

P點為嚙合點時，由嚙合原理可知[11]，在刀具坐標(biāo)系σ2中，回轉(zhuǎn)刀具上的徑矢RT、法矢nT及回轉(zhuǎn)刀具的回轉(zhuǎn)軸線方向向量j三者的混合積為0，即

(RT，nT，j)=0

(12)

解式(12)可以得到P點成為嚙合點時螺桿的轉(zhuǎn)動角度β，代入式(3)中可以得到P點在固定坐標(biāo)系σ中的嚙合點徑矢。

由于P點是基準(zhǔn)齒形中離散點中的任意一點，故對所有離散點按以上方法進(jìn)行計算就可以得到基準(zhǔn)齒形中每一個離散點在進(jìn)入嚙合時螺桿的轉(zhuǎn)動角度βi(i=1～N，N為計算的離散點個數(shù))。將每一個βi代入徑矢R計算式中，可以得到一系列離散點在固定坐標(biāo)系σ中的嚙合點徑矢矩陣，進(jìn)而得到單螺桿基準(zhǔn)齒形在單次包絡(luò)成形時的空間嚙合線。

2.5 回轉(zhuǎn)刀具截面刃形

將上述每一個計算得到的βi值依次代入式(5)中，就可以得到空間嚙合線在刀具坐標(biāo)系σ2中的徑矢矩陣。由于空間嚙合線也在回轉(zhuǎn)刀具回轉(zhuǎn)面上，故依次將空間嚙合線上所有離散點繞Y2回轉(zhuǎn)至回轉(zhuǎn)刀具軸截面(X2OY2)上，設(shè)第i點的回轉(zhuǎn)角度為αi，將該點回轉(zhuǎn)到刀具軸截面(XTOYT)上的徑矢為

(13)

同理可以得到該點的截面法矢：

(14)

回轉(zhuǎn)后RS(i)是截面(XTOYT)上的點，其Z向分量為0，令

Z(RS(i))=0

(15)

求解式(15)可得出第i點的回轉(zhuǎn)角度αi，代入RS(i)和nS(i)計算式中，即可求得第i點的截面徑矢和截面法矢，也即對應(yīng)基準(zhǔn)刃形上的任意點P都可以在回轉(zhuǎn)刀具截面刃形上得到一點F與之對應(yīng)。對所有離散點進(jìn)行求解即可得到成形刀具截面刃形上所有離散點的截面徑矢和截面法矢，對徑矢點進(jìn)行曲線擬合，即可得到回轉(zhuǎn)刀具的截面刃形。

3 成形誤差計算

成形誤差指單螺桿在過X1軸的任意軸截面上齒形離散點的理論徑矢和單次包絡(luò)成形徑矢之間的齒形偏差。根據(jù)單螺桿齒槽面的成形原理，理論徑矢可以通過基準(zhǔn)齒形上的離散點沿特定的螺旋線掃掠得到。齒槽截面成形包絡(luò)徑矢方程則需要根據(jù)上述計算得到的成形刀具截面徑矢和法矢，結(jié)合理論徑矢所在的齒形軸截面，運用嚙合原理反推得到。

3.1 理論齒槽曲面徑矢方程

進(jìn)行誤差計算時，設(shè)過螺桿軸線的任一齒槽軸截面與基準(zhǔn)齒形所在軸截面之間的夾角為γ，記該齒槽軸截面為γ軸截面。γ軸截面齒形上Q點由基準(zhǔn)齒形上任意點P掃掠得到，將該點回轉(zhuǎn)至螺桿所在的齒槽截面上，可得到螺桿在工件坐標(biāo)系σ1中的螺旋面徑矢方程：

(16)

由于P點為基準(zhǔn)齒形上的任意一點，因此將基準(zhǔn)齒形上的所有離散點代入式(16)中，就可以得到單螺桿γ軸截面上齒形的所有離散點的理論徑矢方程。

3.2 包絡(luò)成形齒槽曲面徑矢方程

在包絡(luò)成形中，單螺桿γ軸截面上的齒形離散點由前述計算得到的成形刀具截面刃形離散點通過嚙合計算得到。由前文可知，成形刀具截面刃形離散點由基準(zhǔn)刃形離散點通過嚙合計算得到，也即基準(zhǔn)刃形的離散點之間存在一一映射關(guān)系。也就是說基準(zhǔn)刃形上的離散點P通過其對應(yīng)的空間嚙合點回轉(zhuǎn)到刀具截面刃形上，對應(yīng)刀具截面刃形上的F點，同理，通過嚙合計算，也可以得到與F點相對應(yīng)的單螺桿γ軸截面上的E點，如圖3所示。

圖3 E點嚙合計算說明圖Fig.3 E point meshing calculation diagram

當(dāng)E點進(jìn)入嚙合時，E點與F點重合，記此時單螺桿轉(zhuǎn)角為β1，對應(yīng)刀臺轉(zhuǎn)角為θ1，F(xiàn)點繞Y2軸旋轉(zhuǎn)至E點位置，轉(zhuǎn)動角度為α1，根據(jù)聯(lián)動關(guān)系有

(17)

此時，E點在刀具坐標(biāo)系中的徑矢和法矢分別為

(18)

(19)

在固定坐標(biāo)系中的徑矢和法矢分別為

(20)

(21)

隨螺桿及刀臺的轉(zhuǎn)動速度分別為

v3=ω1×(RE-Aj)

(22)

v4=ω2×RE

(23)

嚙合時其相對運動速度為

v34=v3-v4

(24)

依據(jù)嚙合原理，有

nv34=0

(25)

E點在工件坐標(biāo)系中的徑矢為

(26)

又由于E點在γ軸截面齒形上，根據(jù)幾何關(guān)系有

(27)

聯(lián)合式(25)、式(27)可求出E點成為嚙合點時相應(yīng)的轉(zhuǎn)角α1和φ1，代入RE表達(dá)式中即可得到對應(yīng)γ軸截面上E點的徑矢。將成形刀具截面上所有點代入運算，即可得到單螺桿上對應(yīng)γ軸截面齒形的包絡(luò)線。同理對每一個螺桿轉(zhuǎn)角γ進(jìn)行求解即可得到螺桿齒形的包絡(luò)成形曲面。

3.3 誤差計算

由前述計算分別得到了單螺桿基準(zhǔn)齒形上的P點對應(yīng)γ軸截面齒形上的理論點Q和包絡(luò)成形點E的徑矢。Q點和E點的距離就是對應(yīng)P點在γ軸截面上的成形誤差：

(28)

通過對基準(zhǔn)刃形上所有離散點進(jìn)行計算就可以得到任意夾角γ下的齒形成形誤差分布。

4 實例計算

應(yīng)用上述單次包絡(luò)成形計算方法，對一種常見規(guī)格的單螺桿齒槽分別計算其包絡(luò)成形加工刀具的截面刃形和單螺桿單次包絡(luò)成形誤差。在計算中，本文只對包絡(luò)成形加工的可行性作定性分析，為簡化計算過程，不考慮成形包絡(luò)點落在單螺桿幾何體以外的情況。

4.1 實例參數(shù)

某型單螺桿部分設(shè)計參數(shù)如下：螺桿外徑D=300 mm，齒深h=40 mm，齒寬B=30 mm，齒根圓弧半徑r=3 mm，頭數(shù)k=6；螺桿星輪中心距A=250 mm，相配星輪齒數(shù)z=11。

4.2 成形刀具截面刃形計算及優(yōu)化

取基準(zhǔn)齒形離散點個數(shù)N=49，利用MATLAB軟件對齒形進(jìn)行離散計算，離散后所有離散點的基準(zhǔn)齒形見圖4。

圖4 離散點的基準(zhǔn)齒形Fig.4 Base tooth profile of discrete dots

基準(zhǔn)齒形所有離散點進(jìn)入嚙合時，在固定坐標(biāo)系σ中的空間嚙合位置如圖5所示。

圖5 離散點的空間嚙合位置Fig.5 Space meshing position of discrete dots

由圖5可以看出，齒根線兩端點在嚙合時，嚙合點位置產(chǎn)生了突變，對應(yīng)到基準(zhǔn)齒形上為圓弧段與齒根線的交點位置。此時，需檢查求解式(12)，判斷變量β1在其有效的成形轉(zhuǎn)角范圍內(nèi)是否為唯一解。由包絡(luò)成形加工方法可知，成形刀具的直徑應(yīng)不大于所在齒槽位置的寬度，否則在實際應(yīng)用中會產(chǎn)生干涉。根據(jù)解析幾何，以左齒面的交點為例進(jìn)行說明，所有離散點的轉(zhuǎn)角β1的解空間應(yīng)滿足：

(29)

根據(jù)式(12)，令

f(β1)=(RT，nT，j)

(30)

可得函數(shù)f(β1)和變量β1之間的關(guān)系曲線，如圖6所示。f(β1)在解空間內(nèi)單調(diào)遞增，僅有一個解，說明齒根線兩端點在嚙合時，不存在除計算出的嚙合點位置之外的其他可能的空間嚙合點位置，也即基準(zhǔn)齒形在包絡(luò)成形時，該點處確實存在嚙合位置突變。

圖6 函數(shù)f(β1)在解空間內(nèi)的曲線圖Fig.6 Curve graph of function f(β1)in solution space

根據(jù)離散點的空間嚙合位置，進(jìn)一步求得基準(zhǔn)齒形對應(yīng)的包絡(luò)成形的成形刀具截面刃形，如圖7所示。由圖7可以看出，由于齒根線兩端點的空間嚙合點位置發(fā)生了突變，導(dǎo)致成形刀具截面刃形在對應(yīng)點處產(chǎn)生了突出的尖角，該刃形是無法應(yīng)用于實際的。如果要應(yīng)用單次包絡(luò)成形進(jìn)行單螺桿齒槽的成形加工，則需要優(yōu)化設(shè)計參數(shù)。不斷增大齒根圓弧半徑r值，然后分別進(jìn)行計算，結(jié)果表明，增大齒根圓弧半徑能有效緩解刃形的尖角突出的問題，此處給出了具有代表性的r=7，10，15 mm(此時基準(zhǔn)齒形無直線齒根線)對應(yīng)的成形刀具截面刃形，分別如圖8～圖10所示。

圖7 成形刀具截面刃形(基準(zhǔn)齒形)Fig.7 Curve graph of forming tool profile(base tooth profile)

圖8 成形刀具截面刃形(r=7 mm)Fig.8 Curve graph of forming tool profile(r=7 mm)

圖9 成形刀具截面刃形(r=10 mm)Fig.9 Curve graph of forming tool profile(r=10 mm)

由圖8和圖9可以看出，如果基準(zhǔn)齒形上的齒根線為直線，那么該齒根線對應(yīng)的成形刀具截面刃形內(nèi)凹，在該段刃形的兩端就會產(chǎn)生曲率突變，在實際應(yīng)用中，該兩點位置就會產(chǎn)生急劇磨損，影響加工精度，不是包絡(luò)成形理想的基準(zhǔn)齒形。而由圖10可以看出，將齒根線直接改成了圓弧后，離散點的嚙合空間位置(圖11)和成形刀具截面刃形均平滑過渡，是包絡(luò)成形理想的基準(zhǔn)齒形。為此，下面將對r=15 mm(齒根為圓弧)的截面齒形進(jìn)行包絡(luò)成形誤差分析。

圖10 成形刀具截面刃形(r=15 mm)Fig.10 Curve graph of forming tool profile(r=15 mm)

圖11 離散點的空間嚙合位置(r=15 mm)Fig.11 Space meshing position of discrete dots(r=15 mm)

4.3 基準(zhǔn)齒形優(yōu)化后的誤差計算

在成形誤差分析中，基于單螺桿齒槽關(guān)于Y1軸的對稱性，計算Y1軸齒槽長的一側(cè)(圖2中Y1軸的左側(cè))的誤差即可。根據(jù)聯(lián)動和幾何關(guān)系可得到該側(cè)齒槽轉(zhuǎn)角γ的取值范圍：

(31)

將設(shè)計參數(shù)代入計算可得：0≤γ≤96.47°。從0°開始每隔5°取一個誤差計算截面，最后一個截面取γ=96.47°，得到的理論和單次包絡(luò)成形曲面對比圖見圖12，局部放大圖見圖13。

圖12 理論和包絡(luò)成形曲面對比圖Fig.12 Curve graph of comparison between theory and envelope forming surface

圖13 理論和包絡(luò)成形齒形對比局部放大圖Fig.13 Partial enlarged detail curve graph of comparison between theory and envelope forming surface

對每一個γ軸截面上理論和包絡(luò)成形齒形之間的誤差值進(jìn)行計算，計算結(jié)果和齒形誤差分布如圖14所示，最大誤差為1.061 mm。

圖14 不同γ軸截面上齒形誤差分布情況Fig.14 The tooth profile error distribution on different axis sections with correspond γ angles

4.4 計算結(jié)果分析

從以上計算結(jié)果可以看出：

(1)當(dāng)單螺桿基準(zhǔn)齒形的齒根線為直線時，其包絡(luò)成形刀具的截面刃形在對應(yīng)齒根線左右兩端點位置會出現(xiàn)突出尖角，該兩點處左右兩側(cè)的曲率變化量和齒根圓角半徑值有直接關(guān)系，當(dāng)齒根圓角增大時，曲率變化量會減小，刃形曲線會更加平滑，但突出的尖角始終存在。

(2)當(dāng)單螺桿基準(zhǔn)齒形的齒根線為圓弧時，其包絡(luò)成形刀具的截面刃形平滑，無尖角突出，但單次包絡(luò)成形導(dǎo)致的齒形誤差值較大，最大位置的誤差超過了1 mm。

(3)優(yōu)化后的基準(zhǔn)齒形成形誤差分布特點為：齒形誤差值在齒形的中心點處為零，向兩側(cè)先增大后減小，且兩側(cè)的誤差值不對稱，對于右旋螺桿，其左齒面誤差值較大；隨著轉(zhuǎn)動角度γ的不斷增大，γ軸截面上的齒形點進(jìn)入嚙合時，刀臺的轉(zhuǎn)動角度也不斷增大，相對于基準(zhǔn)齒形上的點，其相對速度的變化量也逐漸變大，導(dǎo)致誤差也逐漸增大。

5 結(jié)論

(1)對CP單螺桿齒槽的單次包絡(luò)成形方法進(jìn)行了理論研究，依據(jù)嚙合原理建立了采用單次包絡(luò)成形加工刀具截面刃形、理論齒槽曲面徑矢及包絡(luò)成形齒槽曲面徑矢的計算方法與公式。

(2)利用該計算方法對一種常規(guī)的單螺桿齒槽進(jìn)行了計算，結(jié)果表明該方法加工單螺桿齒槽曲面成形誤差較大，且離齒槽中心點越遠(yuǎn)誤差值越大，無法通過單次包絡(luò)成形加工方法將CP型單螺桿齒槽一次加工成形。