朱喜鋒，文智華，王劍鋒，馬 碩

(1. 蘭州交通大學機電工程學院，蘭州 730070；2. 甘肅省軌道交通裝備系統(tǒng)動力學與可靠性重點實驗室，蘭州 730070；3. 包頭鐵道職業(yè)技術學院鐵道機車車輛系，內蒙古 包頭 014060)

在實際生產中,由于加工水平的限制,機械裝置間會存在間隙和約束,從而使設備發(fā)生碰撞振動,機械振動對于許多工業(yè)機械設備、建筑結構及精密儀器是有害的,它會造成設備的結構損傷和失效，進而會影響機械設備的正常使用.張惠等[1]運用胞映射法研究了一類含間隙預緊彈簧系統(tǒng)的動力學特性,并揭示了系統(tǒng)在不同Poincaré截面上吸引子和吸引域的共存性.侍玉青等[2]通過建立具有間隙和剛性約束碰撞系統(tǒng)來研究此類系統(tǒng)在較小激振頻率區(qū)間的動力學特性,指出了系統(tǒng)存在的周期碰撞運動的類型.楊一帆等[3]建立了一種具有兩自由度的非線性能量阱的機械振動系統(tǒng),將泰勒級數(shù)的推廣用于逼近二階振子處的非線性力,用數(shù)值方法確定了非線性能量阱的阻尼性能.劉曉玲[4]研究了摩擦正交齒輪系統(tǒng)的動力學特性,分析了摩擦正交牽引系統(tǒng)在不同參數(shù)和激勵頻率下的分岔特性.朱喜鋒[5]研究了二自由度彈性和剛性碰撞系統(tǒng)的1/p周期運動的轉遷規(guī)律,吸引子共存現(xiàn)象以及參數(shù)匹配規(guī)律.呂小紅[6-7]以小型振動打樁機建立了動力學模型,通過多參數(shù)協(xié)同仿真的方式研究了系統(tǒng)的周期運動和顫碰運動.李得洋等[8]通過研究單自由度含干摩擦系統(tǒng),發(fā)現(xiàn)了在鞍結分岔和擦邊分岔前后伴隨著系統(tǒng)相軌跡的sliding分岔.丁杰等[9]通過胞映射的方法研究了雙側不同約束時,機械振動系統(tǒng)的周期轉遷規(guī)律.李國芳等[10]通過雙參數(shù)域的方式研究了一類驅動系統(tǒng)的平均速度分布圖,并得到了系統(tǒng)參數(shù)的最佳范圍.李海濤[11]建立考慮重力因素影響的能量采集系統(tǒng)非線性動力學模型,針對動力學方程的非對稱勢能阱開展分析,得到同宿軌道的解析表達形式.通過Melnikov方法獲得發(fā)生同宿分岔的閾值,并使用數(shù)值方法驗證.

目前,大多數(shù)國內外學者對于該類系統(tǒng)都基于線性約束下研究其動力學特性,對于含非線性約束機械振動系統(tǒng)的顫碰運動與轉遷規(guī)律的研究比較少.本文首先選擇一個線性彈簧嵌入連桿機構的模型作為碰撞約束，進而建立二自由度含非線性約束的動力學模型,通過建立Poincarè映射并結合胞映射的方法,分析了該系統(tǒng)(p+1)/1和p/1周期運動的轉遷規(guī)律以及吸引子共存現(xiàn)象.

1 力學模型

建立一類兩自由度含非線性約束振動系統(tǒng)的動力學模型,如圖1所示,其中M1和M2分別表示兩物塊質量,X1和X2表示兩物塊的位移,兩物塊由剛度為K1、K2的線性彈簧和阻尼系數(shù)為C1、C2的線性阻尼連接,作用在兩物塊上的簡諧激振力分別為Pisin(ΩT+τ)(i=1,2),當激振力振幅較大時,會使X1等于B,即物塊M1與外界的非線性約束發(fā)生碰撞.如圖2所示,該約束為一個剛度系數(shù)為K0的彈簧嵌入一個菱形的連桿機構,對于菱形的四連桿機構,由四根相同的剛性桿ab、bc、cd、da組成,假設本文中連桿機構的質量忽略不計.當質塊M1與約束未發(fā)生碰撞時,約束如圖2(a)所示.當質塊M1與約束發(fā)生碰撞時,約束產生形變見圖2(b),此時,彈簧K0所受力為：

圖1 二自由度非線性約束動力學模型

圖2 非線性約束圖

Lsinθ0)K0.

(1)

其中:L表示桿長,θ0表示連桿機構的未發(fā)生碰撞時的角度,z0表示未碰撞時連桿機構的水平寬度,Ls表示剛度為K0的彈簧的初始長度,根據從連桿機構的幾何和力平衡條件,可得到物塊在接觸時受到的恢復力fa為：

(2)

由于間隙和約束的存在使得原本光滑的系統(tǒng)變?yōu)榱艘粋€復雜的動力學系統(tǒng),為了分析的普遍性,引入以下無量綱量.

可得的系統(tǒng)無量綱運動微分方程為：

(3)

其中:

(4)

X(i+1)=f[v,X(i)].

(5)

2 顫碰規(guī)律分析

圖3 分岔圖

圖4 擦邊運動圖

圖5 20/4周期運動相圖

圖6 顫碰運動圖

3 遲滯域及吸引子共存研究

在上述參數(shù)基準值不變的情況下,分別通過增大和減小激振頻率的方式得到分岔圖,如圖7所示,其中紅色部分表示激振頻率增大時得到的分岔圖,藍色部分表示激振頻率減小時得到的分岔圖.其中SNp/n表示隨著激振頻率增加,p/n周期運動碰撞次數(shù)較少一次,產生(p-1)/n周期運動的saddle-node分岔.通過分岔圖可以觀察到,激振頻率減小和激振頻率增大時,發(fā)生Grazing分岔和saddle-node分岔的激振頻率不同且saddle-node分岔的頻率比Grazing分岔大,在p/1運動和(p-1)/1運動之間會產生遲滯域,如圖7(b)(c)(d)所示,其中FHp/1表示產生相應周期運動的遲滯域.

圖7 頻率遲滯圖

可知,頻率遲滯域內有多個吸引子共存現(xiàn)象,圖8為不同遲滯域內吸引子共存的相圖,在遲滯域FH1/1內當激振頻率為ω=0.711且對應不同的初始值時,會存在1/1和2/1周期運動見圖8(a).在遲滯域FH2/1內當激振頻率ω=0.492 1,同時對應不同的初始值時,會存在2/1和3/1周期運動見圖8(b).為了進一步研究共存吸引子和吸引域的分布情況及轉遷規(guī)律,選取相應的初值初態(tài)域,將初態(tài)域劃分為400×400個狀態(tài)胞,得到吸引域分布圖(見圖9),其中藍色表示2/1周期運動吸引域,黃色表示1/1周期運動吸引域，ω=0.70時初態(tài)域內為2/1周期運動,隨著激振頻率的增加,即當ω=0.708、ω=0.711 8、ω=0.720、ω=0.722時,1/1周期運動所占初態(tài)域比例逐漸增多,直至ω=0.725完全都為1/1周期運動.

圖8 共存吸引子相圖

圖9 吸引域分布圖

4 結論

本文建立了一類兩自由度含非線性約束的沖擊振動系統(tǒng)動力學模型,研究了其運動狀態(tài)和不同周期運動之間的轉遷規(guī)律,得到了如下結論：

1) 當系統(tǒng)激振頻率減小時,系統(tǒng)會發(fā)生Grazing分岔,導致系統(tǒng)p碰撞次數(shù)增加,當碰撞次數(shù)足夠大時會產生顫碰運動,而隨著激振頻率的增大,系統(tǒng)會發(fā)生saddle-node分岔,使碰撞次數(shù)p減少.

2) 激振頻率減小時,部分p/1運動進入擦邊進入(p+1)/1運動會被擦邊、混沌、倍化分岔、逆倍化分岔打斷,出現(xiàn)其他運動.

3) Grazing分岔和saddle-node分岔之間會存在一個頻率遲滯域,由于相互轉遷的不可逆，相鄰周期運動之間會產生周期運動共存區(qū),在1/1和2/1周期運動共存區(qū)內,隨著激振頻率增加1/1周期運動吸引域面積逐漸增加，2/1周期運動吸引域面積逐漸減少.