朱啟培，李育房，王彥偉

武漢工程大學機電工程學院，湖北 武漢430205

流體介質中離心泵葉輪固有頻率和振型與空氣中相比均存在差別［1］，對葉輪進行流固耦合下的濕模態(tài)分析、獲取葉輪真實工作環(huán)境下的固有頻率和振型，對于后續(xù)精確進行葉輪動力學分析具有重要參考價值。增大葉輪前后蓋板曲率半徑作為一種改變葉輪固有頻率的方法，對離心泵水力狀況影響小，可為離心泵葉輪結構進行優(yōu)化設計以及模態(tài)分析提供參考。目前國內外對水泵以及其它流體機械濕模態(tài)研究較為廣泛，例如，高海司等［2］對蝸殼式混流泵進行流固耦合下的濕模態(tài)的研究，分析了預應力存在情況和前、后蓋板厚度對模態(tài)的影響，結果表明：預應力作用下葉輪固有頻率基本不變，而蓋板厚度對葉輪各階次固有頻率影響明顯。尹庭赟等［3］針對海水淡化增壓泵進行了流固耦合作用下的模態(tài)分析，結果表明：葉輪材料屬性對干、濕模態(tài)下固有頻率影響顯著，材料的楊氏模量越大，葉輪各階次固有頻率越高。Egusquiza和Rodriguez等［4-5］采取試驗及數(shù)值分析的方式，對水輪機分別在流體和空氣中進行了模態(tài)分析，結果表明：流體中的振型與空氣中相同；但在水體中，葉輪固有頻率會因為水的附加質量效應而降低。張新和陳宇杰等［6-7］基于流體的可壓縮性分析了臥式軸流泵葉輪干、濕狀態(tài)下的模態(tài)特性，結果表明相對于空氣中，水體中葉輪各階次固有頻率降低且各階次振型的振動幅值有所減小。

國內外學者對泵的葉輪模態(tài)做了大量研究工作，并取得較好成果，但針對離心泵葉輪前、后蓋板弧度大小對其固有頻率的影響研究極少。本文以Q5H26離心泵葉輪為研究對象，通過數(shù)值模擬首先得到葉輪流道壓力分布狀況，驗證了葉輪流道的合理性；進而通過聲固耦合算法，對葉輪進行濕模態(tài)特性分析；最后以葉輪前、后蓋板曲率半徑為設計參數(shù)對葉輪進行干、濕模態(tài)分析，分析結果驗證了所選參數(shù)的合理性。

1 理論基礎

離心泵葉輪動力學方程為：

式（1）中，Ms、Cs、Ks分別為系統(tǒng)質量矩陣、阻尼矩陣以及剛度矩陣分別為加速度矢量、速度矢量以及位移矢量；Fs（t）為離心泵所受的預應力，即：流體作用力、自身重力以及自轉離心力。

離心泵葉輪在空氣中模態(tài)分析稱為干模態(tài)分析，稱之為無阻尼模態(tài)，因此：Cs=0、Fs（t）=0，式（1）的動力學方程可簡化為：

對離心泵葉輪水環(huán)境下的模態(tài)分析屬于濕模態(tài)分析，液體對葉輪結構具有耦合作用，考慮液體為靜態(tài)水域且無黏度均勻的可壓縮聲學流體，故流體的三維波動方程為：

式（3）中，c為聲音在流體中的速度，其大小由公式確定；k為流體壓縮模量；p為流體壓力，ρf為流體的密度。

將式（3）離散化可得流體的動力學方程：

式（4）中，Mf為流體質量矩陣；Kf為流體的剛度矩陣；p為流體壓力；R為流體和結構的耦合矩陣；Ff為作用在流體上的外力。

流體介質對葉輪結構所產生的作用可表示為：

式（5）中，n為交界面的法向量；▽p為沿著法線向量的壓力梯度；u?為液體質點的速度矢量。對于聲學流體所產生的作用，葉輪結構的動力學方程為：

式（6）中，F(xiàn)p（t）為流-固接觸面上的面力向量；F0為施加在葉輪結構上的流體力。

故聯(lián)立式（4）與式（6），得到葉輪結構流場耦合三維方程：

式（7）中，Mfs為等效耦合質量矩陣；Kfs為等效耦合剛度矩陣。

2 模型的建立及邊界條件設置

2.1 離心泵模型參數(shù)

本文選取型號為Q5H26的高速離心泵進行研究，其葉輪外徑D2=62 mm，葉片數(shù)Z=6，設計流量Q=5 m3/h，轉速n=7 000 r/min，流體密度ρf=1 200 kg/m3，設計揚程Ht=26 m。為了更加真實地描述葉輪所受到的流體作用力，構建離心泵全流道流場模型，利用Solidworks建模軟件對離心泵葉輪、蝸殼、進出口延伸段進行三維實體建模［8］，建立實體模型。

2.2 葉輪計算模型及網格無關性檢驗

所選葉輪材質為結構鋼，其主要性能參數(shù)：楊氏模量E=200 GPa，密度ρ=7 850 kg/m3，泊松比0.3，屈服強度σs=250 MPa。

利用ANSYS對葉輪結構模型進行4種不同尺寸方案進行網格劃分，劃分后網格的節(jié)點和單元數(shù)目如表1所示。

表1 四種不同尺寸的網格節(jié)點和單元數(shù)目Τab.1 Number of mesh nodes and elements in four different sizes

圖1為網格無關性檢驗結果。由于葉輪整體上為軸對稱結構，故第1、2階固有頻率和第4、5階固有頻率相同，他們之間只相差1個相位角，從圖1中可以看出單位化的固有頻率隨著節(jié)點數(shù)的增加而不斷收斂為1，故本文選取方案4進行網格劃分。

圖1 網格無關性檢驗結果Fig.1 Grid independence test results

2.3 邊界條件設置

采用計算流體動力學（computational fluid dynamics，CFD）數(shù)值模擬方法，用標準的k-Epsilon湍流模型建立控制方程。泵的外特性數(shù)值計算方法采用有限體積法［9-11］。葉輪濕模態(tài)分析采用的水體模型由Ansys/Workbench平臺中的聲學模塊Modal Acoustic進行設置，水體模型由長和寬為0.02 m，高為0.01 m的長方體構成，流體密度ρf=1 200 kg/m3，聲速c=1 460 m/s；并設置葉輪表面為流固耦合面，同時對葉輪圓孔面施加圓柱約束。

3 結果與討論

3.1 流場分析結果

在CFX后處理里查看葉輪及其全流道內的靜壓分布，如圖2所示，計算得到離心泵實際揚程Ha=27.684 m，與設計揚程基本吻合，且葉輪葉片整體靜壓分布均勻，流道設計合理。

圖2 壓力分布：（a）全流道靜壓，（b）葉輪靜壓Fig.2 Pressure distribution：（a）static pressure of whole flow channel，（b）static pressure of impeller

3.2 干、濕模態(tài)結果分析

采取無量綱附加質量系數(shù)λ描述水體的附加質量［12-14］，其計算公式如下：

式（8）中，fd為葉輪干模態(tài)的固有頻率；fw為葉輪濕模態(tài)的固有頻率；Md為附加質量矩陣。

計算得到葉輪在空氣中以及水體下的前4階固有頻率，由表2可以得出，相對于在空氣中，水體中葉輪各階次的固有頻率均有所降低，前2階水體附加質量系數(shù)λ=0.74，固有頻率下降24%；第3階水體附加質量系數(shù)λ=1.26，固有頻率下降較為明顯為34%；第4階附加質量系數(shù)λ=0.60，固有頻率下降21%。結果表明：相對于干模態(tài)，水體的附加質量效應對葉輪固有頻率影響較大，由于水體剛度與葉輪結構剛度相比可以忽略，故葉輪固有頻率大幅度下降。

表2 空氣中和水體中葉輪前四階固有頻率Τab.2 First four natural frequencies of impeller in air and water

空氣中和水體中的前4階固有頻率對應的振型分別如圖3和圖4所示。第1、2階振型相同，為葉輪彎曲模態(tài)，這是由于葉輪為軸對稱模型、振型存在對稱性。第3階為葉輪沿軸向扭轉模態(tài)。第4階振型為葉輪前后擺動模態(tài)。水體中振型基本與干模態(tài)振型保持一致。

圖3 空氣中前4階振型：（a）第1階模態(tài)，（b）第2階模態(tài)，（c）第3階模態(tài)，（d）第4階模態(tài)Fig.3 First four modes in air：（a）first order mode，（b）second order mode，（c）third order mode，（d）fourth order mode

圖4 水體中前4階振型：（a）第1階模態(tài)，（b）第2階模態(tài)，（c）第3階模態(tài)，（d）第4階模態(tài)Fig.4 First four modes in water：（a）first order mode，（b）second order mode，（c）third order mode，（d）fourth order mode

與空氣中葉輪模態(tài)振型相比，濕模態(tài)下的葉輪振動幅值較小，各階次無量綱附加質量系數(shù)λ不同。這是因為葉輪在水體中振動時，對水介質做功，每一階的振動幅度不同，使得對水介質的所做功的大小也不同，導致葉輪每一階的固有頻率降低系數(shù)不同。正是由于葉輪振動對水介質做功，由能量守恒原理可得出葉輪系統(tǒng)的總能量勢必減小，使得葉輪在水體中的振動幅度低于在空氣中的振動幅度。

4 前后蓋板曲率半徑對固有頻率的影響

改變前、后蓋板厚度與葉片厚度會較大程度上改變葉輪質量，改變葉片厚度會對葉輪流道產生較大影響，導致葉輪無法正常工作，且在鑄造葉輪時需要重新開模，增加成本與難度［15］。改變葉輪進口直徑會直接影響離心泵水力效率，導致水力效率下降；改變葉輪材料屬性則會對葉輪抗腐蝕、磨損等產生不利影響，因此選取上述參數(shù)為設計參數(shù)是不可取的。本文選取葉輪前、后蓋板曲率半徑為設計參數(shù)，它對葉輪質量改變較小，但對葉輪結構剛度卻有一定程度的影響。本文研究了不同前、后蓋板曲率半徑大小對葉輪固有頻率的影響，并通過CFX仿真驗證了所取設計參數(shù)的合理性。

對于前蓋板曲率半徑，在原設計模型曲率半徑rs1=8.3 mm基礎上分別取曲率半徑為rs2=12.3 mm，rs3=16.3 mm。對于后蓋板曲率半徑，在原設計模型圓弧半徑rh1=18 mm基礎上分別取曲率半徑為rh2=28 mm，rh3=38 mm。對所取參數(shù)進行CFX數(shù)值模擬計算，分別得到前后蓋板曲率半徑與揚程的關系，如圖5所示，前蓋板曲率半徑增大，揚程減小，水力效率下降，后蓋板曲率半徑增大，揚程增大，提高了水力效率。結果表明：選取前、后蓋板曲率為設計參數(shù)較為合理，且增大后蓋板曲率半徑提高了水力效率。

圖5 蓋板曲率半徑對揚程影響曲線Fig.5 Influencecurves of cover plate curvature radius on lift

驗證所選參數(shù)合理性之后，分別計算得到前后蓋板不同曲率半徑下的葉輪干、濕模態(tài)下的固有頻率，計算結果如圖6和圖7所示，其中N表示葉輪的模態(tài)階次。

由圖6（a）和7圖（c）可以得出，增大前蓋板曲率半徑，葉輪第1、2階干、濕模態(tài)的固有頻率隨著曲率半徑增大而減小；而第3、4階干、濕模態(tài)的固有頻率隨著曲率半徑增大而增大，但增大前蓋板曲率半徑減小了水力效率，故對葉輪結構優(yōu)化設計以及模態(tài)分析時，在保證水力效率下可適當增大前蓋板曲率半徑。

由圖6（b）和圖7（b）可以看出，增大后蓋板曲率半徑增大，葉輪干、濕模態(tài)下各階次固有頻率增大，共振頻率增大，且干模態(tài)下固有頻率增幅較濕模態(tài)下固有頻率增幅大，這是由于濕模態(tài)下水體對葉輪所產生的附加質量大，產生的阻尼減弱了葉輪的振動，且增大后蓋板曲率半徑提高了水力效率，故在對葉輪進行結構優(yōu)化設計以及需要提高葉輪固有頻率時，可增大葉輪后蓋板曲率半徑。

圖6 不同蓋板曲率半徑葉輪干模態(tài)下固有頻率：（a）前蓋板，（b）后蓋板Fig.6 Natural frequencies of impeller with different cover curvature radiiin dry mode：（a）front cover，（b）rear cover

圖7 不同蓋板曲率半徑葉輪濕模態(tài)下固有頻率：（a）前蓋板，（b）后蓋板Fig.7 Natural frequencies of impeller with different cover curvature radii in wet mode：（a）front cover，（b）rear cover

5 結 論

通過對比分析離心泵葉輪干、濕模態(tài)變化規(guī)律以及葉輪前、后蓋板曲率半徑大小對其干、濕模態(tài)的影響，得出結論如下：

1）在流體介質環(huán)境下，離心泵葉輪的固有頻率相對于空氣中的固有頻率有所下降，附加質量系數(shù)在0.60至1.26之間，干、濕模態(tài)下對應的各階次振型相同且各階次振型幅值有較為明顯的減弱。

2）增大葉輪前蓋板曲率半徑，流道內壓力分布變化合理，揚程減小，水力效率減??；葉輪干、濕模態(tài)下前2階固有頻率減小，第3、4階固有頻率增大。

3）增大葉輪后蓋板曲率半徑，流道內壓力變化合理且揚程增大，水力效率最大可提高2%；葉輪干、濕模態(tài)下前4階固有頻率增大。