郭慧鵬，陳旭勇，許峙峰，操 爽

武漢工程大學(xué)土木工程與建筑學(xué)院，湖北 武漢430074

在對(duì)橋梁進(jìn)行非概率可靠性評(píng)估時(shí)，可靠性指標(biāo)對(duì)區(qū)間參數(shù)變化非常敏感，區(qū)間估計(jì)準(zhǔn)確度直接影響著橋梁可靠性評(píng)估的結(jié)果。農(nóng)村公路橋梁受歷史資料殘缺、試驗(yàn)經(jīng)費(fèi)少等因素制約，區(qū)間參數(shù)數(shù)據(jù)主要來(lái)源于現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)，因而獲取的數(shù)據(jù)十分有限。如何對(duì)有限的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行處理優(yōu)化，獲取精確的參數(shù)區(qū)間對(duì)于非概率可靠性評(píng)估具有重要意義。

傳統(tǒng)的概率參數(shù)估計(jì)方法需要大量的數(shù)據(jù)作為基礎(chǔ)，并需要知道樣本的總體分布形式。對(duì)小樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時(shí)需要事先假設(shè)樣本的總體分布，而不合理的分布假設(shè)會(huì)直接影響參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確度。針對(duì)小樣本數(shù)據(jù)少、貧信息的特點(diǎn)，可依據(jù)鄧聚龍［1］提出的灰色系統(tǒng)理論以及劉思峰等［2］提出的灰色關(guān)聯(lián)度進(jìn)行研究。劉義等［3-4］基于小樣本數(shù)據(jù)間的拓?fù)潢P(guān)系和距離關(guān)系提出了灰色距離測(cè)度這一概念，并給出了滿足一定灰色置信度下的灰色置信區(qū)間的求解方法。吳云潔等［5］將重抽樣方法與基于灰色系統(tǒng)理論的區(qū)間估計(jì)方法相結(jié)合，提出了小樣本灰色置信區(qū)間的求解方法。楊文光等［6］在灰色距離測(cè)度中引入了樣本誤差均值和誤差方差，提出了基于熵權(quán)法的參數(shù)估計(jì)方法。為了改善自助法抽樣的局限性，Xia等［7］利用自助法和灰色系統(tǒng)理論的優(yōu)點(diǎn)，提出了灰自助法用于小樣本數(shù)據(jù)的參數(shù)估計(jì)，但對(duì)于區(qū)間估計(jì)的應(yīng)用還不是很完善。曹欣等［8］在此基礎(chǔ)上對(duì)原灰自助法抽樣和數(shù)據(jù)擬合的方法進(jìn)行了改進(jìn)，避免了極小樣本下的重復(fù)抽樣，并對(duì)比了自助法和改進(jìn)灰自助法的分布直方圖，說(shuō)明了改進(jìn)灰自助法的優(yōu)越性。陳柔伊等［9］將改進(jìn)的灰自助法引入到了電力系統(tǒng)中進(jìn)行可靠性原始參數(shù)預(yù)測(cè)。汪啟躍等［10］將灰自助法應(yīng)用到了乏信息隨機(jī)振動(dòng)信號(hào)的分析中，對(duì)功率譜密度進(jìn)行了區(qū)間估計(jì)，并與自助法進(jìn)行對(duì)比說(shuō)明其區(qū)間估計(jì)的優(yōu)勢(shì)?？抡亟莸龋?1］提出了一種基于灰自助和未確知有理數(shù)的新方法，但對(duì)于區(qū)間估計(jì)還是需要假設(shè)樣本的總體分布。目前，灰自助法已經(jīng)航空航天、機(jī)械制造以及巖土工程等很多領(lǐng)域得到了應(yīng)用［12-16］。

在以上研究的基礎(chǔ)上，本文將灰自助抽樣與基于灰色系統(tǒng)理論的區(qū)間估計(jì)方法相結(jié)合，應(yīng)用到橋梁參數(shù)的區(qū)間估計(jì)中，并給出了具體的計(jì)算過(guò)程。該方法不依賴樣本的總體分布，具有廣泛的適用性。最后通過(guò)實(shí)例計(jì)算對(duì)比了3種區(qū)間估計(jì)方法的區(qū)間估計(jì)效果，驗(yàn)證了上述方法的合理性及有效性。

1 相關(guān)理論及定義

1.1 灰自助法

自助法抽樣是在原始樣本范圍內(nèi)重復(fù)抽樣，擴(kuò)展樣本數(shù)。但抽樣局限于原始樣本范圍內(nèi)，當(dāng)樣本極小時(shí)，不可避免地會(huì)出現(xiàn)重復(fù)抽樣，造成的誤差會(huì)在原始樣本數(shù)據(jù)誤差的基礎(chǔ)上繼續(xù)擴(kuò)大，使結(jié)果極大地偏離真實(shí)分布。

灰自助法將灰色GM（1，1）預(yù)測(cè)模型與自助法結(jié)合起來(lái)，改善了自助法抽樣局限于原始樣本范圍內(nèi)的缺陷，避免了重復(fù)抽樣。本文采用經(jīng)驗(yàn)分布進(jìn)行抽樣，其原理如下：

假設(shè)橋梁某參數(shù)現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)所得樣本數(shù)據(jù)列向量為

根據(jù)自助法抽樣，將數(shù)據(jù)由小到大進(jìn)行排序

經(jīng)驗(yàn)分布的函數(shù)值為

對(duì)經(jīng)驗(yàn)分布進(jìn)行抽樣的過(guò)程為

1）在（0，1）區(qū)間產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)r；

2）令β=（n-1）r，i=int（β）+1；

重復(fù)抽樣n次可得第一個(gè)自助樣本，重復(fù)多次，即可得到多個(gè)自助樣本。對(duì)每個(gè)自助樣本分別進(jìn)行升序、降序排列，分別通過(guò)灰色GM（1，1）預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)下一個(gè)值，相當(dāng)于對(duì)每個(gè)自助樣本區(qū)間邊界進(jìn)行了擴(kuò)展，改善了自助法在原始樣本范圍內(nèi)抽樣的局限性?；疑獹M（1，1）預(yù)測(cè)模型原理如下：

對(duì)每個(gè)自助樣本排序后累加生成新的數(shù)據(jù)序列，按均值生成法構(gòu)造背景值

其中，Y為x1,x2,···,xi相加的和，Z為背景值函數(shù)。

建立GM（1，1）模型的白化方程為

估計(jì)發(fā)展系數(shù)a，灰色作用量b

求解得到相應(yīng)函數(shù)為

通過(guò)累減還原得到該樣本的預(yù)測(cè)值。

1.2 灰色系統(tǒng)理論

灰色系統(tǒng)理論是將每個(gè)樣本與整個(gè)樣本空間的距離關(guān)系定義為灰色距離測(cè)度，在給定的灰色置信度下求解灰色置信區(qū)間。

1）計(jì)算樣本中某一數(shù)據(jù)相對(duì)于樣本中其他數(shù)據(jù)的灰色距離

2）計(jì)算樣本中所有樣本點(diǎn)的平均灰色距離

3）計(jì)算每個(gè)樣本點(diǎn)的灰色權(quán)重

4）整個(gè)樣本的灰色估計(jì)值

5）在給定的灰色置信度α下，灰色置信區(qū)間為

6）求解每個(gè)樣本的灰色置信區(qū)間，通過(guò)取交集的方式獲取更加精確的灰色置信區(qū)間。

2 實(shí)例驗(yàn)證與方法比較

自助法抽樣由于在原始樣本范圍內(nèi)進(jìn)行抽樣，不可避免地會(huì)造成區(qū)間估計(jì)結(jié)果更窄，估計(jì)結(jié)果會(huì)與實(shí)際出現(xiàn)較大偏差。本文方法是在文獻(xiàn)［5］的基礎(chǔ)上改進(jìn)了抽樣方法，利用灰自助抽樣取代自助法抽樣，改善自助法抽樣的局限性。為更好地驗(yàn)證本文所提方法有效性，下面通過(guò)實(shí)例進(jìn)行比較分析。

以實(shí)測(cè)橋梁混凝土強(qiáng)度的數(shù)據(jù)作為小樣本數(shù)據(jù)，樣本X=｛35.1，34.1，33.7，33.9，35.6，35.0，33.8，35.3，34.3，34.9｝，共10個(gè)樣本數(shù)據(jù)。

1）基于灰色系統(tǒng)理論的區(qū)間估計(jì)方法：

取灰色置信度為0.6，根據(jù)灰色系統(tǒng)理論方法算得灰色估計(jì)值為34.589，灰色置信區(qū)間為［33.956，35.222］，區(qū)間寬度為1.267。

2）自助法抽樣與基于灰色系統(tǒng)理論的區(qū)間估計(jì)方法相結(jié)合：

取灰色置信度為0.6，計(jì)算得到原始樣本以及4個(gè)抽樣樣本的置信區(qū)間，通過(guò)取交集的方式得到最終的置信區(qū)間如表1。

表1 各樣本的灰色置信區(qū)間Τab.1 Gray confidence intervals of each sample

3）本文方法：

本文將灰自助抽樣與基于灰色系統(tǒng)理論的區(qū)間估計(jì)方法相結(jié)合來(lái)對(duì)小樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行區(qū)間估計(jì)，該方法無(wú)需知道樣本的總體分布形式。取置信度為0.6時(shí)，計(jì)算得到原始樣本以及4個(gè)抽樣樣本的置信區(qū)間，通過(guò)取交集的方式得到最終的置信區(qū)間如表2。

表2 各樣本的灰色置信區(qū)間Τab.2 Gray confidence intervals of each sample

將以上3種方法獲得的置信區(qū)間進(jìn)行對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)采用自助法對(duì)原始樣本進(jìn)行擴(kuò)充獲得多組相似樣本后，各相似樣本的灰色置信區(qū)間相互交錯(cuò)，通過(guò)取交集可以排除隨機(jī)誤差對(duì)結(jié)果的影響，進(jìn)而獲得更加精確的灰色置信區(qū)間。

圖1將3種方法在不同灰色置信度下的置信區(qū)間進(jìn)行了對(duì)比。從圖1中可以看出，任一相同灰色置信度下，方法2和方法3計(jì)算得到的區(qū)間寬度更窄，這是因?yàn)榉椒?及方法3采用自動(dòng)法抽樣對(duì)原始樣本數(shù)據(jù)信息對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行了擴(kuò)充，獲取了大量有效信息，彌補(bǔ)了統(tǒng)計(jì)理論在小樣本數(shù)據(jù)估計(jì)中的不足，估計(jì)的精度更高。而方法2得到的區(qū)間寬度比本文方法更窄，但由于自助法抽樣局限于原始樣本范圍內(nèi)，所以并不能說(shuō)明其結(jié)果更加可靠。

圖1 3種區(qū)間估計(jì)方法的置信區(qū)間比較Fig.1 Comparison of confidence intervals of three interval estimation methods

為了說(shuō)明本文方法得到的結(jié)果相比于方法2更加符合實(shí)際。本文將算例中實(shí)測(cè)的混凝土強(qiáng)度樣本數(shù)據(jù)作為原始樣本，灰自助法及自助法仿真樣本數(shù)均為1 000，對(duì)比其通過(guò)灰自助抽樣以及自助法抽樣后的樣本分布。

大量實(shí)測(cè)及統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明，混凝土強(qiáng)度服從正態(tài)分布，故原始密度函數(shù)服從正態(tài)分布。從圖2中可以看出灰自助抽樣的分布明顯好于自助法抽樣分布。在小樣本的情況下，灰自助法抽樣得到的樣本分布更加接近樣本的真實(shí)分布，其分布更加平滑。而自助法抽樣局限在原始樣本范圍內(nèi)，所以其樣本分布與樣本真實(shí)分布相差較大，而且連續(xù)性也不強(qiáng)。故在本文所采用的抽樣方法所獲得的樣本更加符合實(shí)際，最終計(jì)算得到的區(qū)間估計(jì)結(jié)果也更加可靠。

圖2 樣本分布：（a）原始樣本，（b）自助法樣本，（c）改進(jìn)灰自助法樣本，（d）原始樣本真實(shí)分布密度Fig.2 Sample distribution：（a）original sample，（b）bootstrap sample，（c）improved grey bootstrap sample，（d）truedensity curve of original sample

3 結(jié) 論

對(duì)農(nóng)村公路橋梁進(jìn)行可靠性評(píng)估時(shí)，現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)獲得的橋梁參數(shù)數(shù)據(jù)有限。對(duì)于區(qū)間變量，其區(qū)間估計(jì)的準(zhǔn)確性直接影響著可靠性指標(biāo)的大小。針對(duì)小樣本數(shù)據(jù)的區(qū)間估計(jì)，本文將灰自助抽樣與基于灰色系統(tǒng)理論的區(qū)間估計(jì)方法相結(jié)合，將其應(yīng)用到小樣本數(shù)據(jù)的區(qū)間估計(jì)中。該方法具有以下特點(diǎn)：

1）灰自助法抽樣通過(guò)灰色GM（1，1）預(yù)測(cè)模型對(duì)樣本邊界進(jìn)行擴(kuò)展，改善了自助法抽樣局限于原始樣本內(nèi)的缺陷。

2）基于灰色系統(tǒng)理論的區(qū)間估計(jì)方法不依賴原始樣本的分布形式，無(wú)需假設(shè)概率分布特征，能夠有效解決小樣本、貧信息問(wèn)題中參數(shù)的區(qū)間估計(jì)。

3）算例的計(jì)算結(jié)果表明，本文所采用的方法在任意灰色置信度下區(qū)間估計(jì)的結(jié)果均好于基于灰色系統(tǒng)理論的區(qū)間估計(jì)方法。相較于方法2中的自助法抽樣，本文的采用的灰自助法抽樣是對(duì)自助法抽樣進(jìn)行了改進(jìn)，改善了自助法抽樣的局限性，通過(guò)其獲取的樣本更加接近樣本的真實(shí)分布，故采用本文方法對(duì)農(nóng)村公路橋梁參數(shù)進(jìn)行區(qū)間估計(jì)時(shí)具有較高的可信度。