高紅成 霍云娟

(1.天津師范大學 數學科學學院，天津 300387； 2.內蒙古師范大學 科學技術史研究院，呼和浩特 010022； 3.天津市第六十三中學，天津 300190)

晚清，中國數學逐步走向近代化。一方面，諸如解析幾何、微積分、符號代數、概率論等西方數學傳入中國，逐漸被中算家承認、理解、吸收和運用；另一方面，中國傳統(tǒng)數學受到西方數學概念、方法的影響，逐漸被“西化”，最終被取代，如天元術、垛積術等領域。[1]不過，這個近代化過程是復雜的，面對近代西方數學的“優(yōu)勢”，傳統(tǒng)數學并非“一邊倒”地立即被取代，有的甚至還有所發(fā)展，出現一些有特色的成果，如華蘅芳(1833—1902)所創(chuàng)造的積較術。本文要討論的陳平瑛“積較開方新術”則是華蘅芳積較術的發(fā)展。

陳平瑛是清末民初福建數學家。郭金彬在《清代八閩數學家略論》[2]中對他做過簡單介紹。筆者在《代數布式，天元開方——卡爾達諾公式在晚清的境遇》[3]中討論了陳氏對卡爾達諾公式的理解和應用，在《〈中西算學題鏡〉研究》[4]中對陳氏的數學著作《中西算學題鏡》進行了較為全面的論述，對積較開方新術也有初步的解讀。上述研究或沒有論及陳氏積較開方新術，或是對其中蘊含的數學思想挖掘不夠，特別是對這個方法與陳氏本人對垛積術的研究之間的關系揭示不夠。本文先利用新史料考訂陳平瑛的生平，其次討論陳氏對垛積術與招差術的研究創(chuàng)見及其思想來源，然后考察陳氏“零邊積較”的構造及其“簡商之法”，接著討論陳氏還原表以及“徑求開方之法”，最后對這一成果的歷史意義進行評述，以期對陳氏積較開方新術的數學意義和歷史意義有更深入的認識。陳氏著作采用了晚清李善蘭(1811—1882)、偉烈亞力(A. Wylie，1815—1887)共創(chuàng)的漢譯代數符號(正文中有示例)，為了便于討論，本文改用現代的數學符號進行表述。

1 陳平瑛生平考證

陳平瑛，字修常，號仲容，福建侯官(現屬福州市閩侯縣)人，清末民初數學家，數學著作有《中西算學題鏡》(1901)8卷[注]光緒三十二年(1906)八月十二日，陳氏曾將《中西算學題鏡》贈送給時任廣州府中學堂監(jiān)督的丘逢甲。[5][6]、《直乘法》(1916)[注]按陳平瑛序言記載，此書為他《算學觀?！?種的第一種?！端銓W觀海》1914在年德國柏林圖書賽會、1915年在巴拿馬圖書賽會展出。另，1914年《廣東教育公報》第5期報道了陳平瑛請德國駐廣州領事代為轉寄參會的新聞。[7][8]。關于陳氏的生平，以往的研究[2，4]只有一些簡短的介紹，現基于部分新發(fā)現的史料做一些訂正和補充。

首先是陳平瑛的生年。陳氏在其《直乘法》的序中稱：“中華民國二年十一月閩侯陳平瑛仲容自序于廣州，時年三十有五?！盵8]又，盧朋著在光緒壬寅(1902)四月為《中西算學題鏡》作序稱贊陳氏“今年才二十四，大集彬彬，又成不朽盛業(yè)”。([6]，盧朋著序) 盧朋著(1876—1839)，名雄飛，廣東新會(現江門市新會區(qū))人，近代著名的中醫(yī)教育理論家。早年好算學，著有《算學心得初集》、《算學講義》。[9]盧氏與陳氏為世交，年少時“同習算”，“比長嘗共事學堂”，二人給對方著作寫序時互以“同譜兄弟”相稱。[10]“中華民國二年”(1913)35歲，“光緒壬寅”24歲，兩條史料相互印證，可以推定陳氏生于1879年。[注]我們曾認為陳氏生于1881年[4]，所據為網絡資料，在此依據新發(fā)現的史料予以訂正。

其次補充陳氏的一些生平信息。盧朋著曾介紹說：

仲容之家學淵源盛矣。遵甫謹庵先生斐然有作，既著《算珠》，近復成《天學題鏡》，啟誘來茲。令昆伯達、令弟懷祖俱深于形代。仲容幼即嗜算，七八歲時便日以白堊涂塾壁作幾何圖，長更博涉英文，孶孶不倦。([6]，盧朋著序)

盧氏還稱陳氏“一門之內，父子兄弟孜孜為學，而于幾何天算之藝治之尤專?！?[11]，盧朋著序) 可見，陳家可謂數學世家。陳平瑛本人自幼喜好數學，有數學著作出版；其兄陳修齡，號伯達，有《公式演算》5卷(1905)[11]傳世；其父有數學著作《算珠》、《天學題鏡》；其弟懷祖對幾何和代數有研究。

根據《福建鄉(xiāng)試錄(光緒丁酉科)》記載，陳平瑛參加福建省丁酉(1897)科鄉(xiāng)試，中式第75名。[12]他第三場的天文算學策問優(yōu)異，為世人稱道。他的學生馬麟書說他“生而穎悟，幼通算理，年未弱冠，以算學名天下，其丁酉科闈中所對天算策問，傳誦于時?！?[6]，馬麟書后敘) 盧朋著也稱“仲容丁酉舉于鄉(xiāng)，已以天算作驚人一鳴?！?[6]，盧朋著序) 又，陳平瑛后來給黃啟明(字佩星)的《微積通詮》一書作序稱：“歲甲辰，余課算于廣州府中學堂，花縣黃君佩星惠然造訪，談論數理，彼此甚歡?！盵13]在其自著的《直乘法》“又序”中稱：“民國三年四月任職數學教員于廣東高等師范學堂?！盵8]從這兩條史料可知，陳氏曾前后在廣州府中學堂和廣東高等師范學堂任數學教師。陳氏懂英語，《中西算學題鏡》卷8“幾何”就是其譯作。

《中西算學題鏡》(以下簡稱《題鏡》)是陳平瑛的代表作，兼及“發(fā)明古義”和“獨創(chuàng)新術”([6]，盧朋著序)。陳氏對傳入的微積分、代數學都有很深刻的認識，如他對《代數術》中卡爾達諾公式的理解和把握是同時代中算家中的佼佼者。[3]他的“積較開方新術”是他對垛積術(卷3“論垛積之理”)和開方術(卷4“論開方之理”)綜合研究的成果。

2 陳氏垛積公用表與朱世杰招差術的推廣

2.1 朱世杰招差術的推廣：“一切垛積之題皆以此法通之”

由于符號代數學和微積分學的傳入及其影響，特別是符號代數在數學表示上的優(yōu)越性，晚清數學家對垛積術、招差術的一般性的認識越發(fā)清晰。

圖1 p乘三角垛 (賈憲三角形)

(1)

式(1)是垛積術的基礎。([1]，345頁)

同時，晚清數學家逐漸認識到朱世杰招差術的一般性，即這個方法給出了解決一類垛積求和問題的算法：先將給定的垛積分解為若干“乘數遞次增一，項數遞次減一”的p乘三角垛(p=3，2，1，0)，然后再依據式(1)求和。根據其分解規(guī)律，各階差分即為分解出的各p乘三角垛的個數，即“所招各差”，其中“初差(上差)”為垛積首項。[14]

陳平瑛《題鏡》卷3“專論垛積之理”，所用垛積名稱承續(xù)李善蘭的《垛積比類》。他明確指出，朱世杰招差術可以推廣到解“一切垛積之題”，而不僅僅局限于解“乘方垛招兵”一類的題。他說：

原術(指朱世杰招差術)專為解“乘方垛”、“招兵”一類題而設。今因《四元玉鑒》中“嵐峰落一”門類頗多，學者每苦難于記憶，因為推廣原術，一切垛積之題皆以此法通之。執(zhí)簡馭繁，無待探索，亦習是術者之一快事也。([6]，卷3: 2b頁)

他的做法就是，先一律將所求垛積分解為若干p乘三角垛(即便是按p乘三角垛規(guī)律給出的垛積也如此)，再基于式(1)求和。以《題鏡》卷3第4題為例，原題為：

今有茭草八千五百六十八束，欲令撒星更落一形垛之，問底子幾何？([6]，卷3: 9b頁)

圖2 朱世杰招差術求諸差(r從1開始)

(2)

兩邊對r求和，由式(1)有

(3)

要求出“高”(n)，一般方法是，先得到關于n的開方式，最后運用開方術解出n。根據已知條件有

(4)

(5)

展開、合并，可得開方式:

n5+10n4+35n3+50n2+24n=120×8568

(6)

開五次方得n=14。原題得解。

陳平瑛何以看出招差術的一般性呢？他在《題鏡》卷3第1題“注文”指出他思想的來源：“解題之理，則從嘉善陳氏‘垛積’、‘招差術’推出。”([6]，卷3: 2b頁) 這里的“嘉善陳氏”指的是陳維祺，生卒年不詳，曾從數學家劉彝程(約1840—？)學習算學?！吨形魉銓W大成》是陳維祺主持編纂的一部大型算學類書，較為全面地系統(tǒng)匯集了當時中西數學主要內容，共100卷，由劉彝程“鑒定”，1889年由上海同文書局石印刊行。

陳平瑛提到的“垛積”、“招差術”分別指的是《中西算學大成》卷43“天元術四”的兩節(jié)內容：“朱氏垛積”和“垛積招差術解”。前者摘錄《四元玉鑒》中的垛積術和招差術，共11題。后者是對招差術的解釋。陳維祺解釋道：“松庭朱氏《四元玉鑒》中‘如像招數’五問為垛積最精奧之理。……嘗深思而得其理，不外求諸方積各層之較數，亦不外三角平立各垛之各層。洞悉其原，勢如破竹?！盵15]為說明“洞悉其源”，陳維祺運用晚清的代數符號，給出了一個“三乘方招兵”(即按自然數4次方規(guī)律招兵)的例題，仿照招差術思路進行解答并給出了算法分析。該題雖依然局限于招兵，但通項次數比朱氏“立方招兵”高了一次，從三次升到四次，朱氏招差術的一般性已昭然若揭了。顯然，陳平瑛在陳維祺的基礎上更進一步，將招差術大膽地推廣到解“一切垛積之題”。

需要指出的是，陳平瑛以為“垛積招差術解”是陳維祺所作，并不確切。數學家周達(1879—1949)曾記載說“聞之沈君立民云”，這個術解“本于興化劉省庵先生”。[16]沈立民(生卒年不詳)，即沈善蒸，浙江桐鄉(xiāng)人，也曾從劉彝程(字省庵)學習算學，后在上海廣方言館任副教習，為劉彝程的助手。[17]劉氏對垛積術很有研究，成果頗豐，沈善蒸、陳維祺都是劉彝程的學生，周達的記載應該可信。這樣，可以畫出朱世杰招差術被明確推廣的研究路徑：劉彝程→陳維祺→陳平瑛。

2.2 垛積公用表：多項式差分形式到冪和形式的過渡矩陣

從式(4)到式(6)的運算過程中，涉及多項式乘法、通分、同類項合并等運算，這在籌算和晚清漢譯數學符號系統(tǒng)中，演算均有諸多不便。陳平瑛說：“各項連乘后復相加減，其法必甚繁重，而幾至不能用?！?[6]，卷3: 4a頁)

表1 垛積公用表(n從1起算)

圖3 差分形式變形為冪和形式的表格算法

這個“橫乘豎加”的過程用現今的矩陣乘法可以表示如下：

=24n+50n2+35n3+10n4+n5

(6′)

綜上可知：第一，陳氏明確地把朱世杰招差術推廣到任意的高階等差數列求和，相當于求出多項式的差分形式(與牛頓向前插值公式相當)，最后基于(1)式求和。第二，構造了“垛積公用表”，基于此表進行“橫乘豎加”，可以很快地將多項式的(弱)差分形式化為冪和形式。陳氏對此表頗為自得，認為它“以之推一切垛積之題，無不可通，誠可為垛積公用之表?！?[6]，卷3: 5b頁)

3 陳氏積較表以及“簡商之法”

垛積“有積求高”題，若要用開方術求解，則最后的開方式須是從上到下降冪排列的冪和形式。這樣做之前需通過多項式變形或者利用“垛積公用表”把差分形式的式(5)變形為式(6)。華蘅芳曾創(chuàng)造了積較術從另外一個角度解決這個問題。該術先給出一種求多項式在零點的差分表達式的方法，這個表達式相當于多項式的牛頓向后插值公式，其系數被稱為“零邊積較”；由“零邊積較”可得到多項式對應方程的差分表，即所謂的“積較表”；該表具有減根變換的作用，華氏最終運用它求解方程的整數根。[18]華氏積較術是傳統(tǒng)數學中的招差術和開方術在晚清的發(fā)展，很有影響，學界對此的研究頗多。[18- 22]陳平瑛洞悉華氏積較術用以“開方”的本意，但他認為華氏原法“太覺繁重，因變通其例，別演新術”，在《題鏡》卷4也給出了一種通過方程的零邊積較和積較表來解方程的算法，陳氏稱其為“積較開方新術”。([6]，卷4: 16b頁) 陳氏所用術語仿照華氏，不過數學意義有所不同。

3.1 陳平瑛的“零邊積較”和“積較表”：“加減”求根

表2 陳氏積較表(n從0起算，原表略)

因為多項式是系列np的線性組合，運用積較表可以較快地得到多項式的零邊積較，進而“依次加減”得到整個差分表。以陳氏解開方式(7)為例進行說明。

n3-8n2-13n+140=0

(7)

取表2的前4行，按圖4所示程序進行“橫乘豎加”，可以得到式(7)的零邊積較(140，-20，-10，6)，對應的方程陳氏稱為“積較式”，即式(8)。

圖4 多項式方程化成零邊方程的表格算法

(8)

既得到零邊積較，便可以遞推出(8)“增率為一”(n=0，1，2，…)的整個差分表(積較表)，部分如表3。

表3 積較式的積較表

由表3可以看出n=5和n=7是開方式(7)的兩個根。

同樣地，圖4“橫乘豎加”的過程若用矩陣乘法可表示如下：

方程(7)的零邊積較還可以直接通過朱世杰招差術得到，程序參考圖2。零邊積較無論是直接得到還是通過積較表獲得，目的是通過“加減”求得整個差分表(積較表)，因為差分表具有減根變換的性質，這樣就能得到方程的根。

陳氏零邊積較與華氏零邊積較沒有本質區(qū)別。前者可以看成多項式的牛頓向前插值公式的系數，后者相當于是向后插值公式的系數；在求各階差分的具體操作時，前者將差寫在減項之下，后者將差寫在被減項之下。方程的根是根據零邊積較“加減”而成的“積較表”得到，而不再是通過傳統(tǒng)的(正負)開方術。

3.2 求零邊積較的“簡商之法”：基于多項式的嵌套形式

陳氏認識到，求方程的零邊積較是一個關鍵步驟。他設計了一個程序，“不用積較表以求積較”，稱之為“簡商之法”。下面以他求方程(9)的零邊積較為例進行說明。

n4+2n3-41n2-42n+360=0

(9)

方程按降冪排列后，前4項以(n-1)除，所得商的前3項以(n-2)除，所得商的前2項以(n-3)除，由此得到余數列{1，8，-28，-80，360}，分別依次乘以4!、3!、2!、1!、1，得到數列{24，48，-56，-80，360}，即為零邊積較，對應的零邊方程(積較式)為

(10)

“簡商之法”的程序如圖5所示。其運算的代數意義如下：

圖5 求零邊積較的“簡商之法”

這個例子具有一般性。設多項式為p次，降冪排列，前p項用(n-1)除，所得商的前(p-1)項用(n-2)除，……，所得商的前(p-k)項用(n-k-1)除，……，所得商前2項用(n-p-1)除。各次除法后的余數列依次乘以p!、(p-1)!、…、1!、1，所得數列即為零邊積較。

陳氏“簡商之法”相當于先運用綜合除法將多項式冪和形式逐步變形為嵌套形式，然后變形為差分形式，最終得到零邊積較。相較于積較表的表格算法(圖4)，“簡商之法”更簡捷，程序性更強，可操作性也很強。這是陳氏的一個創(chuàng)見。

4 積較還原表和“徑求開方之法”

4.1 積較還原表：從差分形式到冪和形式

表4 陳氏積較還原表(n從0起算，原表略)

4.2 “徑求方之法”：嵌套形式的展開

陳氏認為利用還原表求開方式還是比較麻煩，他設計了一個“徑求開方之法”，更具有程序性。以前文的零邊方程(10)為例進行說明，相應程序如圖6所示。

圖6 “徑求開方之法”

陳氏先將零邊積較24、48、-56、-80、360分別除以4!、3!、2!、1!、1，得到數列{1，8，-28，-80，360}，然后進行3次乘加運算：

第一次乘加：1乘以-3與8相加得5，5乘以-2與-28相加得-38，-38乘以-1與-80相加得-42，停止；

第二次乘加：1乘以-2與5相加得3，3乘以-1與-38相加得-41，停止；

第三次乘加：1乘以-1與3相加得2，結束。

最后得到數列{1，2，-41，-42，360}，即為開方式n4+2n3-41n2-42n+360=0各項的系數。

陳氏指出“徑求開方之法”為“前法(簡商之法)之還原”，實際上就是“簡商之法”的逆操作，相當于將差分表達式按次數展開逐次合并同類項，最后得到冪和形式(開方式)，程序性強，省去了表格算法之繁。這也是陳氏的一個創(chuàng)新。

5 結 語

一般而言，傳統(tǒng)數學中的垛積問題有兩類：第一類，已知通項和項數(n)，求和，即所謂的“有高求積”。第二類，已知通項與和，求項數(n)，即所謂的“有積求高”。晚清垛積類的問題大多數是以第二類情形出現。中算家基本上都認識到賈憲三角形斜行(p乘三角垛，圖1)的重要性質——式(1)，這是垛積術的基礎。

第一類問題，是基于式(1)求和的，而式(1)左右兩邊多項式都是以差分形式表現出來的，所以這類問題需將通項化成差分形式才能求和，這是招差術的數理基礎。第二類問題是第一類問題的逆問題，需要先按第一類問題求和，這時的和依然是差分形式，一般需要將這個差分形式轉化為冪和形式(開方式)，最后運用開方術求解出“高”(n)。所以解決這類問題，要綜合運用到垛積術、招差術、天元術、(積較)開方術，到晚清還需加上代數術。這也是陳平瑛“積較開方新術”雖然是開方方法，卻要從垛積術談起的原因。

陳平瑛從陳維祺的解讀中將朱世杰招差術進行了推廣。同時，他還深刻認識到了華蘅芳“零邊積較”的來由和目的，故能用推廣的朱世杰招差術來構造自己的“零邊積較”，也給出了多項式冪和形式化成差分形式(積較式)的方法。

在陳平瑛(和華蘅芳)積較術中，“高”(n)不通過正負開方術得到，而是通過方程的差分表的減根變換的特性得到，理論上只要得到方程的差分表即可，但在實際操作時，方程根為多位數時，為節(jié)省計算，往往將方程按整十、整百做減根變換后，再將變化后的方程化成冪和形式的還原方程以求低位的根。這樣也涉及多項式的兩種形式的互化。 兩種形式的互化從算法上講是互逆的，這也導致了積較表與還原表(垛積公用表)之間的互逆關系。

陳平瑛“積較開方新術”是受到華蘅芳積較術啟發(fā)得到的，兩人的積較表和還原表數學意義一致，但陳氏有所變化和創(chuàng)新。第一，他設計的求零邊積較的“簡商之法”，程序性很強，省去了查積較表、進位退位之繁，簡化了橫乘豎加計算。第二，他設計的“徑求開方式”的方法也很快捷，省去查還原表之繁。這兩點可以看成多項式的差分形式與嵌套形式的互化算法和互逆程序。陳、華兩種積較術都是源于中國傳統(tǒng)數學中垛積問題引出的開方算法，目的是解方程。陳氏方法較之華氏的方法有更強的程序性。陳氏于垛積術和開方術的研究成果之間的關系可以用圖7示意。盧朋著評價陳氏不僅能“發(fā)明古義”，還能“獨創(chuàng)新術”，的確如此，也確屬不易。

圖7 陳平瑛垛積術、開方術研究成果關系圖

我們注意到，及至晚清，傳統(tǒng)數學逐漸“西化”，但開方術卻還有較強的生命力，屢有發(fā)展。例如，三次方程的求根公式(卡爾達諾公式)和四次方程求根方法通過《代數術》的翻譯而傳入了中國。運用公式求解三次方程，遇到三個根均為實根的“不可約方程”時，虛數的三次開方運算就變得不可避免，這在西方數學傳統(tǒng)中也是比較詭異的情形，并且五次及其以上次數方程沒有一般的公式解。這時若用中國傳統(tǒng)的開方術求解，反而“顯得順利”。因此晚清求解高次方程時，一般做法是，吸收了西方數學中方程的代數表示形式，中間的化簡運算也是代數的，最后的開方卻還是要求助于傳統(tǒng)數學中的開方術(確切地說，是基于天元術的開方術)，即所謂的“代數列式，天元開方”。[3]因此，我們看到，傳入的微積分、符號代數等西方數學雖然具有“優(yōu)勢”，但傳統(tǒng)數學并沒有立即被取代，甚至還有所發(fā)展，出現一些有特色的成果，華蘅芳積較術屬此，陳平瑛的新術亦屬此。

當然，陳平瑛這些有特色的成果，并不完全是傳統(tǒng)數學的發(fā)展，他的表述方式、說理與推導過程均采用了傳入的符號代數語言。這種語言很大程度上解決了傳統(tǒng)數學中“言之甚繁，推之甚難”的問題，也有助于發(fā)現傳統(tǒng)數學中算法的一般性和程序性，推動傳統(tǒng)數學發(fā)展。這其實也是“西化”的表征?？缥幕目茖W傳播有其復雜性，在傳播過程中，科學知識本身的“優(yōu)越性”并不起決定作用，傳播者和接受者雙方的特點決定了西方科學知識傳播的特點和內容。([1]，371頁) 長遠來看，陳平瑛的成果雖富有特色，但依然是中國傳統(tǒng)數學被取代的過程中一個過渡性成果，折射出傳統(tǒng)數學近代化復雜的一面。

致 謝感謝中國科學院自然科學史研究所田淼研究員、鄒大海研究員和匿名審稿專家提出的寶貴意見。