賈成禹，王旭東，周凱

(哈爾濱理工大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院，哈爾濱 150080)

0 引 言

永磁同步電機(jī)廣泛采用的電流控制策略是基于轉(zhuǎn)子磁場(chǎng)定向(field-oriented control，F(xiàn)OC)的單輸入單輸出比例積分(PI)結(jié)合d、q軸電壓前饋補(bǔ)償?shù)碾娏鹘怦羁刂芠1-2]。近年來的研究表明，由于模型預(yù)測(cè)控制(model predictive control ，MPC)算法具有快速的動(dòng)態(tài)性能、以及處理多變量約束的能力等優(yōu)點(diǎn)，被提出作為永磁同步電機(jī)電流控制的一種可行的替代方案[3-5]。由Bemporad等人提出的顯式模型預(yù)測(cè)控制[6](explicit MPC，EMPC)，將多參數(shù)規(guī)劃理論引入狀態(tài)和輸入受二次約束的線性時(shí)不變系統(tǒng)的最優(yōu)化求解中來，用離線求解方式解決多參數(shù)規(guī)劃問題，對(duì)約束狀態(tài)空間分區(qū)并設(shè)計(jì)各區(qū)間的顯式反饋控制規(guī)律，在線計(jì)算部分簡(jiǎn)化為根據(jù)系統(tǒng)當(dāng)前狀態(tài)，選擇實(shí)施相應(yīng)的狀態(tài)反饋控制律，這種方法把大量計(jì)算轉(zhuǎn)移到離線進(jìn)行，從而克服了傳統(tǒng)MPC在線計(jì)算量大的缺點(diǎn)，而且有堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，因此受到廣泛的關(guān)注[7]。

文獻(xiàn)[8]提出一種內(nèi)置式永磁同步電機(jī)的顯式模型預(yù)測(cè)電流控制策略，獲得了較高的電流環(huán)動(dòng)態(tài)性能，設(shè)計(jì)了在線擾動(dòng)觀測(cè)器克服了模型參數(shù)變化引起的穩(wěn)態(tài)誤差，但是擾動(dòng)觀測(cè)器算法較為復(fù)雜，在線計(jì)算量較大。電機(jī)在運(yùn)行中其參數(shù)可能隨著溫度、磁飽和程度等條件變化，預(yù)先設(shè)定的固定參數(shù)難以實(shí)現(xiàn)預(yù)測(cè)控制算法的理想性能，參數(shù)在線辨識(shí)是提高控制系統(tǒng)魯棒性的有效方法，目前應(yīng)用較廣泛的是基于最小二乘法的辨識(shí)算法，其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，對(duì)疊加白噪聲的信號(hào)可以實(shí)現(xiàn)無偏估計(jì)。文獻(xiàn)[9]應(yīng)用RLS算法，實(shí)現(xiàn)了對(duì)永磁同步電機(jī)的定子電阻、永磁體磁鏈以及d、q軸電感參數(shù)的辨識(shí)，并用辨識(shí)的參數(shù)來優(yōu)化PID參數(shù)，能夠在電機(jī)參數(shù)發(fā)生變化時(shí)快速實(shí)現(xiàn)電流的精確控制，但為了使辨識(shí)結(jié)果收斂，需要施加d軸電流擾動(dòng)，會(huì)影響輸出轉(zhuǎn)矩。文獻(xiàn)[10]詳細(xì)討論了應(yīng)用RLS辨識(shí)算法時(shí)“數(shù)據(jù)飽和”和“測(cè)量噪聲”對(duì)辨識(shí)精度和動(dòng)態(tài)性能的影響，并采用改進(jìn)的遞推最小二乘來提高辨識(shí)的精度和收斂速度，但是在RLS 中同時(shí)引入遺忘因子和加權(quán)因子兩個(gè)可調(diào)參數(shù)增加了系統(tǒng)調(diào)試的復(fù)雜度。

為解決傳統(tǒng)MPC在線計(jì)算量大的問題，本文結(jié)合文獻(xiàn)[9]和文獻(xiàn)[10]的RLS辨識(shí)算法并對(duì)其進(jìn)行綜合及優(yōu)化，提出了一種新穎的基于EMPC技術(shù)的電流預(yù)測(cè)控制策略，給出了預(yù)測(cè)模型和約束條件的線性化方法，以及控制器實(shí)現(xiàn)的詳細(xì)步驟，并設(shè)計(jì)基于RLS的辨識(shí)算法在線辨識(shí)d、q軸電感來提高模型預(yù)測(cè)算法對(duì)模型參數(shù)誤差的魯棒性，將參數(shù)辨識(shí)與模型預(yù)測(cè)控制相結(jié)合，獲得了高動(dòng)態(tài)響應(yīng)電流控制效果。

1 IPMSM模型預(yù)測(cè)控制方法

1.1 線性約束系統(tǒng)的模型預(yù)測(cè)控制

n個(gè)狀態(tài)變量、m個(gè)輸入、r個(gè)輸出的線性系統(tǒng)，其離散時(shí)間狀態(tài)空間模型為：

(1)

其中：x∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)，u∈Rm為系統(tǒng)輸入，y∈Rr為系統(tǒng)輸出，滿足如下約束：

(2)

其中：H，L和M分別為定義狀態(tài)和輸入約束的矩陣。MPC應(yīng)用在帶有約束條件的線性系統(tǒng)，其控制原理是利用離散時(shí)間線性系統(tǒng)模型，在有限的預(yù)測(cè)時(shí)域Np內(nèi)，以x(k)為系統(tǒng)初始狀態(tài)，根據(jù)系統(tǒng)當(dāng)前的狀態(tài)、輸入預(yù)測(cè)系統(tǒng)后續(xù)的狀態(tài)，可以用以下狀態(tài)方程描述：

(3)

當(dāng)MPC設(shè)計(jì)的控制目標(biāo)為使系統(tǒng)的輸出y(k)能夠追蹤參考輸入r(k)時(shí)，通常設(shè)計(jì)為一個(gè)二次型的代價(jià)函數(shù)來評(píng)估其性能指標(biāo)：

r(k))+(u(k+i-1)-

utar(k))TR(u(k+i-1)-utar(k))]。

(4)

其中Np為預(yù)測(cè)時(shí)域，Q>0，R>0是用于懲罰當(dāng)前狀態(tài)和控制行為的加權(quán)矩陣。通過求解使得代價(jià)函數(shù)J的值最小，從而得到滿足約束條件的控制輸入u*(k)。由式(1)～式(4)描述的具有約束條件的有限時(shí)域線性系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題可以轉(zhuǎn)化為多參數(shù)規(guī)劃問題，對(duì)約束狀態(tài)空間分區(qū)并設(shè)計(jì)各區(qū)間的顯式反饋控制律，并可離線求解，這種方法被稱為顯式模型預(yù)測(cè)控制(explicit model predictive control,EMPC),可解決在線求解最優(yōu)化問題計(jì)算量大、難以滿足實(shí)時(shí)性的問題。采用EMPC方法得到的最優(yōu)控制規(guī)律是關(guān)于當(dāng)前系統(tǒng)狀態(tài)參數(shù)的線性仿射函數(shù)，在每一個(gè)約束狀態(tài)空間分區(qū)中，都有如下控制規(guī)律：

u*(k)=Kix(k)+ki。

(5)

其中i為當(dāng)前狀態(tài)參數(shù)向量x(k)所在的約束狀態(tài)空間區(qū)域劃分的編號(hào)，這樣在線計(jì)算部分簡(jiǎn)化為根據(jù)當(dāng)前系統(tǒng)狀態(tài)參數(shù)向量x(k)，確定其在狀態(tài)空間區(qū)域分區(qū)上所處的區(qū)間號(hào)i，由此可獲得相應(yīng)的狀態(tài)反饋控制律。這種方法把最優(yōu)化求解轉(zhuǎn)移到離線進(jìn)行, 在線計(jì)算得到極大簡(jiǎn)化。

1.2 IPMSM數(shù)學(xué)模型

轉(zhuǎn)子磁場(chǎng)定向的同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系(d-q坐標(biāo)系)中，星型連接三相永磁同步電機(jī)的定子電壓方程可以寫成如下形式：

(6)

式中：ud，uq為定子電壓d、q軸分量;id，iq定子電流d、q軸分量；Rs定子電阻；Ld，Lq分別為d,q軸電感；Ψf永磁體磁鏈；ωe為轉(zhuǎn)子電角速度。為滿足數(shù)字控制需要，綜合考慮動(dòng)態(tài)模型精度，選取Ts=100μs為時(shí)間步長(zhǎng)，采用前向歐拉法離散化得到離散時(shí)間的模型如下：

(7)

可以寫為向量形式的狀態(tài)空間表達(dá)式：

i(k+1)=Adi(k)+Bdu(k)+f(k)。

(8)

其中：

(9)

式中：f(k)代表反電勢(shì)和交叉耦合效應(yīng)的影響，在每個(gè)采樣時(shí)刻可由測(cè)量的轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速和交、直電流通過計(jì)算得到。選擇電流為系統(tǒng)狀態(tài)，電壓為系統(tǒng)輸入，在每一個(gè)很小的電流環(huán)控制周期中，做出如下近似：即在預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)認(rèn)為f(k)是一個(gè)常數(shù)擾動(dòng)，即：

f(k+i)=f(k)=fk，i∈{1…Np-1}。

(10)

根據(jù)式(8)和假設(shè)條件式(10)可以得到線性的系統(tǒng)模型：

(11)

iref(k+i)=iref(k)，i∈{1…Np}。

(12)

通過擴(kuò)張擾動(dòng)狀態(tài)向量f(k)到系統(tǒng)式(11)可以得到該控制系統(tǒng)的線性預(yù)測(cè)模型：

(13)

iref(k))+(u(k+i-1)-

utar(k))TR(u(k+i-1)-utar(k))]。

(14)

由于采用顯式模型預(yù)測(cè)控制方法，目標(biāo)電壓向量需要通過選定的狀態(tài)參數(shù)來表達(dá)，以便能夠離線求解，由式(7)可知穩(wěn)態(tài)時(shí)目標(biāo)電壓為：

(15)

當(dāng)轉(zhuǎn)速較高時(shí)，定子電阻的值很小其壓降相比于轉(zhuǎn)速相關(guān)項(xiàng)的電壓可以忽略，求得目標(biāo)空間電壓矢量：

(16)

電流參考值和實(shí)時(shí)測(cè)量的電流反饋值的差值，目標(biāo)參考電壓與當(dāng)前輸入電壓的差值在代價(jià)函數(shù)(14)中都得到了懲罰，從而保證了穩(wěn)態(tài)時(shí)系統(tǒng)的實(shí)際輸出能夠準(zhǔn)確的跟蹤參考輸入。IPMSM驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的兩個(gè)主要的約束條件是d-q平面上的電流和電壓的二次不等式約束，其約束條件描述如下：

(17)

(18)

(19)

(20)

2 電感參數(shù)辨識(shí)算法

2.1 遞推最小二乘法原理

遞推最小二乘算法是在前一次估計(jì)結(jié)果的基礎(chǔ)上，利用獲取的新的測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)前一次估計(jì)的結(jié)果進(jìn)行修正，從而遞推地得出新的估計(jì)值。這樣迭代的進(jìn)行參數(shù)估計(jì)直到參數(shù)的估計(jì)值收斂到真實(shí)值為止，這種方式在線計(jì)算量小且收斂快，可實(shí)時(shí)在線地辨識(shí)出系統(tǒng)的參數(shù)。本文基于遞推最小二乘方法設(shè)計(jì)的電感在線辨識(shí)算法可以概括為：

θ(k)=θ(k-1)+K(k)ε(k)，

(21)

ε(k)=y(k)-φT(k)θ(k-1),

(22)

K(k)=P(k-1)φ(k)[λI+

φT(k)P(k-1)φ(k)]-1,

(23)

P(k)=[I-K(k)φT(k)]P(k-1)/λ。

(24)

其中，y(k)為輸出矩陣；φT(k)為反饋矩陣；θ(k)為系統(tǒng)待辨識(shí)的參數(shù)矩陣；ε(k)為估計(jì)誤差，I為單位矩陣，K(k)為增益矩陣，P(k)為協(xié)方差矩陣。在測(cè)量值都有相同的權(quán)重的條件下，隨著觀測(cè)數(shù)據(jù)的增多遞推最小二乘法會(huì)出現(xiàn)數(shù)據(jù)飽和現(xiàn)象，為了防止新數(shù)據(jù)的作用被舊數(shù)據(jù)淹沒，故引入遺忘因子λ，其作用就是將舊數(shù)據(jù)按照指數(shù)衰減規(guī)律逐漸給“遺忘”，從而突出新數(shù)據(jù)的作用。

2.2 電感辨識(shí)模型設(shè)計(jì)

電感參數(shù)值對(duì)鐵心的飽和程度很敏感，其飽和程度隨著d、q軸電流幅值的變化而快速變化。該辨識(shí)算法用于快速的辨識(shí)出d、q軸電感參數(shù)，執(zhí)行周期與電流環(huán)控制周期一致，辨識(shí)算法運(yùn)行過程中保持永磁體磁鏈Ψf和定子電阻Rs的值不變。又根據(jù)d、q軸電流方程(7)選定待辨識(shí)參數(shù)矩陣為：

(25)

輸出矩陣為：

(26)

反饋矩陣為：

(27)

2 仿真與實(shí)驗(yàn)

1.5 仿真結(jié)果分析

表1 仿真模型的參數(shù)Table 1 Parameters of simulation model

圖1 系統(tǒng)整體框圖Fig.1 Overall system block diagram

圖2 電感辨識(shí)仿真結(jié)果Fig.2 Simulation results of inductance identification

辨識(shí)結(jié)果的誤差率用辨識(shí)值與實(shí)際值之差的絕對(duì)值除以實(shí)際值來表達(dá)，其結(jié)果如圖3所示，其穩(wěn)態(tài)誤差均小于0.15%，精度較高。在Ld和Lq分別突變的兩次動(dòng)態(tài)過程中，d、q軸電感的辨識(shí)結(jié)果的最大誤差分別為6.38%和15.35%，動(dòng)態(tài)過程誤差在能接受的范圍之內(nèi)。

圖3 辨識(shí)誤差仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results of inductance error

驗(yàn)證了電感參數(shù)辨識(shí)的正確性之后，接下來利用辨識(shí)結(jié)果來計(jì)算擾動(dòng)項(xiàng)和目標(biāo)電壓，電流環(huán)采用EMPC算法對(duì)整個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行仿真。仿真過程0.6 s，按照表1設(shè)定電機(jī)參數(shù)，給定目標(biāo)轉(zhuǎn)速5 000 r/min(523.59 rad/s)，在0.25 s時(shí)刻d、q軸電流從0 A階躍到id=-200 A，iq=252 A，保持電流參考值不變直到0.4 s時(shí)刻，電流指令以階躍的方式變化為id=-87 A，iq=146 A。圖4展示了d、q軸電流的階躍響應(yīng)波形，可見EMPC電流控制器能夠提供快速的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，幾乎沒有超調(diào)，穩(wěn)態(tài)后能夠準(zhǔn)確追蹤電流參考值。

圖4 d、q軸電流階躍響應(yīng)仿真結(jié)果Fig.4 Simulation results of d- and q-axis current step response

圖5為代價(jià)函數(shù)值的變化情況，以及狀態(tài)參數(shù)向量xtar(k)在各個(gè)采樣時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間分區(qū)號(hào)?？芍?.25 s和0.4 s參考電流發(fā)生階躍變化的時(shí)刻，代價(jià)函數(shù)值迅速增大，隨著反饋電流快速的跟蹤上參考值后而減少到0，驗(yàn)證了模型預(yù)測(cè)控制是通過懲罰狀態(tài)的偏差而使得代價(jià)函數(shù)值最小繼而獲得最優(yōu)控制輸入；在0.25 s時(shí)刻的電流動(dòng)態(tài)過程由于狀態(tài)向量的多個(gè)參數(shù)變化范圍較大，因此激活了多個(gè)狀態(tài)空間分區(qū)，說明EMPC控制器這次較大的電流階躍過程中采用了不同的狀態(tài)反饋控制規(guī)律，以便能更快地跟蹤參考值的變化。

圖5 EMPC控制器的代價(jià)函數(shù)和激活區(qū)域的仿真結(jié)果Fig.5 Simulation results of the cost function value and the activated region number

圖6為控制輸出即d、q軸電壓波形，可見穩(wěn)態(tài)時(shí)波動(dòng)很小，在0.25 s電流階躍時(shí)，電壓矢量幅值Us達(dá)到最大值191 V，電壓約束條件觸發(fā)，EMPC電流控制器在動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)過程中能充分利用SVPWM線性調(diào)制的最大輸出能力以實(shí)現(xiàn)最快的電流動(dòng)態(tài)響應(yīng)，控制電壓波形變化規(guī)律簡(jiǎn)單，說明是以代價(jià)函數(shù)所定義的最優(yōu)方式實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo)。

圖6 d、q軸電壓波形仿真結(jié)果Fig.6 Simulation results of d-and q-axis voltages

1.6 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

實(shí)驗(yàn)所用的電機(jī)參數(shù)與表1一致，搭建了以英飛凌的高性能處理器Tricore TC1782為核心的逆變器平臺(tái)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，采用SVPWM調(diào)制，逆變器開關(guān)頻率10 kHz。實(shí)驗(yàn)過程如下：測(cè)功機(jī)作為負(fù)載，拖動(dòng)被測(cè)電機(jī)到額定轉(zhuǎn)速4 500 r/min(ωe=471 rad/s)，0.42 s時(shí)刻給定電流id=-284 A,iq=289 A。0.65 s時(shí)刻階躍到id=-87 A,iq=146 A。圖7展示了以表1中的電感值為辨識(shí)算法初始值的d、q軸電感參數(shù)在線辨識(shí)結(jié)果，可見0.42 s這次電流階躍，導(dǎo)致辨識(shí)到的q軸電感值從初始值0.282 mH減少到0.271 mH，d軸0.067 mH減少到0.061 mH，這是因?yàn)閐軸電感在永磁體強(qiáng)磁場(chǎng)下通常已經(jīng)處于磁飽和狀態(tài)，所以交叉飽和效應(yīng)對(duì)其影響不大，但對(duì)q軸電感有顯著影響。

圖7 d、q軸電感辨識(shí)結(jié)果Fig.7 Identification results of d- and q-axis inductance

圖8 d、q軸電流階躍響應(yīng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.8 Experimental results of d-and q-axis currents step response

圖9 d、q軸電壓波形Fig.9 Experimental results of d-and q-axis voltages

圖10 EMPC控制器激活區(qū)域和代價(jià)函數(shù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.10 Experimental results of the activated region number and cost function value

4 結(jié) 論

本文提出一種基于帶遺忘因子的RLS的電感參數(shù)在線辨識(shí)，結(jié)合模型預(yù)測(cè)控制的電流控制器的設(shè)計(jì)方法，通過將辨識(shí)結(jié)果應(yīng)用于IPMSM動(dòng)態(tài)模型中的轉(zhuǎn)速相關(guān)項(xiàng)的計(jì)算，從而得到被控對(duì)象的線性狀態(tài)空間方程，依據(jù)此線性模型設(shè)計(jì)了模型預(yù)測(cè)電流控制算法。同時(shí)應(yīng)用顯示模型預(yù)測(cè)控制技術(shù)，離線求得最優(yōu)狀態(tài)反饋，解決了在線計(jì)算量大的問題。本文所提出的電感參數(shù)辨識(shí)算法能夠準(zhǔn)確的辨識(shí)出電感參數(shù)，具有計(jì)算量小、收斂快的特點(diǎn)，與顯示模型預(yù)測(cè)控制算法構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)高性能電流動(dòng)態(tài)響應(yīng)；采用在線辨識(shí)參數(shù)的方式提高了模型預(yù)測(cè)控制策略對(duì)參數(shù)變化的魯棒性，獲得了高動(dòng)態(tài)電流響應(yīng)，仿真和實(shí)驗(yàn)均證明了所提方法有效性和實(shí)用性，可以成功地應(yīng)用于內(nèi)置式永磁同步電機(jī)的電流控制中。