段振云，龐文琦，張 靜，趙文珍，趙文輝，杜 坡

(沈陽工業(yè)大學(xué)機(jī)械學(xué)院，沈陽 110870)

0 引言

采用機(jī)器視覺測(cè)量技術(shù)對(duì)零件尺寸進(jìn)行檢測(cè)具有高效、非接觸等優(yōu)點(diǎn)[1-5]。視覺測(cè)量是通過處理零件圖像的邊緣來獲得零件的尺寸，所以對(duì)零件圖像進(jìn)行邊緣定位是視覺測(cè)量中基礎(chǔ)且關(guān)鍵的內(nèi)容，是后續(xù)測(cè)量的前提。

測(cè)量系統(tǒng)采集圖像時(shí)，通常采用平行背光源照明，圖像前景和背景對(duì)比度較高，測(cè)量圖像中工件輪廓清晰，易得到高精度的工件邊緣。為還原工件真實(shí)尺寸，宜選用高分辨率相機(jī)，但是相機(jī)的分辨率越高，價(jià)格越昂貴，且分辨率達(dá)到一定程度時(shí)，對(duì)提高邊緣定位精度的效果不大。傳統(tǒng)的像素級(jí)邊緣定位算法無法滿足高精度測(cè)量要求[6]。因此，對(duì)于測(cè)量圖像則需要高精度的亞像素邊緣定位算法。目前的亞像素邊緣定位算法主要分為三大類[7-9]:矩法、插值法和擬合法。魏本征等[10]提出的矩法計(jì)算量小，抗噪性好，解決了Z矩運(yùn)算復(fù)雜的問題，但該算法對(duì)細(xì)小邊緣的定位效果不好。孫秋成等[11]提出的插值算法對(duì)噪聲的魯棒性好，解決了模糊邊緣模型擬合過程中需要對(duì)非線性的目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化求解而導(dǎo)致算法速度慢的問題。但該法不適用于曲線邊緣。段振云等[12]提出的高斯積分曲面擬合法不需要進(jìn)行梯度幅值計(jì)算，解決了傳統(tǒng)高斯擬合法中梯度幅值會(huì)對(duì)邊緣定位產(chǎn)生影響的問題，但該算法計(jì)算復(fù)雜，速度較慢。

針對(duì)以上問題，本文提出一種基于邏輯回歸的邊緣定位算法。利用邏輯回歸的統(tǒng)計(jì)思想，找到前景與背景的分類邊界即為亞像素邊緣，算法適用于任意形狀邊緣且簡化了標(biāo)定過程。本文給出了標(biāo)準(zhǔn)量塊基于亞像素邊緣定位的誤差測(cè)量結(jié)果，并與擬合法[12]和Z矩法[13]進(jìn)行了比較實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證本文算法具有較高的邊緣定位精度。

1 邏輯回歸邊緣定位算法

1.1 邏輯回歸原理

邏輯回歸[14]又稱Logistic回歸，是人工智能、機(jī)器學(xué)習(xí)中的經(jīng)典分類方法，常用來解決二分類問題[15]。邏輯回歸計(jì)算結(jié)果為分類概率，默認(rèn)閾值為0.5，概率大于0.5視為正類，輸出結(jié)果為1；概率小于0.5視為負(fù)類，輸出結(jié)果為0，正類與負(fù)類的分類邊界為決策邊界。邏輯回歸的思想是先根據(jù)邊界類型構(gòu)建一個(gè)邊界模型和一個(gè)預(yù)測(cè)函數(shù)，再建立一個(gè)預(yù)測(cè)函數(shù)的損失函數(shù)，最后通過優(yōu)化方法找到邊界的最佳回歸系數(shù)。

邏輯回歸的邊界模型一般可以表達(dá)為：

(1)

式中，X=[x1,x2,x3,…,xn]為自變量矩陣，θT=[θ0,θ1,θ2,…,θn]為回歸系數(shù)。

邏輯回歸的預(yù)測(cè)函數(shù)為Sigmoid函數(shù)，所以概率預(yù)測(cè)函數(shù)為：

(2)

設(shè)yi為觀測(cè)值，則yi=1的概率為hθ(Xi)，即：

P(yi=1|Xi)=hθ(Xi)

(3)

則yi=0的概率為：

P(yi=0|Xi)=1-hθ(Xi)

(4)

所以觀測(cè)值為yi概率為：

P(yi|Xi)=(hθ(Xi))yi(1-hθ(Xi))1-yi

(5)

采用最大似然估計(jì)法對(duì)邏輯回歸的回歸系數(shù)進(jìn)行估計(jì)，m個(gè)yi的似然函數(shù)為所有樣本的預(yù)測(cè)概率之積：

(6)

取對(duì)數(shù)似然函數(shù)的平均值，令平均值的負(fù)值最小即為邏輯回歸的損失函數(shù):

(7)

式中，Xi，yi分別表示第i個(gè)樣本的自變量矩陣和對(duì)應(yīng)的實(shí)際概率，當(dāng)hθ(Xi)=0.5時(shí)，損失函數(shù)最小時(shí)，此時(shí)求得最佳回歸系數(shù)θT。

1.2 測(cè)量圖像邊緣特征

圖像理想的邊緣特征是階躍函數(shù)，如圖1a所示,但在實(shí)際情況中，存在光能的擴(kuò)散效應(yīng)，因此實(shí)際邊緣模型符合高斯分布函數(shù)，如圖1b所示。

(a) 理想階躍邊緣 (b) 實(shí)際階躍邊緣圖1 階躍邊緣的灰度分布

Sigmoid函數(shù)是一個(gè)連續(xù)、光滑、且嚴(yán)格單調(diào)的閾值函數(shù)，其表達(dá)式為：

(8)

對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像如圖2所示。

圖2 Sigmoid函數(shù)

可以看出，Sigmoid函數(shù)與實(shí)際邊緣灰度分布曲線十分貼近，因此可以用Sigmoid函數(shù)來擬合圖像邊緣[16]。

將圖像的灰度值歸一化處理，則前景灰度值為0，背景灰度值為1。像素點(diǎn)的灰度值可以視為該點(diǎn)為背景的概率。以Sigmoid函數(shù)為預(yù)測(cè)函數(shù)的邏輯回歸算法，能夠有效地解決二分類問題，并且邏輯回歸的預(yù)測(cè)函數(shù)與圖像的實(shí)際邊緣灰度曲線十分貼近，因此可以利用邏輯回歸對(duì)前景和背景進(jìn)行分類，找到圖像邊緣。

1.3 邏輯回歸圖像邊緣定位模型

邊界模型從原理上講可以是任意曲線模型，但根據(jù)工程實(shí)際情況且為了簡化計(jì)算，本文使用兩種邊界模型，分別為直線和圓弧。本文算法分為兩種方法，一種是當(dāng)邊緣形狀已知為直線或圓弧時(shí)，直接構(gòu)建直線模型或圓模型代入邏輯回歸算法，可以一次性回歸得到邊緣位置；另一種是當(dāng)邊緣形狀未知時(shí)，在很小范圍內(nèi)可以將邊緣可以看作直線，利用邏輯回歸算法分段統(tǒng)計(jì)出各個(gè)范圍內(nèi)的邊緣位置，即可得到完整邊緣。

直線邊緣模型為：

z=θTX=θ0+θ1x1+θ2x2

(9)

式中，X=[1,x1,x2]。

圓弧邊界模型為：

z=θTX=θ0+θ1x1+θ2x2+θ3(x12+x22)

(10)

式中，X=[1,x1,x2,x12+x22]。

在式(9)和式(10)中，x1和x2分別為像素點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)。計(jì)算邊緣時(shí)，將邊界模型代入預(yù)測(cè)函數(shù)，預(yù)測(cè)函數(shù)的損失函數(shù)最小時(shí)，θT為最佳回歸系數(shù)，將最佳回歸系數(shù)代回邊界模型，可計(jì)算出亞像素邊緣點(diǎn)坐標(biāo)(x1，x2)。

1.4 邊緣定位算法的實(shí)現(xiàn)

采用本文算法定位邊緣時(shí)，先設(shè)置高低閾值分別確定出連續(xù)的粗邊緣帶，如圖3所示。當(dāng)邊緣形狀已知為直線或圓時(shí)，如圖4所示，對(duì)粗邊緣帶上的點(diǎn)進(jìn)行擬合得到粗邊緣，在粗邊緣的兩側(cè)分別取距離為p個(gè)像素的等距線，得到寬度為2p個(gè)像素的邏輯回歸區(qū)域，邏輯回歸區(qū)域的寬度大于邊緣過渡帶的寬度，對(duì)邏輯回歸區(qū)域上的點(diǎn)一次性進(jìn)行邏輯回歸，統(tǒng)計(jì)出亞像素級(jí)邊緣。當(dāng)邊緣形狀未知時(shí)，可進(jìn)行分段邏輯回歸，如圖5a所示，取粗邊緣帶上的點(diǎn)為中心點(diǎn)，在中心附近確定一個(gè)大小為q×q方陣的邏輯回歸區(qū)域，使邏輯回歸區(qū)域能夠包含邊緣過渡帶，對(duì)邏輯回歸區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)進(jìn)行邏輯回歸，得到最佳回歸系數(shù)，計(jì)算出一條直線，令中心點(diǎn)為原點(diǎn)，比較x軸截距Δx和y軸截距Δy二者的絕對(duì)值大小，取離原點(diǎn)近的截距點(diǎn)為亞像素邊緣點(diǎn)，如圖5b所示，在粗邊緣帶上每隔k個(gè)點(diǎn)取一個(gè)中心點(diǎn)，重復(fù)算法直至邊緣定位結(jié)束，即可得到亞像素邊緣。

圖3 提取邊緣

圖4 一次邏輯回歸定位邊緣局部放大圖

(a) 邊緣定位局部放大圖

(b) 分段回歸局部示意圖圖5 分段邏輯回歸定位邊緣

2 光源強(qiáng)度標(biāo)定與邊緣位置補(bǔ)償

在視覺測(cè)量時(shí)，圖像中零件的邊緣會(huì)隨著光源強(qiáng)度變化而沿其法向偏移，光強(qiáng)提高，零件的真實(shí)邊緣點(diǎn)的灰度值小于0.5；反之，零件的真實(shí)邊緣點(diǎn)的灰度值大于0.5。因此，使用視覺測(cè)量系統(tǒng)測(cè)量零件尺寸前必須對(duì)測(cè)量系統(tǒng)進(jìn)行光源強(qiáng)度標(biāo)定，對(duì)獲取的邊緣進(jìn)行邊緣偏移量補(bǔ)償。

本文根據(jù)邏輯回歸邊緣定位算法的特點(diǎn)，提出了一種光強(qiáng)補(bǔ)償系數(shù)，調(diào)節(jié)系數(shù)可以改變邊前景與背景的分類位置，即將前景與背景的邊界由0.5設(shè)定為(0.5+δ)。具體算法為：設(shè)置一個(gè)初始光前補(bǔ)償系數(shù)δ代入量塊邊緣定位中，根據(jù)量塊的測(cè)量尺寸與實(shí)際尺寸之差自動(dòng)調(diào)整系數(shù)δ，當(dāng)尺寸之差小于一定的范圍時(shí)，δ為最佳光強(qiáng)補(bǔ)償系數(shù)。在一定的光強(qiáng)條件下標(biāo)定δ后，將δ代入后續(xù)的零件測(cè)量中，即可得到精確的測(cè)量邊緣位置。

3 實(shí)驗(yàn)分析

為了驗(yàn)證本文提出的基于邏輯回歸邊緣定位算法的有效性，分別采用本文算法、高斯積分曲面擬合法和改進(jìn)的Zernike正交矩算法進(jìn)行邊緣定位實(shí)驗(yàn)，根據(jù)定位的零件邊緣可以計(jì)算出零件的圖像尺寸，零件的圖像尺寸乘以像素當(dāng)量可以得到零件的實(shí)際尺寸。本文實(shí)驗(yàn)條件下的像素當(dāng)量等于19.472 1 μm。其中本文算法分為分段邏輯回歸方法和一次邏輯回歸兩種方法。

實(shí)驗(yàn)選用2個(gè)不同尺寸的0級(jí)標(biāo)準(zhǔn)量塊進(jìn)行幾何量誤差測(cè)量。量塊的測(cè)量面精度可以達(dá)到0.05 μm，并且邊緣簡單，可以用于驗(yàn)證算法的精度。圖6為量塊的4種位姿圖像。

(a) 位姿1 (b) 位姿2

(c) 位姿3 (d) 位姿4

分別采用三種算法進(jìn)行邊緣定位，結(jié)果如圖7所示。可以看出三種算法定位的邊緣具有一致性，可以證明本文算法的有效性。

圖7 亞像素邊緣

利用三種算法分別測(cè)出量塊亞像素邊緣，得到算法測(cè)量誤差曲線，從圖8所示的邊緣點(diǎn)的跳躍程度可以看出，本文算法獲得的亞像素邊緣平滑，邊局部跳躍量較小。分別計(jì)算三種算法所確定的亞像素邊緣的平均算法誤差并進(jìn)行比較，結(jié)果如表1所示。

圖8 測(cè)量誤差曲線

表1 測(cè)量誤差

從表1、圖8中可以看出，本文算法可以將測(cè)量誤差控制在很小的范圍內(nèi)，邊緣定位精度較高。

使用三種算法對(duì)量塊直線邊緣進(jìn)行定位，對(duì)同一量塊的不同位姿進(jìn)行邊緣定位，計(jì)算兩條邊緣的距離記為測(cè)量尺寸 ，測(cè)量尺寸與理論尺寸的差值即為量塊尺寸測(cè)量誤差。測(cè)量結(jié)果如表2所示。

表2 尺寸測(cè)量誤差比較

4 結(jié)論

本文提出一種基于邏輯回歸的邊緣定位算法，將邏輯回歸算法應(yīng)用于高精度零件圖像邊緣定位，利用統(tǒng)計(jì)的思想，將前景與背景進(jìn)行分類，找到分類邊界即為亞像素邊緣。與基于高斯積分曲面擬合亞像素邊緣定位算法相比，本文算法更為簡單，減少了計(jì)算量，提高了計(jì)算速度；與基于Zernike正交矩的圖像亞像素邊緣檢測(cè)算法相比，本文中設(shè)有光強(qiáng)補(bǔ)償系數(shù)，簡化了光強(qiáng)標(biāo)定方法，可以有效補(bǔ)償光源強(qiáng)度造成的邊緣定位誤差。通過實(shí)驗(yàn)可以看出，本文算法整體精度較高，能夠穩(wěn)定可靠地定位圖像邊緣，檢測(cè)零件的精度，在高精度零測(cè)量上具有良好的應(yīng)用前景。