盛賢君，路賽利，劉 寧

(大連理工大學電氣工程學院，遼寧 大連 116024)

0 引言

在數控機床(CNC)加工中，多軸伺服系統(tǒng)高精度輪廓控制始終是研究熱點[1-2]。數控機床實際運動過程中，由于控制系統(tǒng)不完全建模、動態(tài)特性不匹配及受到外部隨機擾動等影響，導致加工過程中單軸伺服響應存在延時產生跟蹤誤差，實際曲線偏離理想參考曲線產生輪廓誤差[3]。就多軸運動系統(tǒng)而言，輪廓軌跡由各軸協(xié)調運動完成，為了減小系統(tǒng)輪廓誤差，提高單軸系統(tǒng)跟蹤性能是重要前提，然而非線性加工曲線的輪廓誤差并非各軸跟蹤誤差簡單線性疊加，僅提高單軸跟蹤精度并不能完全改善系統(tǒng)性能，需要引入交叉耦合輪廓控制器來提高系統(tǒng)運動精度[4]。

對于單軸系統(tǒng)位置控制，PID控制器簡單且易于實現而被廣泛應用于伺服系統(tǒng)，但該控制器參數確定后固定不變，將不能很好地反映出被控量與偏差之間的非線性關系[5-6]。羅和平等[7]提出用于伺服進給系統(tǒng)模糊PID控制算法，提高了系統(tǒng)的動靜態(tài)性能，但模糊規(guī)則更多依賴于經驗，不適合復雜工況場合；Wu J H等[8]將延時補償器和滑?？刂破鲬糜趩屋S伺服系統(tǒng)，改善了系統(tǒng)伺服性能，但控制器參數調整相對復雜。交叉耦合控制器(CCC,cross coupling controller)最早由Koren提出[9]，由單軸跟蹤誤差計算出輪廓誤差，再進行解耦分配，有效解決了伺服軸動態(tài)性能不匹配的問題，但對非線性曲線而言，輪廓誤差實時變化，傳統(tǒng)交叉耦合控制往往達不到預期效果。Barton K L等[10]將迭代學習技術應用于CCC學習輪廓誤差，從而修正控制信號和輪廓耦合增益，體現了自學習的特點，控制效果優(yōu)良；金鴻雁等[11]采用互補滑?？刂破髋c變增益交叉耦合控制器相結合的輪廓控制策略，互補滑?？刂破魈岣吡藛屋S跟蹤精度，增強了系統(tǒng)的魯棒性，但輪廓控制器采用傳統(tǒng)動態(tài)補償系數，可能會出現過補償和欠補償；吳飛等[12]從交叉耦合結構入手，設計了雙軸變增益交叉耦合控制器，實現了軸間解耦，取得較好的控制效果，但對于曲率變化較大的曲線無法保證輪廓加工精度。

基于以上研究成果，本文提出一種基于交叉耦合結構的非線性PID(NLPID)輪廓控制器。單軸采用NLPID控制以提高系統(tǒng)的跟蹤性能，避免了復雜的調參過程。此外，將NLPID應用于交叉耦合控制器并設計一種動態(tài)增益的輪廓誤差補償方法，實時估計系統(tǒng)輪廓誤差后得到合適的補償值，最后結合分配系數補償到各軸，從而有效提高了系統(tǒng)的輪廓精度。

1 非線性PID控制器設計

傳統(tǒng)PID控制器的參數為常數，而系統(tǒng)的動態(tài)過程是實時變化的，對于高精度運動系統(tǒng)，傳統(tǒng)PID在控制能力和魯棒性方面還有欠缺，往往不能得到優(yōu)良的控制效果。NLPID控制器的參數隨偏差變化，對于數控系統(tǒng)參數不匹配和擾動帶來的非線性誤差，能夠很好地反映出系統(tǒng)的控制量和偏差之間的對應關系，從而達到更優(yōu)的控制效果，其表達式如下：

(1)

式中，Kp(e(t))、Ki(e(t))及Kd(e(t))分別是比例、積分及微分參數，均為當前誤差e的非線性函數。

通過分析傳統(tǒng)PID參數隨系統(tǒng)誤差的理想變化關系，可以得出NLPID各參數隨誤差變化調整曲線如圖1所示。

(a)Kp(e(t)) (b)Ki(e(t)) (c)Kd(e(t))圖1 NLPID參數隨誤差變化曲線

(1)比例函數Kp(e(t))：比例控制主要用于加快系統(tǒng)的響應速度，屬于有差調節(jié)，利用系統(tǒng)偏差進行相應的補償。當系統(tǒng)偏差較大時，需要的補償量越多，Kp的絕對值應該較大；反之，為防止補償過度產生超調，Kp的絕對值應當較小，Kp(e(t))表達式如下：

(2)

(2)積分函數Ki(e(t))：積分控制屬于無差調節(jié)，通過對偏差進行累積最后消除偏差。當系統(tǒng)誤差較大時，為避免積分飽和，Ki應當較小；反之，為保證控制系統(tǒng)無靜差，需要進行積分補償，Ki應取較大的數值，表達式如下：

(3)

(3)微分函數Kd(e(t))：微分控制對偏差起到超前校正的作用，改善系統(tǒng)的響應速度和穩(wěn)定性，Kd反應系統(tǒng)偏差的變化趨勢，表達式為：

Kd(e(t))=ad+bdecde(t)

(4)

2 交叉耦合輪廓控制器設計

2.1 輪廓誤差數學模型

輪廓誤差ε(t)定義為由當前實際位置x(t)到理想輪廓曲線S的最短距離。

(5)

輪廓誤差示意圖如圖2所示。

圖2 輪廓誤差示意圖

在數控系統(tǒng)中，插補方式多為直線插補和圓弧插補。直線或圓弧曲線的輪廓誤差計算并不難，由平面幾何關系可以快速得到，但對于任意階數的非線性曲線，要實時得到輪廓誤差精確值ε比較困難。因此，可采用參考運動軌跡局部近似的方法快速獲得較為準確的輪廓誤差估計值，在參考點Pref(t)處做內切圓，實際位置點Pact(t)到內切圓圓弧的最近距離εc作為系統(tǒng)輪廓誤差估計值，如圖3所示。

圖3 平面非線性曲線輪廓誤差

(6)

平臺實際位置至內切圓圓弧的最近距離近似為輪廓誤差估計值，即實際點Pact(t)到圓心Oc的距離減去內切圓半徑，如圖中εc所示，表達式為：

(7)

由平面幾何關系，可以得出兩點之間坐標關系與兩軸跟蹤誤差和參考點切線傾角之間的數量關系如下：

xa-xc=ρsinα-ex

(8)

ya-yc=-ρcosα-ey

(9)

將式(8)和式(9)代入式(7)，得輪廓誤差與兩軸跟蹤誤差之間的關系如下：

(10)

對其進行二階麥克勞林展開，得：

(11)

2.2 NLPID交叉耦合輪廓控制器

為了提高系統(tǒng)運動精度，僅減少單軸跟蹤誤差并不能滿足要求，因此，雙軸之間需要建立相應軸間聯(lián)系。圖4為雙軸交叉耦合控制結構，由輪廓誤差估計模型、協(xié)調控制器和誤差分配模型組成，其原理為根據兩軸參考位置和實際位置作為誤差估計模型的輸入值，建立兩軸的耦合關系，將輪廓誤差估計值作為協(xié)調控制器的輸入得到輪廓誤差補償值，最后結合各軸的分配系數補償至兩軸以減小兩軸跟蹤誤差和軸間輪廓誤差。

根據兩軸的跟蹤誤差結合式(11)，得到輪廓誤差估計值εc，當內切圓半徑遠遠大于兩軸跟蹤誤差時，可忽略二次項，如式(12)所示：

(12)

得到分配系數Cx、Cy如式(13)所示：

(13)

圖4 交叉耦合控制結構框圖

CCC的重點工作在于協(xié)調控制器設計，傳統(tǒng)CCC的協(xié)調控制器為P控制器，結合分配系數按照一定比例補償至兩軸。對于非線性曲線而言，輪廓誤差值實時變化，選擇P控制器可能會出現過補償或欠補償，文獻[12]所設計的變增益CCC選擇PID控制器，對于曲率變化較大的曲線，補償會出現波動。

為了更加準確地對輪廓誤差進行補償，得到較好的輪廓性能，Gpx、Gpy和協(xié)調控制器選擇NLPID，對于輪廓誤差的變化，協(xié)調控制器可得到合適的補償值uc，結合分配系數補償到各單軸。Pxd和Pyd是上位機輸入的參考命令經由運動控器的插補算法得出，Gpx和Gpy是X、Y軸包括伺服驅動器、滾珠絲杠在內的數學模型，Pxd和Pyd為兩軸位置檢測裝置輸出的實際位置。

3 實驗驗證

3.1 實驗平臺

為了驗證控制方法的有效性，進行雙軸伺服系統(tǒng)輪廓控制實驗。實驗平臺主要由X-Y運動機構、伺服系統(tǒng)和運動控制器組成，如圖5所示。X、Y軸的有效行程分別為150 mm和100 mm，重復定位精度為0.001 mm；伺服系統(tǒng)為日本松下公司生產的MINAS A5 II系列；運動控制器采用美國GALIL公司生產的DMC-1846，通過PCI接口與上位機PC進行實時通信，最多可控制四軸聯(lián)動，本平臺僅使用兩軸，圖5中運動控制器在PC機內部，通過互聯(lián)模塊與伺服系統(tǒng)連接。

圖5 實驗平臺

實驗程序通過LabVIEW編寫，給兩軸發(fā)送參考位置命令后，通過讀取兩軸實時位置得到其跟蹤誤差，進而計算出實時輪廓誤差補償值，最后結合分配系數在下一時刻補償至各軸。

3.2 實驗結果對比及分析

實驗中將無CCC和變增益CCC以及NLPID-CCC控制方法分別應用于控制器，對系統(tǒng)進行半徑為3.75 mm圓輪廓軌跡規(guī)劃，兩軸分別輸入頻率為2π的余弦信號和正弦信號，表達式為：

(14)

不同控制方法下的兩軸跟蹤誤差經局部加權平均算法平滑處理后，如圖6所示。

(a) X軸跟蹤誤差

(b) Y軸跟蹤誤差圖6 兩軸的跟蹤誤差

可以看出，當系統(tǒng)開始運行時(t=0 ms)，兩軸互相垂直，Y軸的跟蹤誤差較大。根據圓輪廓插補原理可知，此時Y軸的插補脈沖較多，故跟蹤誤差較大；經過四分之一周期后(t=250 ms)，X軸的插補脈沖增多，跟蹤誤差增大。相比于無CCC方法和變增益CCC方法，NLPID-CCC可有效提高單軸的控制性能，減小單軸系統(tǒng)的跟蹤誤差。

不同控制方法下的輪廓控制結果如圖7所示，表1為輪廓誤差典型值。

(a) 輪廓軌跡

(b) 輪廓誤差值圖7 不同控制方法的輪廓控制結果

表1 輪廓誤差實驗結果

實驗結果表明，相同實驗條件下，采用CCC方法的輪廓效果明顯優(yōu)于無CCC方法，NLPID-CCC方法的輪廓控制效果最佳。由表1可知，相比于無CCC方法，NLPID-CCC方法在均方根值、最大值和平均值分別減少了66.04%、62.07%和63.64%；相比于變增益CCC方法，NLPID-CCC方法在均方根值、最大值和平均值分別減少了30.77%、32.65%和30.43%。因此，NLPID-CCC方法能夠改善單軸跟蹤精度，減小系統(tǒng)的輪廓誤差，提高雙軸系統(tǒng)的運動精度。

4 結論

本文在分析了NLPID控制器和多軸系統(tǒng)輪廓誤差數學模型及交叉耦合的基礎上，設計了基于NLPID的交叉耦合控制器。單軸NLPID位置控制可加快系統(tǒng)動態(tài)響應，提高跟蹤能力，多軸間引入NLPID交叉耦合控制，實時估計輪廓誤差后進行動態(tài)增益補償。利用X-Y平臺以典型的圓輪廓進行實驗，通過結果對比，相比于變增益交叉耦合控制方法，在均方根值、最大值和平均值上有明顯減小，NLPID-CCC能夠有效地加快伺服軸動態(tài)響應，減小伺服系統(tǒng)的輪廓誤差。本文所提出的交叉耦合輪廓控制器同樣適用于高精度多軸運動系統(tǒng)，可提高其加工精度。