崔慶安，賴旭東

(1.鄭州大學(xué)管理工程學(xué)院，鄭州 450001；2.上海海事大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，上海 201306)

0 引言

3D打印是在數(shù)據(jù)化模型的基礎(chǔ)上將數(shù)據(jù)離散化，通過材料的逐層堆積制造三維實體的新型制造技術(shù)[1]。其中熔融沉積制造(Fused Deposition Modeling,FDM)憑借其成本低、操作簡單和使用材料范圍廣等優(yōu)點[2]，在航空航天[3]、生物醫(yī)療[4]等諸多領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。實踐表明，F(xiàn)DM在不同工藝參數(shù)水平下，其打印性能有明顯差異。尺寸精度、表面質(zhì)量和打印時間是FDM技術(shù)三個重要的性能指標(biāo)，大量研究對FDM工藝參數(shù)與以上指標(biāo)間的作用關(guān)系進(jìn)行了探索。文獻(xiàn)[5-6]運用正交實驗法分別評估了各參數(shù)對尺寸精度、打印時間和表面翹曲的影響程度和趨勢。文獻(xiàn)[7-8]運用響應(yīng)曲面法分別對表面翹曲、尺寸精度進(jìn)行了工藝參數(shù)優(yōu)化。以上研究表明，由于FDM打印材料在成型過程中的不均勻收縮及內(nèi)部殘余應(yīng)力，導(dǎo)致打印件側(cè)面尺寸誤差大、表面翹曲嚴(yán)重，且FDM打印過程由線到面，打印時間長，嚴(yán)重制約了FDM的廣泛應(yīng)用。因此，對尺寸誤差、表面翹曲和打印時間進(jìn)行工藝參數(shù)優(yōu)化具有重要應(yīng)用價值。

多響應(yīng)曲面法(Multi-response surface methodology,MRSM)[9]是解決多響應(yīng)參數(shù)優(yōu)化問題的重要方法。Kasim M S等[10]利用MRSM對FDM進(jìn)行了多響應(yīng)參數(shù)優(yōu)化，證明了其在FDM中的有效性。但是傳統(tǒng)MRSM通過多項式模型對各響應(yīng)與因素間的關(guān)系進(jìn)行建模，且通常只保留二次及二階效應(yīng)，無法對實際問題中的復(fù)雜作用關(guān)系有效建模，進(jìn)而導(dǎo)致優(yōu)化結(jié)果不理想。于是，引入基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的非參數(shù)建模方法，如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[11]、支持向量機(jī)[12]等。其中最小二乘支持向量回歸機(jī)[13](Least squares support vector regression ,LS-SVR)是在支持向量機(jī)(Support vector machine,SVM)的基礎(chǔ)上改進(jìn)而來的算法，其通過把不等式約束轉(zhuǎn)化為等式約束，從而將SVM中的凸二次規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為線性系統(tǒng)求解問題，極大提高了訓(xùn)練速度。但是標(biāo)準(zhǔn)LS-SVR算法無法處理多響應(yīng)參數(shù)優(yōu)化這種多輸出系統(tǒng)，通常的解決辦法是對多個輸出分別建立回歸模型并進(jìn)行組合，這種獨立建模的方式由于沒有考慮各輸出間的潛在關(guān)聯(lián)信息，所以建模精度較差[14]。多輸出最小二乘支持向量回歸[15](Multi-output least squares support vector regression,MLS-SVR)是在LS-SVR的基礎(chǔ)上提出的一種多輸出回歸模型，其在多任務(wù)學(xué)習(xí)(Multi-task learning,MTL)[16]理論的指導(dǎo)下對各輸出間的潛在關(guān)聯(lián)信息進(jìn)行建模，真正意義上實現(xiàn)了多輸出回歸建模。

本文以FDM多輸出復(fù)雜系統(tǒng)為研究對象，在利用拉丁超立方抽樣設(shè)計實驗的基礎(chǔ)上運用MLS-SVR模型對FDM多輸出復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)行多輸出建模，然后利用帶約束遺傳算法對模型進(jìn)行多響應(yīng)尋優(yōu)。從而提出基于MLS-SVR的多響應(yīng)曲面法對FDM打印過程進(jìn)行多響應(yīng)參數(shù)優(yōu)化，以達(dá)到同時降低打印件側(cè)面尺寸誤差、表面翹曲，約束打印時間的目的。

1 MLS-SVR原理及優(yōu)化步驟

1.1 最小二乘支持向量回歸

LS-SVR通過非線性映射φ(x)將樣本集從低維空間映射到高維希爾伯特空間H(維度為nh)中，并在H中構(gòu)建最優(yōu)擬合函數(shù)，一般函數(shù)形式如下：

f(x)=wTφ(x)+b

(1)

其中，x為輸入向量；f(x)為函數(shù)值；w∈Rnh為權(quán)重向量；b∈R為偏置量。

(2)

s.t.yi=wTφ(xi)+b+ξi

(3)

其中，ξ=(ξ1,ξ2,...,ξl)T∈Rl為由松弛變量ξi組成的向量；γ∈R+為正則化參數(shù)。式(2)、式(3)的拉格朗日函數(shù)為：

(4)

其中，α=(α1,α2,...,αl)T為由拉格朗日乘子αi組成的向量。根據(jù)最優(yōu)解存在的條件，令L分別對w、b、ξ、α求偏導(dǎo)并等于0，可得如下線性方程組：

(5)

其中，K=ZTZ∈Rl×l，Z=(φ(x1),φ(x2),...,φ(xl))；其元素Ki,j=φ(xi)φ(xj)=k(xi,xj)，k(xi,xj)為滿足Mercer定理的核函數(shù)；Il為l階單位矩陣；1I為l維全一列向量。

(6)

1.2 多輸出最小二乘支持向量回歸

標(biāo)準(zhǔn)LS-SVR公式無法處理多輸出回歸問題，關(guān)鍵是如何對各輸出間的潛在關(guān)聯(lián)信息進(jìn)行建模。MLS-SVR算法在遵循多任務(wù)學(xué)習(xí)的思想下對LS-SVR算法進(jìn)行推廣，其通過將各輸出權(quán)重向量wi分解為wi=w0+vi來對輸出間的潛在關(guān)聯(lián)信息進(jìn)行建模，即各輸出權(quán)重向量均在某個均值向量w0周圍波動，波動幅度為vm。當(dāng)輸出間關(guān)聯(lián)性較強(qiáng)時，vm趨近于0，反之w0趨近于0。

fi(x)=(w0+vi)Tφ(x)+bi

(7)

其中，x為輸入向量；fi(x)、(w0+vi)∈Rnh、bi∈R分別為第i維輸出的函數(shù)值、權(quán)重向量和偏置量。在結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化原則下，MLS-SVR通過最小化如下目標(biāo)函數(shù)來求解w0∈Rnh、V=(v1,v2,...,vm)∈Rnh×m和偏置向量b=(b1,b2,...,bm)∈Rm：

(8)

s.t.Yi,j=(w0+vj)Tφ(xi)+bj+ξi,j

(9)

其中，ξ=(ξ1,ξ2,...,ξm)∈Rl×m，ξi=(ξi,1,ξi,2,...,ξi,l)T為松弛變量組成的向量；Y=(y1,y2,...,ym)∈Rl×m，yi為樣本集的第i維輸出向量；λ、γ為兩個正則化參數(shù)。式(8)、式(9)的拉格朗日函數(shù)為：

(10)

其中，A=(α1,α2,...,αm)∈Rl×m，αi=(αi,1,αi,2,...,αi,l)T為拉格朗日乘子組成的向量。令L分別對w0、V、b、ξ、A求偏導(dǎo)并等于0，可得如下線性方程組：

(11)

(12)

MLS-SVR模型可采用多種形式的核函數(shù)，本文采用支持向量機(jī)中最為常用的徑向基(Radial basis function,RBF)核函數(shù)，表達(dá)式如下：

(13)

正則化參數(shù)γ,λ和RBF核函數(shù)寬度系數(shù)p為MLS-SVR模型的超參數(shù)組合θ=(γ,λ,p)，對模型性能有較大影響。

1.3 MLS-SVR多響應(yīng)曲面法優(yōu)化步驟

本文運用MLS-SVR多響應(yīng)曲面法優(yōu)化FDM工藝參數(shù)。主要步驟如下：

(1)確定變量：確定響應(yīng)變量y1、y2及約束變量y3，選定待優(yōu)化工藝參數(shù)及實驗域。

(2)實驗設(shè)計：利用拉丁超立方抽樣(Latin hypercube sampling,LHS)抽取樣本點，根據(jù)所得樣本點安排實驗。

(3)構(gòu)建MLS-SVR模型：通過網(wǎng)格搜索加留一法確定MLS-SVR模型合適超參數(shù)組合θ*={γ*,λ*,p*}，然后對模型進(jìn)行訓(xùn)練，確定MLS-SVR模型。

(4)尋優(yōu)：利用帶約束遺傳算法在對模型輸出y3進(jìn)行約束的條件下，對由輸出y1、y2組合成的復(fù)合響應(yīng)進(jìn)行尋優(yōu)，得到最優(yōu)參數(shù)組合及各輸出尋優(yōu)結(jié)果。

(5)驗證：對尋優(yōu)結(jié)果進(jìn)行驗證實驗，得到優(yōu)化結(jié)果。

2 實驗設(shè)計

2.1 確定響應(yīng)、約束變量及工藝參數(shù)

根據(jù)本文研究目標(biāo)，分別選取打印件側(cè)面尺寸誤差、表面翹曲作為響應(yīng)變量y1、y2，打印時間作為約束變量y3。通過參考相關(guān)文獻(xiàn)[17-18]及打印機(jī)的設(shè)置說明，本文所研究工藝參數(shù)及實驗域如表1所示。

表1 待優(yōu)化參數(shù)及實驗域

續(xù)表

2.2 LHS實驗設(shè)計

本文運用LHS抽取樣本點,抽樣數(shù)量為60，根據(jù)所得樣本點安排實驗。實驗使用尺寸為35×25×3 mm的長方體打印件，打印設(shè)備采用噴嘴直徑為0.4 mm的極光爾沃Z-603SFDM打印機(jī)。

2.3 實驗結(jié)果測量

(1)尺寸誤差y1：首先，分別測量打印件長度、寬度方向的上下表面尺寸，得到兩個方向的最大測量尺寸xLMAX、xWMAX。然后，用游標(biāo)卡尺外測量爪有斜坡部位分別測量長度、寬度方向4個側(cè)面的中部位置尺寸，得到四個側(cè)面的最小測量尺寸xLMIN1、xLMIN2、xWMIN1、xWMIN2。最后以打印件實際尺寸與設(shè)計尺寸xL=35 mm、xW=25 mm的總相對誤差?來代表尺寸誤差y1的大小，單位為‰，計算公式如下：

(14)

(2)翹曲y2：如圖1所示，用數(shù)顯游標(biāo)卡尺測出翹曲最大所在底面長度方向的邊緣曲線到其水平切線的最大翹曲量，作為翹曲y2的大小，單位為mm。

圖1 翹曲測量示意圖

(3)打印時間y3：采用秒表加運動相機(jī)測量打印過程的時間間隔，作為打印時間y3的大小，單位為s。

3 實驗結(jié)果分析

3.1 模型擬合

得到60組LHS樣本點及實驗結(jié)果后，從中隨機(jī)抽取10組做測試集，其余50組構(gòu)成訓(xùn)練集。由于各變量間量綱不同，故統(tǒng)一歸一化到[0,1]區(qū)間。

以各樣本點x1、x2、x3、x4、x5、x6作為輸入向量，y1、y2、y3作為輸出向量，構(gòu)建MLS-SVR模型。首先采用網(wǎng)格搜索法在初始網(wǎng)格γ∈{2-5,2-3,...,215}、λ∈{2-10,2-8,...,210}、p∈{2-9,2-7,...,23}中搜索最優(yōu)超參數(shù)組合，對于每一超參數(shù)組合，通過在訓(xùn)練集上運用留一法，計算其在各驗證集上各輸出實際值和擬合值的總體平均方差，以總體平均方差最小為標(biāo)準(zhǔn)確定初始網(wǎng)格下的最優(yōu)超參數(shù)組合。然后采用等距細(xì)網(wǎng)格搜索在上步所得最優(yōu)超參數(shù)組合附近重復(fù)上述步驟，最終尋得θ*={2,2,0.635}。最后用訓(xùn)練集數(shù)據(jù)對模型進(jìn)行訓(xùn)練，確定MLS-SVR模型。

對MLS-SVR模型多輸出擬合效果及各輸出殘差進(jìn)行檢驗，圖2為樣本集上各輸出擬合值和實際值的散點圖，各輸出的擬合值均勻分布在紅色線(45°對角線)附近。圖3為樣本集上各輸出殘差和實驗順序散點圖，各輸出殘差在水平軸附近無規(guī)則地隨機(jī)波動，與實驗順序無關(guān)。圖4為樣本集上各輸出殘差和擬合值散點圖，各輸出殘差無明顯異常模式。以上結(jié)論表明，MLS-SVR模型有效擬合了各參數(shù)對尺寸誤差、翹曲和打印時間的作用關(guān)系，建模效果顯著。

(a) 尺寸誤差% (b) 翹曲mm (c) 打印時間s圖2 各輸出擬合值(y)和實際值(x)散點圖

(a) 尺寸誤差% (b) 翹曲mm(c) 打印時間s圖3各輸出殘差(y)與實驗順序(x)散點圖

(a) 尺寸誤差% (b) 翹曲mm(c) 打印時間s圖4 各輸出殘差(y)與擬合值(x)散點圖

利用MLS-SVR模型可得到15組各參數(shù)交互作用對三個輸出的曲面圖，由于篇幅限制，本文只列出其中兩組，如圖5所示?？梢钥闯?，各參數(shù)對三個輸出的作用關(guān)系復(fù)雜，交互效應(yīng)明顯。且各參數(shù)對尺寸誤差和翹曲的交互作用圖比較相似，對尺寸誤差、翹曲的實驗結(jié)果進(jìn)行相關(guān)性檢驗，得兩者相關(guān)系數(shù)為0.718，P值為0.000，說明兩輸出間相關(guān)性高度顯著。因此，對各參數(shù)與尺寸誤差、翹曲和打印時間的作用關(guān)系進(jìn)行多輸出建模時，所選模型須充分考慮各輸出與輸入間復(fù)雜關(guān)系和各輸出間相關(guān)性的影響。

(a)壁厚-噴嘴溫度與尺寸誤差 (b)壁厚-噴嘴溫度與翹曲

(c) 壁厚-噴嘴溫度與打印時間 (d) 打印速度-填充率與尺寸誤差

(e) 打印速度-填充率與翹曲 (f)打印速度-填充率與打印時間圖5 MLS-SVR多響應(yīng)曲面法部分曲面圖

3.2 參數(shù)優(yōu)化與實驗驗證

為了實現(xiàn)對打印時間輸出進(jìn)行約束且對尺寸誤差、翹曲輸出同時尋優(yōu)，本文對傳統(tǒng)遺傳算法目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行如下修改：

(1)將響應(yīng)變量尺寸誤差、翹曲通過加權(quán)平均整合為單一復(fù)合響應(yīng)，對復(fù)合響應(yīng)尋優(yōu)。

(2)當(dāng)打印時間輸出值大于約束邊界t0時，在其目標(biāo)函數(shù)中添加關(guān)于打印時間的懲罰項|y3-t0|，從而在尋優(yōu)時將打印時間輸出約束在[0,t0]的范圍內(nèi)。

修改后遺傳算法目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式如下：

(15)

其中，c為懲罰系數(shù)；r1,r2分別為y2,y2的權(quán)重，r1+r2=1。由上述遺傳算法，取約束邊界t0=1173 s(實驗結(jié)果中位數(shù))，權(quán)重r1=r2=0.5，懲罰系數(shù)c=0.5，種群個體數(shù)量為200，尋優(yōu)過程如圖6所示。

圖6 尋優(yōu)過程圖

圖6顯示，迭代60次左右時，種群逐漸收斂，最終在117代尋得最優(yōu)參數(shù)組合如表2所示。

表2 最優(yōu)參數(shù)組合

利用MLS-SVR模型得到最優(yōu)參數(shù)組合下尺寸誤差、翹曲預(yù)測值分別為3.589‰、0.194 mm。在該組合下進(jìn)行三次重復(fù)驗證實驗，尺寸誤差驗證結(jié)果為3.54‰、3.77‰、3.83‰；翹曲驗證結(jié)果為0.17 mm、0.17 mm、0.19 mm。約束變量打印時間預(yù)測值為1173 s，位于約束邊界上，驗證結(jié)果為1160 s。打印件優(yōu)化前后效果對比如圖7所示。

(a) 優(yōu)化前(b) 優(yōu)化后圖7 優(yōu)化效果對比圖

3.3 傳統(tǒng)多響應(yīng)曲面實驗

在同樣條件下利用傳統(tǒng)MRSM對尺寸誤差和翹曲進(jìn)行優(yōu)化。由于傳統(tǒng)MRSM無法設(shè)置約束變量，為了實現(xiàn)打印時間約束條件一致，本文在實驗過程中以打印時間t≤1173 s為條件，如果超出，停止實驗。

首先進(jìn)行因子實驗，得到尺寸誤差和翹曲實驗結(jié)果，并將其標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)通過加權(quán)平均整合成復(fù)合響應(yīng),對復(fù)合響應(yīng)建模得到其多項式。然后用拉格朗日乘數(shù)法求解復(fù)合響應(yīng)最優(yōu)下降路徑并進(jìn)行下降實驗，得到復(fù)合響應(yīng)最優(yōu)區(qū)域。然后采用中心復(fù)合有界(CCI)設(shè)計在最優(yōu)區(qū)域附近進(jìn)行多響應(yīng)曲面實驗設(shè)計，得到尺寸誤差和翹曲實驗結(jié)果并進(jìn)行逐步回歸得到各自二次多項式。最后利用響應(yīng)優(yōu)化器在二者權(quán)重比1:1、重要度比1:1的條件下對尺寸誤差和翹曲進(jìn)行優(yōu)化，得到最優(yōu)預(yù)測值分別為7.328‰，0.581 mm。在所得最優(yōu)參數(shù)組合下進(jìn)行驗證實驗，尺寸誤差驗證結(jié)果為7.62‰、8.23‰、8.94‰；翹曲驗證結(jié)果為0.54 mm、0.6 mm、0.68 mm，均在其95%置信區(qū)間內(nèi)。該參數(shù)組合下打印時間驗證值為623 s，沒有超出約束邊界。

尺寸誤差顯著因子為層厚、熱床溫度、噴嘴溫度，翹曲顯著因子為層厚、壁厚、熱床溫度、噴嘴溫度。由于篇幅限制，本文只給出部分顯著因子對尺寸誤差和翹曲的交互作用曲面圖，如圖8所示。

(a) 層厚-熱床溫度與尺寸誤差 (b) 層厚-噴嘴溫度與尺寸誤差

(c) 層厚-壁厚與翹曲(d) 層厚-熱床溫度與翹曲

(e) 層厚-噴嘴溫度與翹曲 (f) 壁厚-熱床溫度與翹曲圖8 傳統(tǒng)MRSM部分曲面圖

4 結(jié)果分析

(1)優(yōu)化結(jié)果對比

由表3可知，在打印時間t≤1173 s的約束條件下，MLS-SVR多響應(yīng)曲面法的尺寸誤差、翹曲優(yōu)化結(jié)果分別為3.71‰、0.177 mm，同傳統(tǒng)MRSM相比，尺寸誤差減少53.39%、翹曲減少71.13%，優(yōu)化效果更好。另外，本文所提方法打印時間約束結(jié)果為1160 s，預(yù)測值為1173 s，處于約束邊界上。說明由于約束條件的限制，尺寸誤差和翹曲還未達(dá)到最小值，同時說明所提方法有效約束了打印時間。

表3 優(yōu)化結(jié)果對比

(2)實驗過程對比

本文實驗過程中，MLS-SVR多響應(yīng)曲面法共用60次實驗。傳統(tǒng)MRSM經(jīng)過部分因子、最速上升、全因子和CCI實驗，共用76次實驗。本文所提方法比傳統(tǒng)MRSM節(jié)省了16次實驗，且實驗步驟更加簡單。另外，傳統(tǒng)MRSM優(yōu)化結(jié)果受部分因子實驗初始點的影響，容易陷入局部最優(yōu)。而本文所提方法利用LHS在實驗域均勻分布樣本點，可更加全面、有效地代表樣本空間。

(3)建模能力對比

兩種方法對FDM多輸出復(fù)雜系統(tǒng)的建模能力可通過對比圖5和圖8得出結(jié)論。明顯看出，MLS-SVR多響應(yīng)曲面法的交互作用曲面圖比傳統(tǒng)MRSM的更加復(fù)雜，說明MLS-SVR模型充分挖掘了輸入與輸出及各輸出間的關(guān)聯(lián)信息，比多項式模型更加準(zhǔn)確、全面地模擬了多輸出系統(tǒng)內(nèi)的復(fù)雜作用關(guān)系，建模能力更強(qiáng)。

5 結(jié)論

本文以FDM多輸出復(fù)雜系統(tǒng)為研究對象，提出基于MLS-SVR的多響應(yīng)曲面法對其進(jìn)行了參數(shù)優(yōu)化，并與傳統(tǒng)MRSM進(jìn)行了比較，得出以下結(jié)論：

(1)同多項式模型相比，MLS-SVR模型對FDM多輸出系統(tǒng)內(nèi)復(fù)雜作用關(guān)系的建模能力更強(qiáng)，且在同時對多個輸出進(jìn)行回歸建模的情況下考慮各輸出間的潛在關(guān)聯(lián)信息，較適合對現(xiàn)實生產(chǎn)中的多輸出復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)行建模。

(2)同傳統(tǒng)MRSM采用最速下降法對復(fù)合響應(yīng)進(jìn)行尋優(yōu)相比，本文所提遺傳算法對復(fù)合響應(yīng)的全局優(yōu)化能力更強(qiáng)，且可以解決有約束問題，尋優(yōu)策略更加多樣，可有效對模型各輸出進(jìn)行優(yōu)化和約束。

(3)同傳統(tǒng)MRSM相比，本文所提方法采用MLS-SVR模型和帶約束遺傳算法對FDM多輸出復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)行全局建模和優(yōu)化，實驗步驟更加簡單，建模效率更高，優(yōu)化效果更好。