段志貴 王光明 張建偉

(1.鹽城師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 224002;2.天津師范大學(xué)教育學(xué)部 300387)

多年來(lái)國(guó)內(nèi)外解題與解題教學(xué)的理論研究方興未艾，成果豐碩.如何把這些成果進(jìn)一步應(yīng)用到具體的解題與解題教學(xué)實(shí)踐之中反哺理論研究也成為大家共同關(guān)心的話題．本研究擬通過(guò)有著特級(jí)教師榮譽(yù)、正高級(jí)教師職稱的G老師的一節(jié)解題教學(xué)優(yōu)秀課例，深入探討解題教學(xué)自然生發(fā)的“發(fā)問(wèn)、發(fā)現(xiàn)、發(fā)省和發(fā)展”實(shí)施過(guò)程，凝練并具體分析“4F”解題教學(xué)的模式構(gòu)建、運(yùn)行方式及其應(yīng)用價(jià)值．

專家型教師G老師任教于蘇南某市普通高中多年，教學(xué)經(jīng)驗(yàn)豐富.他的這節(jié)解題教學(xué)課例選用的是“圓錐曲線”單元教學(xué)結(jié)束后的一道檢測(cè)題[1]：

設(shè)雙曲線x2-y2=2021的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2，P為其右支上一點(diǎn)，且∠A1PA2=4∠PA1A2，則∠PA1A2=．

G老師發(fā)現(xiàn)這道測(cè)試題的檢測(cè)結(jié)果非常不理想.全班一共45名同學(xué)，40名同學(xué)或是答錯(cuò)，或是空白；還有5名同學(xué)，雖然正確，但是答案卻是通過(guò)作圖猜測(cè)的.他在反思：這道題有那么多學(xué)生沒(méi)有思路，究竟難在何處？如何講解才能讓學(xué)生學(xué)得靈活，理解得深刻，并能由此及彼觸類旁通呢？

1 發(fā)問(wèn)——查找解題癥結(jié)

波利亞解題理論告訴我們，解題的第一步是弄清題意．弄清題意的目的就是要深入剖析從條件到結(jié)論需要跨越的障礙，明了問(wèn)題解決的癥結(jié)所在，為后續(xù)解題攻克堡壘打開通道．讓我們首先看看G老師是如何組織開篇第一環(huán)節(jié)教學(xué)的．

師：同學(xué)們，這道題看上去已知和未知非常明確，怎么求解？請(qǐng)說(shuō)說(shuō)你的想法．

生甲：老師，我在想可否利用雙曲線的定義去解題，|PA1|-|PA2|=2a,然后利用余弦定理，通過(guò)已知的邊角關(guān)系去求出角α．

G老師評(píng)述說(shuō)，甲同學(xué)想到的是“回歸定義”，這是一種常用的解題策略．他請(qǐng)同學(xué)們想想看，甲同學(xué)的方法是否可行．同學(xué)們議論紛紛，有同學(xué)大聲指出甲同學(xué)的思路不對(duì)，“回歸定義”應(yīng)該是動(dòng)點(diǎn)P到雙曲線兩個(gè)定點(diǎn)(即雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)F1,F2)的距離之差，而不是動(dòng)點(diǎn)到雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)的距離之差．

師：同學(xué)們說(shuō)的對(duì)．甲同學(xué)對(duì)定義的理解不是很透徹，犯了一個(gè)知識(shí)性錯(cuò)誤，下次一定要注意．在本題中，A1、A2是雙曲線的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)，而不是兩個(gè)焦點(diǎn)．由此可見，仔細(xì)審題非常關(guān)鍵，它是成功解題最基本的一個(gè)要求．

G老師要求同學(xué)們?cè)僮屑?xì)想一想，本題已知什么條件，已知的雙曲線和P點(diǎn)各有什么特征？未知(待求)什么？可否根據(jù)已知條件做出一張草圖，以幫助思考．在G老師的引導(dǎo)下，學(xué)生們重新梳理了題目中的“重要信息”，根據(jù)題意畫出了草圖(如圖1所示)，并且標(biāo)注了兩個(gè)已知角之間的4倍關(guān)系．

圖1

G老師給同學(xué)們5分鐘的時(shí)間，讓大家獨(dú)立思考．他在教室里轉(zhuǎn)了一圈，發(fā)現(xiàn)學(xué)生們大多緊鎖眉頭，看上去都沒(méi)有找到一個(gè)可行的方向．個(gè)別同學(xué)在草稿紙上寫寫畫畫，有的同學(xué)標(biāo)注出了相關(guān)點(diǎn)及已知條件的信息，但也只是止步于此，再無(wú)進(jìn)展．于此，G老師適時(shí)開始了課堂發(fā)問(wèn)：大家遇到了哪些困難?哪些困難的解決是容易的？哪些困難尚未獲得突破？有沒(méi)有思考可能的破解方法？好多學(xué)生反映不知道∠A1PA2=4∠PA1A2這個(gè)條件怎么使用．顯然這就是影響同學(xué)們發(fā)現(xiàn)解法的癥結(jié)所在，也是解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在．

迅速找到解題的發(fā)問(wèn)點(diǎn)(關(guān)鍵點(diǎn))是破解問(wèn)題的關(guān)鍵一步．觀察發(fā)現(xiàn)，一些看似復(fù)雜的表達(dá)式，或是無(wú)法直接套用的變量關(guān)系，或是聯(lián)結(jié)各類條件(或結(jié)論)的核心概念等，都可能成為解題需要盤根問(wèn)底的重點(diǎn)對(duì)象，都有可能成為解題的發(fā)問(wèn)點(diǎn)．基于對(duì)G老師這一教學(xué)環(huán)節(jié)的賞析，我們還看到了解題教學(xué)的發(fā)問(wèn)時(shí)機(jī)和發(fā)問(wèn)角度的恰當(dāng)選擇也非常重要．立足于學(xué)生立場(chǎng)，指向?qū)W生感知，不難發(fā)現(xiàn)：學(xué)生的憤悱之時(shí)就是發(fā)問(wèn)的最佳時(shí)機(jī)，引領(lǐng)學(xué)生思維同步推進(jìn)的問(wèn)題視角就是最好的發(fā)問(wèn)角度．

有些人眼高手低，感覺發(fā)問(wèn)沒(méi)有意義，找到解題癥結(jié)又如何呢？事實(shí)上，沒(méi)有找尋發(fā)問(wèn)點(diǎn)的解題只是一種嘗試性的試驗(yàn)，沒(méi)有方向感，帶有盲目性．這樣做也可能把問(wèn)題解決，但解題能力并不會(huì)因此獲得多少長(zhǎng)進(jìn)．而G老師引領(lǐng)學(xué)生找到了解題癥結(jié)，就可以集中精力全力以赴地攻克它．一方面，通過(guò)發(fā)問(wèn)為問(wèn)題的解構(gòu)奠定基礎(chǔ)，深化了對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的理解，為問(wèn)題的逐步解決找準(zhǔn)了方向；另一方面，通過(guò)發(fā)問(wèn)去查找癥結(jié)，培養(yǎng)了學(xué)生的思維習(xí)慣和意志品質(zhì)，為學(xué)生樹立了標(biāo)桿，建立了解題信心，積累了解題經(jīng)驗(yàn)．

2 發(fā)現(xiàn)——探索解題路徑

問(wèn)題的癥結(jié)雖然找到了，可是如何更進(jìn)一步化解這一癥結(jié)，從而尋找到有效的解題路徑呢？可以看到，G老師自始至終都在用啟發(fā)性的語(yǔ)言，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性、主動(dòng)性和創(chuàng)造性，引領(lǐng)學(xué)生將各種數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，將已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)進(jìn)行分析和探索．

師：一般情況下，題目所給的條件都有用處．當(dāng)你們面對(duì)一個(gè)一時(shí)用不起來(lái)的條件，想過(guò)怎么辦嗎？可否把已知條件與之前學(xué)過(guò)的一些知識(shí)聯(lián)系起來(lái)考慮？可否把這個(gè)條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化？前后桌4人一個(gè)小組討論5分鐘，之后進(jìn)行班級(jí)交流．

5分鐘過(guò)后，G老師請(qǐng)各小組代表匯報(bào)本組的討論進(jìn)展．

小組1組長(zhǎng)：老師，我們組想從雙曲線定義入手解決問(wèn)題，但是行不通．

小組2組長(zhǎng)：老師，我們組想通過(guò)解三角形△PA1A2來(lái)求尋求突破，嘗試發(fā)現(xiàn)不通．

小組3組長(zhǎng)：老師，我們小組利用雙曲線方程，從觀察方程的角度入手，引入點(diǎn)P、點(diǎn)A1和點(diǎn)A2的坐標(biāo)，想求解∠PA1A2的正切，也行不通．

……

G老師在充分了解各小組討論進(jìn)展的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)小組1和小組2的學(xué)生想法離正確的思路還很遠(yuǎn)，小組3的學(xué)生雖然看似找對(duì)了解題方向，卻又無(wú)法進(jìn)一步轉(zhuǎn)化問(wèn)題，突破解題瓶頸．G老師決定先不直接給出轉(zhuǎn)化的要點(diǎn)．他讓小組3組長(zhǎng)把他們的進(jìn)展寫在了黑板上，并讓大家沿著該組學(xué)生的思路繼續(xù)解決問(wèn)題．

小組3組長(zhǎng)走上講臺(tái)在黑板上書寫了如下內(nèi)容：

不妨設(shè)∠PA1A2=α，則∠A1PA2=4α．

由雙曲線x2-y2=2021，得頂點(diǎn)坐標(biāo)為

師：請(qǐng)各小組繼續(xù)討論，這兩個(gè)斜率可以如何使用？

2分鐘后，小組4的同學(xué)們舉手，躍躍欲試．G老師請(qǐng)他們分享討論結(jié)果．

小組4組長(zhǎng)：老師，我們發(fā)現(xiàn)直線PA1，PA2的斜率乘積是二元二次方程，與雙曲線方程有關(guān)，化簡(jiǎn)后是定值．

師：很好．請(qǐng)說(shuō)出你的推導(dǎo)過(guò)程．

師：很漂亮的解法．

這時(shí)第1小組一位女生舉手要求發(fā)言．

圖2

師：很好！乙同學(xué)的方法比剛才第4組所給出的方法簡(jiǎn)潔得多，利用了初中有關(guān)兩個(gè)三角形相似的知識(shí)，替代了繁瑣的三角函數(shù)角與角之間的運(yùn)算，很直觀．

至此，在小組3和小組4的共同努力下問(wèn)題終于得到了解決，乙同學(xué)在此基礎(chǔ)上，還進(jìn)一步優(yōu)化得到了更簡(jiǎn)潔的解法，同學(xué)們都露出了滿意的笑容．

每一次探索發(fā)現(xiàn)的教學(xué)，都是一次解題思路生成的過(guò)程．這里雖然只是簡(jiǎn)要記述了在G老師引領(lǐng)下的同學(xué)們精彩發(fā)現(xiàn)的幾個(gè)片段，但是，透過(guò)這些師生共同參與的活動(dòng)，我們看到G老師放手而非“牽手”，啟發(fā)而非束縛，把解題發(fā)現(xiàn)融合在“弄清題意——聯(lián)系舊知——小組討論——全班交流——辨析思考——嘗試猜想——轉(zhuǎn)化(化歸)問(wèn)題——點(diǎn)燃(思維)火花——一題多解”的教學(xué)過(guò)程之中，這與波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)——對(duì)解題的理解、研究和講授》中構(gòu)畫的解題思維導(dǎo)圖有著異曲同工之妙．他讓波利亞提出的“動(dòng)員”“組織”“分離”“組合”以及“辨認(rèn)”“回憶”“充實(shí)”“重組”等[2]解題策略落地開花，不僅展現(xiàn)出更具體的解題操作細(xì)節(jié)，而且也在解題教學(xué)過(guò)程中更進(jìn)一步地突顯了學(xué)生的主體地位，討論、交流、辨析、探索、聯(lián)想渾然一體，解題思維得到了充分的展開和訓(xùn)練，解題發(fā)現(xiàn)自然、真實(shí)，取得了顯著的教學(xué)效果．

3 發(fā)省——反思解題過(guò)程

在獲得問(wèn)題所求答案后，許多老師容易忽視解題之后的總結(jié)與反思，大多數(shù)學(xué)生更是如此．正如波利亞所說(shuō)，解題回顧是“領(lǐng)會(huì)方法的最佳時(shí)機(jī)”，“沒(méi)有任何一個(gè)題目是徹底完成了的”，“無(wú)論如何，我們總可以深化我們對(duì)答案的理解”．讓我們一起來(lái)看看G老師在本例教學(xué)中是如何引導(dǎo)學(xué)生推進(jìn)解題反省的．

一方面，G老師總結(jié)了常見錯(cuò)誤，特別提到了甲同學(xué)的“回歸定義”的解題思路，肯定了他的想法，同時(shí)指出這一錯(cuò)誤一開始就讓解題走錯(cuò)了方向，把“好的工具”用錯(cuò)了地方，教訓(xùn)深刻．經(jīng)過(guò)G老師這一點(diǎn)評(píng)，相信同學(xué)們都會(huì)盡量避免再犯同類錯(cuò)誤．另一方面，G老師組織大家回顧解題方法．他請(qǐng)第4小組組長(zhǎng)介紹本組同學(xué)是怎樣萌生解題思路的．

小組4組長(zhǎng)：我們小組在您提到α是傾斜角，分別求出直線PA1、PA2的斜率后，猜想這兩個(gè)斜率會(huì)不會(huì)有什么關(guān)系或聯(lián)系，于是結(jié)合已知條件，當(dāng)把它們乘起來(lái)后得出乘積正好為1，進(jìn)而通過(guò)三角變換相關(guān)運(yùn)算可以求出待求的角度．

師：很好！一個(gè)“好的念頭”產(chǎn)生了好的結(jié)果．其實(shí)解題方法并不唯一．我們?cè)僬?qǐng)乙同學(xué)說(shuō)一下是如何想到她的思路的．

生乙：我的想法建立在第4小組的基礎(chǔ)上，我感覺他們計(jì)算的過(guò)程有點(diǎn)繁瑣了，可否有更簡(jiǎn)單的方法，于是依據(jù)對(duì)應(yīng)線段成比例，就想到了用相似三角形去做．

師：非常好！剛剛兩位同學(xué)回顧了他們解題念頭產(chǎn)生的背景和萌發(fā)的原由，大家應(yīng)該受到了啟發(fā)．哪位同學(xué)說(shuō)說(shuō)看，通過(guò)解這道題，你還有什么收獲？

生丙：我感覺轉(zhuǎn)化思想非常重要．本題中對(duì)角進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為斜率，轉(zhuǎn)化為邊之比，轉(zhuǎn)化為相似三角形，不斷轉(zhuǎn)化是解題成功的關(guān)鍵．

G老師非常認(rèn)可丙同學(xué)的體會(huì)，并跟進(jìn)和解釋了丙同學(xué)的收獲——轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)區(qū)別于其他學(xué)科的一個(gè)重要是想，也是數(shù)學(xué)解題的一個(gè)重要法寶，有的專家稱之為化歸，并說(shuō)他更喜歡把這種能力稱之為數(shù)學(xué)解題的變通能力．他強(qiáng)調(diào)第4小組、乙同學(xué)之所以能成功解題，得益于他們腦海里涌現(xiàn)的“好的念頭”，大家一定要善于把控解題過(guò)程中出現(xiàn)的每一個(gè)念頭，努力讓“好的念頭”開花結(jié)果．更進(jìn)一步地，G老師還提出“好的念頭”往往來(lái)源于你對(duì)問(wèn)題的分析和理解，來(lái)源于你是否具有厚實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本的解題經(jīng)驗(yàn)，來(lái)源于你能否具有靈機(jī)一動(dòng)計(jì)上心來(lái)的變通能力．

美國(guó)心理學(xué)家波斯納提出的“經(jīng)驗(yàn)+反思=成長(zhǎng)”的成長(zhǎng)公式同樣適切于解題能力的獲得與進(jìn)步．解題后經(jīng)常性地總結(jié)與反思，有利于養(yǎng)成“回頭看”的思考和解決問(wèn)題的習(xí)慣，有利于厘清數(shù)學(xué)問(wèn)題及其解答的來(lái)龍去脈，有利于透視解題過(guò)程中的種種“遭遇”并明晰被征服的困難的實(shí)質(zhì)，有利于梳理數(shù)學(xué)問(wèn)題、方法和理論之間的廣泛聯(lián)系，有利于高屋建瓴地審視許多相關(guān)結(jié)果中的交匯點(diǎn)[3]．

在解題發(fā)省這一教學(xué)階段，G老師回顧了解題過(guò)程,檢查了相關(guān)解題細(xì)節(jié)． 一方面,強(qiáng)調(diào)了對(duì)錯(cuò)誤解法的反思,查找到錯(cuò)解發(fā)生的原因,提醒學(xué)生避免錯(cuò)誤再次發(fā)生;另一方面,啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行解題方法發(fā)現(xiàn)的回顧與總結(jié),引領(lǐng)學(xué)生充分地認(rèn)識(shí)解題規(guī)律,理解解題關(guān)鍵, 把握解題本質(zhì),積累解題經(jīng)驗(yàn). 他不僅讓學(xué)生“知其然”，而且更要“知其所以然”，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)解題過(guò)程再回顧、再檢查,以期加深學(xué)生們對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知，促進(jìn)學(xué)生們解題思維的生長(zhǎng)．

貫穿在解題發(fā)省過(guò)程中的G老師的教學(xué)思想也值得點(diǎn)贊．他非常重視學(xué)生數(shù)學(xué)思想的形成和數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用，注意保護(hù)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性,對(duì)學(xué)生在解題中萌發(fā)的解題“念頭”加以充分肯定，鼓勵(lì)他們大膽思考、積極嘗試，引導(dǎo)他們不斷探索和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，鼓勵(lì)他們?cè)趯で髥?wèn)題解決更簡(jiǎn)潔的思路和更多條通道中豐富解題經(jīng)驗(yàn),提高解題能力．

4 發(fā)展——拓展解題思維

對(duì)原題進(jìn)行必要的拓展與延伸，是解題教學(xué)的目標(biāo)要求．這一階段，重在變換條件結(jié)論，歸納和提煉出更多具有相關(guān)性、相似性、相反性的新問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)其中的解題規(guī)律，激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造性思維潛能，拓展深化學(xué)生對(duì)知識(shí)理解的深度與廣度．在這一解題教學(xué)階段，教師既是問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)者，學(xué)生解題的合作者、指導(dǎo)者，又是解題活動(dòng)的組織者、促進(jìn)者，以及解題過(guò)程的引領(lǐng)者、調(diào)控者．

師：大家不要忙著收起草稿本，請(qǐng)?jiān)诮忸}完成后再次回顧解題過(guò)程，也許你們會(huì)產(chǎn)生一些新的想法，收獲一些意想不到的發(fā)現(xiàn)．

受到G老師啟發(fā)，同學(xué)們一個(gè)個(gè)都睜大了雙眼，更仔細(xì)地閱讀原題，回顧解題過(guò)程，分析解法，探索可衍生的結(jié)論．

生丁：(舉手)好像“2021”這個(gè)數(shù)字并不重要，可以換成其它任何正數(shù)都行．

師：能說(shuō)說(shuō)為什么不影響結(jié)論嗎？

生丁：因?yàn)楹竺娴挠?jì)算結(jié)果沒(méi)有直接用到“2021”，直覺告訴我，“2021”可以換成任何正數(shù)．

師：好的，倘若按你所設(shè)“2021”替換成a2，你能把這個(gè)新編的題目說(shuō)一說(shuō)嗎？

生丁：設(shè)雙曲線x2-y2=a2(a>0)的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為B1，B2，P為其右支上一點(diǎn)，且∠B1PB2=4∠PB1B2，求∠PB2B1.

絕大部分學(xué)生也都脫口而出，并且說(shuō)出答案還是15°．G老師看到他們興奮的樣子，又開始追問(wèn)．

師：有沒(méi)有同學(xué)對(duì)雙曲線的方程有一種更為大膽地“變式”？

師：待求什么？請(qǐng)具體說(shuō)一說(shuō).

G老師面帶笑容，追問(wèn)戊的同桌己同學(xué)．

師：己同學(xué)，你說(shuō)∠PB2B1可求嗎？

生己：如果是一般形式的雙曲線，好像∠PB2B1不確定，不一定可求，但是這時(shí)直線PA1，PA2的斜率乘積應(yīng)該是定值．

緊接著，G老師請(qǐng)己同學(xué)解釋他的想法．己同學(xué)說(shuō)是依據(jù)兩個(gè)斜率的表達(dá)式直覺想到的．G老師進(jìn)一步請(qǐng)己同學(xué)到黑板(板演)推證：

G老師表?yè)P(yáng)了己同學(xué)，其他學(xué)生也流露出敬佩的眼神．從學(xué)生的表情中G老師讀懂他們有迫切希望解決新問(wèn)題的強(qiáng)烈愿望，感覺促進(jìn)學(xué)生思維生長(zhǎng)的興奮點(diǎn)已經(jīng)來(lái)臨．于是，G老師引領(lǐng)同學(xué)們將問(wèn)題繼續(xù)深化下去，創(chuàng)造了又一個(gè)發(fā)展學(xué)生思維、提升學(xué)生解題素養(yǎng)的絕佳時(shí)機(jī)．

師：非常棒！那么本題還可以進(jìn)一步延伸和推廣嗎？

短暫的沉默之后，又有同學(xué)舉手了．

生庚：可以把雙曲線改編為橢圓，命題可能一樣成立．這個(gè)命題是：

G老師追問(wèn)他這里的定值是什么，庚同學(xué)說(shuō)自己還不知道．有的學(xué)生猜想和雙曲線一樣是“e2-1”．那么，這里的定值究竟是什么呢？是“e2-1”嗎？帶著疑惑，G老師和學(xué)生一起進(jìn)行了驗(yàn)證，從而得到結(jié)論：直線PA1、PA2的斜率乘積是定值，定值為e2-1．

師：如果把題中的左、右頂點(diǎn)換成上、下頂點(diǎn)呢？

話音未落，有學(xué)生就計(jì)算出了答案：當(dāng)橢圓的上下頂點(diǎn)分別為A1，A2，P是橢圓上異于頂點(diǎn)的一動(dòng)點(diǎn)，直線PA1，PA2的斜率乘積是定值，同樣也是e2-1．

師：好像很有趣，是不是？從中你有什么發(fā)現(xiàn)？

師：很好．大家有沒(méi)有想過(guò)，本題還能作進(jìn)一步延伸和推廣嗎？誰(shuí)有想法？

大家沉默思考了片刻，坐在后面的一位男生打破了教室里的寧?kù)o．

生壬：我在想，如果A1、A2不是長(zhǎng)軸(或?qū)嵼S)的兩個(gè)頂點(diǎn)，而是過(guò)中心O的任一條直線與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)呢，此時(shí)PA1、PA2所在直線的斜率乘積還是定值嗎？

師：怎么會(huì)產(chǎn)生這個(gè)想法的呢？說(shuō)說(shuō)看．

生壬：過(guò)去常用旋轉(zhuǎn)法做題，我把這一方法聯(lián)想到本題中來(lái)了．我先對(duì)橢圓問(wèn)題作出猜想，然后對(duì)雙曲線問(wèn)題進(jìn)行猜想，如圖3、圖4所示．具體地猜想是：

圖3

圖4

師：太棒了，大家把掌聲送給他．(教室里響起熱烈的掌聲)

同學(xué)們意猶未盡，限于時(shí)間，G老師要求大家課后嘗試著去證明這兩個(gè)結(jié)論，并介紹說(shuō)它們是圓錐曲線知識(shí)技能中的一個(gè)重要內(nèi)容．他告誡同學(xué)們，解題的探索過(guò)程本就是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)積累的過(guò)程．學(xué)習(xí)一道題，不能只收獲一道題的解答過(guò)程，不能只收獲一種解法．同樣，任何時(shí)候的學(xué)習(xí)，都不應(yīng)只滿足于簡(jiǎn)單的記憶，正如這道題的學(xué)習(xí)，要學(xué)會(huì)發(fā)問(wèn)，學(xué)會(huì)在發(fā)問(wèn)中發(fā)現(xiàn)、發(fā)省和發(fā)展，并不止步于此，把已掌握的方法、結(jié)論應(yīng)用到更充滿挑戰(zhàn)的問(wèn)題解決中去．

解題發(fā)展有別于解題發(fā)省，它是建立在解題發(fā)省基礎(chǔ)之上的解題思維生長(zhǎng)．在這一環(huán)節(jié)，G老師從“2021”這個(gè)數(shù)字的可替代性出發(fā)，啟發(fā)學(xué)生對(duì)原題進(jìn)行拓展延伸，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律．他讓學(xué)生嘗試著改造或創(chuàng)造一些新題目，此舉極大地調(diào)動(dòng)了學(xué)生們學(xué)習(xí)的積極性．在師生、生生互動(dòng)過(guò)程中，將題目中的等軸雙曲線改編成標(biāo)準(zhǔn)形式下的雙曲線并證明了標(biāo)準(zhǔn)形式下的雙曲線中PA1，PA2的斜率乘積仍然是定值．接著利用類比法將題設(shè)條件又由雙曲線改造成橢圓，并進(jìn)一步探討了問(wèn)題的結(jié)論，把證明留待課后思考．

正如波利亞所說(shuō)，“數(shù)學(xué)不是堆砌起來(lái)的符號(hào)和公式，而是生動(dòng)活潑的智力活動(dòng)”，“數(shù)學(xué)活動(dòng)是猜想和論證循序交替、不斷發(fā)展的過(guò)程，是演繹和歸納的辯證統(tǒng)一”[4]．這一發(fā)展性解題教學(xué)環(huán)節(jié)，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，提升了他們的解題素養(yǎng)，為他們后續(xù)解決更多、更深、更廣泛的同類數(shù)學(xué)問(wèn)題積累了寶貴經(jīng)驗(yàn)，奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)．

5 “4F”解題教學(xué)透析

回顧本節(jié)課的解題教學(xué)，我們看到G老師基于解題教學(xué)目標(biāo)，采用了從發(fā)問(wèn)切入，然后到發(fā)現(xiàn)解法，再到發(fā)省，最后又通過(guò)師生、生生合作交流，引領(lǐng)學(xué)生不但解決了問(wèn)題，而且使建立在解題能力提高基礎(chǔ)上的解題素養(yǎng)獲得更大發(fā)展．G老師的這一解題教學(xué)法，可以簡(jiǎn)潔地凝練成以下“4F”解題教學(xué)示意圖，如圖5所示．

圖5 “4F”解題教學(xué)示意圖

圖5所示的“4F”解題教學(xué)中，“解題發(fā)問(wèn)”居于解題教學(xué)的中心，圍繞著“解題發(fā)問(wèn)”有3條從“解題發(fā)問(wèn)”出發(fā)的折線，分別指向“解題發(fā)現(xiàn)”、“解題發(fā)省”和“解題發(fā)展”．“4F”解題教學(xué)也是引領(lǐng)學(xué)生從謀求解法發(fā)現(xiàn)到超越問(wèn)題解決，解題能力不斷提升、數(shù)學(xué)思維不斷生長(zhǎng)的一個(gè)螺旋式遞進(jìn)過(guò)程．

首先，解題發(fā)問(wèn)是探索解題路徑的起點(diǎn)．真正有效的解題教學(xué)，一定要抓住問(wèn)題的要害，揭示問(wèn)題解決的關(guān)鍵．解題發(fā)問(wèn)居于解題教學(xué)的中心，它不但影響著解題發(fā)現(xiàn)，也影響著解題的發(fā)省和解題的發(fā)展．通過(guò)發(fā)問(wèn)，可以引導(dǎo)學(xué)生從發(fā)現(xiàn)到發(fā)省，反思解題的成功經(jīng)驗(yàn)與失敗教訓(xùn)；通過(guò)發(fā)問(wèn)，可以引導(dǎo)學(xué)生從發(fā)省到發(fā)展，在解題延伸與拓展中深度學(xué)習(xí)，拓寬解題視野，提高解題素養(yǎng)；通過(guò)發(fā)問(wèn)，還可以引領(lǐng)學(xué)生帶著發(fā)展了的解題本領(lǐng)接受新的問(wèn)題挑戰(zhàn)，解決層出不窮的新問(wèn)題，去發(fā)現(xiàn)、發(fā)省、再發(fā)展，循環(huán)往復(fù)，不斷向前．

其次，解題發(fā)現(xiàn)是捕獲解題方法的關(guān)鍵．一道數(shù)學(xué)問(wèn)題的解法發(fā)現(xiàn)，沒(méi)有發(fā)問(wèn)就可能找不著方向.然而只有發(fā)問(wèn)，也未必會(huì)直接帶來(lái)發(fā)現(xiàn)．解題的發(fā)現(xiàn)還依賴于厚實(shí)的數(shù)學(xué)基本功以及豐富的解題經(jīng)驗(yàn)積累．解法的獲得可能是一個(gè)漫長(zhǎng)而又曲折的發(fā)現(xiàn)過(guò)程.這一過(guò)程融合了解題者的智慧，在待解決問(wèn)題與一些熟悉的、已解決了的問(wèn)題之間架設(shè)了溝通的橋梁；這一過(guò)程化解了解題癥結(jié)并連結(jié)了條件和結(jié)論、已知和未知，打開了求解的通道．

再次，解題發(fā)省是提升解題能力的基石．從解題發(fā)現(xiàn)到解題發(fā)省，要求教師的解題教學(xué)在基本完成問(wèn)題解答后，要趁著學(xué)生頭腦中還有著清晰的體驗(yàn)，讓他們?nèi)セ仡櫧忸}過(guò)程，反思推理過(guò)程中的錯(cuò)誤并分析其中的原因；反省是否還存在其它解法，比較各種解法的優(yōu)缺點(diǎn)．

最后，解題發(fā)展是培養(yǎng)解題素養(yǎng)的階梯．解題能力的提升，不能僅僅滿足于就題論題的反省，還要對(duì)問(wèn)題作進(jìn)一步宏觀上的認(rèn)識(shí)和理解，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，改變問(wèn)題的提問(wèn)方式、覆蓋領(lǐng)域、形式結(jié)構(gòu)以及應(yīng)用范圍等，以實(shí)現(xiàn)對(duì)問(wèn)題的拓展與延伸，促進(jìn)學(xué)生深刻理解相關(guān)解題方法與策略，幫助學(xué)生內(nèi)化為具身性的解題知識(shí)和能力、數(shù)學(xué)思維與素養(yǎng)．

綜上，“4F”解題教學(xué)遵循認(rèn)知建構(gòu)教學(xué)原理，通過(guò)解題“發(fā)問(wèn)、發(fā)現(xiàn)、發(fā)省和發(fā)展”四個(gè)環(huán)節(jié)的解題教學(xué)，助力學(xué)生對(duì)先前知識(shí)和化歸、類比、直覺、聯(lián)想等思想方法的綜合運(yùn)用，幫助學(xué)生在自然狀態(tài)下萌發(fā)和生長(zhǎng)解題思維，訓(xùn)練解題能力，提升解題素養(yǎng)，圓滿踐行了解題理論指導(dǎo)下的解題教學(xué)實(shí)踐．實(shí)踐證明，“4F”解題教學(xué)法不僅教學(xué)意圖明顯，教學(xué)思路清晰，而且能充分激發(fā)和調(diào)動(dòng)學(xué)生的課堂參與熱情，營(yíng)造良好的課堂教學(xué)氛圍，有效地提高解題教學(xué)質(zhì)量．