許榮華，胡仁杰，綦方中，馬慶國(guó)

(浙江工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院，杭州 310023)

0 引言

為解決實(shí)際問題，考察多個(gè)對(duì)象之間的聯(lián)系，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)成為了有效的分析工具。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)是復(fù)雜性科學(xué)研究中的一個(gè)重要分支，一個(gè)典型的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)由頂點(diǎn)和連接頂點(diǎn)的邊組成，其中頂點(diǎn)代表了研究對(duì)象，而連接邊代表了研究對(duì)象之間存在的關(guān)聯(lián)。特別地，連接邊的形成可以根據(jù)研究對(duì)象所屬的具體領(lǐng)域以及關(guān)聯(lián)關(guān)系的具體含義而改變。因而復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)分析已經(jīng)廣泛運(yùn)用于技術(shù)、社會(huì)、信息以及生物等領(lǐng)域，其中技術(shù)領(lǐng)域的電力網(wǎng)絡(luò)成為近年來研究的熱點(diǎn)。

對(duì)于電力網(wǎng)絡(luò)的研究主要分為兩類，1)使用真實(shí)的電力物理運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)，通過研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)線路的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的改變，來研究電力網(wǎng)絡(luò)在停電事故中表現(xiàn)出的脆弱性[1]；2)考察不同行業(yè)、地區(qū)或企業(yè)用電量之間的邏輯聯(lián)系，包括因果關(guān)系和相關(guān)關(guān)系等，通過最小生成樹(MinimumSpinningTree, MST)、層次樹(Hierarchical Tree, HT)、聚類分析等方法，考察用電量網(wǎng)絡(luò)的多種結(jié)構(gòu)和特性。Zhou等人[2]使用上海市不同行業(yè)的用電量數(shù)據(jù)建立行業(yè)用電量關(guān)系網(wǎng)絡(luò)，并利用MST和社團(tuán)發(fā)現(xiàn)對(duì)不同行業(yè)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行聚類分析，以此揭示行業(yè)間的聯(lián)系。Yao等人[3-5]分別使用Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)[6]、Pearson相關(guān)性以及偏Granger因果關(guān)系[7]，對(duì)中國(guó)南方各省建立行業(yè)用電量關(guān)系網(wǎng)絡(luò)，通過網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分解，核心頂點(diǎn)的考察，層次聚類[8]的應(yīng)用，探究各省行業(yè)間的相互聯(lián)系。Xiao等人[9]對(duì)歐洲電力市場(chǎng)建立因果關(guān)系網(wǎng)絡(luò)，并使用方差分解的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浯_定影響其歐洲用電量結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的因素。

對(duì)用電量網(wǎng)絡(luò)的研究不僅可以展現(xiàn)行業(yè)或地區(qū)間聯(lián)系，作為城市基礎(chǔ)指標(biāo)，用電量網(wǎng)絡(luò)的宏觀分析能夠進(jìn)一步反映城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展?fàn)顩r及其發(fā)展中心。Kantar等人[10]通過MST和層次樹方法展現(xiàn)了亞洲高經(jīng)濟(jì)收入國(guó)家有更高可能性處于網(wǎng)絡(luò)的中心，并發(fā)現(xiàn)高經(jīng)濟(jì)收入國(guó)家的用電量變化與其GDP增長(zhǎng)相吻合。網(wǎng)絡(luò)的宏觀分析包括網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分析，很多學(xué)者通過網(wǎng)絡(luò)拓?fù)錅y(cè)度來反映經(jīng)濟(jì)狀況。Tang等人[11]通過探究聚類系數(shù)、介數(shù)中心性等測(cè)度，發(fā)現(xiàn)美國(guó)與中國(guó)的金融網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浯嬖诿黠@差異，揭示現(xiàn)實(shí)中兩個(gè)國(guó)家市場(chǎng)行為的區(qū)別。Hu等人[12]通過設(shè)定閾值和MST構(gòu)建各產(chǎn)業(yè)經(jīng)濟(jì)網(wǎng)絡(luò)，顯示不同產(chǎn)業(yè)形成的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)差異較大，反映了不同產(chǎn)業(yè)在經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的差異。除了網(wǎng)絡(luò)整體結(jié)構(gòu)特性與經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)形成關(guān)聯(lián)，在網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中處于核心位置的中心頂點(diǎn)還展現(xiàn)出了對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的帶動(dòng)(或抑制)作用。Li[13]等人通過建立世界國(guó)家貿(mào)易無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，發(fā)現(xiàn)美國(guó)作為加權(quán)度分布的最大頂點(diǎn)，大多數(shù)其他國(guó)家與美國(guó)存在顯著的經(jīng)濟(jì)周期同步。Lee等人[14]發(fā)現(xiàn)面對(duì)金融危機(jī)，國(guó)際貿(mào)易網(wǎng)絡(luò)中與外界連接緊密的頂點(diǎn)集團(tuán)會(huì)加劇危機(jī)的蔓延。

在對(duì)電量網(wǎng)絡(luò)的研究中，大多數(shù)學(xué)者通過網(wǎng)絡(luò)連接結(jié)構(gòu)(如MST形成的星型結(jié)構(gòu)等)來找到中心頂點(diǎn)[2-5,15]，但是這類頂點(diǎn)只代表了網(wǎng)絡(luò)的局部中心，且只能體現(xiàn)單一中心對(duì)其鄰居頂點(diǎn)的影響?？紤]同時(shí)展現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)所有中心頂點(diǎn)的連接情況，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的冪律分布性質(zhì)能夠?yàn)槲覀兲峁┹^好的分析角度。網(wǎng)絡(luò)度分布是否滿足冪律分布特性是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)分析中的重點(diǎn)問題，在許多領(lǐng)域中都對(duì)冪律分布做出了研究。Clauset等人[16]提出了完整的冪律分布考察及計(jì)算方法，并將其運(yùn)用在各個(gè)領(lǐng)域中。Rho等人[17]考察了不同臨界值下的網(wǎng)絡(luò)度分布特征，發(fā)現(xiàn)在一定的閾值下度分布將服從冪律分布。在此基礎(chǔ)上，Yang等人[18]在金融領(lǐng)域網(wǎng)絡(luò)度分布的研究中進(jìn)一步說明了形成冪律分布特征所需滿足的閾值條件。

與隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)相比，符合冪律分布的網(wǎng)絡(luò)存在更強(qiáng)的規(guī)則性。頭重分布作為冪律分布中的重要性質(zhì)，指網(wǎng)絡(luò)中大部分的連接僅指向小部分度數(shù)較大的頂點(diǎn)，Newman[19]在研究中提出了度大頂點(diǎn)比例P和與其相連邊數(shù)比例W之間的關(guān)系，通過這種關(guān)系可以近似估計(jì)網(wǎng)絡(luò)中頂點(diǎn)與連接分布特征。Lorenz[20]在此基礎(chǔ)上研究了不同冪律系數(shù)取值下P和W之間關(guān)系的變換，即洛倫茲曲線。洛倫茲曲線的建立可以清楚了解網(wǎng)絡(luò)中頂點(diǎn)和連接邊的變化趨勢(shì)。

基于學(xué)者們對(duì)閾值和冪律分布的研究，本文考慮使用冪律分布作為用電量網(wǎng)絡(luò)中閾值選擇的標(biāo)準(zhǔn)，運(yùn)用冪律分布的擬合情況和閾值相結(jié)合的方法，確定相關(guān)系數(shù)閾值，從相關(guān)性矩陣中過濾出中心企業(yè)及其連邊，建立中心企業(yè)用電量相關(guān)性網(wǎng)絡(luò)。本文使用杭州市2017工業(yè)企業(yè)用電量數(shù)據(jù)，分別通過頭重分布、同配混合特性、小世界特性等方面對(duì)企業(yè)用電量相關(guān)性網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行實(shí)證分析。

1 數(shù)據(jù)描述

自從第11屆G20峰會(huì)在浙江省杭州市召開，杭州城市建設(shè)和經(jīng)濟(jì)加速發(fā)展，超出了以往任何時(shí)期。特別地，杭州市規(guī)模以上工業(yè)增加值的發(fā)展速度在2017年到達(dá)頂峰。2017年是杭州近年來快速發(fā)展的典型時(shí)期，從企業(yè)用電量關(guān)聯(lián)特性的角度對(duì)杭州城市發(fā)展做出實(shí)證分析，本文收集了杭州2017年總共1 788家工業(yè)企業(yè)的日用電量時(shí)間序列數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來源于國(guó)家電網(wǎng)浙江省電力公司。選擇工業(yè)企業(yè)日用電量的原因有：

1)工業(yè)用電量在城市全社會(huì)用電量中占有較大的比重，相比于全社會(huì)用電量，其變化會(huì)受到居民用電量的影響，僅使用工業(yè)用電量能更及時(shí)地反映城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展?fàn)顩r。

2)日用電量的變化及時(shí)，相比較其他更新周期，如月用電量、季度用電量，更短的記錄間隔意味著更準(zhǔn)確的分析。

圖1描述了企業(yè)數(shù)據(jù)天數(shù)(總天數(shù)為334天)的累計(jì)分布，以及數(shù)據(jù)缺失(天數(shù)在334天數(shù)以下)的企業(yè)頻次分布圖。其中，大圖表示企業(yè)天數(shù)累計(jì)分布，x軸表示天數(shù)，y軸表示累計(jì)頻率；小圖展示了僅包含部分天數(shù)的企業(yè)，x軸表示天數(shù)，y軸表示企業(yè)數(shù)目。鑒于我們的數(shù)據(jù)時(shí)間跨度，總共為334天，大多數(shù)企業(yè)保留了完整的記錄天數(shù)，仍存在大約20%的企業(yè)未達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)。為保證數(shù)據(jù)的有效性，我們僅保留擁有完整記錄天數(shù)的企業(yè)，總企業(yè)數(shù)為1 469。

圖1 企業(yè)天數(shù)累計(jì)分布與334天數(shù)以下企業(yè)分布

2 網(wǎng)絡(luò)模型建立

2.1 條件Pearson相關(guān)性

Pearson相關(guān)性檢驗(yàn)作為檢驗(yàn)兩組數(shù)據(jù)之間的線性相關(guān)程度的有效工具，在金融、醫(yī)學(xué)[21-22]等領(lǐng)域都有非常廣泛的應(yīng)用。同樣地，也可以用于考察兩組時(shí)間序列數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性，比如股票走勢(shì)[23]、電量變化等。

在時(shí)間序列分析中，數(shù)據(jù)的走勢(shì)會(huì)呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性。本文使用企業(yè)用電量的日增變化率來衡量該企業(yè)用電量的走勢(shì)變化，即：

(1)

Ei·t為企業(yè)i在第t天的用電量，ei·t+1為企業(yè)i在第t+1天相對(duì)于前一天的用電量增長(zhǎng)率。

企業(yè)用電量除了反映企業(yè)自身的發(fā)展變化，還會(huì)隨著季節(jié)變化產(chǎn)生明顯波動(dòng)。由于這種影響的存在，大部分企業(yè)的用電量存在同步變化，進(jìn)而形成虛假的線性相關(guān)關(guān)系。因此需要排除用電量數(shù)據(jù)中的季節(jié)因素，還原企業(yè)自身真實(shí)用電量的變化。本文定義該城市宏觀基礎(chǔ)用電量為所用企業(yè)日用電量之和，即：

(2)

相應(yīng)地，該城市宏觀基礎(chǔ)用電量的日增變化率為

(3)

因此，觀察到的企業(yè)用電量變化的來源可以分解為兩部分，一部分是所有企業(yè)都會(huì)受到的宏觀因素影響，表示為eI；另一部分是企業(yè)自身發(fā)展產(chǎn)生的用電量波動(dòng)。

在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，通過建立回歸模型，用自變量的變化解釋因變量的變化。本文使用宏觀基礎(chǔ)用電量的日增變化率作為自變量，對(duì)每個(gè)企業(yè)的用電量日增變化率建立線性回歸模型:

ei·t=a+b*eI·t+εi·t

(4)

由于隨機(jī)擾動(dòng)的存在，計(jì)算得到的預(yù)測(cè)值與觀測(cè)值會(huì)產(chǎn)生偏差，因此，殘差表示了自變量無法解釋因變量的部分。通常，使用最小二乘法尋找最小殘差平方，來確定最佳的擬合函數(shù)。使用宏觀基礎(chǔ)用電量的變化對(duì)企業(yè)用電量的變化進(jìn)行回歸分析，殘差反映了由企業(yè)自身因素產(chǎn)生的用電量變化，其定義為

(5)

我們將所有企業(yè)的原始用電量變化率數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為殘差數(shù)據(jù)，再進(jìn)行兩企業(yè)之間的相關(guān)性檢驗(yàn)，得到兩企業(yè)間的條件Pearson相關(guān)系數(shù)Cij：

(6)

通過對(duì)所有企業(yè)進(jìn)行條件Pearson相關(guān)性檢驗(yàn)，得到企業(yè)用電量相關(guān)性矩陣C。圖2描述了企業(yè)相關(guān)系數(shù)的分布圖。一般地，可以根據(jù)相關(guān)系數(shù)將相關(guān)性強(qiáng)度分成5個(gè)等級(jí)：1)絕對(duì)值在0.8～1.0表示極強(qiáng)相關(guān)性；2)0.6～0.8表示強(qiáng)相關(guān)性；3)0.4～0.6表示較強(qiáng)相關(guān)性；4)0.2～0.4表示弱相關(guān)性；5)0～0.2表示極弱相關(guān)性[24]。

兩兩企業(yè)之間(排除企業(yè)自身)的相關(guān)系數(shù)從最小值-0.75到最大值0.96不等，企業(yè)之間的相關(guān)系數(shù)集中在-0.2到0.4之間。根據(jù)圖3累計(jì)頻數(shù)分布圖的結(jié)果，網(wǎng)絡(luò)中的強(qiáng)負(fù)相關(guān)關(guān)系僅存在于網(wǎng)絡(luò)中極小的部分，因此本文只考慮強(qiáng)正相關(guān)部分。圖2顯示，隨著相關(guān)系數(shù)的增加，累積頻率以逐漸降低的速度逐漸增加到1，并且大約90%的企業(yè)相關(guān)性小于0.6，表明大部分企業(yè)之間的相關(guān)性較弱。

圖2 企業(yè)條件Pearson相關(guān)系數(shù)分布圖

圖3 企業(yè)條件Pearson相關(guān)系數(shù)累計(jì)分布圖

2.2 網(wǎng)絡(luò)冪律分布

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)一般具有3個(gè)特征：1)小世界，網(wǎng)絡(luò)規(guī)模即使再大，兩頂點(diǎn)之間總能找到一條極短的路徑；2)集群性，網(wǎng)絡(luò)中的頂點(diǎn)總會(huì)產(chǎn)生聚類狀態(tài)；3)如果網(wǎng)絡(luò)的度分布滿足冪律，網(wǎng)絡(luò)頂點(diǎn)度數(shù)與擁有該度數(shù)的頂點(diǎn)所占比例之間存在如式(7)的函數(shù)關(guān)系。

pk=ck-α

(7)

其中，k表示頂點(diǎn)的度數(shù)，pk表示度為k的頂點(diǎn)所占比例，α為該分布的冪律系數(shù)。冪律分布是大量復(fù)雜系統(tǒng)研究的重點(diǎn)，涉及大量研究領(lǐng)域，比如天文、社會(huì)、計(jì)算機(jī)等[25-27]。滿足冪律分布的網(wǎng)絡(luò)中大量的連接僅存在于少數(shù)頂點(diǎn)中，這些頂點(diǎn)為網(wǎng)絡(luò)的中心頂點(diǎn)，而大部分頂點(diǎn)只有很少量的連接。少數(shù)中心頂點(diǎn)對(duì)網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)行起著主導(dǎo)的作用。

由于兩兩企業(yè)用電量之間總存在一定相關(guān)性，以相關(guān)性矩陣C建立的全連接網(wǎng)絡(luò)度分布無法滿足冪律。由于網(wǎng)絡(luò)中存在大量相關(guān)性較弱的連接，具有強(qiáng)連接的中心結(jié)構(gòu)會(huì)被大量噪聲所淹沒，因此需要設(shè)置閾值來過濾這部分噪聲。隨著閾值的增加，越來越多的噪聲會(huì)被過濾，網(wǎng)絡(luò)度分布逐漸滿足冪律分布。在閾值設(shè)置后，大量的頂點(diǎn)與外界僅有少量的強(qiáng)連接。

相關(guān)系數(shù)矩陣C可以通過如式(8)的規(guī)則轉(zhuǎn)化為篩選后鄰接矩陣D：

(8)

其中，Cr表示相關(guān)性系數(shù)閾值。

由于用電量網(wǎng)絡(luò)中的連接復(fù)雜，因此本文使用雙對(duì)數(shù)線性回歸模型來考察網(wǎng)絡(luò)度分布是否近似滿足冪律?；谑?7)，將pk轉(zhuǎn)化為實(shí)際頂點(diǎn)數(shù)后，兩邊同時(shí)進(jìn)行對(duì)數(shù)變化，即可得到：

logNk=-αlogk+logc

(9)

其中，Nk表示度數(shù)為k的頂點(diǎn)數(shù)。本文使用最小二乘估計(jì)方法來判斷該數(shù)據(jù)是否近似服從冪律分布。

考慮到低相關(guān)系數(shù)連接會(huì)掩蓋核心連接結(jié)構(gòu)，強(qiáng)相關(guān)性連接更能有效反映頂點(diǎn)之間的關(guān)系，因此本文僅考慮網(wǎng)絡(luò)中強(qiáng)相關(guān)系數(shù)0.7以上的連接。圖4和圖5描述了杭州市企業(yè)用電量網(wǎng)絡(luò)在閾值0.7和0.8條件下的雙對(duì)數(shù)分布圖。圖4和圖5中x軸和y軸分別表示度數(shù)和相應(yīng)頂點(diǎn)數(shù)的log對(duì)數(shù)變換，省略了沒有任何鄰居的獨(dú)立頂點(diǎn)。當(dāng)閾值大于0.7時(shí)，在雙對(duì)數(shù)分布圖中近似呈現(xiàn)出線性趨勢(shì)，模型擬合優(yōu)度R2達(dá)到0.543，自由度為898。隨著閾值的增加，越來越多的頂點(diǎn)被過濾，線性回歸擬合優(yōu)度逐步上升，在0.8閾值下，模型擬合優(yōu)度R2達(dá)到0.686，自由度為491。

圖4 閾值為0.7時(shí)的雙對(duì)數(shù)度分布

圖5 閾值為0.8時(shí)的雙對(duì)數(shù)度分布

圖6 不同閾值下冪律指數(shù)分布

以0.01閾值為間隔，圖6描述了0.7到0.8之間各閾值取值下網(wǎng)絡(luò)度分布的冪律指數(shù)分布。其中x軸和y軸分別表示相關(guān)系數(shù)閾值和相應(yīng)的冪律系數(shù)。在閾值設(shè)定0.7～0.8時(shí)，度分布近似符合冪律分布，冪律指數(shù)α大致穩(wěn)定在0.65和0.75之間，由于變化程度很小，可以認(rèn)為在這些閾值下的網(wǎng)絡(luò)度分布服從同一冪律。在0.7～0.8區(qū)間內(nèi)的冪律指數(shù)均值為0.676。另外，我們經(jīng)過測(cè)試發(fā)現(xiàn)，當(dāng)閾值超過0.8后，冪律指數(shù)迅速上升，原因在于較大的閾值排除了大量噪聲，僅有的用電量網(wǎng)絡(luò)度分布逐漸形成近似完美的冪律分布，在閾值設(shè)置為0.87時(shí)，冪律分布效果最好，回歸模型擬合優(yōu)度R2達(dá)到0.861，但是企業(yè)連接數(shù)隨之大量減少。經(jīng)過測(cè)試，在閾值設(shè)置為0.84時(shí)，網(wǎng)絡(luò)中有鄰居頂點(diǎn)的企業(yè)數(shù)下降到總企業(yè)數(shù)的20%；閾值達(dá)到0.87時(shí)，網(wǎng)絡(luò)中有鄰居頂點(diǎn)的企業(yè)數(shù)僅不到5%，企業(yè)數(shù)量過少會(huì)影響對(duì)網(wǎng)絡(luò)連接總體分布的分析。因此本文只考慮閾值區(qū)間在0.7和0.8之間的情況。

3 頭重分布分析

對(duì)于度分布近似滿足冪律分布的網(wǎng)絡(luò)，會(huì)滿足另一種獨(dú)特的分布特性，即頭重性質(zhì)：網(wǎng)絡(luò)中大部分的頂點(diǎn)度數(shù)較小，而小部分的頂點(diǎn)擁有網(wǎng)絡(luò)中大量的連接?？疾祛^重分布特性能夠?qū)W(wǎng)絡(luò)進(jìn)行整體分析，識(shí)別網(wǎng)絡(luò)中處于中心位置的節(jié)點(diǎn)，進(jìn)而重點(diǎn)研究這類中心節(jié)點(diǎn)的連接情況。作為頭重分布的常見例子，在大量事實(shí)中發(fā)現(xiàn)有很多現(xiàn)象滿足80/20分布，簡(jiǎn)稱二八定律，是帕累托分布中一種常見實(shí)例[28]。比如：在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，其認(rèn)為社會(huì)上20%的人擁有了80%的財(cái)富。

二八定律認(rèn)為小部分個(gè)體就可以對(duì)總體起著主導(dǎo)作用，因此定律中的20%是研究的重點(diǎn)。在滿足冪律分布的網(wǎng)絡(luò)中這類中心節(jié)點(diǎn)對(duì)于城市整體經(jīng)濟(jì)發(fā)展起著主導(dǎo)作用。由于大部分節(jié)點(diǎn)連接到了小部分中心節(jié)點(diǎn)中，小部分中心節(jié)點(diǎn)能夠較大程度地聯(lián)系整個(gè)網(wǎng)絡(luò)，進(jìn)而促進(jìn)企業(yè)間信息及資源傳播，決策者也可以通過重點(diǎn)干預(yù)中心頂點(diǎn)而促進(jìn)整體網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展。然而擁有頭重性質(zhì)的網(wǎng)絡(luò)存在較強(qiáng)的脆弱性，攻擊中心頂點(diǎn)會(huì)使網(wǎng)絡(luò)連接破碎，因此在現(xiàn)實(shí)中同樣需要對(duì)中心頂點(diǎn)進(jìn)行保護(hù)，以保證網(wǎng)絡(luò)連接。

圖7 不同閾值下度大頂點(diǎn)數(shù)比例P與相應(yīng)連接邊數(shù)比例W的累計(jì)分布

為考察杭州市企業(yè)用電量網(wǎng)絡(luò)中頂點(diǎn)與其邊數(shù)之間的分布關(guān)系，我們使用如下測(cè)度：假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中度較大頂點(diǎn)占總頂點(diǎn)的比例為P，與這些頂點(diǎn)相連的邊數(shù)占總邊數(shù)的比例為W，Lorenz[20]研究了在不同冪律指數(shù)α下，W和P的關(guān)系曲線變化，稱為“洛倫茲曲線”。Newman[19]提出了在完美冪律分布下W和P的關(guān)系。不過，現(xiàn)實(shí)中大多數(shù)網(wǎng)絡(luò)均僅近似滿足冪律分布，因此本文從P和W的定義出發(fā)，考察網(wǎng)絡(luò)中頂點(diǎn)和連接的分布關(guān)系。圖7繪制了各閾值下P和W的累計(jì)分布曲線，反映了不同閾值的曲線變化。

其中，x軸為度大頂點(diǎn)數(shù)比例，表示度數(shù)排名前P位的頂點(diǎn)；y軸表示與這部分頂點(diǎn)相連的邊數(shù)占網(wǎng)絡(luò)總邊數(shù)的比例。以P=0.2,W=0.8為例，表示網(wǎng)絡(luò)中度數(shù)在前20%的頂點(diǎn)擁有網(wǎng)絡(luò)中80%的連接數(shù)，即二八定律。對(duì)于不同閾值下的曲線，均保持上凸的形狀。當(dāng)P值處在0.1～0.2之間時(shí)，曲線上升速度非?？欤馕吨蟛糠值倪呏慌c少量的頂點(diǎn)連接。特別地，隨著閾值的增加，曲線的上升速度也隨之加快。以此說明杭州工業(yè)企業(yè)用電量網(wǎng)絡(luò)，在強(qiáng)相關(guān)性0.7～0.8的條件下，大約20%～10%的企業(yè)擁有網(wǎng)絡(luò)中大約80%～90%的連接，即僅有小部分企業(yè)涵蓋了網(wǎng)絡(luò)中大部分的強(qiáng)相關(guān)關(guān)系。這些小部分企業(yè)構(gòu)成了城市的中心，影響著城市中的大部分企業(yè)。接下來，將重點(diǎn)圍繞中心企業(yè)構(gòu)成的用電量網(wǎng)絡(luò)，探究在不同閾值下中心企業(yè)網(wǎng)絡(luò)連接情況。

4 中心頂點(diǎn)分析結(jié)果

4.1 中心頂點(diǎn)選擇

通過第3節(jié)洛倫茲曲線的建立，我們發(fā)現(xiàn)杭州企業(yè)用電量網(wǎng)絡(luò)中，絕大部分連接僅由小部分頂點(diǎn)決定，這些頂點(diǎn)被看作是網(wǎng)絡(luò)的中心頂點(diǎn)。在給定閾值條件下，網(wǎng)絡(luò)度大頂點(diǎn)和其連接數(shù)形成了明顯的二八分布。隨著相關(guān)系數(shù)閾值的上升，度數(shù)前20%的頂點(diǎn)能夠擁有更多的連接，表示網(wǎng)絡(luò)中的強(qiáng)相關(guān)性均與這部分中心頂點(diǎn)有關(guān)。

為探究中心頂點(diǎn)對(duì)其他頂點(diǎn)的直接影響，我們將度數(shù)前20%的頂點(diǎn)作為中心頂點(diǎn)，建立中心頂點(diǎn)及其直接鄰居組成的相關(guān)性網(wǎng)絡(luò)。圖8和圖9分別展現(xiàn)了在閾值設(shè)置為0.7和0.8時(shí)建立的網(wǎng)絡(luò)。

圖8 閾值設(shè)置為0.7時(shí)的20%度大頂點(diǎn)(圓形標(biāo)注)及其直接鄰居組成的相關(guān)性網(wǎng)絡(luò)

圖9 閾值設(shè)置為0.8時(shí)的20%度大頂點(diǎn)(圓形標(biāo)注)及其直接鄰居組成的相關(guān)性網(wǎng)絡(luò)

其中圓形頂點(diǎn)表示度數(shù)前20%的度大頂點(diǎn)，即中心頂點(diǎn)；三角形頂點(diǎn)為中心頂點(diǎn)的直接鄰居頂點(diǎn)。該網(wǎng)絡(luò)僅包含有一個(gè)連通分支，網(wǎng)絡(luò)呈現(xiàn)出明顯的從中心向外發(fā)散的結(jié)構(gòu)。我們發(fā)現(xiàn)中心頂點(diǎn)之間存在非常復(fù)雜的連接，而且這種內(nèi)部聯(lián)系，在數(shù)量上遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于他們與鄰居頂點(diǎn)的聯(lián)系。因而我們通過計(jì)算中心頂點(diǎn)的鄰居仍為中心頂點(diǎn)的概率，考察中心頂點(diǎn)之間和與其他頂點(diǎn)之間的連接關(guān)系。圖10描述了不同閾值下的概率。其中橫線表示多種不同閾值下的概率均值，數(shù)值是0.939。結(jié)果表明中心頂點(diǎn)有90%以上的鄰居依然為中心頂點(diǎn)，概率數(shù)值隨閾值變化波動(dòng)較小。從以上結(jié)果得知，中心頂點(diǎn)與中心頂點(diǎn)之間的內(nèi)部連接眾多且緊密。

圖10 中心頂點(diǎn)的鄰居仍為中心頂點(diǎn)概率

另一方面，本文研究了網(wǎng)絡(luò)的同配混合性質(zhì)。同配混合是指在網(wǎng)絡(luò)中的頂點(diǎn)傾向于與同種屬性的頂點(diǎn)連接，也可稱為同質(zhì)性[29]。相反，如果網(wǎng)絡(luò)展現(xiàn)出異配混合的結(jié)果，說明網(wǎng)絡(luò)中的頂點(diǎn)更傾向于與不同屬性的頂點(diǎn)連接。

通過計(jì)算同配系數(shù)判斷網(wǎng)絡(luò)是否同配，其取值在-1～1之間：如果同配系數(shù)為正，表明網(wǎng)絡(luò)屬于同配混合；如果為負(fù)，則屬于異配混合。本文分別對(duì)20%度大頂點(diǎn)及其鄰居頂點(diǎn)設(shè)置不同的屬性，并且計(jì)算不同閾值下的同配系數(shù)。表1給出了不同閾值下網(wǎng)絡(luò)同配系數(shù)的結(jié)果。

可以清楚地發(fā)現(xiàn)：在0.7～0.8的閾值下，同配系數(shù)均大于0，盡管數(shù)值不大，但是足以表明網(wǎng)絡(luò)滿足一定的同配混合性質(zhì)。我們可以將閾值看作來自外界的攻擊，由于滿足頭重分布的網(wǎng)絡(luò)具有脆弱性，因此隨著閾值的增加，中心頂點(diǎn)之間的連接變得稀疏，網(wǎng)絡(luò)開始破裂，對(duì)內(nèi)連接與對(duì)外連接逐漸相當(dāng)，進(jìn)而同配混合系數(shù)逐漸減小。當(dāng)閾值為0.8時(shí)，同配系數(shù)接近于0，網(wǎng)絡(luò)此時(shí)均不滿足同配或異配特征，說明中心企業(yè)之間的相關(guān)關(guān)系大部分處于0.7～0.8之間。

另外，特征向量中心性也是考察網(wǎng)絡(luò)中心的一種常用測(cè)度[30]，Bonacich[31]提出，一個(gè)節(jié)點(diǎn)的中心程度不僅在于其鄰居的數(shù)量，還在于其鄰居的中心性程度。連接到少量卻重要的鄰居的節(jié)點(diǎn)具有較高的特征向量中心性，而如果一個(gè)節(jié)點(diǎn)只擁有較低重要性的鄰居，其得分就會(huì)小得多[32]。由于考慮了鄰居的重要程度，因此度中心性高的節(jié)點(diǎn)不一定具有較高的特征向量中心性。本文分別計(jì)算了網(wǎng)絡(luò)中20%度大頂點(diǎn)以及其余所有非獨(dú)立的特征向量中心性，發(fā)現(xiàn)有超過80%的非中心頂點(diǎn)擁有極小(小于0.001)的特征向量中心性，表2匯總了不同閾值下20%度大頂點(diǎn)與所有非孤立頂點(diǎn)(包含前者)的平均特征向量中心性。我們發(fā)現(xiàn)中心頂點(diǎn)的平均特征向量中心性始終大于所有非孤立頂點(diǎn)的計(jì)算結(jié)果，說明中心頂點(diǎn)普遍擁有較高的特征向量中心性。

表1 不同閾值下網(wǎng)絡(luò)同配系數(shù)計(jì)算結(jié)果

表2 不同閾值下中心頂點(diǎn)和所有非孤立頂點(diǎn)(包含前者)的平均特征向量中心性

另外，本文分別將兩組頂點(diǎn)根據(jù)中心性降序排列，并繪制散點(diǎn)圖。在0.7閾值下的結(jié)果如圖11所示，圖中圓形標(biāo)記代表所有頂點(diǎn)的特征向量中心性排序，三角形標(biāo)記表示中心頂點(diǎn)排序。我們發(fā)現(xiàn)三角標(biāo)記能夠很好地與圓形標(biāo)記重疊，僅在尾部出現(xiàn)偏差，表明有超過95%由度數(shù)選擇到的中心頂點(diǎn)，依舊擁有較高的特征向量中心性。隨著閾值的上升，也能得到類似的結(jié)論。因此中心頂點(diǎn)不僅擁有廣泛的連接，連接到的其他網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)也擁有較高的中心性，結(jié)合中心頂點(diǎn)對(duì)內(nèi)連接大于對(duì)外連接的結(jié)論，進(jìn)一步說明了中心頂點(diǎn)的重要性。

通過對(duì)中心企業(yè)與其鄰居企業(yè)的連接關(guān)系、網(wǎng)絡(luò)同配系數(shù)以及特征向量中心性的考察。清楚地表明：在一個(gè)城市中存在用電量高度相關(guān)且網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)高度同質(zhì)的少部分企業(yè)，包含了該城市企業(yè)大部分的相關(guān)關(guān)系，并且這些企業(yè)內(nèi)部之間形成了緊密而有效的合作關(guān)系，成為城市的中心企業(yè)。

在上述分析中，我們發(fā)現(xiàn)這樣兩個(gè)問題：

1)在0.8閾值條件下，同配系數(shù)雖然表示網(wǎng)絡(luò)不符合同配混合性質(zhì)，但在網(wǎng)絡(luò)的最大分支中仍然能夠發(fā)現(xiàn)部分中心頂點(diǎn)之間緊密聯(lián)系，且大于對(duì)外的連接。

2)隨著閾值的上升，中心企業(yè)之間被分成了多個(gè)分支，這些分支以一個(gè)最大分支(涵蓋了大部分中心企業(yè))和多個(gè)小分支組成，形成了明顯的核心—邊緣結(jié)構(gòu)。因此，在極高閾值條件下，一些中心企業(yè)從網(wǎng)絡(luò)中心脫離了出來，失去了代表性。

進(jìn)而，我們要找到網(wǎng)絡(luò)中最關(guān)鍵的中心企業(yè)，這些企業(yè)之間總是存在緊密連接，不會(huì)因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)閾值變化而破裂。通過試驗(yàn)，我們發(fā)現(xiàn)在0.7～0.8的閾值條件下，度數(shù)前10%的頂點(diǎn)均能夠保證產(chǎn)生單一分支的網(wǎng)絡(luò)。如圖12展現(xiàn)了在閾值設(shè)置為0.8時(shí)，10%度大頂點(diǎn)及其直接鄰居頂點(diǎn)組成的網(wǎng)絡(luò)。

圖11 網(wǎng)絡(luò)非獨(dú)立頂點(diǎn)與中心頂點(diǎn)的特征向量中心性排名

我們發(fā)現(xiàn)10%度大頂點(diǎn)全部來自于20%度大頂點(diǎn)形成的網(wǎng)絡(luò)最大分支中，即盡管同配系數(shù)為0時(shí)，網(wǎng)絡(luò)中仍然連接緊密的部分。而且我們發(fā)現(xiàn)在0.7～0.8的閾值下，前10%的度大頂點(diǎn)涵蓋的企業(yè)基本保持不變，即大約147家固定企業(yè)之間存在有大量的0.7～0.8以上的強(qiáng)連接。由于在0.7～0.8的閾值條件下，中心企業(yè)能夠滿足同一分支的條件，說明當(dāng)其他企業(yè)與這部分中心企業(yè)連接時(shí)，能夠進(jìn)入到企業(yè)聯(lián)系最中心的部分。以此我們認(rèn)為10%度大頂點(diǎn)對(duì)試圖與中心企業(yè)產(chǎn)生聯(lián)系的其他企業(yè)具有更加重要的作用，稱其為關(guān)鍵企業(yè)。

4.2 小世界特性

小世界效應(yīng)首先在社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中發(fā)現(xiàn)，研究者M(jìn)ilgram[33]通過信件傳遞試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)任意兩人之間最多只需要6步即可產(chǎn)生聯(lián)系，說明現(xiàn)實(shí)生活中信息能夠形成快速的傳遞。在不同的領(lǐng)域中小世界有著不同的實(shí)質(zhì)意義，比如在社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中意味著兩個(gè)人之間的信息需要傳遞的次數(shù)；在交通、鐵路、航空網(wǎng)絡(luò)中意味著兩地之間中轉(zhuǎn)站數(shù)等等。特別地，在電量相關(guān)性網(wǎng)絡(luò)中，我們認(rèn)為兩企業(yè)之間的用電量相關(guān)性代表了緊密的合作關(guān)系與供應(yīng)鏈關(guān)系，因此小世界特性意味著兩企業(yè)之間能夠更快地進(jìn)行資源傳遞、信息交流。

小世界效應(yīng)的測(cè)量主要在于網(wǎng)絡(luò)的平均測(cè)地距離和網(wǎng)絡(luò)聚類系數(shù)。測(cè)地距離是指兩頂點(diǎn)之間的最短距離；聚類系數(shù)是指網(wǎng)絡(luò)中三頂點(diǎn)之間形成閉合三角形結(jié)構(gòu)的比例。表3描述了閾值設(shè)置在0.7～0.8時(shí)，平均測(cè)地距離、網(wǎng)絡(luò)聚類系數(shù)以及網(wǎng)絡(luò)直徑的信息。

可以看出該網(wǎng)絡(luò)擁有較小的平均測(cè)地距離，以及較大的聚類系數(shù)，說明該網(wǎng)絡(luò)滿足小世界特性。盡管隨著閾值的增加，網(wǎng)絡(luò)中的極強(qiáng)連接關(guān)系減少，從而導(dǎo)致平均測(cè)地距離增加，聚類系數(shù)減少，但是網(wǎng)絡(luò)直徑，即網(wǎng)絡(luò)中

表3 不同閾值下的平均測(cè)地距離、聚類系數(shù)以及直徑計(jì)算結(jié)果

最大的測(cè)地距離沒有產(chǎn)生較大變化，說明網(wǎng)絡(luò)中頂點(diǎn)之間的連接依舊保持著較高的密集程度?？紤]到極小的平均測(cè)地距離，說明在10%度大頂點(diǎn)的鄰居之間，平均只需通過1～2個(gè)關(guān)鍵頂點(diǎn)即可形成聯(lián)系。特別地，當(dāng)我們刪除關(guān)鍵頂點(diǎn)時(shí)，鄰居頂點(diǎn)以及其他非獨(dú)立頂點(diǎn)之間的平均測(cè)地距離，在0.7的閾值條件下，上升到了3.784，聚類系數(shù)下降到了0.596。表明關(guān)鍵頂點(diǎn)的存在，加快了企業(yè)信息及資源的傳播。

大部分企業(yè)由于與外界連接較小，或者連接較弱，往往無法成為網(wǎng)絡(luò)的中心。因此這些頂點(diǎn)在企業(yè)間信息傳遞、資源共享等方面，僅依賴于少數(shù)企業(yè)，存在信息不充分的劣勢(shì)。中心企業(yè)作為城市的中心，兩兩之間存在大量的強(qiáng)連接，形成了強(qiáng)關(guān)系網(wǎng)。其中10%度大頂點(diǎn)，即關(guān)鍵頂點(diǎn)，能夠在相關(guān)系數(shù)0.8的強(qiáng)條件下保持單一分支的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，并且滿足小世界特性，意味著關(guān)鍵頂點(diǎn)能夠促進(jìn)企業(yè)之間聯(lián)系。對(duì)于企業(yè)來說，與這些關(guān)鍵企業(yè)相連接，可以增加信息來源數(shù)量，加強(qiáng)資源共享效率。對(duì)于城市來說，關(guān)鍵企業(yè)如同城市企業(yè)發(fā)展的“風(fēng)向標(biāo)”，進(jìn)一步刺激這些關(guān)鍵企業(yè)與其他企業(yè)形成聯(lián)系，擴(kuò)大中心企業(yè)數(shù)量，形成更大的合作關(guān)系網(wǎng)絡(luò)，進(jìn)而促進(jìn)城市發(fā)展。

5 結(jié)語

本文以杭州市2017年工業(yè)企業(yè)用電量數(shù)據(jù)為例，以企業(yè)為頂點(diǎn)建立網(wǎng)絡(luò)，在使用條件Pearson相關(guān)性檢驗(yàn)方法提取出由季節(jié)和節(jié)假日等宏觀因素帶來的基礎(chǔ)電量變化后，以條件Pearson相關(guān)系數(shù)作為兩企業(yè)之間的關(guān)系測(cè)度，我們發(fā)現(xiàn)大約90%的企業(yè)相關(guān)性小于0.6，企業(yè)間連接普遍較弱。我們通過網(wǎng)絡(luò)度分布能否近似滿足冪律分布為標(biāo)準(zhǔn)，設(shè)置相關(guān)系數(shù)閾值，發(fā)現(xiàn)在0.7～0.8的閾值水平下，網(wǎng)絡(luò)度分布近似服從同一冪律，而更大的閾值會(huì)使得網(wǎng)絡(luò)中有鄰居的頂點(diǎn)數(shù)過少而影響后續(xù)分析。

為測(cè)量網(wǎng)絡(luò)整體，我們通過冪律分布的頭重性質(zhì)考察了用電量網(wǎng)絡(luò)中度大頂點(diǎn)比例與相應(yīng)的連接邊比例之間的關(guān)系。我們發(fā)現(xiàn)在閾值設(shè)置為0.7及以上網(wǎng)絡(luò)的度分布能夠很好地滿足二八分布，并且隨著相關(guān)系數(shù)閾值的增加而擬合程度增強(qiáng)。我們建立了中心頂點(diǎn)及其鄰居的組成的網(wǎng)絡(luò)。通過對(duì)中心頂點(diǎn)的鄰居以及網(wǎng)絡(luò)同配性質(zhì)的考察，我們發(fā)現(xiàn)中心頂點(diǎn)90%以上的鄰居依然是中心頂點(diǎn)，且網(wǎng)絡(luò)滿足較強(qiáng)的同配混合性質(zhì)，意味著中心頂點(diǎn)之間形成了非常密集的強(qiáng)相關(guān)集群。特別地，度大頂點(diǎn)也擁有較大的特征向量中心性，進(jìn)一步說明了中心頂點(diǎn)的核心地位。另外，10%度大頂點(diǎn)，即關(guān)鍵頂點(diǎn)，及其鄰居形成的網(wǎng)絡(luò)滿足小世界特性。關(guān)鍵頂點(diǎn)的存在，加快了企業(yè)信息及資源的傳播。對(duì)于企業(yè)來說，與這些關(guān)鍵企業(yè)相連接，可以增加信息來源數(shù)量，加強(qiáng)資源共享效率。對(duì)于城市來說，進(jìn)一步刺激這些關(guān)鍵企業(yè)與其他企業(yè)形成聯(lián)系，擴(kuò)大中心企業(yè)數(shù)量，形成更大的合作關(guān)系網(wǎng)絡(luò)，進(jìn)而促進(jìn)城市發(fā)展。