牟 亮，趙 紅，崔翔宇，袁煥濤，李 燕，仇俊政

(青島大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，山東 青島 266071)

0 引言

交叉口的信號(hào)控制在交叉口通行效率、交通秩序以及污染物排放等方面有著重要的影響。近年來(lái)，全國(guó)機(jī)動(dòng)車(chē)保有量不斷增加，駕駛汽車(chē)已經(jīng)成為人們?nèi)粘５某鲂蟹绞?，我們也面臨著交通堵塞和環(huán)境污染等嚴(yán)重問(wèn)題。合理的交通信號(hào)配時(shí)方案可以有效地減少這方面的問(wèn)題。交通排放會(huì)對(duì)環(huán)境甚至是人們的身體造成危害，人們也越來(lái)越關(guān)心出行時(shí)間。因此低排放和低延誤成為交通信號(hào)控制的主要問(wèn)題?，F(xiàn)有文獻(xiàn)表明，交通信號(hào)配時(shí)問(wèn)題是復(fù)雜的、分布式的、混合的[1-5];交叉口的交通規(guī)律是難以預(yù)測(cè)的、復(fù)雜的、無(wú)規(guī)律的[6-9]，但VISSIM中可以較真實(shí)地反映出現(xiàn)實(shí)的交通運(yùn)行情況?，F(xiàn)實(shí)中在制定交通信號(hào)配時(shí)策略時(shí)不能僅考慮一方面，而是需要綜合考慮多個(gè)方面，因此為提高交叉口的通行效率及降低環(huán)境污染，本文將采用多目標(biāo)優(yōu)化控制策略。多目標(biāo)優(yōu)化相較于單目標(biāo)優(yōu)化可以提高交叉口的綜合性能，同時(shí)可以反映所研究的目標(biāo)之間的關(guān)系，在實(shí)際工程問(wèn)題中具有一定的優(yōu)勢(shì)。

目前國(guó)內(nèi)外在Lagrange乘子法的研究上已經(jīng)取得了一些成果。張克等[10]針對(duì)Lagrange乘子法將約束問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束問(wèn)題，與粒子群優(yōu)化算法結(jié)合提出的一種新型算法；黃燦遠(yuǎn)[10]對(duì)Lagrange乘子法的乘子更新進(jìn)行了改進(jìn)，重新定義不等式約束的乘子為原乘子的正定函數(shù)，構(gòu)造出一種直接對(duì)不等式約束進(jìn)行處理的改進(jìn)Lagrange乘子法。本文介紹的改進(jìn)方法是對(duì)乘子法中另一個(gè)重要參數(shù)的更新方式進(jìn)行改變，來(lái)研究另一個(gè)重要參數(shù)對(duì)算法迭代及收斂性的影響。

在交通信號(hào)控制方面，Meszaros等[12]基于延誤和排放對(duì)交叉口的優(yōu)化控制提出了建議；彭敏等[13]運(yùn)用博弈論對(duì)交叉口的平均延誤和停車(chē)延誤進(jìn)行優(yōu)化；衛(wèi)星等[14]推導(dǎo)出平均延誤時(shí)間目標(biāo)與綠燈配時(shí)之間的關(guān)系，在此模型的基礎(chǔ)上采用自適應(yīng)遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化。Lin等[15]利用綜合宏觀交通模型預(yù)測(cè)在不同操作條件下的交通流狀態(tài)和排放，并應(yīng)用于城市交通網(wǎng)絡(luò)控制。胡亮等[16]將蜂群抑制算法應(yīng)用到交通信號(hào)燈的控制中。

當(dāng)前流行的智能算法，代碼的編寫(xiě)較為復(fù)雜，例如遺傳算法，需要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行編碼，找到最優(yōu)解后有需要進(jìn)行解碼算法的搜索速度比較慢，要得要較精確的解需要較多的訓(xùn)練時(shí)間。Lagrange乘子法具有程序簡(jiǎn)單、迭代次數(shù)少、搜索范圍大和收斂快等優(yōu)點(diǎn)，并且該方法的耗時(shí)很少。根據(jù)動(dòng)態(tài)車(chē)流實(shí)時(shí)配置信號(hào)燈狀態(tài)是現(xiàn)在較為常用的方法，Lagrange乘子法具有較低的延誤，可以對(duì)交通信號(hào)燈的狀態(tài)進(jìn)行實(shí)時(shí)配置。本文提出一種改進(jìn)Lagrange乘子法，并應(yīng)用到實(shí)際工程中去驗(yàn)證該種方法真實(shí)有效性。

本文綜合考慮交叉口的機(jī)動(dòng)車(chē)通行效率和環(huán)境效益兩方面的優(yōu)化，建立數(shù)學(xué)模型，通過(guò)權(quán)重系數(shù)的方式將這兩個(gè)優(yōu)化目標(biāo)整合成單目標(biāo)優(yōu)化模型，權(quán)重系數(shù)設(shè)置為變量一同進(jìn)行優(yōu)化，從而可以達(dá)到交叉口性能的綜合最優(yōu)的目的。

1 改進(jìn)Lagrange乘子法

Lagrange乘子法[17]是一種求解非線性約束問(wèn)題的常用方法，該方法是通過(guò)構(gòu)造拉格朗日函數(shù)和添加懲罰項(xiàng)來(lái)將有約束的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束問(wèn)題進(jìn)行求解，求解無(wú)約束問(wèn)題的最小值。然而傳統(tǒng)的Lagrange乘子法的罰參數(shù)的更新是固定的，更新方式為罰參數(shù)與一固定系數(shù)相乘?，F(xiàn)將罰參數(shù)的固定系數(shù)改為與求得值偏離約束條件的大小有關(guān)的函數(shù)。新的算法有以下優(yōu)點(diǎn)，懲罰參數(shù)的更新為一種自適應(yīng)更新，當(dāng)求得值偏離可行域越大時(shí)，增加罰參數(shù)的增加速度，該方法的全局搜索能力優(yōu)與傳統(tǒng)算法，罰參數(shù)的更新范圍變大擴(kuò)大了最小值的搜索范圍，以及趨向最優(yōu)值的速度。

1.1 一般約束問(wèn)題

在交叉口的優(yōu)化模型中，必然會(huì)存在各種等式及不等式約束，這樣就構(gòu)成了一般約束問(wèn)題，一般約束問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為

(1)

其中，hi(x)為等式約束，gi(x)為不等式約束。接下來(lái)需要運(yùn)用改進(jìn)的乘子法對(duì)一般問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行研究。

1.2 一般約束問(wèn)題的乘子法

在構(gòu)造增廣拉格朗日函數(shù)時(shí)，添加輔助變量將不等式約束轉(zhuǎn)化為等式約束，等式約束則通過(guò)與罰參數(shù)相乘來(lái)構(gòu)造懲罰項(xiàng)，經(jīng)過(guò)上述操作構(gòu)造的增廣拉格朗日函數(shù)為

(2)

更新乘子向量的迭代公式為

(μk+1)i=(μk)i-σhi(xk)
(λk+1)i=max{0,(λk)i-gi(xk)}

(3)

Lagrange乘子法中罰參數(shù)的更新方式為若βk/βk-1≥?，更新罰參數(shù)，σk+1=ησk；否則，不更新罰參數(shù)，σk+1=σk。

1.3 Lagrange乘子法的改進(jìn)

傳統(tǒng)的方法罰參數(shù)的更新方式較為固定，并不能根據(jù)當(dāng)前解偏離可行域的大小進(jìn)行糾偏，可以加速算法的收斂速度，改進(jìn)方法如下。

將罰參數(shù)更新公式改為

(4)

1.4 改進(jìn)Lagrange乘子法的算法流程

Lagrange乘子法是Rockfellar在Powell和Hestenes提出的PH算法的基礎(chǔ)上得到的，所以可以簡(jiǎn)稱(chēng)為PHR算法。將改進(jìn)的罰參數(shù)修改后得到算法的流程如下：

步驟1 選取初值：

x0∈Rn,μ1∈Rl,λ1∈Rm,σ1>0,0<ε?1,

?∈(0,1),η>1,k=1。

步驟2 求解無(wú)約束子問(wèn)題：

minψ(x,μk,λk,σk)

(5)

設(shè)初始點(diǎn)為xk-1,即可求得點(diǎn)xk。

步驟3 檢驗(yàn)終止條件：

(6)

圖1 改進(jìn)罰參數(shù)的Lagrange乘子法算法流程

若βk≤ε，則停止迭代，輸出xk為原問(wèn)題的解；否則，轉(zhuǎn)到下一步。

步驟4 更新罰參數(shù)σ：

(7)

步驟5 更新乘子向量：

(μk+1)i=(μk)i-σhi(xk)

(λk+1)i=max{0,(λk)i-gi(xk)}

(8)

步驟6 令k=k+1,轉(zhuǎn)到步驟2。

流程圖如圖1所示。

2 信號(hào)控制優(yōu)化模型

2.1 選取交通信號(hào)控制目標(biāo)

評(píng)價(jià)交叉口的好壞有3個(gè)方面，即機(jī)動(dòng)車(chē)效益、環(huán)境效益和行人效益。機(jī)動(dòng)車(chē)效益包含了車(chē)輛通行能力、停車(chē)率、延誤、排隊(duì)長(zhǎng)度等，環(huán)境效益包括了車(chē)輛通行時(shí)的燃油消耗及尾氣排放，行人效益一般為行人等待時(shí)間。在此，我們綜合考慮機(jī)動(dòng)車(chē)效益和環(huán)境效益，既提高交叉口車(chē)輛通行效率又降低汽車(chē)尾氣排放，從中選取最能代表每種效益的關(guān)鍵性能指標(biāo)，本文選取了機(jī)動(dòng)車(chē)延誤和尾氣排放來(lái)建立目標(biāo)函數(shù)。

2.2 車(chē)輛延誤與尾氣排放模型

車(chē)輛延誤是指機(jī)動(dòng)車(chē)在信號(hào)控制的交叉口運(yùn)行與在無(wú)信號(hào)控制及無(wú)其他車(chē)輛干擾下的行程時(shí)間的差值。可以選用Webster延誤模型和美國(guó)道路通行能力手冊(cè)(Highway Capacity Manual，HCM)延誤模型，由于Webster延誤模型經(jīng)人們廣泛地使用和驗(yàn)證，該模型適用于進(jìn)口道飽和度較小時(shí)，飽和度范圍一般在0～0.67內(nèi)。而HCM延誤模型適用于適應(yīng)度較高的干道協(xié)調(diào)控制的延誤計(jì)算。本文是在這兩種模型的基礎(chǔ)上來(lái)建立模型進(jìn)行計(jì)算的，如式(9)[18]：

(9)

其中，dij為第i相位第j車(chē)道的車(chē)輛平均延誤;c為交叉口周期長(zhǎng)度;λi為第i相位綠信比;qij為第i相位第j車(chē)道的車(chē)流量;si為第i相位的飽和流量;yij為qij與si之比。

交叉口總延誤為

(10)

車(chē)輛駛過(guò)交叉口時(shí)存在勻速、減速、怠速和加速行駛4種工況，每種工況的排放量不同，所以我們?cè)诜治鼋徊婵诘奈矚馀欧帕繒r(shí)將要分情況考慮。在計(jì)算交叉路口的排放量時(shí)，可分解為交叉口和路段的行車(chē)排放和因車(chē)輛延誤造成的怠速排放，通過(guò)該種方法得到的排放模型[19]為

(11)

其中，eij為第i相位第j車(chē)道的排放量;e1為標(biāo)準(zhǔn)小汽車(chē)單位排放因子;Lij為第i相位第j車(chē)道路段長(zhǎng)度;e2為標(biāo)準(zhǔn)小汽車(chē)單位怠速排放因子;dij為第i相位第j車(chē)道的車(chē)均延誤。

交叉口一小時(shí)內(nèi)車(chē)輛的總排放量為

(12)

2.3 建立優(yōu)化目標(biāo)模型

在建立優(yōu)化模型時(shí)綜合考慮交叉口的機(jī)動(dòng)車(chē)效益和環(huán)境效益，其中車(chē)輛延誤和尾氣排放量是最能代表兩個(gè)效益的指標(biāo)，故選取車(chē)輛延誤和尾氣排放量作為優(yōu)化目標(biāo)。為達(dá)到一個(gè)綜合的最優(yōu)值，利用加權(quán)的形式放入到一個(gè)目標(biāo)函數(shù)中，并考慮變量的范圍，最終構(gòu)建交叉口的優(yōu)化模型為

(13)

其中，D、E分別為優(yōu)化后的交叉口信號(hào)配時(shí)方案下的延誤及排放量;D0、E0分別為原始配時(shí)方案下的交叉口延誤及排放量;α與β為權(quán)重系數(shù);cmin、cmax分別為交叉口最小、最大周期長(zhǎng)度;gimin、gimax分別為交叉口第i相位最小、最大有效綠燈時(shí)間;L為一周期的總損失時(shí)間；n為交叉口內(nèi)的相位數(shù)。

3 實(shí)例仿真

為驗(yàn)證該種方法的真實(shí)有效性，利用MATLAB R2015b將乘子法進(jìn)行編程，并在CPU型號(hào)為Core i7-8565U，內(nèi)存為8G的電腦上運(yùn)行。選取青島市黑龍江中路與九水東路交叉路口，該交叉口為雙向三車(chē)道，道路狀況良好無(wú)障礙物，根據(jù)道路實(shí)況以及Webster方法計(jì)算車(chē)道飽和度為1 500 pcu/h，對(duì)該路口在16:00-17:00的高峰期進(jìn)行采集可知該路口處于非飽和狀態(tài)，利用案例對(duì)本文提出的方法進(jìn)行分析。

3.1 交叉口數(shù)據(jù)信息

該交叉口為四相位信號(hào)控制，信號(hào)相序以及原始配時(shí)的情況如圖2所示，各路口車(chē)流量如表1所示。

模型中權(quán)重函數(shù)α、β也是兩個(gè)變量，我們需要將交叉口通行能力和尾氣排放量綜合考慮。結(jié)果中，權(quán)重函數(shù)大的一方，優(yōu)化的相對(duì)比例也大，實(shí)驗(yàn)證明交叉口通行能力和尾氣排放量以如此的比值進(jìn)行優(yōu)化，就是最優(yōu)結(jié)果。

一個(gè)周期交叉口的損失時(shí)間設(shè)置為10 s，選取CO(一氧化碳)作為尾氣排放的目標(biāo)，標(biāo)準(zhǔn)小汽車(chē)CO的排放因子為45 g/(pcu*km)，標(biāo)準(zhǔn)小汽車(chē)怠速排放因子為5 g/(pcu*h),最大、最小信號(hào)周期，最大最小有效綠燈時(shí)間的設(shè)置如表2所示。

圖2 信號(hào)相序及原始配時(shí)方案

表1 該交叉口16：00-17：00的小時(shí)車(chē)流量(pcu/h)

3.2 優(yōu)化結(jié)果對(duì)比

為驗(yàn)證本文提出的改進(jìn)Lagrange乘子法的優(yōu)點(diǎn)，將本案例分別放到改進(jìn)前后的Lagrange乘子法中分別進(jìn)行優(yōu)化，并記錄每一代尋找到的最小值，運(yùn)行得到兩個(gè)方法的對(duì)比結(jié)果，如圖3所示。

表2 交叉口信號(hào)配時(shí)參數(shù)

圖3 改進(jìn)前后乘子法求解配時(shí)問(wèn)題的迭代過(guò)程

由圖3可以看出，傳統(tǒng)的Lagrange乘子法由于劣質(zhì)的罰參數(shù)，導(dǎo)致數(shù)值的震蕩劇烈無(wú)法迅速收斂，求得的解也無(wú)法快速趨向于可行域。而通過(guò)罰參數(shù)自適應(yīng)更新的Lagrange乘子法，可以根據(jù)當(dāng)前解偏離可行域的距離來(lái)適當(dāng)加大罰參數(shù)，在7代左右就達(dá)到穩(wěn)定值(傳統(tǒng)乘子法14代以后才漸漸達(dá)到穩(wěn)定)，并且求得的最小值也更優(yōu)?？梢?jiàn)該方法的收斂性和快速性優(yōu)于傳統(tǒng)的Lagrange乘子法。這里具體只研究改進(jìn)Lagrange乘子法的優(yōu)化配時(shí)等問(wèn)題。

為更加直觀地看出本文方法與智能算法在交通信號(hào)控制應(yīng)用中的區(qū)別，將上述案例分別利用標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法和差分進(jìn)化算法進(jìn)行優(yōu)化，得到的進(jìn)化曲線如圖4所示。

圖4 兩種智能算法的進(jìn)化曲線

表3 算法耗時(shí)對(duì)比

Lagrange乘子法首先是找到最優(yōu)值的大致范圍，隨后對(duì)當(dāng)前解進(jìn)行調(diào)整，使其位于可行域范圍內(nèi)；而智能算法是一個(gè)逐漸尋優(yōu)的過(guò)程，算法迭代過(guò)程相對(duì)復(fù)雜。

從圖3中可以看出，Lagrange乘子法在迭代10代左右就可以準(zhǔn)確地找到最優(yōu)值，而本文介紹的遺傳算法和差分進(jìn)化算法需要200～300次左右才能逐漸找到最優(yōu)值。

在編寫(xiě)代碼時(shí)記錄算法的耗時(shí)，將幾種算法的耗時(shí)進(jìn)行對(duì)比，如表3所示。

由圖3和表3可知，經(jīng)本文方法改進(jìn)后Lagrange乘子法的耗時(shí)更少，收斂更快，精度更高；由于智能算法的計(jì)算量巨大，迭代復(fù)雜，算法耗時(shí)相對(duì)較高。遺傳算法和差分進(jìn)化的最優(yōu)值分別為0.910 8和0.899 6，差分進(jìn)化算法的優(yōu)化結(jié)果優(yōu)于遺傳算法。接下來(lái)將改進(jìn)Lagrange乘子法與差分進(jìn)化算法進(jìn)行對(duì)比分析，結(jié)果如表4所示。

表4 信號(hào)配時(shí)優(yōu)化結(jié)果對(duì)比

經(jīng)過(guò)結(jié)果的對(duì)比可知，乘子法優(yōu)化的配時(shí)使延誤降低了19.89%，排放降低了2.379%；差分進(jìn)化算法優(yōu)化的配時(shí)使延誤降低了18.9%，排放降低了1.723%。上述優(yōu)化結(jié)果使延誤大幅度降低，但排放卻優(yōu)化很少，主要原因是在權(quán)重系數(shù)的分配過(guò)程中，將優(yōu)化的比例大部分分給了延誤，該種配時(shí)適用于擁堵嚴(yán)重的路口以及繼續(xù)降低延誤的情況。而當(dāng)排放污染嚴(yán)重，此時(shí)就需要大比例優(yōu)化排放。為解決這種問(wèn)題，不再將權(quán)重系數(shù)看作變量，而是根據(jù)需要將β值設(shè)置得更高。權(quán)重系數(shù)的方法可以適用于各種不同的情況，適用范圍廣泛，不再局限于單個(gè)交叉口性能優(yōu)化。

3.3 VISSIM仿真

根據(jù)青島市黑龍江中路與九水東路交叉路口的實(shí)際情況搭建VISSIM仿真模型，如圖5所示。

為驗(yàn)證本文方法的真實(shí)有效性，將優(yōu)化前后的配時(shí)利用微觀交通仿真軟件VISSIM進(jìn)行進(jìn)一步的驗(yàn)證，在仿真軟件中選擇輸出交叉口的車(chē)輛延誤及CO的尾氣排放量。仿真周期設(shè)置為1 h，每60 s對(duì)該交叉口的數(shù)據(jù)進(jìn)行采集，將輸出結(jié)果繪制成折線圖，如圖6所示。

圖5 青島市黑龍江中路與九水東路VISSIM仿真模型

圖6 優(yōu)化前后配時(shí)于VISSIM仿真結(jié)果

表5 在VISSIM中各種配時(shí)的仿真結(jié)果

將各種配時(shí)分別輸入到VISSIM中進(jìn)行仿真對(duì)比，得到的車(chē)輛延誤及CO尾氣排放量的對(duì)比如表5所示。

綜合VISSIM仿真的延誤與排放的優(yōu)化結(jié)果，本文的方法對(duì)于優(yōu)化交叉口延誤以及排放是十分有效的，具有較強(qiáng)的全局搜索能力，相對(duì)于智能算法也具有一定的優(yōu)勢(shì)。整體來(lái)看，本文提出的信號(hào)優(yōu)化配時(shí)的方法以及建立的多目標(biāo)優(yōu)化模型都是有效的。

4 結(jié)論

為提高城市交叉口的通行效率，減少機(jī)動(dòng)車(chē)尾氣排放，本文從綜合考慮機(jī)動(dòng)車(chē)通行效率與環(huán)境效益的角度出發(fā)，建立以交叉口處的機(jī)動(dòng)車(chē)延誤及尾氣排放量為綜合優(yōu)化指標(biāo)的目標(biāo)優(yōu)化模型，改進(jìn)傳統(tǒng)Lagrange乘子法收斂慢、精度不高等問(wèn)題，并將該方法應(yīng)用到交通信號(hào)控制中。從VISSIM仿真結(jié)果得出，改進(jìn)Lagrange乘子法優(yōu)化配時(shí)令車(chē)輛延誤降低20.42%，一氧化碳尾氣排放量降低7.046%。與差分進(jìn)化算法得到的配時(shí)，在延誤方面降低了15.52%，排放方面降低了4.65%，本文方法在延誤方面比差分進(jìn)化算法減少了6.16%，排放方面降低了2.58%。本文方法尋找的最優(yōu)值略優(yōu)于智能算法的最優(yōu)值。

在面臨多種情況時(shí)，可對(duì)優(yōu)化目標(biāo)添加不同的權(quán)重，將優(yōu)化的重點(diǎn)放到我們需要優(yōu)化的目標(biāo)中。本文的方法針對(duì)于單交叉路口，將兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)合并成一個(gè)，從而達(dá)到了整體上的優(yōu)化，克服了單目標(biāo)優(yōu)化不能綜合考慮交叉口性能的弊端。本文僅研究單交叉路口，后續(xù)可以應(yīng)用到路口存在相關(guān)聯(lián)的區(qū)域交通信號(hào)優(yōu)化控制中。