宋翔宇,王學(xué)平

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,四川成都 610066)

§1 引言

1975年,Zadeh將模糊集擴(kuò)展為二型模糊集(見[1]).之后,二型模糊集特別是二型模糊集真值代數(shù)的研究受到國內(nèi)外學(xué)者的極大關(guān)注,如:研究二型模糊集的代數(shù)運(yùn)算(見[2]),討論二型模糊集真值代數(shù)的代數(shù)結(jié)構(gòu)(見[3-6]),研究二型模糊集真值代數(shù)上的蘊(yùn)含(見[7]),凸正規(guī)函數(shù)的格結(jié)構(gòu)與拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)(見[8])及三角模(見[9]).二型模糊集的真值代數(shù)是由從單位區(qū)間到單位區(qū)間的所有函數(shù)組成的集合及函數(shù)的卷積運(yùn)算一起組成的代數(shù)結(jié)構(gòu)(見[10-11]).最近,De Miguel等將二型模糊集從單位區(qū)間擴(kuò)展為有界格,定義了函數(shù)的卷積運(yùn)算,研究了有界格上二型模糊集真值代數(shù)的代數(shù)結(jié)構(gòu),構(gòu)造了有界分配格上二型模糊集真值代數(shù)的有界分配子代數(shù)及Birkhoff系統(tǒng)(見[12]).文獻(xiàn)[12]中許多結(jié)論都需要格是分配的,為此他們提出了如下公開問題.

當(dāng)有界格不是分配格時,更加深入地研究卷積運(yùn)算,包含以下兩個方面.

(i) 尋找Na ∩I ∩C的子集G,使得G在卷積運(yùn)算之下也是封閉的,并且構(gòu)成有界格(Na,I與C的定義見第二節(jié));

(ii) Birkhoff方程的研究.

2019年,嚴(yán)衛(wèi)平與王學(xué)平也研究了有界格上二型模糊集真值代數(shù)的代數(shù)結(jié)構(gòu)及其性質(zhì)(見[13]).特別地,劉志強(qiáng)與王學(xué)平在文[14]中構(gòu)造了有界非分配格上Na ∩I ∩C的一個Birkhoff系統(tǒng)及一個有界分配子格,從一個側(cè)面回答了上面開問題.本文繼續(xù)研究上面開問題,將構(gòu)造有界非分配格上Na ∩I ∩C的一個有界分配子格及一個Birkhoff系統(tǒng).

§2 預(yù)備知識

為方便,先回顧文獻(xiàn)[15]中一些基本概念.設(shè)(L,≤)為偏序集,如果對任意x,y ∈L,inf{x,y}在L中存在(記為x ∧y),則稱(L,≤)為交半格.如果對任意x,y ∈L,sup{x,y}在L中存在(記為x ∨y),則稱(L,≤)為并半格.如果對任意x,y ∈L,inf{x,y}與sup{x,y}在L中均存在,則稱(L,≤)為格.也記格(L,≤)為(L,∧,∨).由此可見,格既是交半格又是并半格.如果格(L,≤)有最小元0和最大元1,則稱(L,≤)為有界格.如果格(L,∧,∨)滿足:對任意a,b,c ∈L,a ∧(b ∨c)=(a ∧b)∨(a ∧c)與a ∨(b ∧c)=(a ∨b)∧(a ∨c)成立,則稱(L,∧,∨)為分配格.因?yàn)閍 ∧(b ∨c)=(a ∧b)∨(a ∧c)與a ∨(b ∧c)=(a ∨b)∧(a ∨c)等價,因此,要證明格的分配性僅需驗(yàn)證一條即可.如果格(L,≤)的任意子集B的infB與supB在L中均存在,則稱(L,≤)為完備格.如果完備格(L,∧,∨,0,1)滿足:對任意a ∈L,?≠B ?L,有成立,則稱(L,∧,∨,0,1)為frame.如果有兩個運(yùn)算的代數(shù)結(jié)構(gòu)(L,∧,∨)滿足:(1) (L,∧)是交半格,(L,∨)是并半格;(2) 對任意a,b ∈L,a ∨(a ∧b)=a ∧(a ∨b);則稱(L,∧,∨)為Birkhoff系統(tǒng).

本節(jié)設(shè)L1=(L1,∨1,∧1,01,11)為有界格,L2=(L2,∨2,∧2,02,12)為frame,對應(yīng)的序關(guān)系分別為≤1and≤2.設(shè)F={f|f:L1→L2}.

定義2.1(見[12]) 對任意f,g ∈F,

以下統(tǒng)一使用符號∨,∧,≤和≥分別表示格中上確界,下確界,小于等于及大于等于.為了方便起見,給出一些必要的符號描述如下(見[12]).

定義2.2(見[15]) 設(shè)(L,≤) 為格,a ∈L.如果a=x ∨y蘊(yùn)涵a=x或a=y,則稱a是并既約元.對偶地,如果a=x ∧y蘊(yùn)涵a=x或a=y,則稱a是交既約元.

定義2.3(見[15]) 設(shè)(E,≤)為偏序集,a,b ∈E并且a

引理2.1(見[12]) 任意a ∈L2,代數(shù)結(jié)構(gòu)(Na ∩I ∩C,,,0a,1a)是有界格當(dāng)且僅當(dāng)L1是分配格.

引理2.2(見[15]) 格L是非分配格當(dāng)且僅當(dāng)它包含有形如N5或M3的子格.

圖1 N5

圖2 M3

§3 真值代數(shù)子代數(shù)的構(gòu)造

以下,進(jìn)一步假設(shè)N5?L1或M3?L1且L1是滿足如下二個條件的有界格.

(a) 如果N5?L1,則x1在L1中有唯一下鄰及x2與x4兩個上鄰,x5在L1中有唯一上鄰及x3與x4兩個下鄰,且任意x ∈{x2,x3,x4}在L1{x1,x2,x3,x4,x5}中既無下鄰也無上鄰.

(b) 如果M3?L1,則y1在L1中有唯一下鄰及y2,y3與y4三個上鄰,y5在L1中有唯一上鄰及y2,y3與y4三個下鄰,且任意y ∈{y2,y3,y4}在L1{y1,y2,y3,y4,y5}中既無下鄰也無上鄰.

設(shè)

下面討論S ∩Na ∩I ∩C的代數(shù)性質(zhì).由文獻(xiàn)[12]的命題6知下面命題成立.

命題3.1設(shè)a ∈L2,f,g ∈Na,則(i);(ii).

命題3.2設(shè)f,g ∈S ∩I ∩C,則(i);(ii).

證以下僅證明(i),(ii)類似可證.因?yàn)?所以由文獻(xiàn)[12]的命題7有.為最終證明,以下僅需證明.因?yàn)閒,g ∈I=,所以對任意x1,x2∈L1,

因?yàn)閡1≤x1和u2≤x2,所以u1∧u2≤x1∧x2.因此u1∧u2≤(x1∧x2)∧(u1∨u2)≤u1∨u2.類似地,v1∧v2≤(x1∧x2)∧(v1∨v2)≤v1∨v2成立.因?yàn)閒,g ∈C,所以有

顯然[(x1∧x2)∧(u1∨u2)]∨[(x1∧x2)∧(v1∨v2)]≤(x1∧x2)∧[(u1∨u2)∨(v1∨v2)].分以下兩種情況討論.

(1)如果[(x1∧x2)∧(u1∨u2)]∨[(x1∧x2)∧(v1∨v2)]=(x1∧x2)∧[(u1∨u2)∨(v1∨v2)],則[(x1∧x2)∧(u1∨u2)]∨[(x1∧x2)∧(v1∨v2)]=(x1∧x2)∧[(u1∨v1)∨(u2∨v2)]=x1∧x2.令u=(x1∧x2)∧(u1∨u2)和v=(x1∧x2)∧(v1∨v2),于是

(2)如果[(x1∧x2)∧(u1∨u2)]∨[(x1∧x2)∧(v1∨v2)]<(x1∧x2)∧[(u1∨u2)∨(v1∨v2)],則分以下兩種情況.

(a) 如果u1∨u2,x1∧x2,v1∨v2中有兩元可比,則斷言u1∨u2

(b)如果u1∨u2,x1∧x2,v1∨v2中元兩兩不可比,則n=(v1∨v2)∧(u1∨u2),v1∨v2,u1∨u2,x1∧x2,m=(v1∨v2)∨(x1∧x2)構(gòu)成與M3同構(gòu)的五元子格.于是

因此,由(a)和(b)知()(x1)∧()(x2)≤()(x1∧x2).

綜合(1)與(2)知,對任意x1,x2∈L1,()(x1)∧()(x2)≤()(x1∧x2),即.

命題3.3設(shè)f,g ∈S ∩I ∩C,則(i);(ii).

證以下僅證明(i),(ii)類似可證.設(shè)x1,x2,x3∈L1使得x1≤x2≤x3.因?yàn)閒,g ∈I,有

又u1∧u3≤x1≤x2,有u1∧u3≤x2∧(u1∨u3)≤u1∨u3.類似地,有v1∧v3≤x2∧(v1∨v3)≤v1∨v3.因?yàn)閒,g ∈C,所以

顯然[x2∧(u1∨u3)]∨[x2∧(v1∨v3)]≤x2∧[(u1∨u3)∨(v1∨v3)].分兩種情況.

(1)如果[x2∧(u1∨u3)]∨[x2∧(v1∨v3)]=x2∧[(u1∨u3)∨(v1∨v3)],則[x2∧(u1∨u3)]∨[x2∧(v1∨v3)]=x2∧[(u1∨v1)∨(u3∨v3)]=x2∧(x1∨x3)=x2.令u2=x2∧(u1∨u3)和v2=x2∧(v1∨v3),于是

(2)如果[x2∧(u1∨u3)]∨[x2∧(v1∨v3)]

(a) 如果v1∨v3,u1∨u3,x2有兩元可比,則斷言u1∨u3

(b) 如果v1∨v3,u1∨u3,x2兩兩不可比,則n=(u1∨u3)∧(v1∨v3),v1∨v3,u1∨u3,x2及m=x2∨(v1∨v3)構(gòu)成與M3同構(gòu)的五元子格.于是

由(a)與(b)知()(x1)∧()(x3)≤()(x2).

綜合(1)與(2)知,對任意x1,x2,x3∈L1,如果x1≤x2≤x3,則()(x1)∧()(x3)≤()(x2),即.

命題3.4設(shè)f,g ∈S,則(i);(ii).

證以下僅證明(i),(ii)類似可證.對任意f,g ∈S,分如下三種情況.

(1)L1只含有子格N5.

因?yàn)閤1和x2都是L1中的并既約元,所以

由格L1滿足的條件知,對任意x ∈L1,x

類似可以證明()(x3)=()(x4)=()(x1).另外

圖3

定理3.5設(shè)a ∈L2,則代數(shù)結(jié)構(gòu)(S ∩Na ∩I ∩C,,0a,1a)是有界分配格.

證設(shè)f,g,h ∈S ∩Na ∩I ∩C,則對任意x ∈L1,因?yàn)長1是非分配格,所以

當(dāng)u ∨(v ∧w)≠(u ∨v)∧(u ∨w)時,分以下兩種情況.

(a) 如果u,v,w有兩元可比,則斷言u

(b) 如果u,v,w兩兩不可比,則n=u ∧w,u,v,w及m=v ∨w構(gòu)成與M3同構(gòu)的五元子格.類似于(a)可以證明

綜合(a)與(b)知

以下證明()(f h)().

對任意x ∈L1,因?yàn)閒 ∈I=,所以

因?yàn)閡1∧u2≤x,所以u1∧u2≤x ∧(u1∨u2)≤u1∨u2.又因?yàn)閒 ∈C,所以

因?yàn)関 ∧w ≤x,x ∧(u1∨u2)≤x,所以

顯然(x ∧(u1∨u2))∨(v ∧w)≤(x ∨(v ∧w))∧((u1∨u2)∨(v ∧w)).以下分兩種情況討論.

(I) 如果(x ∧(u1∨u2))∨(v ∧w)<(x ∨(v ∧w))∧((u1∨u2)∨(v ∧w)),則斷言v ∧w

(i) 當(dāng)w=v或w=x或w=p時,x ∧(u1∨u2)=q.又由f,g,h ∈S,故f(x ∧(u1∨u2))=f(q)=f(x),g(v)=g(v ∧w)=g(x),h(w)=h(x).于是

(ii)當(dāng)w >p時,w >p>u1∨u2≥u2.而u1∨v ≤(u1∨u2)∨v=(u1∨u2)∨(v ∧w)=pu1∨u2,矛盾.

綜合(i)與(ii)知

(II)如果(x ∧(u1∨u2))∨(v ∧w)=(x ∨(v ∧w))∧((u1∨u2)∨(v ∧w)),則顯然(u1∨u2)∨(v ∧w)≤((u1∨u2)∨v)∧((u1∨u2)∨w).分下面兩種情況.

(1)如果(u1∨u2)∨(v ∧w)=((u1∨u2)∨v)∧((u1∨u2)∨w),則(x ∧(u1∨u2))∨(v ∧w)=(x ∨(v ∧w))∧((u1∨v)∨u2)∧((u2∨w)∨u1)≥x.所以由公式(2)知(x ∧(u1∨u2))∨(v ∧w)=x.令u=x ∧(u1∨u2),所以

(2) 如果(u1∨u2)∨(v ∧w)<((u1∨u2)∨v)∧((u1∨u2)∨w),則分下面兩種情況.

(a) 如果u1∨u2,v,w有兩元可比,則斷言u1∨u2

(a1) 當(dāng)u2=u1時,x=(u1∨v)∧(u2∨w)=v ∧p=v,x ∧(u1∨u2)=v ∧u1=u1,又因?yàn)閒,g,h ∈S,所以f(x ∧(u1∨u2))=f(u1)=f(u1∨u2)=f(v)=f(x),g(v)=g(x),h(w)=h(v)=h(x),于是

(a2)當(dāng)u2

綜合(a1)與(a2)知(()())(x)≤f(x)∧g(x)∧h(x).

(b) 如果u1∨u2,v,w兩兩不可比,則n=(u1∨u2)∧v,u1∨u2,v,w及m=v ∨w構(gòu)成與M3同構(gòu)的五元子格.用類似的方法可以證明(()())(x)≤f(x)∧g(x)∧h(x).

綜合(a)與(b)知

定理3.6代數(shù)結(jié)構(gòu)(,)是Birkhoff系統(tǒng).

對任意x ∈L1,因?yàn)長1是非分配格,所以

當(dāng)u1∨(u2∧v)≠(u1∨u2)∧(u1∨v)時,分以下兩種情況:

(a)如果u1,u2,v有兩元可比,則斷言u1

(b) 如果u1,u2,v兩兩不可比,則n=u1∧v,u1,u2,v及m=u1∨v構(gòu)成與M3同構(gòu)的五元子格.類似(a)可以證明

綜合(a)與(b)知,當(dāng)存在u1,u2,v ∈L1使u1∨(u2∧v)≠(u1∨u2)∧(u1∨v)時

§4 結(jié)束語

本文構(gòu)造了有界非分配格L1與frameL2之間函數(shù)的一個子集,證明了該子集與函數(shù)的卷積運(yùn)算構(gòu)成一個有界分配格,最后構(gòu)造了一個Birkhoff系統(tǒng).通過比較不難發(fā)現(xiàn),本文中的非分配格L1與文獻(xiàn)[14]中所選非分配格L1不同,且文獻(xiàn)[14]中構(gòu)造的真值代數(shù)的子代數(shù)Fa也與本文構(gòu)造的真值代數(shù)的子代數(shù)S不同.不難發(fā)現(xiàn),本文及文獻(xiàn)[14]討論的是在非分配格L1固定的情況下,選擇有界非分配格L1與frameL2之間滿足一定條件的函數(shù),從而使函數(shù)所構(gòu)成的集與函數(shù)的卷積運(yùn)算構(gòu)成一個有界分配格以及一個Birkhoff系統(tǒng).因此,一個值得研究的問題是:在非分配格L1固定的情況下,要使有界非分配格L1與frameL2之間的函數(shù)所構(gòu)成的集與函數(shù)的卷積運(yùn)算構(gòu)成一個有界分配格以及一個Birkhoff系統(tǒng),問這些函數(shù)一定要滿足什么條件?