鄭 軍?何 莎
(1.西南交通大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,四川成都 611756;2.蒙特利爾工學(xué)院 電氣工程系,加拿大蒙特利爾H3T 1J4)
在晶體生長,金屬澆鑄和退火,固體氣體反應(yīng)系統(tǒng),固體和流體力學(xué),以及生物系統(tǒng)中出現(xiàn)的許多問題中,所涉及的輸運反應(yīng)現(xiàn)象通常用具有時變系數(shù)的拋物型偏微分方程來描述,例如[1-6].具有時變系數(shù)的拋物型偏微分方程解的適定性以及正則性理論已有廣泛發(fā)展(如[7-9]).然而對于具有時變系數(shù)的拋物型偏微分方程解的穩(wěn)定性研究還比較有限,例如[10-13]考察的對象僅是具有時變系數(shù)的線性拋物系統(tǒng),其中[10-12]通過控制器設(shè)計,得到系統(tǒng)的穩(wěn)定性,而[13]建立了系統(tǒng)的可觀性.基于此,本文考察具有時變系數(shù)的超線性拋物型偏微分方程
的穩(wěn)定性.其中Ω ?RN(N ≥1)為有界開區(qū)域,且邊界?Ω是C1-的,a ∈C(Ω ×R+;R≥0),c ∈C(Ω ×R+;R)均依賴于時間變量t,f ∈C(Ω ×R+×R;R)為非線性項,且存在a0,μi ∈C(R≥0;R≥0),i=1,2,···,n,及c0∈C(R≥0;R)使得
這里mi >1,i=1,2,···,n,n為正整數(shù),R為實數(shù)集,R+為正實數(shù)集,R≥0為非負(fù)實數(shù)集.
對于(1) 中的方程,一個典型的形式為
其中c,μ1,μ2為連續(xù)函數(shù),p,q >1且p≠q.當(dāng)c,μ1不依賴于時間變量且μ2(t)≡0時,在不同條件下,已有大量文獻(xiàn)利用Galerkin方法,或能量方法,或穩(wěn)定性集和半群理論等方法,對(4)的解在有限時間的爆破性,或在小初值條件下系統(tǒng)的穩(wěn)定性等進(jìn)行探討,現(xiàn)不再詳述.然而,當(dāng)c,μ1,μ2依賴于時間變量且μ2(t)/≡0時,對該類問題的穩(wěn)定性或者爆破性質(zhì)進(jìn)行研究存在著較大困難.另外,如前所述,由于許多工程實際問題中,描述物理現(xiàn)象的經(jīng)常是具有時變系數(shù)的超線性方程,且從控制角度考慮,必須要保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性(以及可控性,可觀性,可測性等),因此,對具有時變系數(shù)的超線性拋物系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行研究具有十分重要的意義.
在一定程度上,證明拋物系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以歸屬于偏微分方程正則性理論研究的范疇,因此許多偏微分正則性方法可以應(yīng)用于拋物系統(tǒng)穩(wěn)定性理論,例如,可以通過以下幾個基本思路對拋物系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行探究:一是方程本身就具有較好的結(jié)構(gòu)性質(zhì),如非線性項具有良好的“ 符號”特征(或單調(diào)性質(zhì)),則可以證明具有非時變系數(shù)的拋物系統(tǒng)的穩(wěn)定性,例如[14-15];二是通過控制器設(shè)計,可以保證具有時變系數(shù)的線性拋物系統(tǒng)的穩(wěn)定性,例如[10-12];三是利用擾動的思想研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性,例如,當(dāng)初值為零時,若0為系統(tǒng)的平衡點,則對于較小的初值,可以得到具有非時變系數(shù)的超線性拋物系統(tǒng)的穩(wěn)定性,例如[16-17].值得一提的是,對于一些具有非時變系數(shù)的拋物系統(tǒng),證明在大初值條件下解是爆破的,可以看作是思路三的逆向思維的體現(xiàn),例如[9-16].
本文基于上述思路三,在小初值的條件下,為具有時變系數(shù)的超線性拋物系統(tǒng)(1)建立不同范數(shù)意義下的漸近穩(wěn)定性.為了克服時變系數(shù)及多個超線性項為系統(tǒng)穩(wěn)定性的建立帶來的困難,本文將首先考察一個含時變系數(shù)的非線性常微分系統(tǒng),并證明在小初值條件下,該微分系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的,即后文的引理4.1.最后,利用Lyapunov方法,并應(yīng)用引理4.1,可以證明,在小初值條件下,具有時變系數(shù)的超線性拋物系統(tǒng)(1)在不同范數(shù)意義下均是漸近穩(wěn)定的.
盡管本文建立的是小初值前提下的超線性拋物系統(tǒng)(1)的漸近穩(wěn)定性,但由于引理4.1可以應(yīng)用于或推廣到更為廣泛的系統(tǒng),因此,本文方法也適用于具有更為一般形式的偏微分系統(tǒng),或者常微分系統(tǒng),或者抽象形式的有限維或無限維系統(tǒng)(參見后文注4.1及注4.3),從而,本文所使用的方法對于考察非線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性或非線性偏微分方程的正則性具有一定啟發(fā)意義.
記K:={γ:R≥0→R≥0|γ(0)=0,γ連續(xù),嚴(yán)格遞增},L:={γ:R≥0→R≥0|γ連續(xù),嚴(yán)格遞減,且,KL:={μ:R≥0×R≥0→R≥0|對于任意固定的t ∈R≥0,μ(·,t)∈K,對于任意固定的s ∈R+,μ(s,·)∈L}.
本文使用的函數(shù)空間的記號都是標(biāo)準(zhǔn)的,參見[9].記‖u‖q:=‖u‖Lq(Ω),?q ∈[1,+∞],特別地,記‖u‖:=‖u‖L2(Ω),‖u‖1,q:=‖u‖W1,q(Ω),?q ∈[1,+∞].未加特殊說明外,本文出現(xiàn)的C均表示為常數(shù),各處可以取不同值;對于任意常數(shù)ε>0,C(ε)表示為依賴于ε的常數(shù),各處可以取不同值.
引理2.1[18,p313,314,119]下列插值不等式成立.
引理2.2[18,p285,290]下列Sobolev不等式成立.
本文作如下假設(shè).
(H1) 1≤N ≤2,1 (H2)N >2,2 (H3) 存在常數(shù)δ0∈[0,1)及M >0使得 其中CE為引理1.2中的Sobolev 嵌入常數(shù). (H2’)N >2,2<2mi <2?,i=1,2,···,n. (H3’) 在(H3)中,δ0=0,M=1. 當(dāng)a,c,f,u0及?Ω充分光滑且f滿足Bernstein-Nagumo型條件時,對于任意T >0,由[7,§6,Chap.V]知,在[0,T]時間段,系統(tǒng)(1) 一定存在古典解(或強(qiáng)解),其估計式依賴于T.當(dāng)a,c,f,u0及?Ω正則性降低,且f滿足Bernstein-Nagumo型條件時,則通過函數(shù)序列逼近技巧可知(1)一定存在弱解.另外,當(dāng)f不滿足Bernstein-Nagumo型條件,但a,c,f,u0及?Ω有較好的正則性時,對于某個固定的常數(shù)T >0,在[0,T]時間段,(1)一定存在弱解,見[19].特別地,若存在p >N且p ≥2,使得弱解的W1,p-估計式關(guān)于t一致有界,則該弱解是全局的,見[19].因此,只要稍加條件,總可以保證系統(tǒng)(1)的古典解(或強(qiáng)解),或弱解的全局或局部存在性.由于本文重點在于說明系統(tǒng)(1)的漸近穩(wěn)定性,因此,在不加強(qiáng)調(diào)的情況下,本文僅假設(shè)a,c,f是連續(xù)的及?Ω是C1-的(見引言部分),同時不再對初值u0,f的正則性進(jìn)行特別的說明,所謂的解也總是使得本文每個式子都有意義.本文主要結(jié)論如下. 定理3.1記u為超線性拋物系統(tǒng)(1)的解,下面結(jié)論成立. 為了證明定理3.1,先證明一個有用的結(jié)論,它可以用于判斷具有多個非線性項的控制系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性. 引理4.1設(shè)如下條件成立. 對于任意T >0,若y為定義在[0,T]上的非負(fù),絕對連續(xù)函數(shù),且?guī)缀跆幪帩M足如下微分不等式 其中y0≥0,則對于任意ε ∈(0,1?k),一定存在常數(shù)r?=r?(ε)>0與函數(shù)βε ∈KL,使得當(dāng)y0 注意到G(0)=0及對于任意的s ≥0,總有βε(s,0)=s.斷言由(7)定義的βε為KL-函數(shù).事實上,由于η(s),η?1(s)及G(t)均連續(xù),并注意到,則βε(s,t)關(guān)于s與t均連續(xù).由于η(s)與η?1(s)均嚴(yán)格單調(diào)遞減,則對于固定的t,βε(s,t)關(guān)于s嚴(yán)格單調(diào)遞增.由條件(i)及(7)可知,對于固定的s,.綜上,由(7)定義的βε為KL-函數(shù). 現(xiàn)令t?=inf{t ∈[0,T]|y(t)≥r?}.由于y(0)=y0 若t?∈(0,T],則由t?的定義知 從而由(5),(6)及條件(i)得 如果y0>0,由(8)可得 由η(s)的定義,并注意到η?1(s) 在[0,+∞)上單調(diào)遞減,可得 如果y0=0,由(8)可知,y(t)在[0,t?)上單調(diào)遞減,從而對于任意t ∈[0,t?)總有y(t)=0=βε(0,t)=βε(y0,t). 因此只要0≤y0 這是一個矛盾! 因此{(lán)t ∈[0,T]|y(t)≥r?}=?,即 進(jìn)而,如上述過程可證明當(dāng)y0 注4.1引理4.1的證明思想來源于[20,引理4.4].在文獻(xiàn)[20]中,g2(t)α2(y)≡0,因此引理4.1是[20,引理4.4]在系統(tǒng)具有更多個非線性項的情形下的推廣.并且,值得一提的是,Dini 導(dǎo)數(shù)意義下,引理4.1 的結(jié)論仍然成立. 定理3.1的證明首先,證明(i)中的結(jié)論.將(1)兩邊乘以u并積分,經(jīng)過簡單計算得 再利用結(jié)構(gòu)性條件得 下面分兩種情形進(jìn)行討論. 由引理2.1(i)得 由引理2.2(ii)及Young不等式得 由(9),(10)及(H3)得 由引理2.1(ii)得 由引理2.2(i),引理2.2(ii)及Young不等式得 注意到此時仍有 類似情形1可證得結(jié)論. 其次,證明(ii)中結(jié)論.采用(i)的證明方法.事實上,將(1)兩邊乘以Δu,再積分并整理得 注意到條件(H1)(或(H2’))總可以保證 由引理4.1可知:對于任意σ ∈(0,1),一定存在常數(shù)r?=r?(σ)>0,使得當(dāng)‖?u0‖2 推論3.1的證明只需注意到(13)與(14),并關(guān)于時間變量進(jìn)行積分,則可以得到推論3.1的結(jié)論. 注4.3引理4.1可以用來處理更為廣泛的非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性,包括偏微分控制系統(tǒng),常微分控制系統(tǒng),以及具有抽象形式的有限維或無限維系統(tǒng).例如,考察如下非線性常微分系統(tǒng) 首先注意到y(tǒng)=0滿足方程(15a),故由比較原理可知,對于任意t ≥0,總有y ≥0.其次,注意到對于任意t ≥0,總有t ≤(1+t)ln(1+t),因此,為證明(15)的穩(wěn)定性,只需證明下面系統(tǒng)的穩(wěn)定性.(因為由比較原理知,0≤y ≤z) 本文首先證明了一類具有小初值與多個非線性項的時變系數(shù)常微分系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性,在此基礎(chǔ)上,獲得了一類具有時變系數(shù)與小初值的超線性拋物系統(tǒng)在不同范數(shù)意義下的漸近穩(wěn)定性.注意到本文所考察的具有時變系數(shù)的非線性常微分系統(tǒng)具有較為一般的形式,因此,本文的方法有望推廣應(yīng)用到更為廣泛的非線性偏微分系統(tǒng),以及其他控制系統(tǒng).特別地,在下一個工作中,將利用本文引理與定理的證明思想,考察一類抽象形式的無限維控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性.§4 主要結(jié)論的證明
§5 結(jié)束語