林美琳

(應(yīng)用數(shù)學(xué)福建省高校重點實驗室(莆田學(xué)院),福建莆田 351100)

§1 引言

考慮下面的方程多重正解的存在性問題

很多學(xué)者討論過此類問題.在a=b=μ=θ=0時,Bahri-Coron[1]和Passaseo[2]得到了多重解的情況.在a=b=μ=0,θ=1時,Tarantello[3]證明了在h很小時,方程有兩個正解.有興趣的讀者還可以看[4-6].近些年,Chen[7],Chen-Chen[8]證明了在a=b=0時,方程有多重正解.Chen[9]和Lin[10]證明了在h=u時,多重正解和變號解的存在性.

受Chen[7]的啟發(fā),可以得到下面的結(jié)果.

定理1在前面的假設(shè)條件下,若0<μ <(1+a)2,則存在θ?>0,當(dāng)0<θ <θ?時,方程(1)在中至少存在m個正解.

定理1的證明采用的是臨界點理論,定義下面的泛函

眾所周知,EV的臨界點和方程(1)的弱解是一一對應(yīng)的,由橢圓正則性估計知

關(guān)于正解,有下面一條性質(zhì).

性質(zhì)1對方程(1)的正解u1,u2,···,um,由[11,Theorem1.1],存在正的常數(shù)A1,A2,有

對任意x ∈B(gj,r){gj},r充分小都成立.

§2 預(yù)備知識

考慮極小問題

注意到S0是Sobolev嵌入的最佳常數(shù),且當(dāng)0<μ<時,S0>Sμ.從文獻[12]知,S(a,b,μ)的一組達到函數(shù)為

§3 一些引理

引理1假設(shè)ω是方程(1)的一個解,那么對任意的θ >0,存在χ>0,使得EV(ω)≥?χθ2.

證由于ω滿足方程(1),則

通過求導(dǎo),得到極小點(t>0)

引理2在前面的假設(shè)條件下,存在θ1 >0,當(dāng)θ ∈(0,θ1),u ∈M時,有

且對任意的θ ∈(0,θ1)有

此引理的證明見[7,Proposition2.2].

對于j ∈{1,···,m},選擇r0=δ/3.定義

引理3 由(V 0)中的δ和上面選擇的r0,如果βj(u)≤r0,那么

此引理的證明見[10,引理3].

推論1由引理3知,如果u ∈{0},βj(u)≤r0且βi(u)≤r0,那么i=j.

引理4由前面的假設(shè)條件下,以及引理1中的χ,存在θ2>0,當(dāng)θ ∈(0,θ2)時,有

其中u0=φjU1,gj,0≤u0∈. 于是得到ε1>0,當(dāng)0<ε<ε1時,有βj(tε,juε,j)

接下來證明,存在θ2>0,當(dāng)θ ∈(0,θ2),0<ε<ε1時,有事實上

若選擇θ2充分小,當(dāng)θ ∈(0,θ2)時,有ε<ε1,于是結(jié)論得證.

引理5存在θ3>0,對任意的0<θ <θ3,有

此引理的證明見[7,Lemma3.1].

此引理的證明見[12,Lemma3.2].

§4 定理1的證明

引理7對于θ ∈(0,θ1),取u ∈Nj,則有ρu >0且存在一個微分泛函g:B(0,ρu)?滿足g(0)=1,g(ω)(u ?ω)∈Nj,?ω ∈B(0,ρu).對于有

由于u ∈Nj,則G(1,0)=0,且

由u ∈Nj的選擇,有.

接下來把G在點(1,0)上應(yīng)用隱函數(shù)定理就可以得到結(jié)論.

引理8在前面的假設(shè)條件下,若是EV在Nj中的一個極小序列,則在中,有,且uj≠0是方程(1)的一個弱解.

證由于且當(dāng)n→∞時,,則可以假設(shè)存在兩個正的常數(shù)C4,C5,使得.由Ekeland變分原理可以得到

再由引理7,可以得到當(dāng)n→∞時,.又因為中是有界的,可以假設(shè)在,因此uj是方程(1)的一個弱解.

至于uj≠0,可以用反證法,從而得證.

引理9在引理8中,,實際上,在.

現(xiàn)在要看下面4種情況.

這是不可能的.

這與{un}的選擇矛盾.

這是不可能的.

定理1的證明對于j ∈{1,···,m},取θ?=min(θ1,θ2,θ3), 由引理8,引理9可以得到存在,使得在.所以在中,uj是EV的一個臨界點,那么就是方程(1)的一個弱解.由文獻[14,p919]知道uj是方程(1)的一個正解.由,再由推論1知當(dāng)i≠j時,ui和uj是不同的.于是就得到了方程(1)有m個正解.