高德寶,魏玉芬,朱 煥

(黑龍江八一農(nóng)墾大學理學院,黑龍江大慶 163319)

§1 引言

很多商品需要生產(chǎn)時間,比如汽車和商品房等.一般地情況下,現(xiàn)在的商品供給量是過去的一段時間內(nèi)生產(chǎn)出來的,也就是說商品的供應(yīng)具有遲滯性[1-3].當商品生產(chǎn)出來時,供給量可能與當時的需求量不相符,由此產(chǎn)生供給量與需求量的博弈,兩者的博弈過程主要表現(xiàn)為商品價格的動態(tài)變化過程.商品的交易是以價格為媒介的.商品的供給量會隨著價格的升高而增加,亦會隨著價格的降低而減少.廠家以價格與成本之差為利潤提供商品供應(yīng)量.在滿足自身需求的基礎(chǔ)上,顧客以價格為度量購買商品.當然價格越低,銷售量越多,即需求量越多.簡而言之,廠家以價格為度量提供商品供給量,價格過高則需求量少,價格偏低,需求量會增多.這種關(guān)系就是“捕食-被捕食”[4-8]關(guān)系.具體地說,供給量捕食價格,價格捕食需求量.

一些商品的更新?lián)Q代比較頻繁.比如手機經(jīng)歷了1G,2G,3G,4G和現(xiàn)如今的5G時代,將來也必將會發(fā)展到6G時代.商品更新?lián)Q代的初始,新產(chǎn)品的價格一般會瞬時增高(比如現(xiàn)在5G手機價格普遍高于4G的價格),這在生物數(shù)學[9-10]理論中稱之為脈沖[11-13],但價格會隨著時間地流逝而逐漸進入合理的波動范圍內(nèi).

生物數(shù)學的主要內(nèi)容是應(yīng)用微分方程理論研究種群生態(tài)問題和傳染病問題.因為微分方程的一些理論也能比較貼近實踐地描述經(jīng)濟運行的動態(tài)關(guān)系,所以很多經(jīng)濟模型可以借助微分方程構(gòu)建并加以研究.例如國外學者[14-17]利用時滯微分方程構(gòu)建商業(yè)周期模型,同時研究時滯對經(jīng)濟運行穩(wěn)定性的影響,最后得出非線性投資函數(shù),非線性儲蓄函數(shù)和時滯是導致經(jīng)濟模型產(chǎn)生周期性波動的原因.另外,徐飛[18]運用類似的思路建立了綜合國力模型和金融企業(yè)競爭模型,研究了兩個模型的穩(wěn)定性及周期解的存在性.脈沖微分方程在經(jīng)濟模型中的應(yīng)用尚不多見,但在生物數(shù)學模型中應(yīng)用較多.

上述的經(jīng)濟模型主要以金融投資和企業(yè)競爭為核心,本文的工作與他們的不同.本文利用時滯微分方程構(gòu)建供給量,價格和需求量之間關(guān)系的數(shù)學模型,其中時滯代表生產(chǎn)周期.而用脈沖微分方程描述產(chǎn)品更新?lián)Q代后對商品供需關(guān)系的擾動作用.通過分析供給量,價格和需求量之間的動態(tài)關(guān)系,希望能夠為探索商品的動態(tài)運行規(guī)律添磚加瓦.

§2 生產(chǎn)周期影響下商品微分動力模型的構(gòu)建與分析

一般地情況下,商品的供給量隨著價格的變化而變化,價格高時,供給量會增加,價格低時,供給量會減少.但是,多數(shù)商品的生產(chǎn)需要一個周期,所以其供應(yīng)量的實現(xiàn)具有時滯性.價格能夠?qū)崟r地反映供應(yīng)量與需求量之間的關(guān)系.當價格低時,需求量會增加,當價格過高時,需求量會減少.一般地情況下,商品的需求量與其價格之間反向變動,商品的供給量與價格之間正向變動.因此,本文假設(shè)供給捕食價格,價格捕食需求,商品的供應(yīng)具有時滯性.

假設(shè)t時刻,商品的需求量,價格和供給量分別為D(t),P(t),S(t ?τ),其中τ表示商品的生產(chǎn)周期.根據(jù)上一段的分析,假設(shè)需求量與價格之間的功能性反應(yīng)函數(shù)均具有HollingⅡ型功能性反應(yīng)[9],價格與供給量之間具有線性功能反應(yīng).另外受消費人數(shù)的限制,需求量具有密度制約性[9],并且需求不完全依賴供給和價格而存在.綜上分析和假設(shè),需求,價格和供給之間捕食關(guān)系如圖1所示,則僅受生產(chǎn)周期影響的商品微分動力學模型為

圖1 需求,價格和供給之間的捕食關(guān)系圖

其中a1,a2,a3,b1,b2,c1,c2,ω,k均為正數(shù).各系數(shù)的經(jīng)濟學意義如表1所示.

表1 參數(shù)的經(jīng)濟學意義

模型(1)在(?τ,0]內(nèi)的初始條件滿足

基于問題的實際意義,模型(1)的可行域為

易知模型(1)右側(cè)的函數(shù)具有光滑性,因此模型(1)滿足初始條件的解是存在的并且唯一.

定理1對于任意以D(0)>0,P(0)>0,S(0)>0為初值的模型(1) 的解恒大于零.

證首先證明當S(0)>0時,S(t)>0.否則存在t1∈(0,+∞),使得S(t1)≤0.根據(jù)零點定理可知存在t0∈(0,t1]使得S(t0)=0.

又由(D,P,S)=(0,0,0)為模型(1)的平凡解,這與模型(1)解的唯一性相矛盾.故S(t)>0.

模型(1)的前兩個方程等價于以下兩個方程

顯然,當D(0)>0,P(0)>0時,D(t)>0,P(t)>0.

綜上所得,定理1的結(jié)論成立.

由定理1可知,商品的需求量,價格和供給量均大于零,這與實踐相吻合.

定理2對于模 型(1)的任 意解(D(t),P(t),S(t)),存在正數(shù)MD,MP,MS,T0, 當t >T0時,D(t)≤MD,P(t)≤MP,S(t)≤MS.

證令,則有

根據(jù)定理1的結(jié)論和(2)的假設(shè)可知:當t ∈(0,+∞)時,

由比較定理[19]可知存在T0>0,當t>T0時,.進一步地計算可得

定理2的結(jié)論說明,商品的需求量,價格和供給量都是有上限的.實踐中,受消費人群的限制,需求量總是有限的.比如剛需的商品房,平均每人最多需要一套.商品價格需要在消費者的承受范圍內(nèi),否則無法購買商品.因此,商品的價格是有限的.受生產(chǎn)能力的限制,商品的供給量是有限的.若供給量遠遠大于需求量,可能會產(chǎn)生兩個后果:一是商家無利可圖;二是該商品經(jīng)濟崩盤,例如美國的房地產(chǎn)危機.因此,供給量總是有限的.

定理3若條件

成立,則模型(1)存在唯一的正平衡點(D?,P?,S?),其中

證模型(1)的正平衡點滿足方程組

通過求解方程組(3),易知:若條件H1,H2成立,則D?,P?,S?均為正數(shù).

正平衡點的經(jīng)濟學意義就是供需平衡時,需求量,價格和供給量所處的平衡狀態(tài).

定理4若模型(1)滿足條件H1,H2和條件

則存在τ0>0,使得模型(1)所對應(yīng)的正平衡點(D?,P?,S?),當0≤τ <τ0時,局部漸近穩(wěn)定;當τ=τ0時,模型(1)在點(D?,P?,S?)產(chǎn)生Hopf分支;當τ >τ0時,(D?,P?,S?)是不穩(wěn)定的.

證模型(1)在(D?,P?,S?)的變分矩陣J(D?,P?,S?)為

特征方程F(λ)=|J(D?,P?,S?)?λE|=0的表達式為

當τ=0時,特征方程(4)變?yōu)?/p>

根據(jù)Routh-Hurwitz定理[9]可知特征方程(5)的特征根均具有負實部.由Hurwitz準則[9]知:當τ=0時,正平衡點(D?,P?,S?)是局部漸近穩(wěn)定的.

當τ >0時,設(shè)λ=mi(m>0)是特征方程(4)的一純虛根,則m滿足

進一步地可得

因此(m2)至少有一正根,進而特征方程(4)存在一對純虛根±m(xù)0i.將其代入方程組(6)有

由上式可得與ω0對應(yīng)的τn,

取τ0是上式產(chǎn)生純虛根的最小正值,則當τ <τ0時,正平衡點(D?,P?,S?)仍然保持穩(wěn)定.

令λ=λ(τ),代入方程(4),并在其兩邊對τ求導,有

將λ=m0i,τ=τ0代入(8)式得

因為m0,τ0滿足方程組(6),所以有

將(10)式代入(9)式并整理得

因為m0滿足方程(7),所以(11)式可變換為

由Butler引理[20]知:當τ=τ0時,模型(1)在正平衡點(D?,P?,S?)產(chǎn)生Hopf 分支;當τ <τ0時,正平衡點(D?,P?,S?) 局部漸近穩(wěn)定;當τ >τ0時,正平衡點(D?,P?,S?)不穩(wěn)定.

定理4給出正平衡點局漸近穩(wěn)定的平衡條件主要與生產(chǎn)周期τ有關(guān).當τ <τ0時,需求量,價格和供給量將會動蕩地趨于平衡狀態(tài);當τ=τ0時,需求量,價格和供給量將會周而復始地圍繞正平衡點波動;當τ >τ0時,需求量,價格和供給量沒有平衡狀態(tài).

為驗證上述結(jié)論的正確性,取不同的系數(shù)和不同的時滯τ對模型(1)進行數(shù)值模擬.首先,取系數(shù)

經(jīng)計算,可驗證上面的系數(shù)滿足條件H1?H3,模型(1)的正平衡點和m0,τ0分別為

取初值(D,P,S)=(2,1,2).當取τ=1.8<2.01時,正平衡點是局部漸近穩(wěn)定的.模型(1)收斂的相圖分別如圖2與圖3所示.

圖2 模型(1)局部漸近穩(wěn)定的平面相圖

圖3 模型(1)局部漸近穩(wěn)定的空間相圖

最后,取系數(shù)

模型(1)的正平衡點和m0,τ0分別為

取初值(D,P,S)=(1,1.5,1),τ=2.2≈2.19=τ0,模型(1)圍繞正平衡點產(chǎn)生周期解,其相圖如圖4和圖5所示.

圖4 模型(1)存在周期解的平面相圖

圖5 模型(1)存在周期解的空間相圖

§3 生產(chǎn)周期與更新?lián)Q代疊加效應(yīng)影響下的商品動態(tài)關(guān)系分析

商家為了提高其商品在市場上的競爭力,需要不斷地對其進行更新?lián)Q代,例如iPhone手機已更新到12代.上一節(jié)的內(nèi)容僅考慮了生產(chǎn)周期對供應(yīng)量,價格和需求量的影響.若商品的更新?lián)Q代已完成,則必定會對商品產(chǎn)生一定程度的影響.更新?lián)Q代的商品是為了替代沒有競爭力或競爭力不高的前代商品,因此商品的總供應(yīng)量基本不會發(fā)生改變;同時基于消費者的獵奇心理和商家的營銷手段,總需求也會增加一些;在商品更新?lián)Q代初始時間內(nèi),新商品的價格也會增加一些(例如現(xiàn)在的5G手機價格).

為簡化問題,假設(shè)商品的更新?lián)Q代時間具有周期性,即kT(k=1,2,···)時刻發(fā)生.假設(shè)kT時刻,商品的價格增加了p0,需求量增加了d0,則生產(chǎn)周期與更新?lián)Q代疊加效應(yīng)影響下的商品動態(tài)關(guān)系模型如下所示.

其中d0>0,p0>0.

定理5對于模型(12)的任意解(D(t),P(t),S(t)),存在MD >0,MP >0,MS >0,T0>0,當t>T0時,D(t)≤MD,P(t)≤MP,S(t)≤MS.

證仍取定理2中的V(t)=,則當t≠kT時,存在T0>0,當t>T0時,

根據(jù)模型(12)的第3-6個方程,當t=kT >T0時,可得

綜上分析可得,當T0

定理5的結(jié)論表明無論更新?lián)Q代多少次,需求量,價格和供給量都會有上限.例如多數(shù)的電子信息產(chǎn)品,因為顧客的數(shù)量是有限的,需求量必然有限;隨著生產(chǎn)技術(shù)的提高,電子商品的生產(chǎn)成本會降低,所以價格會逐步的減少;若供給量過多,供大于求,則商家的利益得不到保障,因此,供給量只能是有限的.

引理1[21]考慮下面的脈沖微分模型

其中d,μ>0.那么模型(13)存在惟一的正周期解.

定理6當ωa1?b1>0時,存在mD >0,mP >0,T1>0,當t>T1時,對于模型(12) 的任意解(D(t),P(t),S(t)),有D(t)≥mD,P(t)≥mP.

證因為

根據(jù)比較原則,存在t1>0,當t>t1時

根據(jù)引理1和比較原則可得,對于模型(14)的任意解有

取mP={P?exp(?m1(t ?kT))},t ∈((k ?1)T,kT],k ∈Z+,則存在t2>0,當t>t2時,P(t)≥mP.

取T1=max{t1,t2},則當t>T1且ωa1?b1>0時,D(t)≥mD,P(t)≥mP.

價格不能低于成本,否則商家無利可圖.為了保證正常的生存,需求量是有下界的,比如生物對水的需求量.這兩個實際情況與定理6 的結(jié)論相吻合.不過,供給量可能會出現(xiàn)斷貨或接近于斷貨的情形,這種情況時有發(fā)生.

定理7當ωa1?b1>0時,模型(12)存在周期解.

證取T2=max{T0,T1},根據(jù)定理5和定理6可知:當ωa1?b1>0且t >T2時mD ≤D(t)≤MD,mP ≤P(t)≤MP, 0≤S(t)≤MS.

根據(jù)確界原理和函數(shù)D(t)的連續(xù)性可知

作映射

根據(jù)Brouwer不動點定理[22],至少存在一點t0∈[T2, +∞),使得D(t0)=D(t0+T).則D(t)至少有一個以T為周期的正周期解.同理可證:P(t),S(t)均至少存在一個以T為周期的正周解.

綜上可得當ωa1?b1>0時,模型(12)存在正周期解.

定理7表明:商品周期性地更新?lián)Q代之后,需求量,價格和供給量必將會周期地發(fā)生波動.

取T=20,τ=2.1,d0=0.1,p0=0.4,其余各項系數(shù)與圖2中的各項相同.數(shù)值仿真結(jié)果如圖6所示.

圖6 模型(12)存在周期解的平面相圖

從圖6可以得出,當更新?lián)Q代周期地發(fā)生時,前兩個周期內(nèi),需求量,價格和供給量由無規(guī)則波動逐漸地趨于規(guī)律化.從第3個周期開始,三者完全遵循周期性波動.這與定理7的結(jié)論是一致的.由圖6中的前兩張圖可以看出,盡管更新?lián)Q代伊始,需求量會稍有提高,價格也會偏高一些,但是它們會逐漸回歸到正常的波動范圍內(nèi).

當仿真參數(shù)發(fā)生改變時,不同的是:需求量,價格和供應(yīng)量無規(guī)律波動的周期個數(shù)可能不同.相同的是:從某一個周期開始,三者都會周期地發(fā)生波動.

§4 結(jié)語

根據(jù)具有生產(chǎn)周期商品的需求量,價格和供給量之間的捕食與被捕食關(guān)系,還有更新?lián)Q代對商品供求關(guān)系的的影響,本文建立了兩個數(shù)學模型:時滯微分方程模型和脈沖微分方程模型.利用Hopf分支定理,得到:需求量,價格和供給量漸近穩(wěn)定收斂于正平衡點的充分條件和它們會循環(huán)往復地圍繞正平衡點作周期性波動的充分條件.在ωa1?b1>0條件下,當生產(chǎn)周期和周期性更新?lián)Q代疊加影響時,商品的需求量,價格和供給量必然有上下限;同時,它們必將會在某一時刻之后作周期性波動.

本文工作的優(yōu)點如下.

(1)根據(jù)需求量,價格和供給量之間相互作用關(guān)系，建立了符合商品動態(tài)運行實踐的數(shù)學模型;

(2)兩個數(shù)學模型很好地解釋了一些特殊的商品經(jīng)濟現(xiàn)象;

(3)兩個數(shù)學模型能夠為商家在采購,生產(chǎn)和銷售中的決策提供有價值的參考.

本文工作沒有考慮到隨機因素的影響,也沒有商業(yè)實踐數(shù)據(jù)的支撐,進而無法確定參數(shù).筆者希望這些問題能夠在未來的工作中得到有效解決.