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        約束下考慮坐標(biāo)分量誤差相關(guān)性的直線擬合

        2021-12-28 13:03:34宋占峰郭捷佳
        關(guān)鍵詞:全站儀模型

        宋占峰 ,郭捷佳 ,李 軍

        (中南大學(xué)土木工程學(xué)院,湖南 長(zhǎng)沙 410075)

        直線擬合不僅是曲線擬合研究的熱點(diǎn),并且在工程實(shí)踐中被應(yīng)用廣泛[1-2]. 直線擬合是由n個(gè)測(cè)量點(diǎn) (xi,yi),i=1,2,···,n,基于最小二乘準(zhǔn)則找到一條最佳擬合直線.x、y分別為自變量、因變量,a、b分別為直線的斜率和截距,擬合直線的方程為y=ax+b.

        普通最小二乘認(rèn)為變量x或y無(wú)誤差去估計(jì)參數(shù)a和b,該方法簡(jiǎn)單明了,但選擇自變量和因變量不同,擬合的直線不同. 正交最小二乘認(rèn)為x和y具有相同的精度,幾何意義是測(cè)量點(diǎn)到擬合直線的垂直距離平方和最小,通常被認(rèn)為是最佳擬合[3],在鐵路整正工程中被廣泛采用[4-5].

        為顧及自變量x存在誤差,通常采用EIV (errorsin-variables)模型進(jìn)行整體最小二乘估計(jì)直線參數(shù)[6-7].整體最小二乘通過(guò)建立變量的隨機(jī)模型可以實(shí)現(xiàn)普通及正交最小二乘擬合直線,同時(shí)還可以實(shí)現(xiàn)加權(quán)整體最小二乘擬合直線[8]. 但此時(shí)還不能考慮自變量x和因變量y間的誤差相關(guān)性. 當(dāng)已知觀測(cè)誤差的隨機(jī)特性時(shí),參數(shù)的最優(yōu)估計(jì)應(yīng)符合這種隨機(jī)特性[9]. Amiri-Simkooei 等[10]進(jìn)一步提出了考慮觀測(cè)值誤差充分相關(guān)性的加權(quán)整體最小二乘法擬合直線.

        直線是軌道線形的組成部分,為保證線路平順性,需要估計(jì)直線參數(shù),進(jìn)行既有軌道線形整正. 采用全站儀采集的數(shù)據(jù)點(diǎn),其縱、橫坐標(biāo)不僅精度不同,并且誤差具有相關(guān)性. 因此,考慮觀測(cè)值誤差相關(guān)性的加權(quán)整體最小二乘才能處理這種情況,實(shí)現(xiàn)直線的最佳擬合. 整體最小二乘法是基于擬合直線得出的,要處理系數(shù)矩陣含有誤差及與因變量y誤差相關(guān)等情況,引入了EIV 模型及Kronecker 積等復(fù)雜矩陣運(yùn)算[11]. 這在一定程度上造成了理解及工程應(yīng)用上的困難[12]. 同時(shí),線路中直線的擬合還受到相鄰線元的約束.

        因此,本文基于極大似然估計(jì)及拉格朗日條件極值原理建立直線擬合模型,引入表征測(cè)點(diǎn)位置的附加參數(shù),推導(dǎo)出了顧及約束和觀測(cè)值誤差相關(guān)性直線擬合的通用方法. 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法能在任何誤差分布情況下顧及約束估計(jì)直線參數(shù)及其精度.

        1 縱、橫坐標(biāo)的誤差相關(guān)性

        由式(1)和誤差傳播定律可計(jì)算點(diǎn)P縱、橫坐標(biāo)的方差-協(xié)方差陣為

        圖1 全站儀測(cè)量原理Fig. 1 Measuring principle

        圖2 擬合原理Fig. 2 Fitting principle

        2 約束下顧及誤差相關(guān)性的直線擬合

        2.1 直線擬合模型

        直線上n個(gè)觀測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)組成觀測(cè)向量l,其聯(lián)合密度函數(shù)為

        線路中直線的擬合還要滿足與相鄰線元相切等約束條件,如已知相鄰線元為圓曲線,其圓心位置(x0,y0)和半徑R已知,則直線擬合受到的約束為

        式中:B為系數(shù)矩陣,其秩為約束條件的個(gè)數(shù);w為閉合差向量.

        構(gòu)造拉格朗日極值函數(shù)為

        2.2 參數(shù)精度

        求得參數(shù)的最佳估值,需進(jìn)一步評(píng)定其精度. 依據(jù)協(xié)因數(shù)傳播定律,由式(24)得到參數(shù)估值 Θ? 的協(xié)因數(shù)陣為

        2.3 迭代尋優(yōu)過(guò)程

        由于擬合模型舍去了高次項(xiàng),參數(shù)初值為近似值. 因此,需要使用高斯-牛頓迭代尋優(yōu)算法進(jìn)行迭代計(jì)算,直至 δΘ 向量趨于0. 迭代終止條件設(shè)為‖δΘ‖≤ε ,ε為閾值,取為10?6. 算法流程見(jiàn)圖3.

        圖3 高斯-牛頓迭代算法Fig. 3 Gauss-Newton iteration algorithm

        3 試驗(yàn)算例

        選取國(guó)內(nèi)某既有專用線(設(shè)計(jì)速度30 km/h)直線段的復(fù)測(cè)數(shù)據(jù),每20 m 測(cè)一個(gè)點(diǎn),共20 個(gè)測(cè)點(diǎn),坐標(biāo)數(shù)據(jù)見(jiàn)表1. 使用的全站儀的測(cè)角精度為2″,測(cè)距精度為(2 + 2 × 10?6D) mm,D為距離,mm. 控制點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1000.012,1500.023),后視方位角為45°00′05″,由式(3)~(5)可計(jì)算出各測(cè)點(diǎn)縱、橫坐標(biāo)的方差及協(xié)方差,進(jìn)而組成方差-協(xié)方差矩陣C.取先驗(yàn)單位權(quán)中誤差 σ0=1 ,由式(10)可計(jì)算出實(shí)際測(cè)點(diǎn)的隨機(jī)模型P1,其各項(xiàng)元素列于表1.表中:px、py和pxy分別為式(2)中c?1對(duì)應(yīng)對(duì)角線元素和非對(duì)角線元素. 結(jié)果表明觀測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)分量不僅精度不同,并且誤差具有相關(guān)性.

        為驗(yàn)證直線的擬合方法的通用性,選用了對(duì)應(yīng)正交最小二乘和普通最小二乘的兩種隨機(jī)模型對(duì)比計(jì)算,隨機(jī)模型P2為單位矩陣,表示觀測(cè)點(diǎn)的x坐標(biāo)和y坐標(biāo)具有相同的精度,即正交最小二乘擬合;模型P3表示x坐標(biāo)的精度遠(yuǎn)高于y坐標(biāo),即普通最小二乘擬合.

        由設(shè)計(jì)資料知該直線與圓曲線直接相接,圓心C的坐標(biāo)為(1693.970,1443.300),半徑R= 800 m. 為測(cè)試高斯-牛頓算法的效率和穩(wěn)健性,選擇的初始直線遠(yuǎn)離最優(yōu)位置,初始直線參數(shù)列于表2 中的第0 次迭代,閉合差w為圓心到直線的距離減去半徑,初始直線與圓曲線相離479.525 m. 算法經(jīng)過(guò)6 次迭代收斂,w變?yōu)?,說(shuō)明擬合直線滿足約束,與圓曲線相切于直圓點(diǎn)(Z),圖4(a)展示了該擬合過(guò)程,驗(yàn)證了方法的正確性.

        表2 顧及約束和相關(guān)誤差的直線擬合過(guò)程Tab. 2 Process of straight-line fitting with both a constraint and correlated noise

        3 種隨機(jī)模型的非零元素見(jiàn)表1. 約束下3 種隨機(jī)模型的擬合直線參數(shù)和精度列于表3,算法均經(jīng)過(guò)6 次迭代收斂,耗時(shí)均在0.6 s 以內(nèi). 基于P1得到的后驗(yàn)單位權(quán)中誤差 σ?0= 16.5 mm,截距的中誤差σb= 60.0 mm,均為最小,相對(duì)于P2和P3得到的σb= 66.1 mm,精度提升了9.2%. 3 種隨機(jī)模型下的直圓點(diǎn)坐標(biāo)(xZ,yZ)列于表3,對(duì)應(yīng)位置如圖4(b),分別表示為Z1、Z2和Z3,其中Z2和Z3點(diǎn)重合.

        表1 實(shí)地觀測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)及采用的3 種隨機(jī)模型Tab. 1 Coordinate pairs of field surveying data and three stochastic models for fitting

        表3 約束下3 種隨機(jī)模型擬合直線的參數(shù)估值及其精度Tab. 3 Parameter estimation of fitting line and their precisions of three stochastic models with constraints

        令B為空矩陣,用同樣的參數(shù)初值進(jìn)行無(wú)約束的直線擬合,3 種隨機(jī)模型的擬合直線參數(shù)和精度列于表4,算法均經(jīng)過(guò)3 次迭代收斂,耗時(shí)均在0.5 s 以內(nèi),表明無(wú)約束擬合直線具有更高的效率.且無(wú)約束時(shí)的單位權(quán)中誤差及參數(shù)精度均高于約束下的直線擬合,說(shuō)明在無(wú)約束情況下,測(cè)點(diǎn)與擬合直線的貼合度更好. 但是,無(wú)約束擬合獲得的直線不相切于已知圓曲線,如圖4(b)所示,相離距離d= 0.18 m,不符合線路連續(xù)性的要求. 另外,在無(wú)約束擬合時(shí),基于P1得到的后驗(yàn)單位權(quán)中誤差σ?0= 2.3 mm,截距的中誤差 σb= 25.0 mm,相對(duì)P2和P3精度提升了2.7%. 說(shuō)明不論是否有約束,考慮坐標(biāo)相關(guān)誤差時(shí),獲得的直線參數(shù)精度均為最高.

        表4 無(wú)約束下3 種隨機(jī)模型擬合直線的參數(shù)估值及其精度Tab. 4 Parameter estimation of line fitting and their precisions of three stochastic models without constraint

        圖4 約束及無(wú)約束的直線擬合Fig. 4 Straight-line fitting with a constraint and without constraint

        4 結(jié) 論

        在鐵路維護(hù)中,全站儀獲取的軌道坐標(biāo)點(diǎn)具有誤差相關(guān)性,普通最小二乘或正交最小二乘擬合直線不能考慮觀測(cè)值之間的這種誤差相關(guān)性. 提出的直線擬合通用模型,可以考慮坐標(biāo)分量間的誤差相關(guān)性實(shí)現(xiàn)直線擬合. 通過(guò)指定隨機(jī)模型,可以實(shí)現(xiàn)普通最小二乘、正交最小二乘或加權(quán)整體最小二乘直線擬合,并揭示了其對(duì)應(yīng)的幾何意義.

        通常的直線擬合方法未考慮約束條件,線路重構(gòu)中直線的擬合受到相鄰線元的約束. 提出的直線擬合通用模型,可以在約束下同時(shí)顧及誤差相關(guān)性實(shí)現(xiàn)直線擬合. 顧及坐標(biāo)相關(guān)誤差時(shí),可以提升估計(jì)參數(shù)的精度:約束及無(wú)約束下參數(shù)估計(jì)精度分別提高了9.2%和2.7%.

        采用的高斯-牛頓算法運(yùn)行效率高,能夠快速得到直線參數(shù)的最佳估值及其精度. 在約束及無(wú)約束情況下分別僅6 次及3 次迭代就搜索出最優(yōu)直線.

        致謝:中南大學(xué)土木工程國(guó)家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心項(xiàng)目(201905406).

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