宋占峰 ，郭捷佳 ，李 軍

（中南大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410075）

直線擬合不僅是曲線擬合研究的熱點(diǎn)，并且在工程實(shí)踐中被應(yīng)用廣泛[1-2]. 直線擬合是由n個(gè)測(cè)量點(diǎn) (xi,yi),i=1,2,···,n，基于最小二乘準(zhǔn)則找到一條最佳擬合直線.x、y分別為自變量、因變量，a、b分別為直線的斜率和截距，擬合直線的方程為y=ax+b.

普通最小二乘認(rèn)為變量x或y無(wú)誤差去估計(jì)參數(shù)a和b，該方法簡(jiǎn)單明了，但選擇自變量和因變量不同，擬合的直線不同. 正交最小二乘認(rèn)為x和y具有相同的精度，幾何意義是測(cè)量點(diǎn)到擬合直線的垂直距離平方和最小，通常被認(rèn)為是最佳擬合[3]，在鐵路整正工程中被廣泛采用[4-5].

為顧及自變量x存在誤差，通常采用EIV （errorsin-variables）模型進(jìn)行整體最小二乘估計(jì)直線參數(shù)[6-7].整體最小二乘通過(guò)建立變量的隨機(jī)模型可以實(shí)現(xiàn)普通及正交最小二乘擬合直線，同時(shí)還可以實(shí)現(xiàn)加權(quán)整體最小二乘擬合直線[8]. 但此時(shí)還不能考慮自變量x和因變量y間的誤差相關(guān)性. 當(dāng)已知觀測(cè)誤差的隨機(jī)特性時(shí)，參數(shù)的最優(yōu)估計(jì)應(yīng)符合這種隨機(jī)特性[9]. Amiri-Simkooei 等[10]進(jìn)一步提出了考慮觀測(cè)值誤差充分相關(guān)性的加權(quán)整體最小二乘法擬合直線.

直線是軌道線形的組成部分，為保證線路平順性，需要估計(jì)直線參數(shù)，進(jìn)行既有軌道線形整正. 采用全站儀采集的數(shù)據(jù)點(diǎn)，其縱、橫坐標(biāo)不僅精度不同，并且誤差具有相關(guān)性. 因此，考慮觀測(cè)值誤差相關(guān)性的加權(quán)整體最小二乘才能處理這種情況，實(shí)現(xiàn)直線的最佳擬合. 整體最小二乘法是基于擬合直線得出的，要處理系數(shù)矩陣含有誤差及與因變量y誤差相關(guān)等情況，引入了EIV 模型及Kronecker 積等復(fù)雜矩陣運(yùn)算[11]. 這在一定程度上造成了理解及工程應(yīng)用上的困難[12]. 同時(shí)，線路中直線的擬合還受到相鄰線元的約束.

因此，本文基于極大似然估計(jì)及拉格朗日條件極值原理建立直線擬合模型，引入表征測(cè)點(diǎn)位置的附加參數(shù)，推導(dǎo)出了顧及約束和觀測(cè)值誤差相關(guān)性直線擬合的通用方法. 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法能在任何誤差分布情況下顧及約束估計(jì)直線參數(shù)及其精度.

1 縱、橫坐標(biāo)的誤差相關(guān)性

由式（1）和誤差傳播定律可計(jì)算點(diǎn)P縱、橫坐標(biāo)的方差-協(xié)方差陣為

圖1 全站儀測(cè)量原理Fig. 1 Measuring principle

圖2 擬合原理Fig. 2 Fitting principle

2 約束下顧及誤差相關(guān)性的直線擬合

2.1 直線擬合模型

直線上n個(gè)觀測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)組成觀測(cè)向量l，其聯(lián)合密度函數(shù)為

線路中直線的擬合還要滿足與相鄰線元相切等約束條件，如已知相鄰線元為圓曲線，其圓心位置（x0，y0）和半徑R已知，則直線擬合受到的約束為

式中：B為系數(shù)矩陣，其秩為約束條件的個(gè)數(shù)；w為閉合差向量.

構(gòu)造拉格朗日極值函數(shù)為

2.2 參數(shù)精度

求得參數(shù)的最佳估值，需進(jìn)一步評(píng)定其精度. 依據(jù)協(xié)因數(shù)傳播定律，由式（24）得到參數(shù)估值 Θ? 的協(xié)因數(shù)陣為

2.3 迭代尋優(yōu)過(guò)程

由于擬合模型舍去了高次項(xiàng)，參數(shù)初值為近似值. 因此，需要使用高斯-牛頓迭代尋優(yōu)算法進(jìn)行迭代計(jì)算，直至 δΘ 向量趨于0. 迭代終止條件設(shè)為‖δΘ‖≤ε ，ε為閾值，取為10?6. 算法流程見(jiàn)圖3.

圖3 高斯-牛頓迭代算法Fig. 3 Gauss-Newton iteration algorithm

3 試驗(yàn)算例

選取國(guó)內(nèi)某既有專用線（設(shè)計(jì)速度30 km/h）直線段的復(fù)測(cè)數(shù)據(jù)，每20 m 測(cè)一個(gè)點(diǎn)，共20 個(gè)測(cè)點(diǎn)，坐標(biāo)數(shù)據(jù)見(jiàn)表1. 使用的全站儀的測(cè)角精度為2″，測(cè)距精度為（2 + 2 × 10?6D） mm，D為距離，mm. 控制點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1000.012，1500.023），后視方位角為45°00′05″，由式（3）～（5）可計(jì)算出各測(cè)點(diǎn)縱、橫坐標(biāo)的方差及協(xié)方差，進(jìn)而組成方差-協(xié)方差矩陣C.取先驗(yàn)單位權(quán)中誤差 σ0=1 ，由式（10）可計(jì)算出實(shí)際測(cè)點(diǎn)的隨機(jī)模型P1，其各項(xiàng)元素列于表1.表中：px、py和pxy分別為式（2）中c?1對(duì)應(yīng)對(duì)角線元素和非對(duì)角線元素. 結(jié)果表明觀測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)分量不僅精度不同，并且誤差具有相關(guān)性.

為驗(yàn)證直線的擬合方法的通用性，選用了對(duì)應(yīng)正交最小二乘和普通最小二乘的兩種隨機(jī)模型對(duì)比計(jì)算，隨機(jī)模型P2為單位矩陣，表示觀測(cè)點(diǎn)的x坐標(biāo)和y坐標(biāo)具有相同的精度，即正交最小二乘擬合；模型P3表示x坐標(biāo)的精度遠(yuǎn)高于y坐標(biāo)，即普通最小二乘擬合.

由設(shè)計(jì)資料知該直線與圓曲線直接相接，圓心C的坐標(biāo)為（1693.970，1443.300），半徑R= 800 m. 為測(cè)試高斯-牛頓算法的效率和穩(wěn)健性，選擇的初始直線遠(yuǎn)離最優(yōu)位置，初始直線參數(shù)列于表2 中的第0 次迭代，閉合差w為圓心到直線的距離減去半徑，初始直線與圓曲線相離479.525 m. 算法經(jīng)過(guò)6 次迭代收斂，w變?yōu)?，說(shuō)明擬合直線滿足約束，與圓曲線相切于直圓點(diǎn)（Z），圖4（a）展示了該擬合過(guò)程，驗(yàn)證了方法的正確性.

表2 顧及約束和相關(guān)誤差的直線擬合過(guò)程Tab. 2 Process of straight-line fitting with both a constraint and correlated noise

3 種隨機(jī)模型的非零元素見(jiàn)表1. 約束下3 種隨機(jī)模型的擬合直線參數(shù)和精度列于表3，算法均經(jīng)過(guò)6 次迭代收斂，耗時(shí)均在0.6 s 以內(nèi). 基于P1得到的后驗(yàn)單位權(quán)中誤差 σ?0= 16.5 mm，截距的中誤差σb= 60.0 mm，均為最小，相對(duì)于P2和P3得到的σb= 66.1 mm，精度提升了9.2%. 3 種隨機(jī)模型下的直圓點(diǎn)坐標(biāo)（xZ，yZ）列于表3，對(duì)應(yīng)位置如圖4（b），分別表示為Z1、Z2和Z3，其中Z2和Z3點(diǎn)重合.

表1 實(shí)地觀測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)及采用的3 種隨機(jī)模型Tab. 1 Coordinate pairs of field surveying data and three stochastic models for fitting

表3 約束下3 種隨機(jī)模型擬合直線的參數(shù)估值及其精度Tab. 3 Parameter estimation of fitting line and their precisions of three stochastic models with constraints

令B為空矩陣，用同樣的參數(shù)初值進(jìn)行無(wú)約束的直線擬合，3 種隨機(jī)模型的擬合直線參數(shù)和精度列于表4，算法均經(jīng)過(guò)3 次迭代收斂，耗時(shí)均在0.5 s 以內(nèi)，表明無(wú)約束擬合直線具有更高的效率.且無(wú)約束時(shí)的單位權(quán)中誤差及參數(shù)精度均高于約束下的直線擬合，說(shuō)明在無(wú)約束情況下，測(cè)點(diǎn)與擬合直線的貼合度更好. 但是，無(wú)約束擬合獲得的直線不相切于已知圓曲線，如圖4（b）所示，相離距離d= 0.18 m，不符合線路連續(xù)性的要求. 另外，在無(wú)約束擬合時(shí)，基于P1得到的后驗(yàn)單位權(quán)中誤差σ?0= 2.3 mm，截距的中誤差 σb= 25.0 mm，相對(duì)P2和P3精度提升了2.7%. 說(shuō)明不論是否有約束，考慮坐標(biāo)相關(guān)誤差時(shí)，獲得的直線參數(shù)精度均為最高.

表4 無(wú)約束下3 種隨機(jī)模型擬合直線的參數(shù)估值及其精度Tab. 4 Parameter estimation of line fitting and their precisions of three stochastic models without constraint

圖4 約束及無(wú)約束的直線擬合Fig. 4 Straight-line fitting with a constraint and without constraint

4 結(jié) 論

在鐵路維護(hù)中，全站儀獲取的軌道坐標(biāo)點(diǎn)具有誤差相關(guān)性，普通最小二乘或正交最小二乘擬合直線不能考慮觀測(cè)值之間的這種誤差相關(guān)性. 提出的直線擬合通用模型，可以考慮坐標(biāo)分量間的誤差相關(guān)性實(shí)現(xiàn)直線擬合. 通過(guò)指定隨機(jī)模型，可以實(shí)現(xiàn)普通最小二乘、正交最小二乘或加權(quán)整體最小二乘直線擬合，并揭示了其對(duì)應(yīng)的幾何意義.

通常的直線擬合方法未考慮約束條件，線路重構(gòu)中直線的擬合受到相鄰線元的約束. 提出的直線擬合通用模型，可以在約束下同時(shí)顧及誤差相關(guān)性實(shí)現(xiàn)直線擬合. 顧及坐標(biāo)相關(guān)誤差時(shí)，可以提升估計(jì)參數(shù)的精度：約束及無(wú)約束下參數(shù)估計(jì)精度分別提高了9.2%和2.7%.

采用的高斯-牛頓算法運(yùn)行效率高，能夠快速得到直線參數(shù)的最佳估值及其精度. 在約束及無(wú)約束情況下分別僅6 次及3 次迭代就搜索出最優(yōu)直線.

致謝：中南大學(xué)土木工程國(guó)家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心項(xiàng)目（201905406）.