陳鈺庭，唐嘉豪，孫嵩松

（210037 江蘇省 南京市 南京林業(yè)大學(xué) 汽車與交通工程學(xué)院）

0 引言

隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展以及生活水平的提升，汽車已經(jīng)逐漸成為目前國(guó)內(nèi)數(shù)量最多、最普及、活動(dòng)范圍最廣、運(yùn)輸量最大的現(xiàn)代化交通工具，也是與人類社會(huì)的發(fā)展最息息相關(guān)的交通工具[1-5]。作為汽車的“心臟”部位，發(fā)動(dòng)機(jī)零部件可靠性的優(yōu)劣，直接影響著汽車的正常運(yùn)行與否。在目前的實(shí)際工程中，曲軸等大型汽車零部件的疲勞特性主要是通過(guò)疲勞試驗(yàn)法獲取，該類方法往往通過(guò)對(duì)零部件在不同載荷水平下的疲勞壽命進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，從而獲得零部件在給定服役壽命要求下的疲勞強(qiáng)度分布特性?；赟AFL 法處理疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)已經(jīng)得到了廣泛應(yīng)用，高鎮(zhèn)同[6-7]等詳細(xì)論述了疲勞試驗(yàn)的基本概念、定義和公式；周迅[8-9]、李舜酷[10]論述了曲軸疲勞試驗(yàn)方法的原理、特點(diǎn)并介紹失效數(shù)據(jù)的處理[8-10]；陳曉平[11]等利用極大似然法測(cè)定曲軸疲勞性能。但是應(yīng)用該方法在對(duì)大型零部件進(jìn)行疲勞試驗(yàn)時(shí)，由于傳統(tǒng)的QCI 通常由材料自身的抗拉強(qiáng)度和斷面收縮率計(jì)算獲取，而對(duì)于絕大多數(shù)零部件，這兩個(gè)參數(shù)都會(huì)因?yàn)槌叽缃Y(jié)構(gòu)、表面處理工藝等因素產(chǎn)生變化，因此直接采用材料的參數(shù)來(lái)計(jì)算零部件的QCI 點(diǎn)存在一定的不合理性。

針對(duì)上述不足，已有學(xué)者對(duì)傳統(tǒng)的零部件SAFL 疲勞試驗(yàn)方法進(jìn)行改進(jìn)，提出一種新的疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析方法[12]，對(duì)曲軸等零部件的疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，獲得其在給定疲勞極限下的強(qiáng)度。本文基于改進(jìn)的SALF 法，進(jìn)行了疲勞試驗(yàn)在N0=107疲勞壽命下疲勞極限的正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布、威布爾分布3 種分布形式下曲軸疲勞失效數(shù)據(jù)的分析，得到更符合工程實(shí)際的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。對(duì)比研究結(jié)果表明，相對(duì)于正態(tài)分布以及對(duì)數(shù)正態(tài)分布模型，采用三參數(shù)的威布爾分布得到的強(qiáng)度分布結(jié)果更符合工程實(shí)際的需求，具有更廣泛的實(shí)用價(jià)值。

1 曲軸疲勞極限分析

傳統(tǒng)工程應(yīng)用中一般利用疲勞極限統(tǒng)計(jì)分析法（SAFL-Statistical Analysis for Fatigue Limit）對(duì)曲軸的疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，該方法的理論基礎(chǔ)為：將試件所受載荷及在此載荷下的壽命繪制在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)之中，兩者呈線性關(guān)系，且在存在一個(gè)符合這一lgS-lgN 線性關(guān)系的1/4 次循環(huán)斷裂點(diǎn)A（即QCI 點(diǎn)）[13]，原理如圖1 所示。

圖1 應(yīng)力-壽命在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)上的關(guān)系Fig.1 Relation between stress and life in couple log coordinate

如圖1 所示，設(shè)第i 號(hào)試件在載荷Si的作用下試驗(yàn)至Ni次時(shí)發(fā)生斷裂，將這一點(diǎn)表示在lgS-lgN 坐標(biāo)上為Bi點(diǎn)，連接QCI 點(diǎn)與Bi點(diǎn)，并延長(zhǎng)至給定壽命的垂線N=N0（N0=107），交于Ci點(diǎn)，該點(diǎn)的縱坐標(biāo)為用第i 個(gè)試件測(cè)得的母體疲勞極限估計(jì)值FSi，可由式（1）、式（2）確定：

式中：σb——抗拉極限；ψ——斷面收縮率。

實(shí)際工程中獲得抗拉極限和斷面收縮率這兩個(gè)參數(shù)的方式一般是通過(guò)對(duì)所選材料的標(biāo)準(zhǔn)試棒進(jìn)行拉伸試驗(yàn)獲得，但對(duì)于曲軸而言，其拉極限和斷面收縮率會(huì)隨著表面熱處理等加工工藝而發(fā)生變化，整體硬度和脆性都增大，導(dǎo)致使用標(biāo)準(zhǔn)試棒測(cè)得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)計(jì)算曲軸QCI 點(diǎn)的應(yīng)力值時(shí)發(fā)生偏差，使得結(jié)果具有不合理性，因此采用上述方法對(duì)某曲軸試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析時(shí)發(fā)現(xiàn)，試驗(yàn)得到的QCI 點(diǎn)的疲勞壽命數(shù)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于理論QCI 對(duì)應(yīng)的壽命值。針對(duì)這一不足，一些研究者提出了一種改進(jìn)后的SAFL 法[12]。該方法主要分為兩步：（1）采用最小二乘法對(duì)已有的疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，以找出試件應(yīng)力值與壽命之間的對(duì)數(shù)線性關(guān)系；（2）根據(jù)擬合所得到的線性關(guān)系，選取某一低周疲勞壽命作為測(cè)定數(shù)據(jù)標(biāo)出QCI 點(diǎn)，將QCI 點(diǎn)依次連接試驗(yàn)點(diǎn)并延長(zhǎng)至該垂線，得到若干交點(diǎn)，取其縱坐標(biāo)得到高周疲勞區(qū)曲軸應(yīng)力分布情況。計(jì)算公式為

式中：FSi，Ni，Si——用第i 個(gè)試件，測(cè)得的母體疲勞極限的一個(gè)估計(jì)值、載荷及疲勞壽命；SA——QCI 點(diǎn)的應(yīng)力值；NA——該應(yīng)力下構(gòu)件的疲勞壽命值。

2 不同分布方法對(duì)比研究

基于改進(jìn)的SALF 法[12]，借由參考文獻(xiàn)[13]提供的曲軸疲勞壽命實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到在N0=107下的疲勞極限。接著，對(duì)其進(jìn)行正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布、威布爾分布這幾種形式下曲軸疲勞失效數(shù)據(jù)的分析。

表1 某曲軸疲勞壽命Tab.1 Fatigue limit of crankshaft

2.1 正態(tài)分布模型的統(tǒng)計(jì)回歸

在正態(tài)分布模型中，要將問(wèn)題化為線性回歸問(wèn)題，對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)做如下變換：

用變換后的xi和yi進(jìn)行最小方差擬合，得線性方程式

接著可以得到正態(tài)分布的均值和方差的估計(jì)值分別為

2.2 對(duì)數(shù)正態(tài)分布模型的統(tǒng)計(jì)回歸

與正態(tài)分布的轉(zhuǎn)化方式類似，對(duì)數(shù)正態(tài)分布的統(tǒng)計(jì)回歸首先要將疲勞極限的估計(jì)值取對(duì)數(shù)，再將問(wèn)題化為線性回歸問(wèn)題

對(duì)所得xi和yi擬合，得到線性方程(6)，進(jìn)而特征參數(shù)的估計(jì)值分別為

2.3 威布爾分布模型的統(tǒng)計(jì)回歸

三參數(shù)威布爾分布的函數(shù)表達(dá)為

由式（13）可以看出，威布爾分布需要對(duì)3個(gè)參數(shù)，即尺度參數(shù)η，形狀參數(shù)β和位置參數(shù)γ進(jìn)行估計(jì)，屬于非線性的曲線回歸問(wèn)題。對(duì)于這種情況，可以應(yīng)用搜索尋優(yōu)的方法來(lái)計(jì)算γ的值，通過(guò)迭代法求解參數(shù)的估計(jì)值，在單次迭代中，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為線性回歸問(wèn)題。設(shè)在第1 次迭代中，位置參數(shù)的取值為

對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行線性化轉(zhuǎn)換為

迭代計(jì)算的實(shí)質(zhì)是獲得一個(gè)合適的γ估計(jì)值以實(shí)現(xiàn)對(duì)線性方程的最佳回歸。經(jīng)過(guò)比較后發(fā)現(xiàn)，采用單形調(diào)優(yōu)法（Nelder-Mead Method)得到的γ值效果更加理想，它可以用很短的計(jì)算時(shí)間獲得高精度的估計(jì)值。

在迭代結(jié)束之后，γ的估計(jì)值直接得到，根據(jù)最后一次迭代中的線性回歸結(jié)果，分別有

均值和方差分別為

式中：Г——伽瑪分布函數(shù)。

3 實(shí)際數(shù)據(jù)分析

表2 為曲軸彎曲疲勞試驗(yàn)極限彎矩分別在正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布、威布爾分布下的統(tǒng)計(jì)回歸結(jié)果。對(duì)比3 種分布模型，從統(tǒng)計(jì)回歸的相關(guān)性上看，3 種分布方式都可以滿足誤差小于5%的精度要求。但從概率分布的合理性來(lái)看，正態(tài)分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布在載荷為零時(shí)失效概率都不為零，這顯然是與實(shí)際情況不相符的。而威布爾分布相比于前兩者能夠得出相對(duì)合理的零失效概率的疲勞極限點(diǎn)，更好地描述曲軸失效概率的分布情況。因此，綜合上述對(duì)比情況來(lái)看，用威布爾分布作為曲軸的疲勞失效數(shù)據(jù)的分析模型較正態(tài)分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布更為合理。

表2 3 種分布模型的統(tǒng)計(jì)回歸結(jié)果Tab.2 Statistical regression results of three distribution models

4 結(jié)論

本文基于改進(jìn)的SAFL 法，得到對(duì)某曲軸給定壽命下的疲勞極限，并進(jìn)行正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布、威布爾分布3 種形式下曲軸疲勞失效數(shù)據(jù)的分析。結(jié)果表明，以威布爾分布作為處理曲軸疲勞壽命模型，其在統(tǒng)計(jì)的相關(guān)性和0 失效概率上都是相對(duì)合理的。