金光瑞，王愛(ài)華，李 聰，孫吉福

（1.天津津航技術(shù)物理研究所，天津 300000；2.上海機(jī)電工程研究所，上海 201109）

0 引 言

星敏感器是目前測(cè)姿精度最高的探測(cè)器，在飛行器和空間飛行器上都有應(yīng)用［1］。星敏感器光學(xué)畸變誤差標(biāo)定的精度直接影響了星敏感器的精度，需要在使用之前對(duì)星敏感器光學(xué)畸變進(jìn)行高精度的校正［2-4］。

在工程應(yīng)用中，星敏感器需要借助二維高精度轉(zhuǎn)臺(tái)和星模擬器來(lái)實(shí)現(xiàn)室內(nèi)標(biāo)定試驗(yàn)：通過(guò)二維轉(zhuǎn)臺(tái)控制星敏感器在不同俯仰角、不同航向角下對(duì)星模擬器成像，采集大量的標(biāo)定點(diǎn)數(shù)據(jù)，然后利用基表標(biāo)定算法進(jìn)行標(biāo)定，以實(shí)現(xiàn)對(duì)星敏感器的高精度標(biāo)定［5-8］。實(shí)際應(yīng)用中，采集標(biāo)定點(diǎn)數(shù)量不會(huì)較多，一般采集的標(biāo)定點(diǎn)數(shù)量為49 個(gè)，采用其中25 個(gè)標(biāo)定點(diǎn)用于畸變校正，剩余24個(gè)標(biāo)定點(diǎn)用于測(cè)試。而星敏感器模型有20個(gè)參數(shù)，采用25 個(gè)標(biāo)定點(diǎn)對(duì)20 個(gè)參數(shù)進(jìn)行擬合，存在過(guò)擬合現(xiàn)象，會(huì)造成畸變標(biāo)定結(jié)果誤差較大。

針對(duì)該問(wèn)題，本文提出一種基于Dropout方法［9-12］的星敏感器畸變模型標(biāo)定方法。該方法首先對(duì)星敏感器高階曲面畸變模型進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)化，然后構(gòu)建隱藏部分卷積層的星敏感器畸變模型，最后進(jìn)行監(jiān)督學(xué)習(xí)，完成星敏感器畸變模型標(biāo)定，以提高畸變模型的標(biāo)定精度，提高星敏感器輸出的姿態(tài)精度。

2 星敏感器畸變模型及標(biāo)定方法

2.1 星敏感器高階曲面畸變模型

理想的星敏感器物理成像模型為小孔成像模型，其成像原理如圖1所示。

圖1 星敏感器小孔成像原理圖Fig.1 Schematic diagram of small hole imaging of star sensor

根據(jù)其物理模型，可以得到星點(diǎn)坐標(biāo)（u，v）和星光矢量在星敏感器坐標(biāo)系中的坐標(biāo)（x，y，z）之間的關(guān)系為

式中：f為星敏感器焦距；（u0，v0）為星敏感器的主點(diǎn)位置。

由于星敏感器光學(xué)系統(tǒng)像差、裝配誤差及焦距誤差等因素的存在，星敏感器理論模型與實(shí)際情況存在差異，主要包括：CCD 平面上星點(diǎn)的中心位置（u0′，v0′）與理想的星點(diǎn)中心坐標(biāo)（u0，v0）存在主點(diǎn)誤差△d，真實(shí)焦距f′和焦距f之間的焦距誤差△f，CCD 面陣與理想位置之間存在旋轉(zhuǎn)角β和傾斜角α，此外，還包括光學(xué)系統(tǒng)畸變等誤差，如圖2所示。

圖2 星敏感器實(shí)際模型Fig.2 Physical model of star sensor

根據(jù)星敏感器實(shí)際模型還包含許多參數(shù)，但這些參數(shù)對(duì)畸變的影響小于0.1″，可以舍去。因此工程上常用的模型中僅包含主點(diǎn)位置（u0，v0）、焦距f、旋轉(zhuǎn)角β和傾斜角α。這樣的模型復(fù)雜度較高，可以將模型表示為

式中：主點(diǎn)位置（u0，v0）、焦距f、旋轉(zhuǎn)角β和傾斜角α為常數(shù)。

在工程上，式（2）可以表示真實(shí)的星敏感器鏡頭畸變模型。但是其較為復(fù)雜，擬合過(guò)程難度較大，因此我們采用高階曲面來(lái)描述Fx和Fy函數(shù)，將上述模型簡(jiǎn)化為

式中：（x，y，z）為星敏感器坐標(biāo)系矢量；（u，v）為星點(diǎn)坐標(biāo)；N為畸變模型階數(shù)為畸變模型系數(shù)。

式（3）即為星敏感器高階曲面畸變模型。該模型通過(guò)20個(gè)系數(shù)來(lái)描述主點(diǎn)位置（u0，v0）、焦距f、旋轉(zhuǎn)角β和傾斜角α等5 個(gè)常數(shù)，保證了畸變模型的精度；同時(shí)采用高階曲面代替復(fù)雜的物理模型，大大簡(jiǎn)化了標(biāo)定流程。該方法已在工程上進(jìn)行了應(yīng)用，取得了良好的效果。

2.2 星敏感器高階曲面畸變模型標(biāo)定方法

星敏感器高階曲面畸變模型可采用室內(nèi)標(biāo)定和外場(chǎng)標(biāo)定兩種方法，由于外場(chǎng)標(biāo)定受大氣影響較大，因此高精度星敏感器一般均采用室內(nèi)標(biāo)定。

室內(nèi)標(biāo)定需要使用“高精度二維轉(zhuǎn)臺(tái)＋單星模擬器”。進(jìn)行室內(nèi)標(biāo)定時(shí)，利用高精度二維轉(zhuǎn)臺(tái)控制單星模擬器和星敏感器之間的位置關(guān)系，讓星敏感器在不同俯仰角、不同航向角條件下采集多個(gè)標(biāo)定點(diǎn)數(shù)據(jù)，利用這些數(shù)據(jù)對(duì)高階曲面模型進(jìn)行擬合，具體過(guò)程如下：

1）將星敏感器安裝于轉(zhuǎn)臺(tái)內(nèi)框架上，調(diào)整轉(zhuǎn)臺(tái)和單星模擬器相對(duì)位置，使星敏感器采集的星點(diǎn)處于星敏感器像面中心附近；

2）在視場(chǎng)內(nèi)設(shè)置標(biāo)定點(diǎn)（一般不少于49 個(gè)），由星敏感器測(cè)出各標(biāo)定點(diǎn)的星像數(shù)據(jù)，并用星點(diǎn)質(zhì)心算法計(jì)算出星像中心（ui，vi），同時(shí)記錄下轉(zhuǎn)臺(tái)系統(tǒng)中的俯仰角和偏航角；

3）構(gòu)建星敏感器畸變標(biāo)定損失函數(shù)，可采用真實(shí)星光矢量與畸變模型計(jì)算出的星光矢量之間的坐標(biāo)點(diǎn)誤差作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，據(jù)此構(gòu)建損失函數(shù)L為

式中：n為標(biāo)定網(wǎng)格點(diǎn)總數(shù)；（ui，vi）為第i個(gè)標(biāo)定網(wǎng)格點(diǎn)的坐標(biāo)；（ui′，vi′）為第i個(gè)標(biāo)定網(wǎng)格點(diǎn)的擬合坐標(biāo)。

采用擬合方法對(duì)星敏感器畸變模型進(jìn)行標(biāo)定時(shí)，存在擬合效果不佳的情況。擬合效果不佳可以分為欠擬合和過(guò)擬合。欠擬合是指模型過(guò)于簡(jiǎn)單時(shí)，由于訓(xùn)練數(shù)據(jù)誤差大，在無(wú)先驗(yàn)知識(shí)的情況下，擬合結(jié)果不理想，造成欠擬合。過(guò)擬合是指模型過(guò)于復(fù)雜時(shí)，因?yàn)橛?xùn)練數(shù)據(jù)不足，導(dǎo)致在訓(xùn)練數(shù)據(jù)外的測(cè)試數(shù)據(jù)上效果不理想，產(chǎn)生過(guò)擬合。擬合效果如圖3所示。

圖3 擬合效果不佳示意圖Fig.3 Indication of poor fitting effect

星敏感器畸變標(biāo)定過(guò)程中，一般采用5 階以上的高階曲面模型。但在實(shí)際標(biāo)定過(guò)程中，采集的訓(xùn)練數(shù)據(jù)數(shù)量較少，且由于轉(zhuǎn)臺(tái)誤差等因素，訓(xùn)練數(shù)據(jù)存在一定的誤差。因此，對(duì)星敏感器畸變模型進(jìn)行擬合時(shí)，存在一種欠擬合與過(guò)擬合耦合存在的情況，即訓(xùn)練樣本與測(cè)試樣本誤差較大。解決辦法主要有優(yōu)化模型、增加訓(xùn)練數(shù)據(jù)、訓(xùn)練數(shù)據(jù)進(jìn)行篩選、模型集成4種。這4種方法在星敏感器畸變標(biāo)定過(guò)程中均存在一定局限性：優(yōu)化模型方法、增加訓(xùn)練數(shù)據(jù)方法針對(duì)過(guò)擬合有效，但需要犧牲精度、增加工作量，同時(shí)無(wú)法避免數(shù)據(jù)誤差引起的欠擬合；訓(xùn)練數(shù)據(jù)篩選方法可在一定程度上解決欠擬合和過(guò)擬合的問(wèn)題，但需要大量的數(shù)據(jù)和高精度的轉(zhuǎn)臺(tái)；模型集成方法通過(guò)對(duì)多個(gè)不同模型進(jìn)行訓(xùn)練，采用加權(quán)求和的方法進(jìn)行擬合，雖然可以抑制欠擬合和過(guò)擬合問(wèn)題，但會(huì)引起計(jì)算量急劇增加，不適用于對(duì)系統(tǒng)實(shí)時(shí)性要求比較高的系統(tǒng)。

因此，需要研究一種星敏感器畸變標(biāo)定方法，在滿足彈載/星載系統(tǒng)實(shí)時(shí)性要求的前提下，提高畸變標(biāo)定精度。

3 基于Dropout 方法的星敏感器標(biāo)定方法

3.1 Dropout方法

目前，機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域較多采用的是Dropout 方法，可以有效地緩解擬合不佳現(xiàn)象的產(chǎn)生。

Dropout 方法基本原理為：首先在每一次訓(xùn)練過(guò)程中，隨機(jī)地將隱層中的某些節(jié)點(diǎn)置零；再對(duì)這樣的模型進(jìn)行訓(xùn)練得到結(jié)果；然后將多次訓(xùn)練的結(jié)果進(jìn)行整合，得到最終的擬合結(jié)果，如圖4所示。

電商(商務(wù)秘書)場(chǎng)景實(shí)驗(yàn)室以培養(yǎng)學(xué)生電子商務(wù)實(shí)務(wù)實(shí)踐應(yīng)用能力和創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)能力為目標(biāo)，由學(xué)校提供場(chǎng)地和管理、企業(yè)提供工作項(xiàng)目、技術(shù)和師資，行業(yè)協(xié)會(huì)提供平臺(tái)支持，采取校企雙制、產(chǎn)教融合、工學(xué)一體的培養(yǎng)模式。

圖4 Dropout方法示意圖Fig.4 Schematic diagram of the Dropout method

由于網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)之間存在強(qiáng)相互作用關(guān)系，Dropout方法通過(guò)減少網(wǎng)絡(luò)中隱層節(jié)點(diǎn)之間的相互作用，使模型魯棒性更強(qiáng)，減少過(guò)擬合現(xiàn)象對(duì)精度的影響。

3.2 星敏感器畸變模型網(wǎng)絡(luò)化

使用Dropout 方法解決星敏感器畸變模型過(guò)擬合問(wèn)題，首先需要將星敏感器高階曲面模型構(gòu)建成類似于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的傳輸網(wǎng)絡(luò)。

根據(jù)2.1 節(jié)描述的星敏感器畸變模型，可以將其分為輸入層、池化層、卷積層、輸出層共4 層網(wǎng)絡(luò)。輸入層包括輸入變量i0和i1；池化層為基于輸入提取的特征f0、f1、f2…，池化層參數(shù)數(shù)量由曲面模型階數(shù)確定；卷積層為最簡(jiǎn)單的乘法加權(quán)網(wǎng)絡(luò)，加權(quán)系數(shù)為k0、k1、k2…；輸出層為加法網(wǎng)絡(luò)，輸出結(jié)果o。具體網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖5所示。

圖5 星敏感器標(biāo)定網(wǎng)絡(luò)模型示意圖Fig.5 Network model of star sensor calibration

輸入層為數(shù)據(jù)：包含兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，為星點(diǎn)坐標(biāo)位置信息（u，v）。

池化層為函數(shù)：根據(jù)輸入層的數(shù)據(jù)計(jì)算出相應(yīng)的輸出，以三階高階曲面模型為例，星敏感器畸變模型池化層包含10 個(gè)節(jié)點(diǎn)函數(shù)，這10 個(gè)節(jié)點(diǎn)函數(shù)分別為f0（u，v）＝1、f1（u，v）＝u、f2（u，v）＝v、f3（u，v）＝u2、f4（u，v）＝uv、f5（u，v）＝v2、f6（u，v）＝u3、f7（u，v）＝u2v、f8（u，v）＝uv2、f9（u，v）＝v3。

卷積層為數(shù)據(jù)：以三階高階曲面模型為例，該層包含10 個(gè)節(jié)點(diǎn)，其結(jié)構(gòu)為簡(jiǎn)單的乘法網(wǎng)絡(luò)，這10 個(gè)節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)分別為k0、u·k1、v·k2、u2·k3、uv·k4、v2·k5、u3·k6、u2v·k7、uv2·k8、v3·k9。

輸出層o為數(shù)據(jù)：僅包含1 個(gè)節(jié)點(diǎn)，為星點(diǎn)坐標(biāo)x或星點(diǎn)坐標(biāo)y，根據(jù)網(wǎng)絡(luò)，可表示為

3.3 基于Dropout 方法的星敏感器畸變模型標(biāo)定方法

利用Dropout 方法對(duì)上一節(jié)建立的星敏感器畸變網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行擬合，首先要實(shí)現(xiàn)對(duì)星敏感器模型中的部分卷積層進(jìn)行隱藏，獲得隱藏卷積層的星敏感器畸變模型；然后利用擬合方法對(duì)隱藏部分卷積層的星敏感器畸變模型進(jìn)行監(jiān)督訓(xùn)練；最后，對(duì)訓(xùn)練得到的模型進(jìn)行整合，獲得最終的星敏感器畸變模型。

圖6 星敏感器標(biāo)定網(wǎng)絡(luò)Dropout示意圖Fig.6 Dropout model of star sensor calibration network

對(duì)星敏感器模型中的部分卷積層進(jìn)行部分隱藏，可采用調(diào)整加權(quán)系數(shù)的方法。具體方法為將加權(quán)系數(shù)ki乘以p，p的計(jì)算方法為

式中：rand 為［0，1］之間的隨機(jī)數(shù)；thrd 為閾值，一般取0.5。

這樣，p的結(jié)果為0 或者1 的隨機(jī)數(shù)，可實(shí)現(xiàn)對(duì)卷積層的隨機(jī)隱藏，具體隱藏概率可通過(guò)閾值thrd 進(jìn)行調(diào)整。需要注意，由于星敏感器模型的特點(diǎn)，一般不對(duì)k0、k1、k（2畸變模型中0階、1階系數(shù)）進(jìn)行隱藏處理。至此，獲得了“隱藏部分卷積層的星敏感器畸變模型”，可用于下一步監(jiān)督學(xué)習(xí)。

采用隨機(jī)的方法生成多個(gè)“隱藏部分卷積層的星敏感器畸變模型”，并對(duì)每個(gè)模型進(jìn)行訓(xùn)練，統(tǒng)計(jì)損失函數(shù)Li和模型系數(shù)ki。根據(jù)式（4）可令損失函數(shù)Li為

式中：n為標(biāo)定網(wǎng)格點(diǎn)總數(shù)；（um，vm）為第m個(gè)標(biāo)定網(wǎng)格點(diǎn)的坐標(biāo)為第i個(gè)模型中第m個(gè)標(biāo)定網(wǎng)格點(diǎn)的擬合坐標(biāo)；。

采用式（7）得到的損失函數(shù)Li對(duì)訓(xùn)練的模型系數(shù)ki進(jìn)行加權(quán)，獲得最終的模型系數(shù)K為

至此，使用Dropout 方法完成對(duì)星敏感器畸變模型的標(biāo)定。

4 試驗(yàn)數(shù)據(jù)及分析

4.1 真實(shí)圖像校正試驗(yàn)

采用“轉(zhuǎn)臺(tái)＋單星模擬器”的方法，進(jìn)行星敏感器畸變模型校正試驗(yàn)。星敏感器視場(chǎng)為10°×10°，焦距為60 mm，分辨率為2 048×2 048，轉(zhuǎn)臺(tái)精度3″。

根據(jù)星敏感器視場(chǎng)，在視場(chǎng)內(nèi)按7×7網(wǎng)格采集49個(gè)采樣點(diǎn)，其中采集25 組數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，24 組數(shù)據(jù)作為測(cè)試數(shù)據(jù)，具體如圖7所示。

圖7 星敏感器標(biāo)定點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)示意圖Fig.7 Point grid of star sensor calibration

畸變模型采用5階高階曲面模型，如下所示：

根據(jù)模型所示，需要對(duì)21×2（x、y每個(gè)點(diǎn)21 個(gè)系數(shù)）共42 個(gè)參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定，用于標(biāo)定的有效數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為25×2（25 個(gè)點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)2 個(gè)坐標(biāo)）共50 個(gè)。使用50個(gè)數(shù)據(jù)標(biāo)定42個(gè)系數(shù)，存在擬合結(jié)果較差的問(wèn)題。

采用最小二乘修正方法進(jìn)行曲面擬合，得到訓(xùn)練數(shù)據(jù)誤差、測(cè)試數(shù)據(jù)誤差如圖8 所示。訓(xùn)練結(jié)果最大誤差為207.91″、誤差均方差為50.78″；測(cè)試結(jié)果最大誤差為167.98″、誤差均方差為51.64″。

圖8 最小二乘擬合方法訓(xùn)練數(shù)據(jù)、測(cè)試數(shù)據(jù)誤差Fig.8 Training data and test data error using least squares fitting method

采用Matlab 曲面擬合工具箱進(jìn)行曲面擬合，得到訓(xùn)練數(shù)據(jù)誤差、測(cè)試數(shù)據(jù)誤差如圖9 所示。訓(xùn)練結(jié)果最大誤差為8.81″，誤差均方差為2.37″；測(cè)試結(jié)果最大誤差為8.13″，誤差均方差為2.03″。

圖9 高精度工具箱擬合方法訓(xùn)練數(shù)據(jù)、測(cè)試數(shù)據(jù)誤差Fig.9 Training data and test data error using MATLAb fitting toolbox

采用Dropout 方法進(jìn)行曲面擬合，得到訓(xùn)練數(shù)據(jù)誤差、測(cè)試數(shù)據(jù)誤差如圖10所示。訓(xùn)練結(jié)果最大誤差為0.63″、誤差均方差為0.17″；測(cè)試結(jié)果最大誤差為3.65″、誤差均方差為1.12″。

圖10 Dropout方法訓(xùn)練數(shù)據(jù)、測(cè)試數(shù)據(jù)誤差Fig.10 Training data and test data error using Dropout method

3種擬合方法的誤差對(duì)比、耗時(shí)對(duì)比如表1～2所示。

表1 3種擬合方法誤差對(duì)比Tab.1 Error comparison of three fitting methods

4.2 試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

從上述圖表結(jié)果中可以看出：

1）實(shí)際采集中，轉(zhuǎn)臺(tái)誤差等因素會(huì)造成個(gè)別點(diǎn)出現(xiàn)較大誤差，而最小二乘法擬合方法對(duì)噪聲敏感，用該方法進(jìn)行擬合效果較差。

2）采用擬合工具箱對(duì)星敏感器誤差進(jìn)行擬合，可有效降低噪聲對(duì)擬合結(jié)果的影響，提高擬合精度；

3）采用本文提出的基于Dropout方法的高精度擬合方法，相對(duì)于工具箱擬合方法，Dropout 方法最大誤差精度提高298.4%、平均誤差精度提高294.1%，測(cè)試數(shù)據(jù)最大誤差精度提高122.7%、平均誤差精度提高80.4%，但運(yùn)算耗時(shí)僅增加0.34 ms。

表2 三種擬合方法耗時(shí)對(duì)比Tab.2 Time-consuming comparison of three fitting methods

5 結(jié)束語(yǔ)

本文借鑒神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合的Dropout思想，提出一種基于Dropout方法的高精度畸變標(biāo)定方法，構(gòu)建隱藏部分卷積層的星敏感器畸變模型，完成星敏感器畸變模型標(biāo)定。試驗(yàn)結(jié)果表明，采用基于Dropout方法的星敏感器標(biāo)定方法可有效提高星敏感器訓(xùn)練精度，相比于高精度工具箱的擬合結(jié)果，本文所提出模型的精度提高了80%。