李慶波，方澤遠(yuǎn)，陳國良，梅志偉，楊 婷

（上海機(jī)電工程研究所，上海 201109）

0 引 言

在導(dǎo)彈精確尋的制導(dǎo)過程中，導(dǎo)引頭完成對目標(biāo)的自主搜索、識別和跟蹤，并給出制導(dǎo)控制所需的視線角速率等信息，確保導(dǎo)彈精確命中目標(biāo)。導(dǎo)引頭是精確制導(dǎo)武器的重要核心部件，并在很大程度上決定了制導(dǎo)武器的打擊精度與成本［1］。

根據(jù)結(jié)構(gòu)形式不同，導(dǎo)引頭可以分為框架式導(dǎo)引頭與捷聯(lián)式導(dǎo)引頭。傳統(tǒng)框架式導(dǎo)引頭具有較大總視場角，能夠快速捕獲并精確跟蹤目標(biāo)，輸出制導(dǎo)所需的視線角速率信息，但也存在價格高昂、結(jié)構(gòu)復(fù)雜、可靠性低等缺點(diǎn)［2］。

相比于框架式導(dǎo)引頭，全捷聯(lián)導(dǎo)引頭主要由固定視場光學(xué)系統(tǒng)、探測器及信號處理系統(tǒng)組成，與彈體捷聯(lián)安裝，具有體積小、質(zhì)量輕、復(fù)雜性低、可靠性高、瞬時視場大、視線角速率不受限制及成本低等諸多優(yōu)點(diǎn)。但捷聯(lián)成像導(dǎo)引頭的測量信號中耦合有彈體姿態(tài)運(yùn)動信息，因此，需要設(shè)計合適的解耦算法以實現(xiàn)彈體姿態(tài)運(yùn)動的解耦［3］，從而獲得視線角速率。

文獻(xiàn)［4-8］均通過建立視線角速率提取的狀態(tài)方程和量測方程，使用卡爾曼濾波的方法實現(xiàn)視線角速率的提取。但卡爾曼濾波方法中使用的狀態(tài)方程是對非線性彈目運(yùn)動模型的近似表達(dá)，而量測方程又極為復(fù)雜，涉及到的變量和運(yùn)算較多，因此工程應(yīng)用中面臨許多困難。

為了從被噪聲污染的信號中提取微分信號，韓京清［9］于1994年提出了跟蹤微分器的解決方案。而跟蹤微分器作為一種非線性估計方法，能夠較好地解決從不連續(xù)或帶隨機(jī)噪聲的測量信號中合理跟蹤提取連續(xù)信號及微分信號的問題［10-12］。文獻(xiàn)［13］利用跟蹤微分器研究了視線角加速度的濾波算法。王佩［14］設(shè)計了最速離散跟蹤微分器、滑模微分器與非線性微分器等3 種微分器估計視線角速率，但并未給出具體的跟蹤微分器參數(shù)整定方法。

本文擬從頻域的角度，對跟蹤微分器的特性進(jìn)行分析研究，并針對解耦問題展開具體設(shè)計和參數(shù)整定。

1 視線角速率提取的數(shù)學(xué)原理

1.1 坐標(biāo)系定義及視線角求解

捷聯(lián)導(dǎo)引頭實時獲得目標(biāo)在彈體系下的離軸角，彈上慣測系統(tǒng)可測量獲得彈體的實時飛行姿態(tài)，按照圖1 所示的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系，可求解獲得以導(dǎo)彈為原點(diǎn)的慣性系下的視線角。

圖1 坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換關(guān)系Fig.1 Coordinate system transformation relation

圖中：qv、qh分別為慣性系下的高低視線角和方位視線角；φv、φh為目標(biāo)在彈體系下的高低離軸角和方位離軸角；φ、θ、γ為彈體偏航角、俯仰角和滾轉(zhuǎn)角；L(x，y，z)表示坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換矩陣，內(nèi)部參數(shù)為從x開始依次轉(zhuǎn)換的角度。

設(shè)彈目相對距離為R，則在視線系下的目標(biāo)位置坐標(biāo)為[R0 0]′，根據(jù)坐標(biāo)關(guān)系轉(zhuǎn)換，滿足以下等式：

令

對式（1）展開后可得

由此可求解獲得慣性系下的視線角為

理論上對以上信號進(jìn)行微分，即可獲得視線角速度。但在工程實際中，直接微分獲得的視線角速度噪聲非常大，將其應(yīng)用于導(dǎo)彈制導(dǎo)回路當(dāng)中會造成較大的脫靶量。

1.2 跟蹤微分器提取視線角速率

跟蹤微分器利用了數(shù)值積分優(yōu)于數(shù)值微分的事實，將給定信號的微分轉(zhuǎn)化為對一組微分方程的積分問題，可實現(xiàn)任意信號的跟蹤及微分。跟蹤微分器的輸入輸出關(guān)系如圖2所示。

圖2 跟蹤微分器輸入輸出關(guān)系Fig.2 Tracking differentiator I/O relationship

圖中：ν為輸入信號；ν1為對輸入信號的跟蹤輸出信號；ν2為基于輸入信號提取獲得的微分信號。

2 典型微分器分析

按照跟蹤微分器的輸入輸出關(guān)系可知，將式（4）解算獲得的含有噪聲的視線角信號作為輸入信號，通過設(shè)計合適的跟蹤微分器，可獲得制導(dǎo)需用的視線角速度信號。

自跟蹤微分器誕生以來，已出現(xiàn)了多種形式，并獲得了廣泛應(yīng)用。本文選用以下兩類典型的跟蹤微分器，研究其在視線角速率提取中的設(shè)計與應(yīng)用問題。

2.1 最速跟蹤微分器

最速跟蹤微分器的形式如下：

式中：ν為輸入信號；x1為ν的跟蹤信號；x2為ν的微分信號；h為積分步長；r影響跟蹤速度；h0影響濾波效果。

fhan(x1，x2，r，h0)函數(shù)為

2.2 非線性跟蹤微分器

非線性跟蹤微分器的形式如下：

其中：

式中：R、α、β、δ為需設(shè)計的參數(shù)；R、α影響跟蹤速度；β影響濾波效果；δ影響線性區(qū)范圍，有利于消除原點(diǎn)附近的顫振。

3 基于頻域的跟蹤微分器參數(shù)設(shè)計與性能分析

從式（4）可知，慣性系視線角速度提取中，主要與陀螺敏感的姿態(tài)角速度信號和導(dǎo)引頭的測角信號密切相關(guān)。因此陀螺噪聲、陀螺帶寬及導(dǎo)引頭測量噪聲等都會影響視線角及視線角速度的輸出。

陀螺帶寬決定了其角速率敏感的頻譜范圍，對于高于陀螺帶寬的彈體高頻振動信號，由于不能被準(zhǔn)確敏感而導(dǎo)致無法實現(xiàn)理論上的解耦，因此對式（4）中存在的高于陀螺帶寬的信號，需將其盡可能地衰減。

陀螺測量信號的噪聲和導(dǎo)引頭測量噪聲可視為白噪聲，該類噪聲分布于全頻譜范圍內(nèi)，由于低頻部分與制導(dǎo)需要的有效信號接近甚至重合，難以被大幅衰減。因此若能對低頻部分快速跟蹤，對高頻部分有效衰減，則既能保證視線角速度提取算法具有較小的時間常數(shù)，又具備較高的提取精度。

基于以上考慮，本文擬利用頻域特性計算與分析，開展跟蹤微分器的參數(shù)設(shè)計，以獲得較好的視線角速率提取效果。

3.1 基于等效合力的跟蹤微分器頻域特性計算方法

在經(jīng)典控制領(lǐng)域，線性環(huán)節(jié)的頻域特性可通過公式推導(dǎo)直接計算獲得，而非線性環(huán)節(jié)的頻域特性則不易獲得，這為跟蹤微分器的設(shè)計帶來一定的困難。

在旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈控制中，常用到等效合力的方式來設(shè)計和確定導(dǎo)彈的控制力方向及控制力大?。?5］。本文借鑒等效合力的計算方法來實現(xiàn)對跟蹤微分器頻率特性的快速近似計算，便于開展具體的參數(shù)設(shè)計。利用等效合力獲取濾波器頻率特性的數(shù)學(xué)原理如下。

為計算跟蹤微分器對頻率為f的信號的濾波效果，給定如下的標(biāo)準(zhǔn)輸入信號：

設(shè)濾波器的輸出信號為vout，則在每一個周期T內(nèi)，執(zhí)行以下運(yùn)算：

則濾波器在頻率f條件下的幅值增益為

濾波器在頻率f條件下的相位變化為

按照以上算法，即可求得不同頻率條件下濾波器的幅值增益和相位變化，從而可獲得濾波器的頻域特性，這為濾波器的參數(shù)設(shè)計和性能評估提供了有利的設(shè)計支撐。

3.2 跟蹤微分器參數(shù)整定及特性對比

本節(jié)主要利用頻譜特性計算，結(jié)合時域信號響應(yīng)特性，設(shè)計合適的解耦濾波器參數(shù)。濾波器的設(shè)計應(yīng)保證對低頻信號的準(zhǔn)確跟蹤和對高頻信號的大幅衰減，同時也要保證較快的跟蹤速度?；谝陨系脑O(shè)計原則，開展最速跟蹤微分器和非線性跟蹤微分器的參數(shù)設(shè)計。

3.2.1 最速跟蹤微分器的頻率特性

最速微分跟蹤器是在最大加速度r限制條件下，保證輸出信號對輸入信號的最速跟蹤。但在設(shè)計值r一定的條件下，通過掃頻獲得的最速跟蹤微分器的頻域特性會受到輸入信號幅值的影響。

當(dāng)r取固定值8時，不同掃頻幅值信號獲得的頻域特性對比如圖3～4所示。

圖3 最速跟蹤器頻域特性曲線Fig.3 Frequency domain characteristic curve of fastest tracker

圖4 最速微分器頻域特性曲線Fig.4 Frequency domain characteristic curve of fastest differentiator

圖中的A表示輸入掃頻信號的幅值。從圖中可以看出，最速跟蹤微分器的頻域特性隨掃頻輸入信號的變化而發(fā)生變化，其原因是最速跟蹤微分器只能以最大加速度r對信號進(jìn)行跟蹤。當(dāng)輸入信號的幅值變大時，跟蹤的時間就會變長，表現(xiàn)在頻域上則為帶寬變窄，相位滯后增加。

在視線角速率提取的問題中，輸入信號的幅值是隨彈目相對運(yùn)動關(guān)系的變化而動態(tài)變化的，因此最速跟蹤微分器提取視線角速率并不合適。

3.2.2 非線性跟蹤微分器的頻率特性

非線性跟蹤微分器的可調(diào)參數(shù)較多，通過對其頻域特性的判斷，同時結(jié)合導(dǎo)引頭視線角速率提取的具體要求，整定的一組參數(shù)為：R＝100，α＝0.8，β＝5，δ＝0.001。

其頻域特性曲線如圖5～6所示。

圖5 非線性跟蹤器頻域特性曲線Fig.5 Frequency domain characteristic curve of nonlinear tracker

由圖5 中的曲線可知，跟蹤部分在低頻段非線性跟蹤微分器能夠較好地復(fù)現(xiàn)輸入信號，在高頻段能夠達(dá)到對輸入信號的快速衰減。由圖6 中的曲線可知，微分部分在低頻段對信號實現(xiàn)微分功能，在高頻段同樣實現(xiàn)快速衰減。因此該組參數(shù)能夠達(dá)到較好的跟蹤和微分效果。

圖6 非線性微分器頻域特性曲線Fig.6 Frequency domain characteristic curve of nonlinear differentiator

4 濾波效果對比

4.1 仿真建模

本節(jié)通過建模仿真，對比不同濾波器條件下視線角速度的提取精度。視線角速度解耦仿真模型中涉及的內(nèi)容包含：導(dǎo)引頭理論測角、理論彈體姿態(tài)運(yùn)動、導(dǎo)引頭探測模型、陀螺模型、陀螺噪聲及導(dǎo)引頭測角誤差等。具體仿真條件如下。

4.1.1 理論建模

彈體理論姿態(tài)角速度為

式中：彈體姿態(tài)角速度ωx、ωy、ωz單位為（°）/s，包含了低、中、高頻信號，同時加入了白噪聲振動信號Δωx、Δωy、Δωz，白噪聲的方差為0.1（°）/s。彈體姿態(tài)角理論值由彈體姿態(tài)角速度解算獲得。

理論視線角速度為

式中：Aq為設(shè)計輸入值。

基于理論視線角速度，可計算獲得慣性系下的理論視線角。

導(dǎo)引頭理論測角為

4.1.2 傳感器與誤差模型

導(dǎo)引頭的角度測量處理時間通常為毫秒級，因此本文僅考慮陀螺的測量模型，其傳感器模型為

式中：ωtl＝150×2π；ξtl＝0.6；ktl＝1。陀螺噪聲信號取為0.1（°）/s（1σ），導(dǎo)引頭測角精度為0.1°（1σ）。

4.2 仿真對比

基于第3 章中設(shè)計的跟蹤微分器，開展視線角速率解耦仿真驗證，仿真結(jié)果如圖7所示。

圖7 幅值為1時的解耦曲線對比Fig.7 Comparison of decoupling curves with amplitude of 1

從圖7～8 中可以看到，最速跟蹤微分器的解耦效果及快速性受輸入信號的影響，因此不適用于視線角速度的解耦。非線性跟蹤微分器的解耦能力及快速性與輸入信號無關(guān)，其上升時間（到達(dá)90%的時間）約為0.15 s，且能在以上誤差條件下實現(xiàn)0.4（°）/s（3σ）的解耦精度。基于頻域特性設(shè)計的非線性跟蹤微分器解耦效果較好且時間常數(shù)小，能夠較好地解決捷聯(lián)導(dǎo)引頭的解耦問題。

圖8 幅值為5時的解耦曲線對比Fig.8 Comparison of decoupling curves with amplitude of 5

5 結(jié)束語

本文利用兩種典型的跟蹤微分器開展捷聯(lián)導(dǎo)引頭視線角速率提取研究，在跟蹤微分器的具體設(shè)計過程中，提出了基于頻域特性開展參數(shù)設(shè)計的思路，并利用旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈控制當(dāng)中的等效合力方法解決了非線性環(huán)節(jié)頻域特性提取的問題。基于以上設(shè)計思路開展了具體設(shè)計及仿真分析對比，仿真結(jié)果表明，非線性跟蹤微分器具有良好的解耦效果，而最速跟蹤微分器的解耦能力由于受到輸入信號本身幅值的影響，不宜用于視線角速率的解耦問題當(dāng)中。