朱 奇

ZHU Qi

(湖南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學院 機械工程學院,長沙 410208)

0 引言

臂架是挖掘機、起重機、混凝土泵車等諸多工程機械裝備中常用的一種重要結(jié)構(gòu)形式[1]。臂架系統(tǒng)的臂架長度、臂架結(jié)構(gòu)重量、臂架靜、動態(tài)總彎矩等主要參數(shù)決定著產(chǎn)品的整機重量、整機穩(wěn)定性及其他主要部件的設計，在超長臂架混凝土泵車、長臂架舉高消防車、長臂架高空作業(yè)平臺等高端裝備的設計開發(fā)中，臂架系統(tǒng)的主要參數(shù)尤為重要。目前此類工程機械產(chǎn)品常規(guī)的設計思路是從臂架系統(tǒng)的詳細設計開始，然后根據(jù)臂架系統(tǒng)的主要參數(shù)確定整機參數(shù)與整機方案，最后進行其他部件的設計。這種方法在產(chǎn)品設計初期，由于臂架系統(tǒng)主要參數(shù)的未知，會導致總體方案與其他部件方案設計時存在較大的不確定性，后期反復修改的可能性較大；而且在臂架系統(tǒng)設計時不能同時進行其他部件以及液壓與電控方案的設計，使得產(chǎn)品設計開發(fā)周期較長，設計人員工作量較大。其實這些產(chǎn)品在很多企業(yè)都是系列化產(chǎn)品，如果在已有系列化臂架系統(tǒng)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，提前預測新臂架系統(tǒng)的參數(shù)，為整機方案及其他部件方案的設計提供依據(jù)和參考，將會大大縮短產(chǎn)品的設計開發(fā)周期。

回歸分析是指一種利用所觀測的數(shù)據(jù)來擬合系統(tǒng)反映系統(tǒng)固有規(guī)律的數(shù)學模型的方法。它尋求存在于兩個（或多個）變量之間的關(guān)系，解決或者預測生產(chǎn)、生活等存在的問題和規(guī)律?；貧w分析方法廣泛應用于各個領(lǐng)域，在工業(yè)設計中在產(chǎn)品的概念設計階段，特別是在已經(jīng)系列化產(chǎn)品設計中，設計人員如果能根據(jù)已有產(chǎn)品的各種性能參數(shù)擬合系統(tǒng)的數(shù)學模型，找出系統(tǒng)滿足的固有規(guī)律，然后預測待設計產(chǎn)品的各種性能參數(shù)，對于設計工作有重要的指導意義。多項式回歸分析是研究一個因變量與一個或多個自變量間多項式關(guān)系的一種回歸分析方法（polynomial regression）[2]。本文根據(jù)臂架系統(tǒng)的特點使用多項式回歸分析方法建立機械臂架系統(tǒng)主要參數(shù)的數(shù)學模型，預測臂架系統(tǒng)中臂架長度、臂架重量、臂架靜態(tài)彎矩等參數(shù)的內(nèi)在規(guī)律，并與常規(guī)精確設計方法得到的臂架系統(tǒng)參數(shù)進行對比，驗證模型的可靠性，為工程設計人員進行臂架系統(tǒng)設計、產(chǎn)品總體方案設計、整機性能評估及其他主要部件設計提供參考和依據(jù)。

1 多項式回歸模型的構(gòu)建

根據(jù)Taylor公式任何函數(shù)f(x)多可展開為一個關(guān)于x的多項式，為了簡化計算過程在實際應用中多利用多項式來擬合實驗數(shù)據(jù)[2，3]。從數(shù)據(jù)集中取N個數(shù)據(jù)樣本（xi，yi）（i=1，2，…，N）中擬合k階多項式的回歸觀測值可表示為：

則樣本點i殘差可表示為：

假設resi～N（0，бi）即樣本點i 殘差滿足均值為ц=0 方差б=бi正態(tài)分布且相互獨立，則（res1，res2，...，resn）的聯(lián)合概率密度為：

要使函數(shù)L取最大值，即要求式(2)最小化，由于

當取бi=1進行等權(quán)重擬合，最后估計參數(shù)b的矩陣形式可表示為：

其中

殘差平方和可表示為

擬合的標準偏差為：

其中df=n-（k+1）

可根據(jù)式(8)中的sd判斷所得多項的優(yōu)劣。

臂架系統(tǒng)中有臂架長度、臂架重量、臂架靜、動態(tài)彎矩等主要參數(shù)。在工程實際應用中，一般最關(guān)心臂架長度與臂架重量、臂架長度與臂架靜態(tài)彎矩的關(guān)系，如果要對這些參數(shù)進行回歸分析，必須建立起多變量測量的數(shù)學模型。若已知臂架長度與臂架重量，臂架長度與臂架靜態(tài)總彎矩的若干組數(shù)據(jù)xi，yi（i=0，1，2，...，n）的值，則可以求出多項式的系數(shù)ai（i=0，1，2，...，n），從而可以分別得到近似的表示臂架長度與臂架重量，臂架長度與臂架靜態(tài)總彎矩的多項式表達式：y=f（x）=a0+a1x+a2x2+...+anxn，模型中可以通過增加x的高次項對實測點進行逼近，直至滿意為止。

2 臂架系統(tǒng)多項式回歸分析

本文將根據(jù)某A、B兩公司提供的各種型號臂架數(shù)據(jù)，分別擬合兩公司的臂架長度與臂架結(jié)構(gòu)重量、臂架長度與靜態(tài)總彎矩的數(shù)學模型，并利用所得模型預測新型號混凝土泵車臂架結(jié)構(gòu)重量及靜態(tài)總彎矩，并使用擬合的標準偏差和判定系數(shù)評判數(shù)學模型的最優(yōu)化。

2.1 混凝土泵車臂架系統(tǒng)組成

混凝土泵車臂架系統(tǒng)主要由臂節(jié)、油缸、連桿、輸送管組成。臂節(jié)是臂架系統(tǒng)的主要部分，一般用高強鋼板焊接而成箱梁式結(jié)構(gòu)，臂架系統(tǒng)從底部向上各節(jié)臂分別命名為1節(jié)臂至第N節(jié)臂，第1節(jié)臂支撐在轉(zhuǎn)臺上。臂架工作工況是由各節(jié)臂在空間中所處位置確定的，如圖1所示，其俯仰運動由一套舉臂油缸來完成，泵車臂架在工作中所受的載荷主要是外部載荷和自身質(zhì)量[4]。

圖1 混凝土泵車臂架系統(tǒng)組成

2.2 混凝土泵車臂架系統(tǒng)主要參數(shù)

表1、表2分別為A、B公司不同型號混凝土泵車臂架長度、臂架結(jié)構(gòu)重量、臂架靜態(tài)彎矩（結(jié)構(gòu)件重量+混凝土重量）的數(shù)據(jù)表。

表1 A公司各型號泵車臂架系統(tǒng)參數(shù)

表2 B公司各型號泵車臂架系統(tǒng)參數(shù)

圖2、圖3分別為兩公司混凝土泵車臂架系統(tǒng)三個主要參數(shù)的變化分布圖，從圖中可以看出，臂架系統(tǒng)的三個主要參數(shù)之間并不滿足典型的線性關(guān)系，如果要依據(jù)現(xiàn)有臂架系統(tǒng)主要參數(shù)為參考開發(fā)新產(chǎn)品，需要對各參數(shù)進行數(shù)學建模和擬合分析。

圖2 A公司各型號泵車臂架系統(tǒng)參數(shù)變化

圖3 B公司各型號泵車臂架系統(tǒng)參數(shù)變化

2.3 混凝土泵車臂架系統(tǒng)回歸分析

在origin中分別對兩公司的臂架長度與臂架重量、臂架靜態(tài)總彎矩進行多項式擬合分析和建模。表3為臂架公司臂架長度與臂架重量、靜態(tài)總彎矩三階多項式擬合表，表中擬合出了前三階函數(shù)。從表中可看出，2階臂架重量函數(shù)標準偏差為280.8546，為三階臂重函數(shù)中最小，而擬合判定系數(shù)為0.99605，為階臂重函數(shù)中最高，說明2階臂架重量函數(shù)為臂架長度與臂架重量最佳擬合模型。同樣，2階臂架靜態(tài)總彎矩函數(shù)標準偏差為280.8546，為三階靜態(tài)彎矩函數(shù)中最小，而擬合判定系數(shù)為0.99605，為三階靜態(tài)彎矩函數(shù)中最高，說明2階臂架靜態(tài)總彎矩函數(shù)為臂架長度與臂架靜態(tài)總彎矩最佳擬合模型。圖4為A公司臂長—臂重關(guān)系曲線與二階擬合曲線；圖5為A公司臂長—臂架靜態(tài)總彎矩關(guān)系與二階擬合曲線。

圖4 臂長—臂重關(guān)系曲線與二階擬合曲線

圖5 臂長—臂架靜態(tài)總彎矩關(guān)系與二階擬合曲線

表3 A公司臂架長度與臂架重量、靜態(tài)總彎矩多項式擬合表

表4為B公司臂架長度與臂架重量、靜態(tài)總彎矩三階多項式擬合表，表中擬合出了前三階函數(shù)。從表中可看出，3階臂架重量函數(shù)標準偏差為116.15187，為三階臂重函數(shù)中最小，而擬合判定系數(shù)為0.9989，為階臂重函數(shù)中最高，說明3階臂架重量函數(shù)為臂架長度與臂架重量最佳擬合模型。同樣，3階臂架靜態(tài)總彎矩函數(shù)標準偏差為4168.9138，為三階靜態(tài)彎矩函數(shù)中最小，而擬合判定系數(shù)為0.99701，為三階靜態(tài)彎矩函數(shù)中最高，說明3階臂架靜態(tài)總彎矩函數(shù)為臂架長度與臂架靜態(tài)總彎矩最佳擬合模型。圖6為B公司臂長—臂重關(guān)系曲線與三階擬合曲線；圖7為B公司臂長—臂架靜態(tài)總彎矩關(guān)系與三階擬合曲線。

表4 B公司臂架長度與臂架重量、靜態(tài)總彎矩多項式擬合表

圖6 臂長—臂重關(guān)系曲線與三階擬合曲線

圖7 臂長—臂架靜態(tài)總彎矩關(guān)系與三階擬合曲線

從以上擬合方程和擬合曲線可看出，由于A、B兩公司設計理念、臂架結(jié)構(gòu)形式、臂架風格不同，導致兩公司臂架系統(tǒng)擬合方程不同，最佳擬合方程的階數(shù)也不同，但臂架系統(tǒng)擬合曲線趨勢相同非常接近，標準差、判定系數(shù)差別也非常小。

3 實例驗證分析

根據(jù)市場需求，以開發(fā)一款臂架長度45100mm的混凝土泵車新產(chǎn)品為例，使用上述建立的數(shù)學模型根據(jù)給定的臂架長度分別計算預測A、B兩公司臂架重量、臂架長度與臂架靜態(tài)總彎矩等主要參數(shù)，然后與使用精確設計方法得到的臂架系統(tǒng)參數(shù)進行對比分析。

3.1 回歸分析臂架系統(tǒng)參數(shù)

根據(jù)A公司二階臂架系統(tǒng)的臂架重量、臂架靜態(tài)總彎矩數(shù)學模型，使用回歸分析可計算出，當臂架長度為45100mm時，臂架重量為12287kg，臂架靜態(tài)總彎矩為204695kgm。

根據(jù)B公司三階臂架系統(tǒng)的臂架重量、臂架靜態(tài)總彎矩數(shù)學模型，使用回歸分析可計算出，當臂架長度為45100mm時，臂架重量為11020kg，臂架靜態(tài)總彎矩為240667kgm。

從回歸分析的計算數(shù)據(jù)可看出，在臂架長度相同的情況下，B公司臂架結(jié)構(gòu)重量比A公司重量稍輕，但臂架靜態(tài)總彎矩卻比A公司大很多，說明B公司臂架重量主要集中在后面臂節(jié)上。從兩公司產(chǎn)品的實際使用情況來看，A公司臂架系統(tǒng)的設計理念、臂架結(jié)構(gòu)形式更加適應市場需求。

3.2 臂架系統(tǒng)精確設計參數(shù)

臂架系統(tǒng)的精確設計思路是首先在軟件中建立臂架的三維模型，使用動力學分析軟件建立各相鄰臂節(jié)之間鉸點系統(tǒng)的仿真模型，分析臂架在不同工況下臂節(jié)加速度和受力的變化規(guī)律，找出臂架計算需要的邊界條件和決策依據(jù)；然后使用計算軟件從末節(jié)臂架開始進行有限元分析和結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計，直到計算完所有臂節(jié)，確定臂架結(jié)構(gòu)；最后從模型中提取相關(guān)數(shù)據(jù)進行臂架系統(tǒng)主要參數(shù)的計算[6～8]。目前，隨著對混凝土泵車臂架系統(tǒng)設計計算及優(yōu)化水平的提高，臂架系統(tǒng)朝輕量化方向發(fā)展。本文使用A公司臂架結(jié)構(gòu)形式進行臂架長度為45100mm的完整臂架系統(tǒng)設計，圖8～圖10所示為臂架系統(tǒng)中1節(jié)臂的計算結(jié)果，圖11是完整的臂架系統(tǒng)三維模型，表5是臂架系統(tǒng)參數(shù)表。

圖8 1節(jié)臂臂架應力變化云圖

圖9 1節(jié)臂臂架變形云圖

圖10 1節(jié)臂臂架屈曲模態(tài)圖

表5 臂架系統(tǒng)精確設計參數(shù)表

圖11 混凝土泵車臂架系統(tǒng)三維模型

表5 可看出，按照精確設計流程，臂架長度為45100mm時，臂架總重量為12634kg（每節(jié)臂架重量已包含其他相關(guān)部件重量），臂架靜態(tài)總彎矩為208520kg·m。數(shù)據(jù)與A公司回歸分析得出的參數(shù)非常接近，因此利用回歸分析得到的數(shù)學模型是可信的。

4 結(jié)語

本文利用臂架系統(tǒng)已有的各種數(shù)據(jù)對臂架長度與臂架重量，臂架長度與臂架靜態(tài)總彎矩進行多項式回歸分析及研究，結(jié)果表明：

1）采用多項式回歸數(shù)學模型擬合混凝土泵車臂架系統(tǒng)中的臂架長度與臂架結(jié)構(gòu)重量，臂架長度與靜態(tài)總彎矩是可行的、有效的。從標準偏差分析可以看出，利用二項式回歸分析建立的數(shù)學模型是最優(yōu)的，也就是說臂架長度與臂架結(jié)構(gòu)重量、臂架長度與靜態(tài)總彎矩滿足二次關(guān)系。

2）采用多項式回歸數(shù)學模型，預測臂架系統(tǒng)主要參數(shù)的變化趨勢，可以為混凝土泵車新產(chǎn)品的開發(fā)提供重要依據(jù)，也可以為具有類似臂架結(jié)構(gòu)的高端裝備的開發(fā)研究提供科學準確參考。