陳飛翔，李成剛，儲(chǔ)亞東，王劍，岳云雙

(南京航空航天大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，江蘇 南京 210016)

0 引言

機(jī)器人動(dòng)態(tài)控制需確定動(dòng)力學(xué)參數(shù)，再通過設(shè)計(jì)激勵(lì)軌跡，將采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)代入動(dòng)力學(xué)模型，并結(jié)合相關(guān)辨識(shí)方法以求解參數(shù)值并驗(yàn)證。柳賀等將機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型線性化處理后，使用多項(xiàng)式作為激勵(lì)軌跡，并用最小二乘法辨識(shí)參數(shù)[1]。ATKESON C G等依據(jù)辨識(shí)矩陣上三角結(jié)構(gòu)，將參數(shù)分成兩組進(jìn)行辨識(shí)[2]。丁亞東等鑒于機(jī)器人肘、腕關(guān)節(jié)差異性，將六自由度機(jī)器人前后三關(guān)節(jié)參數(shù)分開辨識(shí)[3]。分步辨識(shí)利于簡化模型，但上述研究從機(jī)器人具體結(jié)構(gòu)或辨識(shí)矩陣特殊形式說明參數(shù)集可分成獨(dú)立的參數(shù)組，進(jìn)而進(jìn)行分步辨識(shí)，故其不具普適性。

張鐵等提出先完成摩擦參數(shù)辨識(shí)，使動(dòng)力學(xué)模型可線性化，再辨識(shí)慣性參數(shù)[4]。GROTJAHN M等根據(jù)不同激勵(lì)條件，選擇對應(yīng)關(guān)節(jié)組合運(yùn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)分步辨識(shí)[5]。對于無法獨(dú)立分離的參數(shù)，只可將已辨識(shí)參數(shù)代入后續(xù)辨識(shí)方程組中，則此時(shí)會(huì)產(chǎn)生誤差累積。但各研究均未給出減少誤差的具體方法。

本文針對柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人，首先建立了包含重力補(bǔ)償?shù)膭?dòng)力學(xué)模型，同時(shí)將模型線性化處理。隨后，依據(jù)各參數(shù)的獨(dú)立性進(jìn)行初分組，并確定對應(yīng)激勵(lì)軌跡形式，將辨識(shí)矩陣轉(zhuǎn)換為觀測矩陣，分析其秩與條件數(shù)，進(jìn)行再分組。最后，結(jié)合變量間的關(guān)聯(lián)關(guān)系確定辨識(shí)順序，采用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)分步辨識(shí)。以二自由度機(jī)器人為例，通過本文所提出策略，得出具體的參數(shù)分組與辨識(shí)順序，并驗(yàn)證了策略可實(shí)現(xiàn)模型所有參數(shù)的辨識(shí)。

1 機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型

將柔性關(guān)節(jié)簡化為圖1所示模型，即用剛度為ki的彈簧表示諧波減速器中柔輪的柔性，θmi為電機(jī)i轉(zhuǎn)子輸出轉(zhuǎn)角，θri為減速后轉(zhuǎn)角，θli為最終連桿i輸出轉(zhuǎn)角。

圖1 柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人關(guān)節(jié)簡化模型圖

由于諧波減速器采用行星齒輪傳動(dòng)，故輸入與輸出軸軸線可視作重合，又因質(zhì)量主要集中在連桿，速度集中在轉(zhuǎn)子，故僅考慮轉(zhuǎn)子與連桿動(dòng)能。由此，可用標(biāo)準(zhǔn)D-H法建立連桿與轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系。

以二自由度機(jī)器人為例，建立如圖2所示的坐標(biāo)系。設(shè)O′i-x′iy′iz′i為轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系，Oi-xiyizi為連桿坐標(biāo)系，li、d′i分別為桿長與電機(jī)安裝位置幾何參數(shù)。

圖2 二自由度柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人坐標(biāo)系分析圖

由D-H參數(shù)可得各系變換矩陣，后利用拉格朗日方程建立機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型。因轉(zhuǎn)子上任一點(diǎn)的速度由自身相對轉(zhuǎn)速與對應(yīng)桿牽連速度組成，使得轉(zhuǎn)子動(dòng)能中存在轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角與連桿轉(zhuǎn)角耦合項(xiàng)。當(dāng)減速器減速比較大時(shí)，可忽略連桿轉(zhuǎn)速。另設(shè)轉(zhuǎn)子質(zhì)心位于旋轉(zhuǎn)軸上，由此可消去耦合項(xiàng)，同時(shí)簡化重力勢能項(xiàng)，利于后續(xù)參數(shù)辨識(shí)。最終柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型如下所示：

(2)

τ=K(N-1θm-θl)

(3)

本文針對裝有轉(zhuǎn)矩傳感器的機(jī)器人進(jìn)行重力補(bǔ)償。目前機(jī)器人模型中，重力補(bǔ)償多是針對六維力傳感器，抑或是研究并聯(lián)機(jī)器人，此處給出柔性關(guān)節(jié)串聯(lián)機(jī)器人的重力補(bǔ)償模型。圖3為機(jī)器人在靜止?fàn)顟B(tài)下關(guān)節(jié)所受重力矩作用示意圖。

圖3 機(jī)器人靜態(tài)下的關(guān)節(jié)受力分析圖

因關(guān)節(jié)2跟隨連桿1運(yùn)動(dòng)，連桿1與轉(zhuǎn)子1重力未對關(guān)節(jié)2產(chǎn)生相對運(yùn)動(dòng)趨勢，所以關(guān)節(jié)2轉(zhuǎn)矩傳感器僅受到連桿2的重力作用。可求得如下關(guān)系式：

(4)

(5)

取Mg1、Mg2的Z維度數(shù)值，即得作用在關(guān)節(jié)1、關(guān)節(jié)2軸上的總重力矩Mg1Z、Mg2Z。機(jī)器人運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下，轉(zhuǎn)矩傳感器示數(shù)包括零點(diǎn)值、重力矩、外力矩與連桿慣性力，有

τ=MgZ+M0+τext+Fa

(6)

式中：MgZ為重力矩向量；M0為傳感器零點(diǎn)向量；Fa為連桿慣性力。聯(lián)立式(1)、式(6)，可得式(7)，即為基于轉(zhuǎn)矩傳感器的機(jī)器人重力補(bǔ)償動(dòng)力學(xué)模型。

(7)

其中g(shù)′v為gv與MgZ之差，兩者具有相同參數(shù)，故可合并。

2 參數(shù)辨識(shí)策略

分析機(jī)器人動(dòng)、勢能公式，可知?jiǎng)恿W(xué)方程可化作關(guān)于慣性參數(shù)的線性方程，且當(dāng)摩擦、阻尼等均采用線性模型時(shí)，機(jī)器人整體動(dòng)力學(xué)模型可線性化。此處考慮關(guān)節(jié)柔性與重力矩，其對應(yīng)模型在形式上同樣易化為線性方程組。

采用最小二乘法求解線性方程組的解，則此時(shí)需保證系數(shù)矩陣非奇異，故去除模型中的線性相關(guān)項(xiàng)，使所對應(yīng)參數(shù)化作最小參數(shù)集，對應(yīng)系數(shù)矩陣行、列滿秩。可得如下方程組：

Y[pg,pI,plf]T=τext+τ

(8)

Ym[pm,pmf]T=τm-N-1τ

(9)

(10)

MgZ+M0=[Yg,E][pg,M0]T

(11)

式中：pg為重力矩相關(guān)參數(shù)；pI為慣量相關(guān)參數(shù)；plf、pmf為連桿、轉(zhuǎn)子摩擦參數(shù)；pm為電機(jī)相關(guān)參數(shù)；pk為彈簧剛度參數(shù)；Y、Ym、Yk、Yg為各方程組系數(shù)矩陣；E為單位矩陣；n1、n2為對應(yīng)關(guān)節(jié)減速比。

設(shè)計(jì)激勵(lì)軌跡θl=θl(t)或θm=θm(t)，t為軌跡運(yùn)行時(shí)間。依據(jù)設(shè)備確定采樣頻率fs，以式(8)為例，可將方程寫作如下形式：

[τext0+τ0,τext1+τ1,…,τextNA+τNA]T=

YN[pg,pI,plf]T

(12)

其中：T為單次運(yùn)動(dòng)時(shí)間；YN為辨識(shí)矩陣Y的觀測矩陣；NA=Tfs為時(shí)間T內(nèi)除0時(shí)刻外的總采樣點(diǎn)數(shù)。當(dāng)確定激勵(lì)軌跡后，控制機(jī)器人運(yùn)動(dòng)，代入實(shí)驗(yàn)所測反饋值，得YNr，則可由最小二乘法得出所求參數(shù)值。

由此可知，YN中線性無關(guān)行向量必須大于等于所求變量數(shù)。故在進(jìn)行辨識(shí)實(shí)驗(yàn)前，需驗(yàn)證YN的秩。本文采用不同變量表示不同時(shí)刻采樣值，變量間彼此獨(dú)立，則此時(shí)系數(shù)矩陣無需按采樣頻率進(jìn)行擴(kuò)充，僅需滿足行數(shù)大于等于對應(yīng)變量數(shù)。如pm為六維向量，而Ym行數(shù)為2，則僅需取3組無關(guān)變量作為3個(gè)時(shí)刻的采樣值，求解該偽觀測矩陣的秩即可。

當(dāng)機(jī)器人靜止，且無外力矩作用時(shí)，若(Yg,E)滿足秩要求，則式(11)可進(jìn)行辨識(shí)。但計(jì)算知(Yg,E)不可能滿秩，故無法單獨(dú)進(jìn)行重力與零點(diǎn)的參數(shù)辨識(shí)。同理，式(8)在無摩擦力的情況下才可辨識(shí)。

經(jīng)對各式系數(shù)矩陣秩的分析，可確定各參數(shù)的基本辨識(shí)順序，即必須先單獨(dú)進(jìn)行摩擦參數(shù)pf辨識(shí)，后代入連桿模型，以辨識(shí)pg與pI，進(jìn)而求取M0。因系數(shù)矩陣滿秩，故pm、pmf可直接辨識(shí)，而式(10)同時(shí)包含連桿與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角，可直接沿用前連桿或轉(zhuǎn)子所得激勵(lì)軌跡進(jìn)行辨識(shí)。

3 優(yōu)化參數(shù)辨識(shí)策略

cond2(A1A2)≤cond2(A1)cond2(A2)

(13)

其中：cond2(A1A2)一般接近其最大值；A1、A2為任意矩陣。當(dāng)式(10)與式(9)聯(lián)立時(shí)，有：

[Ym,N-1Yk][pm,pmf,pk]T=

[Ym,E2×2]diag(E6×6,N-1Yk)[pm,pmf,pk]T=

(14)

[τm0,τm1,…,τmNA]T

(15)

(16)

綜上所述，對于機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型參數(shù)辨識(shí)，需要從系數(shù)矩陣的秩與條件數(shù)兩個(gè)方面出發(fā)，確定各參數(shù)組合情況。所提參數(shù)分步辨識(shí)策略流程如圖4所示。

圖4 機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型參數(shù)分步辨識(shí)策略

當(dāng)考慮阻尼、干擾力矩，或是分析剛性機(jī)器人等，上述策略仍適用。對于二自由度柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人，具體辨識(shí)過程如圖5所示。

圖5 柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人參數(shù)分步辨識(shí)流程圖

由于使用最小二乘法后，對應(yīng)系數(shù)矩陣條件數(shù)為觀測矩陣條件數(shù)的平方，故為保證精度，觀測矩陣條件數(shù)一般<10。

4 策略驗(yàn)證

針對二自由度柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人，采用多項(xiàng)式形式的激勵(lì)軌跡，以驗(yàn)證所提策略的可行性。為防止偶然性，將多項(xiàng)式軌跡修正為周期函數(shù)，有

θ(t)=a0+a1mod(t,T)+a2[mod(t,T)]2+…+

aNF[mod(t,T)]NF

(17)

式中：θ為任意關(guān)節(jié)連桿或電機(jī)轉(zhuǎn)角；ai為激勵(lì)軌跡系數(shù)；NF為多項(xiàng)式次數(shù)；t為時(shí)間參數(shù)；T為運(yùn)動(dòng)周期；mod(t,T)為t對T作取余運(yùn)算。為保護(hù)設(shè)備，應(yīng)使電機(jī)柔性啟動(dòng)，且在安全范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)，有邊界條件如下：

(18)

依據(jù)條件方程數(shù)目，可知NF≥8。此處采用八次多項(xiàng)式作為激勵(lì)軌跡，代入各方程的觀測矩陣中。同時(shí)，為簡化運(yùn)算，統(tǒng)一指定初始角度為30°，周期為5 s，采樣頻率為50 Hz，機(jī)器人參數(shù)如表1所示。

表1 機(jī)器人模型參數(shù)表

采用遺傳算法求解各方程條件數(shù)最小值，其相關(guān)參數(shù)如表2所示。

表2 遺傳算法主要參數(shù)表

由于觀測矩陣滿秩是條件數(shù)衡量方程解誤差的前提，故僅對滿足秩要求的方程進(jìn)行最小條件數(shù)計(jì)算，結(jié)果如表3所示。

表3 機(jī)器人模型最小條件數(shù)統(tǒng)計(jì)表

由計(jì)算結(jié)果，可得各模型優(yōu)化后的激勵(lì)軌跡曲線，如圖6、圖7所示。

圖6 單桿運(yùn)動(dòng)各桿激勵(lì)軌跡圖

圖7 雙桿運(yùn)動(dòng)各桿激勵(lì)軌跡圖

由仿真計(jì)算結(jié)果，可得如下結(jié)論：

1)各模型最小條件數(shù)均較小，滿足要求；

2)依條件數(shù)大小，先單獨(dú)運(yùn)動(dòng)各桿以辨識(shí)摩擦參數(shù)，后運(yùn)動(dòng)桿2辨識(shí)部分慣性參數(shù)，最后同時(shí)運(yùn)動(dòng)兩桿，辨識(shí)剩余參數(shù)；

3)軌跡范圍大小與條件數(shù)不一定成正比；

4)采樣頻率與運(yùn)動(dòng)周期應(yīng)取較大值，否則條件數(shù)將較大。

5 結(jié)語

本文提出基于關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)矩傳感器重力補(bǔ)償?shù)娜嵝躁P(guān)節(jié)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型。在模型可線性化以及辨識(shí)方法為最小二乘法的前提下，本文制定了基于矩陣秩與條件數(shù)的參數(shù)分步辨識(shí)策略，并針對線性方程，說明了進(jìn)行分步辨識(shí)的判據(jù)、確定辨識(shí)順序的方法以及降低誤差的途徑等。該策略同樣可用于其他領(lǐng)域線性方程組的參數(shù)辨識(shí)。