趙宗爽，史治宇，張杰

(1.南京航空航天大學(xué) 航空學(xué)院，江蘇 南京 210016；2.中國(guó)航發(fā)商用航空發(fā)動(dòng)機(jī)有限責(zé)任公司，上海 201100)

0 引言

過(guò)去幾十年中，針對(duì)傳統(tǒng)時(shí)不變系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)識(shí)別方法研究已十分成熟并逐步形成了一系列理論體系，按照識(shí)別過(guò)程中是否采用激勵(lì)數(shù)據(jù)可將時(shí)不變參數(shù)識(shí)別方法分為試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析(experimental modal analysis,EMA)及運(yùn)行模態(tài)分析(operational modal analysis,OMA)兩大類[1]。然而隨著現(xiàn)代科技的突飛猛進(jìn)和新興領(lǐng)域的迅速崛起，實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)了越來(lái)越多的時(shí)變問(wèn)題，譬如航天器中太陽(yáng)能電池帆板和機(jī)械臂的展開(kāi)問(wèn)題；火箭和飛機(jī)高速飛行過(guò)程中，隨著質(zhì)量不斷減小結(jié)構(gòu)氣動(dòng)剛度隨時(shí)間變化的問(wèn)題；列車(chē)過(guò)橋時(shí)，隨著列車(chē)位置的移動(dòng)，車(chē)-橋系統(tǒng)的剛度和阻尼隨時(shí)間變化的問(wèn)題；隨時(shí)間變化能自動(dòng)調(diào)節(jié)結(jié)構(gòu)參數(shù)的智能材料的使用問(wèn)題等[2]。為了解決這類時(shí)變結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，研究時(shí)變結(jié)構(gòu)的參數(shù)識(shí)別方法就顯得尤其重要。

目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)于時(shí)變系統(tǒng)參數(shù)識(shí)別問(wèn)題的研究提出了一系列方法，主要可以歸為兩類：第一類方法主要基于短時(shí)時(shí)不變假設(shè)，應(yīng)用具有局部時(shí)頻分析能力的信號(hào)處理工具[3-4](短時(shí)傅里葉變換(STFT)、維納分布(WVD)、小波變換(WT))或基于子空間模型進(jìn)行參數(shù)識(shí)別，而此類方法在計(jì)算量和識(shí)別精度上難以兼顧，識(shí)別效率比較低。后有學(xué)者為解決此類問(wèn)題引入了線調(diào)頻小波分析工具[5]，雖有效提高了算法的識(shí)別精度和效率，但其仍是基于短時(shí)線變假設(shè)，對(duì)于非線性變化情況的識(shí)別并不理想。第二類方法是從信號(hào)的整體分解出發(fā)，自適應(yīng)地將信號(hào)分解成多個(gè)本征模態(tài)函數(shù)，再對(duì)每個(gè)分量作參數(shù)識(shí)別，比較典型的就是希爾伯特黃變換(HHT)[6-8]。該類方法主要基于經(jīng)驗(yàn)分解，缺乏充分的理論依據(jù)，且存在模態(tài)混疊、邊界效應(yīng)問(wèn)題。基于以上識(shí)別方法的研究?jī)?nèi)容，結(jié)合時(shí)變系統(tǒng)的響應(yīng)特性，在短時(shí)時(shí)域區(qū)間內(nèi)通過(guò)二次多項(xiàng)式來(lái)擬合信號(hào)的頻率變化，這種非線性的擬合方式相比于短時(shí)時(shí)不變和短時(shí)線變，可進(jìn)一步增長(zhǎng)分析時(shí)窗的寬度，降低迭代計(jì)算的次數(shù)提高計(jì)算效率。二次調(diào)頻小波作為一種廣義的小波函數(shù)能夠很好地實(shí)現(xiàn)信號(hào)的非線性擬合[9]，同時(shí)由于多個(gè)調(diào)頻參數(shù)的引入，對(duì)于信號(hào)在短區(qū)間內(nèi)快變、突變的情況也能夠精確刻畫(huà)并追蹤時(shí)變特性。

本文首先基于二次調(diào)頻小波變換(QCT)結(jié)合時(shí)域?yàn)V波方法將多分量信號(hào)進(jìn)行分解，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步推導(dǎo)了二次調(diào)頻小波基函數(shù)的積分運(yùn)算，通過(guò)測(cè)量結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)信號(hào)重構(gòu)得出速度及位移響應(yīng)信號(hào)，將時(shí)變系統(tǒng)微分方程轉(zhuǎn)化為線性方程。結(jié)合分?jǐn)?shù)階模糊函數(shù)的相關(guān)特性[10-12]得出了二次調(diào)幅調(diào)頻信號(hào)的相關(guān)性理論。在此基礎(chǔ)上對(duì)激勵(lì)和響應(yīng)作自相關(guān)得到系統(tǒng)時(shí)變參數(shù)和響應(yīng)相關(guān)系數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)時(shí)變物理參數(shù)的識(shí)別。最后通過(guò)仿真算例和相關(guān)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文算法的正確性及實(shí)用性。

1 QCT及其函數(shù)積分運(yùn)算

二次調(diào)頻小波變換是將信號(hào)s(t)投影到一族二次調(diào)頻小波基函數(shù)b(t0,a1,a2,a3)(t)上，b(t0,a1,a2,a3)(t)可定義為

b(t0,a1,a2,a3)(t)=w(t-t0)exp{j[a1(t-t0)+a2(t-t0)2+a3(t-t0)3]}

(1)

QCTb(t0,a1,a2,a3)=〈z(t),b(t0,a1,a2,a3)(t)〉=

a3(t-t0)3]}dt

(2)

(3)

對(duì)上式分部積分，結(jié)合基函數(shù)滿足的兩個(gè)特性將上式化簡(jiǎn)可得

(4)

由上式可以得出，對(duì)函數(shù)f(t)一階不定積分的二次調(diào)頻小波變換相當(dāng)于對(duì)f(t)使用基函數(shù)的一階原函數(shù)作為基函數(shù)進(jìn)行二次調(diào)頻小波變換，即

(5)

同理，函數(shù)f(t)二階不定積分的二次調(diào)頻小波變換可由f(t)使用基函數(shù)的二階原函數(shù)作為基函數(shù)進(jìn)行二次調(diào)頻小波變換得出，即

(6)

2 時(shí)變系統(tǒng)參數(shù)識(shí)別

對(duì)于一個(gè)K自由度的線性時(shí)變動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，其受迫振動(dòng)可用下列方程來(lái)表示：

(7)

其中：M(t)、C(t)、K(t)分別為K×K的時(shí)變質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；x(t)、u(t)分別為K×1的位移向量和激勵(lì)力向量。

結(jié)合上節(jié)積分推導(dǎo)，時(shí)變系統(tǒng)微分方程可轉(zhuǎn)化為線性方程：

(8)

通過(guò)上式便能對(duì)確定性激勵(lì)下的時(shí)變系統(tǒng)進(jìn)行物理參數(shù)識(shí)別，但對(duì)于隨機(jī)激勵(lì)仍需對(duì)其相關(guān)性做進(jìn)一步研究。分?jǐn)?shù)階傅里葉變換作為傅里葉變換的廣義形式定義為

(9)

Kp(u,t)=

(10)

其中：Fp(u)為信號(hào)f(t)的p階分?jǐn)?shù)階傅里葉變換；Kp(u,t)為核函數(shù)；p為分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的階數(shù)；α=pπ/2。結(jié)合其模糊函數(shù)的相關(guān)理論可得信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)為

(11)

在得出以上二次調(diào)幅調(diào)頻信號(hào)相關(guān)性理論的基礎(chǔ)上，可進(jìn)一步推導(dǎo)隨機(jī)環(huán)境激勵(lì)下時(shí)變系統(tǒng)的物理參數(shù)識(shí)別算法。

3 仿真算例

4自由度的彈簧阻尼時(shí)變結(jié)構(gòu)如圖1所示。系統(tǒng)的初始位移和初始速度均為0，結(jié)構(gòu)參數(shù)隨時(shí)間變化之前的設(shè)定如下：

圖1 4自由度系統(tǒng)示意圖

(12)

對(duì)4個(gè)自由度均施加高斯白噪聲激勵(lì)，均值為0，方差為100，響應(yīng)信號(hào)由Newmark-β計(jì)算，總的采樣時(shí)間為t=20 s，采樣頻率1 200 Hz。為充分考察識(shí)別方法的有效性和可靠性，設(shè)置時(shí)變結(jié)構(gòu)的質(zhì)量系數(shù)和剛度系數(shù)隨時(shí)間同時(shí)變化，且時(shí)變情況為線性變化、周期變化、二次函數(shù)變化、快速突變的組合，具體變化情況設(shè)置如下：

應(yīng)用本文提出的算法對(duì)結(jié)構(gòu)的時(shí)變參數(shù)進(jìn)行識(shí)別，質(zhì)量、剛度識(shí)別結(jié)果如圖2、圖3所示，從識(shí)別結(jié)果可以看出本文算法對(duì)于數(shù)量級(jí)較小的質(zhì)量識(shí)別精度高、誤差小，有效避免了與數(shù)值較大的剛度一同識(shí)別時(shí)質(zhì)量識(shí)別誤差很大的情況，表明本文算法具有較好的工程應(yīng)用前景和實(shí)用價(jià)值。

圖2 質(zhì)量識(shí)別結(jié)果

圖3 剛度識(shí)別結(jié)果

4 結(jié)語(yǔ)

1)本文基于二次調(diào)頻小波理論，對(duì)時(shí)變結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號(hào)的頻率信息進(jìn)行短時(shí)非線性擬合，結(jié)合二次調(diào)頻小波變換將多分量信號(hào)分解為單分量的調(diào)幅調(diào)頻信號(hào)；

2)提出了函數(shù)積分運(yùn)算的二次調(diào)頻小波變換計(jì)算方法，通過(guò)測(cè)量得到的時(shí)變結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)，將時(shí)變系統(tǒng)微分方法轉(zhuǎn)化為線性方程；同時(shí)結(jié)合分?jǐn)?shù)階模糊函數(shù)的相關(guān)特性，推導(dǎo)了二次調(diào)頻信號(hào)的自相關(guān)理論，得出了隨機(jī)激勵(lì)下時(shí)變系統(tǒng)物理參數(shù)的識(shí)別方法。

3)仿真算例中4自由度時(shí)變結(jié)構(gòu)，質(zhì)量和剛度參數(shù)的變化為線性變化、周期變化、二次函數(shù)變化、快速突變4種的組合情況，有效驗(yàn)證了本文所提算法的正確性。