呂世恒，李政民卿

(南京航空航天大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，江蘇 南京 210016)

0 引言

星型齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)因具有功率分流、結(jié)構(gòu)緊湊、承載能力高等優(yōu)點(diǎn)，在航空、船舶等傳動(dòng)領(lǐng)域應(yīng)用較為廣泛[1]。星型輪間載荷分配的均勻性是考量星型齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)性能的重要因素，因此開(kāi)展星型齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的均載特性研究具有重要意義。

目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)星型齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)均載特性已經(jīng)開(kāi)展了大量研究。孫振宇等[2]研究了齒輪誤差對(duì)系統(tǒng)靜態(tài)均載的影響規(guī)律；袁擎宇、鮑和云等[3-5]建立了不考慮星輪橫向振動(dòng)的兩級(jí)星型齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)均載分析模型，分析了綜合誤差對(duì)系統(tǒng)均載的影響規(guī)律；寧鳳蓮[6]開(kāi)展了兩級(jí)星型齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的均載測(cè)試試驗(yàn)研究；MO S等[7-8]研究了工況、誤差以及浮動(dòng)量等對(duì)兩級(jí)星型齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)均載特性的影響，并開(kāi)展了均載測(cè)試試驗(yàn)研究。國(guó)內(nèi)外學(xué)者已針對(duì)誤差、中心輪支承剛度以及浮動(dòng)量等因素開(kāi)展了大量的研究；但在大部分的均載分析模型中，存在雙聯(lián)星輪處的支撐剛度足夠大的假設(shè)，忽略了雙聯(lián)星輪的橫向振動(dòng)對(duì)系統(tǒng)均載特性的影響。

因此，本文以?xún)杉?jí)星型傳動(dòng)系統(tǒng)為研究對(duì)象，根據(jù)平移與扭轉(zhuǎn)變形的變形協(xié)調(diào)關(guān)系，提出了雙聯(lián)齒輪彎扭耦合振動(dòng)邊界條件，建立了考慮雙聯(lián)星輪橫向振動(dòng)的彎扭耦合動(dòng)力學(xué)模型，分析了星輪支承剛度對(duì)系統(tǒng)均載特性的影響規(guī)律，為兩級(jí)星型齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)支承結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)提供了理論支撐。

1 兩級(jí)星型齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)

兩級(jí)星型齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，如圖1所示。其中太陽(yáng)輪Z1為輸入輪，星型輪Z2與星型輪Z3為雙聯(lián)齒輪，它們以太陽(yáng)輪為中心均勻分布；內(nèi)齒圈Z4為輸出輪，與太陽(yáng)輪Z1同軸。輸入功率經(jīng)由太陽(yáng)輪Z1分流給N個(gè)星型輪Z2，又經(jīng)過(guò)星型輪Z3匯流到內(nèi)齒圈Z4輸出。

圖1 兩級(jí)星型齒輪結(jié)構(gòu)示意圖

2 兩級(jí)星型齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

2.1 雙聯(lián)齒輪彎扭耦合振動(dòng)邊界條件

在兩級(jí)星型齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中，由于內(nèi)外齒輪副嚙合線為兩條空間異面直線，使得雙聯(lián)星輪兩端受到不同方向的力，產(chǎn)生了復(fù)雜的空間運(yùn)動(dòng)。因此，在以往的兩級(jí)星型傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型中，通常假設(shè)雙聯(lián)星輪支承剛度很大，忽略了星輪的橫向位移以簡(jiǎn)化建模過(guò)程。為考慮雙聯(lián)星輪橫向振動(dòng)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響，本文根據(jù)平移與扭轉(zhuǎn)變形的變形協(xié)調(diào)關(guān)系，將雙聯(lián)齒輪橫向振動(dòng)當(dāng)量為扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，形成雙聯(lián)齒輪彎扭耦合邊界條件：

θeq=x/rb

(1)

式中：θeq為星輪當(dāng)量扭轉(zhuǎn)角；x為星輪彎曲振動(dòng)位移量；rb為星輪基圓半徑。

根據(jù)星型齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)實(shí)際結(jié)構(gòu)繪制雙聯(lián)齒輪靜態(tài)受力圖，如圖2所示。

圖2 雙聯(lián)齒輪靜態(tài)受力圖

根據(jù)圖示結(jié)構(gòu)，利用材料力學(xué)應(yīng)變能計(jì)算方法，計(jì)算雙聯(lián)齒輪彎曲與扭轉(zhuǎn)變形時(shí)的應(yīng)變能，并結(jié)合應(yīng)變能等量關(guān)系，形成當(dāng)量扭轉(zhuǎn)剛度的計(jì)算方法：

(2)

式中：keq為雙聯(lián)軸當(dāng)量扭轉(zhuǎn)剛度；θAst、θDst分別為雙聯(lián)軸兩端齒輪受靜態(tài)力時(shí)扭轉(zhuǎn)角；xAst、xDst分別為雙聯(lián)軸兩端齒輪受靜態(tài)力時(shí)沿嚙合線方向的位移；kr為雙聯(lián)軸扭轉(zhuǎn)剛度；FA為星型輪Z2所承受的合力；FD為星型輪Z3所承受的合力，rb2、rb3分別為星型輪Z2與星型輪Z3的基圓半徑。

2.2 兩級(jí)星型齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)彎扭耦合動(dòng)力學(xué)模型

將兩級(jí)星型齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)簡(jiǎn)化得到系統(tǒng)等效力學(xué)模型，如圖3所示。在簡(jiǎn)化模型中將星型齒輪機(jī)構(gòu)的各構(gòu)件均看作剛體，并且太陽(yáng)輪Z1、內(nèi)齒圈Z4、兩級(jí)星型齒輪(Z2i、Z3i)為基本浮動(dòng)構(gòu)件。嚙合副處及支承處的彈性變形用等效彈簧剛度表示，圖中K1-2i表示太陽(yáng)輪與星型輪Z2之間的輪齒嚙合剛度，K4-3i表示內(nèi)齒圈與星型輪Z3之間的輪齒嚙合剛度；Kx1(Ky1)和Kx4(Ky4)分別表示太陽(yáng)輪Z1與內(nèi)齒圈Z4支承處橫向(縱向)的等效彈簧剛度。其中K2i表示星型輪Z2在嚙合線方向的等效支承剛度，K3i表示星型輪Z3在嚙合線方向的等效支承剛度，Ki表示雙聯(lián)齒輪軸的扭轉(zhuǎn)剛度。此系統(tǒng)共有(6+4N)個(gè)自由度，其廣義坐標(biāo)如下：

圖3 星型齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)等效動(dòng)力學(xué)模型

X=[θ1,x1,y1,θ2i,θ3i,x2i,x3i,θ4,x4,y4]T。

其中：θ1為太陽(yáng)輪扭轉(zhuǎn)的微轉(zhuǎn)角；x1為太陽(yáng)輪中心橫向微位移；y1為太陽(yáng)輪中心縱向微位移；θ2i為第一級(jí)第i個(gè)星型輪扭轉(zhuǎn)的微轉(zhuǎn)角；θ3i為第二級(jí)第i個(gè)星型輪扭轉(zhuǎn)的微轉(zhuǎn)角；x2i為第一級(jí)第i個(gè)星型輪中心的嚙合線方向微位移；x3i為第二級(jí)第i個(gè)星型輪中心的嚙合線方向微位移；θ4為內(nèi)齒圈扭轉(zhuǎn)的微轉(zhuǎn)角；x4為內(nèi)齒圈中心橫向微位移；y4為內(nèi)齒圈中心橫向微位移；本文中下標(biāo)i表示不同支路(i=1,2,3)。

2.3 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程

根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)布置位置，由幾何分析可得如下嚙合線方向的位移：

式中：rb1為太陽(yáng)輪的基圓半徑；rb2、rb3分別為星型輪Z2、星型輪Z3的基圓半徑；rb4為內(nèi)齒圈的基圓半徑；αw、αN分別表示外嚙合齒輪副與內(nèi)嚙合齒輪副的嚙合角；xn1-2i、xn4-3i分別表示外、內(nèi)齒輪副沿嚙合線方向的位移；e1-2i、e4-3i分別表示外、內(nèi)齒輪副間的準(zhǔn)靜態(tài)傳遞誤差。

根據(jù)上述嚙合線位移分析，易得各齒輪副間的動(dòng)態(tài)嚙合力為

(4)

式中：Fd1-2i、Fd4-3i分別表示外、內(nèi)齒輪副間的動(dòng)態(tài)嚙合力；c、k分別表示齒輪副間等效阻尼與等效彈簧剛度。

根據(jù)2.2節(jié)中系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型可推得系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程：

(5)

式中：I1、I2i分別為太陽(yáng)輪與星型輪Z2的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；I3i、I4分別為星型輪Z3與內(nèi)齒圈的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；m1、m2i分別為太陽(yáng)輪與星型輪Z2的質(zhì)量；m3i、m4分別為星型輪Z3與內(nèi)齒圈的質(zhì)量；T1為太陽(yáng)輪的驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩；T2為內(nèi)齒圈的負(fù)載轉(zhuǎn)矩。

3 均載特性分析

3.1 均載系數(shù)計(jì)算方法

在兩級(jí)星型齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中，存在多支路分匯流結(jié)構(gòu)，各支路間載荷分配的均衡性直接影響系統(tǒng)的工作性能與壽命。通常采用均載系數(shù)表征傳動(dòng)系統(tǒng)的不同支路間載荷分配的均勻性。本文給出兩級(jí)星型齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)均載系數(shù)定義如下：

(6)

式中：ΩW(ΩN)表示系統(tǒng)外(內(nèi))齒輪副均載系數(shù)；CdWi(CdNi)表示第i支路外(內(nèi))齒輪副動(dòng)態(tài)嚙合力的均方根值；np表示兩級(jí)星型齒輪系統(tǒng)總支路數(shù)。

3.2 不同均載分析模型對(duì)比分析

為研究星輪橫向振動(dòng)對(duì)系統(tǒng)均載的影響，本文以?xún)杉?jí)星型齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)為研究對(duì)象，分別利用未考慮星輪橫向振動(dòng)以及考慮星輪橫向振動(dòng)的均載分析模型，開(kāi)展系統(tǒng)均載特性分析。具體系統(tǒng)參數(shù)如表1所示。

表1 兩級(jí)星型齒輪系統(tǒng)基本參數(shù)

根據(jù)系統(tǒng)基本參數(shù)，以準(zhǔn)靜態(tài)傳遞誤差為動(dòng)力學(xué)激勵(lì)[9]，利用龍格庫(kù)塔法，開(kāi)展系統(tǒng)響應(yīng)分析，獲得兩種模型下系統(tǒng)各支路的動(dòng)態(tài)嚙合力，如圖4所示。其中線1表示第1支路動(dòng)態(tài)嚙合力，線2表示第2支路動(dòng)態(tài)嚙合力，線3表示第3支路動(dòng)態(tài)嚙合力(本刊為黑白印刷，如有疑問(wèn)請(qǐng)咨詢(xún)作者)。

圖4 系統(tǒng)各支路的動(dòng)態(tài)嚙合力時(shí)域圖

由上述分析可知，兩種均載模型所計(jì)算的動(dòng)態(tài)嚙合力變化規(guī)律一致，證明了本文所提出的均載分析模型具有合理性。其中值得注意的是，在未考慮星輪橫向振動(dòng)的均載分析模型中，外齒輪副的均載系數(shù)為1.059，內(nèi)齒輪副的均載系數(shù)為1.042；而在考慮星輪橫向振動(dòng)的均載分析模型中，外齒輪副的均載系數(shù)為1.045，內(nèi)齒輪副的均載系數(shù)為1.034，其結(jié)果均小于未考慮星輪橫向振動(dòng)的均載分析模型。這主要是因?yàn)樵谖纯紤]星輪橫向振動(dòng)的均載分析模型中存在星輪支承剛度無(wú)窮大的假設(shè)，星輪無(wú)法自由浮動(dòng)，進(jìn)而無(wú)法補(bǔ)償由于制造、安裝和受載變形等因素引起的各類(lèi)誤差，導(dǎo)致均載分析結(jié)果偏大。

3.3 星輪支承剛度對(duì)系統(tǒng)均載特性的影響規(guī)律研究

根據(jù)系統(tǒng)基本參數(shù)，取雙聯(lián)星輪的支承剛度連續(xù)變化，開(kāi)展星輪支承剛度對(duì)系統(tǒng)均載特性的影響規(guī)律研究，分析結(jié)果如圖5所示。

圖5 系統(tǒng)均載系數(shù)隨星輪支承剛度變化圖

由圖5可知，隨著星輪2支承剛度的增大，系統(tǒng)內(nèi)外齒輪副均載系數(shù)均逐漸增大，但變化速度逐漸變緩，當(dāng)星輪2支承剛度>108N/m后，系統(tǒng)內(nèi)外齒輪副均載系數(shù)逐漸逼近未考慮星輪橫向振動(dòng)均載分析模型的計(jì)算結(jié)果；系統(tǒng)內(nèi)外齒輪副均載系數(shù)對(duì)星輪3支承剛度的變化不敏感。

4 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)兩級(jí)星型齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)，提出了雙聯(lián)齒輪彎扭耦合振動(dòng)邊界條件，建立了考慮雙聯(lián)星輪橫向振動(dòng)的彎扭耦合動(dòng)力學(xué)模型，開(kāi)展了星輪支承剛度對(duì)兩級(jí)星型齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)均載特性影響分析。研究結(jié)論如下：

1)考慮星輪橫向振動(dòng)的均載分析模型，消除了星輪支承剛度足夠大的假設(shè)，與實(shí)際模型更接近。

2)減小星輪支承剛度，可以有效地改善系統(tǒng)均載性能，相比星輪3支承剛度，星輪2支承剛度對(duì)系統(tǒng)均載系數(shù)的影響更大。