李科攀，劉李，葉佩佩，靳廣虎

(1.南京航空航天大學(xué) 直升機(jī)傳動(dòng)技術(shù)試驗(yàn)室，江蘇 南京 210016；2.中國(guó)航空發(fā)動(dòng)機(jī)集團(tuán)有限公司 湖南動(dòng)力機(jī)械研究所，湖南 株洲 412002)

0 引言

面齒輪傳動(dòng)具有傳動(dòng)比大、可靠性高和結(jié)構(gòu)緊湊等諸多優(yōu)點(diǎn)，在航空、船舶等高速、重載機(jī)械傳動(dòng)領(lǐng)域具有良好的應(yīng)用前景。美國(guó)軍方已將面齒輪應(yīng)用于直升機(jī)主減速器中。LITVIN F L等[1-2]研究了面齒輪的齒面方程、齒寬特征和接觸分析；譚武中等[3]分析了面齒輪在直升機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)中的應(yīng)用前景；汪中厚等[4]研究了正交面齒輪副的接觸斑點(diǎn)及傳遞誤差。

在面齒輪分扭傳動(dòng)機(jī)構(gòu)方面，BOSSLER R B[5]提出了一種具有兩個(gè)功率提取路徑傳遞轉(zhuǎn)矩的齒輪裝置。趙寧等[6]分析了同軸面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的靜態(tài)均載特性；在面齒輪制造方面，王延忠等[7]提出使用蝶形刀具通過(guò)磨削的方式來(lái)加工面齒輪；唐進(jìn)元團(tuán)隊(duì)[8]提出了面齒輪的插銑加工及刨削加工。

由上述分析可知，對(duì)于傳動(dòng)系統(tǒng)中同時(shí)包含多個(gè)面齒輪副且考慮承載變形的接觸特性影響因素的研究尚且欠缺。因此，本文首先根據(jù)受力分析了機(jī)構(gòu)中的承載變形；建立了包含承載變形的面齒輪副接觸軌跡方程；獲得了承載變形對(duì)接觸斑點(diǎn)在面齒輪齒面上位置的影響規(guī)律；并通過(guò)有限元分析對(duì)該理論方法進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的承載變形分析

在圖1中，動(dòng)力通常由圓柱齒輪輸入，并將功率分流至兩個(gè)面齒輪。然而，由圓柱齒輪流向兩個(gè)面齒輪的功率往往不均等，從而影響到面齒輪的接觸，并最終影響系統(tǒng)的壽命。為分析載荷分配對(duì)上下兩個(gè)面齒輪副接觸斑點(diǎn)的影響，需要對(duì)機(jī)構(gòu)中的受力情況進(jìn)行分析。

圖1 單齒輪副分扭傳動(dòng)機(jī)構(gòu)模型

如圖2所示，將嚙合力分解，獲得面齒輪的軸向力和切向力。對(duì)面齒輪2，兩個(gè)分別為Fz21和Fx21，面齒輪3則為Fz31和Fx31。面齒輪2和面齒輪3相應(yīng)于圓柱齒輪的反作用力分別為Fy12、Fx12、Fy13和Fx13。

圖2 傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的受力分析示意圖

根據(jù)理論力學(xué)中力的平移理論，作用在剛體上的力可以平移到任一點(diǎn)，但必須附加一個(gè)力偶，使力偶矩等于原力對(duì)新作用點(diǎn)之矩。如圖3所示，以圓柱齒輪為研究對(duì)象，當(dāng)Fy12和Fy13不能在y1方向平衡時(shí)，圓柱齒輪1的支撐軸將在y1方向產(chǎn)生徑向變形ay1；同時(shí)，圓柱齒輪1的支撐軸受到(Fy12-Fy13)引起的彎矩My1作用，會(huì)在y1z1平面內(nèi)產(chǎn)生彎曲變形by1。同樣，F(xiàn)x12和Fx13不能在x1方向平衡時(shí)，圓柱齒輪1的支撐軸將在x1方向上產(chǎn)生徑向變形ax1，此時(shí)在(Fx12-Fx13)引起的彎矩Mx1的作用下，圓柱齒輪1的支撐軸會(huì)在x1z1平面內(nèi)產(chǎn)生彎曲變形bx1。在驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩T1和反作用轉(zhuǎn)矩(Fx12+Fx13)r1的作用下，小齒輪的支撐軸會(huì)產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形s1。

圖3 圓柱齒輪力的簡(jiǎn)化示意圖

如圖4所示，以面齒輪2為研究對(duì)象，切向力Fx21使得面齒輪2的支撐軸在x2方向上產(chǎn)生徑向變形ax21；在切向力Fx21產(chǎn)生的彎矩Mx2的作用下，面齒輪2的支撐軸會(huì)在x2z2平面內(nèi)產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形bx21；在軸向力Fz21的作用下，面齒輪2的支撐軸會(huì)在z2方向上產(chǎn)生軸向變形az2，同時(shí)軸向力Fz21會(huì)在y2z2平面內(nèi)產(chǎn)生彎矩Mz2，并在y2z2平面內(nèi)使得面齒輪軸線產(chǎn)生傾轉(zhuǎn)角變形bz21。此外，支撐軸還存在扭轉(zhuǎn)變形s2。

圖4 面齒輪力的簡(jiǎn)化示意圖

2 包含承載變形的齒面接觸軌跡方程

根據(jù)已有研究成果[9]，可將各項(xiàng)承載變形轉(zhuǎn)換為安裝誤差。如圖5和圖6所示，假設(shè)圓柱齒輪和面齒輪無(wú)承載變形時(shí)的坐標(biāo)系分別為Sgc和Sfc，有承載變形發(fā)生的坐標(biāo)系分別為Sgc′和Sfc′。那么通過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換可以得到對(duì)于兩個(gè)坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

圖5 圓柱齒輪變形量的轉(zhuǎn)化

圖6 面齒輪變形量的轉(zhuǎn)化

在圓柱齒輪坐標(biāo)系Sg中，圓柱齒輪的齒面∑g和面齒輪的齒面∑f在接觸點(diǎn)處應(yīng)有相同的位置向量和法線向量，其在數(shù)學(xué)上的表達(dá)式為

(1)

(2)

式中：Mgc,f為面齒輪與圓柱齒輪之間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣；Agc,f為Mgc,f前三行、前三列所組成的子矩陣。將式(2)代入式(1)中可獲得包含變形量的面齒輪副嚙合點(diǎn)應(yīng)滿足的方程，即

(3)

式中：rgx(1)、rgy(1)、rgz(1)和rgx(2)、rgy(2)、rgz(2)分別表示rg(1)和rg(2)的分量；ngx(1)、ngy(1)、ngz(1)和ngx(2)、ngy(2)、ngz(2)分別表示ng(1)和ng(2)的分量。求解式(3)可獲得面齒輪齒面方程中的參數(shù)θs和φs，帶入到面齒輪齒面方程即可獲得面齒輪齒面上的接觸點(diǎn)。

3 承載變形對(duì)接觸斑點(diǎn)的影響

根據(jù)彈性體的接觸理論以及點(diǎn)接觸面齒輪副中的齒面幾何特性，可獲得圓柱齒輪與面齒輪嚙合副齒面接觸點(diǎn)處的接觸橢圓的長(zhǎng)、短半軸的計(jì)算公式為

(4)

式中：μ1、E1和μ2、E2分別為圓柱齒輪和面齒輪材料的泊松比、彈性模量；K11、K12和K21、K22分別為圓柱齒輪和面齒輪在嚙合點(diǎn)處的主曲率；u和v為橢圓積分函數(shù)，可根據(jù)求得的τ數(shù)值查橢圓積分系數(shù)表[10]獲得。參數(shù)τ為

(5)

根據(jù)以上理論，對(duì)系統(tǒng)中的接觸橢圓進(jìn)行計(jì)算，本文所使用的參數(shù)如表1所示。

表1 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)

定義面齒輪2處和面齒輪3處的面齒輪副分別為面齒輪副2和齒輪副3。為研究承載變形對(duì)機(jī)構(gòu)中每個(gè)面齒輪副接觸斑點(diǎn)的影響，分別計(jì)算了圓柱齒輪承載變形(包括ax1、ay1、bx1、by1和s1)和面齒輪承載變形(包括ax21、az2、bz21、bx21和s2)對(duì)各面齒輪副接觸橢圓的影響。計(jì)算結(jié)果如圖7-圖9所示；數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表2-表4所示。表中最后一行表示無(wú)變形時(shí)接觸斑點(diǎn)中心在面齒輪齒面上的原始位置。

圖7 圓柱齒輪變形對(duì)面齒輪副2接觸斑點(diǎn)的影響

圖8 圓柱齒輪變形對(duì)面齒輪副3接觸斑點(diǎn)的影響

圖9 面齒輪2變形bz21對(duì)面齒輪副2接觸斑點(diǎn)的影響

表2 圓柱齒輪變形對(duì)面齒輪副2接觸斑點(diǎn)位置的影響

表3 圓柱齒輪變形對(duì)面齒輪副3接觸斑點(diǎn)位置的影響

表4 面齒輪2變形對(duì)面齒輪副2接觸斑點(diǎn)位置的影響

根據(jù)圖7-圖9和表2-表4可知：

1)面齒輪齒面上接觸斑點(diǎn)的長(zhǎng)軸遠(yuǎn)大于短軸，接觸斑點(diǎn)近似為沿長(zhǎng)軸方向的線段，接觸斑點(diǎn)的方向?yàn)橛蓛?nèi)半徑的齒頂指向外半徑的齒根。

2)圓柱齒輪和面齒輪的承載變形使接觸斑點(diǎn)在齒面上的位置發(fā)生改變。對(duì)于面齒輪副2，使接觸斑點(diǎn)沿面齒輪2齒面向內(nèi)半徑方向移動(dòng)的有ax1、az2和bz21，使接觸斑點(diǎn)向外徑方向移動(dòng)的有ay1、by1和ax21；對(duì)于面齒輪副3，使接觸斑點(diǎn)沿面齒輪3齒面向內(nèi)半徑方向移動(dòng)的有ay1、by1、az2和bz21；使接觸斑點(diǎn)向外徑方向移動(dòng)的有ax1和ax21；其他變形量對(duì)接觸橢圓的位置基本無(wú)影響。

4 有限元驗(yàn)證

為驗(yàn)證接觸斑點(diǎn)理論分析的有效性，通過(guò)Ansys分析軟件對(duì)系統(tǒng)的接觸進(jìn)行仿真。有限元模型如圖10所示。對(duì)圓柱齒輪施加轉(zhuǎn)矩2 500 Nm。

圖10 分扭傳動(dòng)系統(tǒng)網(wǎng)格劃分結(jié)果

圖11為有限元分析結(jié)果。由圖可見(jiàn)，接觸域中心的連線為斜線(接觸橢圓的長(zhǎng)軸)指向內(nèi)徑的齒頂；接觸橢圓的長(zhǎng)軸遠(yuǎn)大于短軸。這與理論分析獲得的接觸橢圓分布趨勢(shì)以及接觸橢圓長(zhǎng)、短半軸尺寸之間的關(guān)系一致，間接驗(yàn)證了理論分析的有效性。

圖11 圓柱齒輪與面齒輪嚙合齒面的接觸應(yīng)力云圖

5 結(jié)語(yǔ)

1)單齒輪副面齒輪分扭傳動(dòng)機(jī)構(gòu)兩支路的嚙合力會(huì)使圓柱齒輪與面齒輪的空間相對(duì)位置發(fā)生改變，使接觸斑點(diǎn)偏離理想接觸位置；

2)由于兩個(gè)面齒輪的空間位置以及面齒輪副間的承載力差異，相對(duì)于兩個(gè)面齒輪來(lái)說(shuō)，圓柱齒輪的承載變形分為正值和負(fù)值，因此對(duì)兩面齒輪齒面接觸橢圓位置的影響正好相反；圓柱齒輪與面齒輪副齒面接觸橢圓對(duì)兩齒輪軸線夾角的變化最敏感；

3)為降低承載變形對(duì)接觸斑點(diǎn)位置造成的影響，使機(jī)構(gòu)中的各個(gè)面齒輪副都具有良好的接觸效果，應(yīng)采取調(diào)整措施使兩支路載荷盡量均等，使接觸斑點(diǎn)位于面齒輪齒面中部，以延長(zhǎng)機(jī)構(gòu)的使用壽命。