陳海燕

（湖南工程學(xué)院 計(jì)算科學(xué)與電子學(xué)院，湘潭 411104）

0 引言

非局部Kirchhoff方程起源于Kirchhoff在研究彈性弦的自由振動(dòng)過(guò)程中，提出的一種具有實(shí)際應(yīng)用背景的數(shù)學(xué)模型［1］.自模型建立開始起，就在物理、力學(xué)、醫(yī)學(xué)等諸多領(lǐng)域廣泛應(yīng)用，因此吸引了眾多學(xué)者對(duì)此進(jìn)行深入研究.

2018年嚴(yán)忠權(quán)，柳鳩等［2］研究了一類具有一般臨界增長(zhǎng)的自治的Kirchhoff型方程，利用Schro¨dinger方程以及Pohozaev等式得到方程具有一個(gè)徑向?qū)ΨQ的正基態(tài)解：

2020年蒲洋等［3］研究了在有界區(qū)域上的一類帶Sobolev緊臨界指數(shù)的Kirchhoff型四階橢圓方程.當(dāng)非局部項(xiàng)Kirchhoff項(xiàng)可退化時(shí)，利用變分方法，獲得了該方程對(duì)應(yīng)能量泛函的一個(gè)全局極小值點(diǎn)，從而找到了該方程的一個(gè)非平凡解：

2020年王躍，周熒等［4］在全空間上考慮一類含有臨界指數(shù)的非局部Kirchhoff型問(wèn)題，利用分析技巧和特殊函數(shù)研究其古典解的存在性：

本文基于前者研究的基礎(chǔ)，重點(diǎn)討論非局部Kirchhoff型方程，當(dāng)參數(shù)λ＞0時(shí)，對(duì)研究非局部方程解的存在性的影響.

1 方程的存在性證明思路

本文研究的方程是由Kirchhoff在1883年研究彈性弦振動(dòng)時(shí)提出的數(shù)學(xué)模型，重點(diǎn)描述了可伸縮繩的橫向振動(dòng)的長(zhǎng)度變化，具有一定的物理背景.

Nonlocal―Kirchhoff型方程形式如下：

其中，D?R n，區(qū)域,D為有界區(qū)域，，指數(shù)p＞0，空間維數(shù)n≥1，非局部算子［5］定義如下：

根據(jù)變分法相關(guān)定理［6］，原方程（1）解的存在性問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼鈱?duì)應(yīng)的能量泛函的臨界點(diǎn)問(wèn)題：

考慮參數(shù)λ為正數(shù)時(shí)，借助臨界點(diǎn)理論，首先，證明能量泛函有下界.其次，能量泛函在空間中存在弱收斂序列.第三，結(jié)合Sobolev緊嵌入定理［7］、Riesz定理、Fatou引理，推導(dǎo)出弱收斂序列是強(qiáng)收斂序列，且收斂點(diǎn)即為能量泛函的臨界點(diǎn).

2 方程解的存在性證明過(guò)程

2.1 能量泛函的可微性

定理1能量泛函I(u)是Fre˙chet可導(dǎo)的.

證明：

故泛函I(u)在空間Fre˙chet可微.

2.2 能量泛函存在臨界點(diǎn)

定理2若，則I(u)在中有下界.

證明：非局部能量空間V(Ω∪Ωτ)等價(jià)于分?jǐn)?shù)階空間，則對(duì)應(yīng)的空間范數(shù)等價(jià)，即：

根據(jù)確界原理，I(u)存在下確界.故存在，使 得，則 稱{u k}是I(u)的極小化序列.

定理3若{u k}是I(u)的極小化序列，則{u k}是中的有界序列.

由于λ＞0，根據(jù)上述不等式，證得{u k}是中的有界序列.

定理4若{u k}是中的有界序列，是自反可分的空間，則{u k}在中弱收斂到u 0，且

證明：根據(jù)I(u)的定義知，要證明即需要證明

若能驗(yàn)證下列不等式方程組均成立，則上述不等式成立：

證明①②.由L2(D∪Dτ)空間范數(shù)的弱下半連續(xù)性，且由Sobolev嵌入定理，空間緊嵌入L2(D∪Dτ)空間，即可證明.

證明④，首先，由I(u)是有界，‖u‖有界以及有界，可知有界.因?yàn)椋鶕?jù)Sobolev嵌入定理是緊嵌入到L2(D∪Dτ).

由Riesz定理，存在子列{u k}.

根據(jù)Fatou引理：

定理5存在，使得即u0是問(wèn)題（1）的解.

證明：u k在中存在弱收斂的子列，設(shè)其弱極限為u0，再根據(jù)定理4I(u)的下半連續(xù)性，有則故 存 在使 得，即u0為I(u)的臨界值點(diǎn)，u0是問(wèn)題（1）的解.

3 結(jié)束語(yǔ)

在本文中，考慮的是在有界區(qū)域D上的非局部Kirchhoff方程，后續(xù)可以考慮從有界區(qū)域拓展到全區(qū)域Rn，研究方程解的存在性.另外后續(xù)可以進(jìn)一步考慮方程解的適定性問(wèn)題的其他內(nèi)容，例如是否存在非平凡解，解在區(qū)域上的連續(xù)性以及能否利用第一特征值的定義，討論特征值與方程解的關(guān)系，進(jìn)而對(duì)第一特征值進(jìn)行估計(jì).