李如

古埃及人非常聰明。他們?cè)阡伒匕宓臅r(shí)候發(fā)現(xiàn)，想要用同樣大小且同一種形狀的正多邊形鋪滿地面并且不留縫隙，只能用正三角形、正方形與正六邊形三種圖形中的一種。

從鋪地板這件事中，古埃及人還發(fā)現(xiàn)了我們今天所說的勾股定理：直角三角形斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和。

有趣的是，鋪地板還引出了一個(gè)令人困擾的數(shù)學(xué)問題：平面上以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形，我們?cè)撊绾斡?jì)算其面積呢？

有趣的格點(diǎn)

你知道什么是格點(diǎn)嗎？用水平線和垂直線將平面分成若干個(gè)邊長(zhǎng)為1的小方格，小方格的頂點(diǎn)就是我們說的格點(diǎn)。

如果一個(gè)多邊形的頂點(diǎn)全是格點(diǎn)，這個(gè)多邊形就叫作格點(diǎn)多邊形。有時(shí)候，我們通過計(jì)算格點(diǎn)多邊形占多少個(gè)小方格，就可以很方便地計(jì)算出它的面積。但這個(gè)方法的適用性并不強(qiáng)，只能應(yīng)用于比較規(guī)整的格點(diǎn)多邊形，稍微復(fù)雜一點(diǎn)兒的圖形，這個(gè)方法便無法快速地計(jì)算出其面積。

對(duì)于一些規(guī)則的圖形，如矩形、三角形，它們有自己的面積計(jì)算公式。例如，矩形的面積=長(zhǎng)×寬，三角形的面積=底×高÷2。但是對(duì)于一些不規(guī)則的圖形，我們應(yīng)該怎樣計(jì)算其面積呢？

面積“神功”

比如圖1中的格點(diǎn)多邊形，假設(shè)一個(gè)小方格的邊長(zhǎng)是1 cm，則每個(gè)小方格的面積是1 cm2。

在我們知道矩形、三角形面積計(jì)算公式的情況下，面對(duì)這個(gè)不規(guī)則的格點(diǎn)多邊形，常用的計(jì)算面積的方法有：

一、用矩形減“四周”。即用矩形的面積減去這個(gè)格點(diǎn)多邊形周圍四個(gè)三角形的面積。

那么這個(gè)格點(diǎn)多邊形的面積

S=5×6-1

2×2×3-1

2×3×4-1

2×3×1-1

2×1×5

=30-3-6-1.5-2.5=17（cm2）

二、切割法。把這個(gè)不規(guī)則的格點(diǎn)多邊形切割成四個(gè)三角形和一個(gè)矩形。

那么這個(gè)格點(diǎn)多邊形的面積

S=1

2×2×3+1

2×4×3+1

2×1×5+1

2×1×3+2×2

=3+6+2.5+1.5+4=17（cm2）

以上兩種方法都可以計(jì)算出格點(diǎn)多邊形的面積，但計(jì)算過程不免有些繁瑣和復(fù)雜。于是，數(shù)學(xué)家們便想了一個(gè)更加簡(jiǎn)便的方法，來計(jì)算格點(diǎn)多邊形的面積。

皮克定理

皮克定理被譽(yù)為有史以來“最重要的100個(gè)數(shù)學(xué)定理”之一，它是由奧地利數(shù)學(xué)家喬治·亞歷山大·皮克在1899年發(fā)現(xiàn)的。皮克將格點(diǎn)多邊形的格點(diǎn)數(shù)和面積聯(lián)系到了一起，這是一種極其具有開創(chuàng)性的思維。

皮克定理可以這樣解釋：若一個(gè)面積為S的格點(diǎn)多邊形，其邊界上有a個(gè)格點(diǎn)，內(nèi)部有b個(gè)格點(diǎn)，則有S=a

2+b-1。根據(jù)定理，我們只要數(shù)清楚格點(diǎn)數(shù)再將其代入公式，就可以輕松算出格點(diǎn)多邊形的面積了。

例如圖1，我們數(shù)出圖1中格點(diǎn)多邊形的邊界上有4個(gè)格點(diǎn)，內(nèi)部有16個(gè)格點(diǎn)，即a=4，b=16，根據(jù)皮克定理可得S=4

2+16-1=17（cm2）。我們可以清楚地看到，最終的結(jié)果與前兩種計(jì)算方法所得的結(jié)果是一致的！面積的計(jì)算居然可以通過數(shù)格點(diǎn)數(shù)來得到，是不是非常有趣？

當(dāng)然皮克定理也有不適用的時(shí)候。例如當(dāng)多邊形是非格點(diǎn)多邊形時(shí)，即多邊形某個(gè)頂點(diǎn)不在格點(diǎn)上，如圖2這種情況，就不適用了。