扶文樹 ，儲建華 ，王剛

（1.南京信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院智能制造學(xué)院，江蘇 南京 210036；2.江蘇開璇智能科技有限公司，江蘇 蘇州 215101）

永磁同步電機(jī)具有功率密度高、運(yùn)行可靠等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于伺服驅(qū)動領(lǐng)域。由于永磁同步電機(jī)系統(tǒng)的變量耦合非線性、模型不確定性以及不可預(yù)測的參數(shù)攝動和外部干擾，傳統(tǒng)的線性控制方法，如PI控制，無法保證永磁同步電機(jī)伺服系統(tǒng)具有足夠高的性能[1-2]。為了提高永磁同步電機(jī)的控制性能，近年來發(fā)展了眾多非線性控制方法，如滑模變結(jié)構(gòu)控制[3]、反步控制[4]、自抗擾控制[5]、反饋線性化控制[6-7]等，這些控制方法從不同角度改善了電機(jī)的控制性能。

滑模變結(jié)構(gòu)控制由于其對系統(tǒng)參數(shù)攝動的魯棒性較高，在永磁同步電機(jī)控制領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。然而，在外部干擾和系統(tǒng)參數(shù)攝動的情況下，需通過提高滑?？刂破鞯脑鲆鎭肀ＷC系統(tǒng)的魯棒性，從而導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)抖振現(xiàn)象。針對該問題，學(xué)者們對滑?？刂七M(jìn)行了改進(jìn)，采用趨近律和干擾觀測器來減小抖振。文獻(xiàn)[8]通過設(shè)計(jì)趨近律來減小滑模抖振，其導(dǎo)致滑動面附近的系統(tǒng)魯棒性降低，同時增加了趨近時間。文獻(xiàn)[9]設(shè)計(jì)擴(kuò)張狀態(tài)觀測器來估計(jì)擾動，在控制律中消除抖振，然而，該方法在提高系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)方面有所欠缺。由于使用線性控制方法來設(shè)計(jì)控制器，反饋線性化控制成為非線性控制理論的最佳成果之一。文獻(xiàn)[10]將反饋線性化控制器與PI控制器相結(jié)合設(shè)計(jì)永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)速環(huán)，然而，在實(shí)際應(yīng)用中，無論有無PI控制器，反饋線性化控制都無法在模型不確定性和未知干擾的情況下完成瞬態(tài)響應(yīng)，其必須與其他方法有效結(jié)合使用，以確保系統(tǒng)穩(wěn)定性。

針對上述問題分析，本文設(shè)計(jì)了基于高增益擴(kuò)張觀測器的反饋線性化控制器用于永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)速環(huán)系統(tǒng)。首先，將系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)攝動和外部負(fù)載擾動結(jié)合，基于永磁同步電機(jī)完全數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)高增益擴(kuò)張觀測器對該擾動進(jìn)行觀測。其次，簡化永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型，結(jié)合系統(tǒng)電流環(huán)PI控制，設(shè)計(jì)基于永磁同步電機(jī)簡化數(shù)學(xué)模型的高增益擴(kuò)張觀測器，從而降低了觀測器的階數(shù)，提高系統(tǒng)執(zhí)行效率。最后，在擾動觀測的基礎(chǔ)上，對系統(tǒng)轉(zhuǎn)速環(huán)進(jìn)行反饋線性化控制，提高系統(tǒng)轉(zhuǎn)速動態(tài)響應(yīng)性能。實(shí)驗(yàn)將基于擾動觀測的反饋線性化控制器與傳統(tǒng)PI控制器作對比，其結(jié)果驗(yàn)證了反饋線性化控制器對轉(zhuǎn)速突變和外部負(fù)載擾動有著較強(qiáng)的魯棒性。

1 基于完全數(shù)學(xué)模型的高增益擴(kuò)張觀測器設(shè)計(jì)

以電機(jī)d，q軸定子電流id，iq，轉(zhuǎn)子機(jī)械角度θ以及轉(zhuǎn)子機(jī)械角速度ω為狀態(tài)變量的永磁同步電機(jī)狀態(tài)方程為

式中：ud，uq為電機(jī)定子d，q軸電壓；np為電機(jī)極對數(shù)；R，L為電機(jī)定子電阻和電感；km為轉(zhuǎn)矩系數(shù)；J為轉(zhuǎn)動慣量；B為粘滯摩擦系數(shù)；TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩。

對式（1）中的系統(tǒng)Ⅱ作以下變化，定義電機(jī)加速度ξ為

結(jié)合式（1）中有關(guān)ω的項(xiàng)，得到：

對式（3）求導(dǎo)，得到：

結(jié)合式（1）、式（2）和式（4），得到：

由此，系統(tǒng)Ⅱ改變?yōu)?/p>

整個永磁同步電機(jī)系統(tǒng)被分為Ⅰ，Ⅱ兩個系統(tǒng)，針對每個系統(tǒng)分別設(shè)計(jì)相應(yīng)的高增益觀測器，將電機(jī)參數(shù)攝動和負(fù)載擾動考慮其中，系統(tǒng)Ⅰ，Ⅱ數(shù)學(xué)模型改變?yōu)?/p>

結(jié)合式（7）、式（8），Ⅰ和Ⅱ兩個系統(tǒng)相應(yīng)的高增益觀測器分別設(shè)計(jì)為

基于所設(shè)計(jì)的擴(kuò)張高增益觀測器，利用反饋線性化方法導(dǎo)出達(dá)到目標(biāo)轉(zhuǎn)速的控制律。根據(jù)式（9）式（10）可知，該觀測器階數(shù)較高，系統(tǒng)執(zhí)行壓力較大，考慮結(jié)合電流環(huán)PI控制，通過簡化永磁同步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型重新設(shè)計(jì)觀測器。

2 基于簡化數(shù)學(xué)模型的高增益擴(kuò)張觀測器設(shè)計(jì)

定義電流環(huán)d，q軸電流跟蹤誤差ed，eq為

式中：idref，iqref分別為d，q軸電流給定。

電流環(huán)選用PI控制，則電流環(huán)輸出為

式中：kp，ki分別為電流環(huán)比例、積分增益；xd，xq為電流誤差積分項(xiàng)。

將式（12）中ud，uq代入式（1），得到有關(guān)電流誤差的狀態(tài)方程為

考慮到電機(jī)τ值較小，為了將模型簡化，將τ值近似為零，則式（14）簡化為

將式（11）代入式（1），得到：

結(jié)合式（13）、式（15）、式（16），得到：

考慮電機(jī)參數(shù)攝動和負(fù)載擾動，式（17）中有關(guān)ω的式子改寫為

由此，基于簡化數(shù)學(xué)模型的觀測器設(shè)計(jì)為

對比式（10）與式（19），相較與基于完全模型的觀測器，基于簡化模型的觀測器階數(shù)降低，大大降低了系統(tǒng)的復(fù)雜度，更有利于系統(tǒng)的高效執(zhí)行。

3 轉(zhuǎn)速環(huán)擾動反饋線性化控制

定義系統(tǒng)轉(zhuǎn)速環(huán)角速度跟蹤誤差eω為

式中：ωref為系統(tǒng)給定角速度。

將ωref代入式（18），得到：

在這種情況下，期望角速度跟蹤誤差的瞬態(tài)響應(yīng)與下列目標(biāo)系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)相匹配：

系統(tǒng)控制律給定為

綜上，基于高增益擴(kuò)張觀測器的永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)速環(huán)反饋線性化控制系統(tǒng)框圖如圖1所示。

圖1 基于高增益擴(kuò)張觀測器的永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)速環(huán)擾動反饋線性化控制結(jié)構(gòu)框圖Fig.1 Disturbance feedback linearization control structure for PMSM speed loop based on extended high-gain observer

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及其分析

為驗(yàn)證基于高增益擴(kuò)張觀測器永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)速環(huán)反饋線性化控制器的優(yōu)勢所在，在永磁同步電機(jī)交流調(diào)速實(shí)驗(yàn)平臺上，將本文提出的轉(zhuǎn)速環(huán)反饋線性化控制與傳統(tǒng)PI控制作對比實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)平臺如圖2所示。

圖2 實(shí)驗(yàn)平臺Fig.2 Experiment platform

圖2中，被控永磁同步電機(jī)安裝有24位絕對值編碼器。對應(yīng)的永磁同步電機(jī)參數(shù)如下：額定功率1.2 kW，額定電壓220 V，額定電流6.5 A，額定轉(zhuǎn)矩4.6 N·m，額定轉(zhuǎn)速 2 500 r/min，定子電阻0.55Ω，d，q軸電感4.43 mH，極對數(shù)為4，轉(zhuǎn)子磁鏈0.175 Wb。

為了驗(yàn)證基于高增益擴(kuò)張觀測器的永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)速環(huán)反饋線性化控制在電機(jī)啟動階段的性能，在100 ms時刻，給定電機(jī)250 r/min的階躍轉(zhuǎn)速，圖3為給定轉(zhuǎn)速階躍下的電機(jī)啟動階段的給定轉(zhuǎn)速與實(shí)際轉(zhuǎn)速對比，其中nref為系統(tǒng)給定轉(zhuǎn)速，n為實(shí)際轉(zhuǎn)速。圖3a系統(tǒng)中的轉(zhuǎn)速環(huán)和電流環(huán)均使用傳統(tǒng)PI控制，圖3b系統(tǒng)中的轉(zhuǎn)速環(huán)使用反饋線性化控制，電流環(huán)使用傳統(tǒng)PI控制。從圖3a中可以看出，在轉(zhuǎn)速階躍給定下，電機(jī)實(shí)際轉(zhuǎn)速的跟蹤性能較差，存在約100 r/min的超調(diào)，并且調(diào)節(jié)時間較長，達(dá)到125 ms左右。對比圖3b反饋線性化控制，電機(jī)實(shí)際轉(zhuǎn)速可以幾乎無超調(diào)地達(dá)到目標(biāo)給定值，調(diào)節(jié)時間大幅度縮短，僅為30 ms左右。由此驗(yàn)證了基于高增益擴(kuò)張觀測器的轉(zhuǎn)速環(huán)反饋線性化控制在電機(jī)啟動階段的瞬態(tài)響應(yīng)性能。

圖3 啟動階段的給定轉(zhuǎn)速與實(shí)際轉(zhuǎn)速對比Fig.3 Comparison between the given speed and the actual speed in the starting stage

為了驗(yàn)證基于高增益擴(kuò)張觀測器的永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)速環(huán)反饋線性化控制在給定電機(jī)轉(zhuǎn)速突變下的動態(tài)響應(yīng)性能，給定電機(jī)4個階段過程的轉(zhuǎn)速突變，圖4為給定轉(zhuǎn)速突變下的給定轉(zhuǎn)速與實(shí)際轉(zhuǎn)速對比。圖4中，在1 000 ms時刻，給定轉(zhuǎn)速由0 r/min突升至250 r/min；在2 000 ms時刻，給定轉(zhuǎn)速由250 r/min突降至100 r/min；在3 000 ms時刻，給定轉(zhuǎn)速由100 r/min突升至250 r/min；在4 000 ms時刻，給定轉(zhuǎn)速由250 r/min突降為0r/min，將該4個階段分別記為T1，T2，T3和T4階段。根據(jù)圖4a可知，傳統(tǒng)PI控制下的T1和T4階段轉(zhuǎn)速跟隨性較差，在給定轉(zhuǎn)速突升瞬間，實(shí)際轉(zhuǎn)速超調(diào)達(dá)到約100 r/min；在T2和T4給定轉(zhuǎn)速突降瞬間，實(shí)際轉(zhuǎn)速超調(diào)同樣達(dá)到約100 r/min。對比圖4b反饋線性化控制，無論T1和T4階段給定轉(zhuǎn)速突升還是T2和T4階段給定轉(zhuǎn)速突降，電機(jī)實(shí)際轉(zhuǎn)速總是可以無超調(diào)地快速跟蹤目標(biāo)轉(zhuǎn)速，由此驗(yàn)證了基于高增益擴(kuò)張觀測器的轉(zhuǎn)速環(huán)反饋線性化控制在系統(tǒng)給定轉(zhuǎn)速突變下的動態(tài)性能。

圖4 給定轉(zhuǎn)速突變下的給定轉(zhuǎn)速與實(shí)際轉(zhuǎn)速對比Fig.4 Comparison between the given speed and the actual speed under the sudden change of the given speed

為了驗(yàn)證基于高增益擴(kuò)張觀測器的永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)速環(huán)反饋線性化控制對于電機(jī)內(nèi)部參數(shù)攝動的魯棒性，在T1，T2時間段，系統(tǒng)給定電機(jī)定子電阻R為實(shí)際定子電阻R0，即R=R0。在T2時間段過后，系統(tǒng)給定電機(jī)定子電阻R為0.5倍的實(shí)際定子電阻R0，即R=0.5R0。圖5為參數(shù)攝動下的給定轉(zhuǎn)速與實(shí)際轉(zhuǎn)速對比。根據(jù)圖5可知，在T1，T2時間段，系統(tǒng)無參數(shù)攝動，在給定轉(zhuǎn)速突變的情況下電機(jī)實(shí)際轉(zhuǎn)速可以很好地跟隨給定轉(zhuǎn)速。在T3，T4時間段，系統(tǒng)存在電阻參數(shù)擾動，在給定擾動瞬間，電機(jī)實(shí)際轉(zhuǎn)速相對于給定轉(zhuǎn)速存在稍許超調(diào)，經(jīng)調(diào)節(jié)后，在給定轉(zhuǎn)速突變的情況下電機(jī)實(shí)際轉(zhuǎn)速同樣可以無超調(diào)地快速跟蹤目標(biāo)轉(zhuǎn)速，由此驗(yàn)證了基于高增益擴(kuò)張觀測器的轉(zhuǎn)速環(huán)反饋線性化控制對于電機(jī)內(nèi)部參數(shù)攝動的魯棒性。

圖5 參數(shù)攝動下的給定轉(zhuǎn)速與實(shí)際轉(zhuǎn)速對比Fig.5 Comparison between the given speed and the actual speed under parameter perturbation

為了驗(yàn)證基于高增益擴(kuò)張觀測器的永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)速環(huán)反饋線性化控制在給定電機(jī)負(fù)載突變下的動態(tài)響應(yīng)性能，電機(jī)在額定轉(zhuǎn)速下，800 ms時刻，給定電機(jī)突加額定負(fù)載，圖6為突加額定負(fù)載下的電機(jī)實(shí)際轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩電流對比。從圖6a中可以看出，給定電機(jī)突加額定負(fù)載瞬間，電機(jī)實(shí)際轉(zhuǎn)速存在大約25 r/min的擾動，大約經(jīng)過250 ms左右轉(zhuǎn)速恢復(fù)穩(wěn)態(tài)。對比圖6b反饋線性化控制，在突加額定負(fù)載瞬間，電機(jī)轉(zhuǎn)速擾動由25 r/min下降至10 r/min左右，轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)時間由250 ms縮短至180 ms左右，由此驗(yàn)證了基于高增益擴(kuò)張觀測器的轉(zhuǎn)速環(huán)反饋線性化控制系統(tǒng)對外部負(fù)載擾動具有較強(qiáng)的魯棒性。

圖6 給定負(fù)載突變下的實(shí)際轉(zhuǎn)速與電流對比Fig.6 Comparison of actual speed and current under given load sudden change

5 結(jié)論

設(shè)計(jì)了一種基于高增益擴(kuò)張觀測器的擾動反饋線性化控制器用于永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)速環(huán)系統(tǒng)。基于永磁同步電機(jī)完全數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)高增益擴(kuò)張觀測器對該擾動進(jìn)行觀測，簡化永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型，結(jié)合系統(tǒng)電流環(huán)PI控制設(shè)計(jì)基于簡化數(shù)學(xué)模型的高增益擴(kuò)張觀測器，從而降低了觀測器的階數(shù)，提高了系統(tǒng)執(zhí)行效率。在擾動觀測的基礎(chǔ)上，對系統(tǒng)轉(zhuǎn)速環(huán)進(jìn)行反饋線性化控制。實(shí)驗(yàn)將基于擾動觀測的反饋線性化控制與傳統(tǒng)PI控制從電機(jī)啟動、給定轉(zhuǎn)速突變和給定負(fù)載轉(zhuǎn)矩突變3個方面作對比，其結(jié)果驗(yàn)證了相比于傳統(tǒng)PI控制，基于高增益擴(kuò)張觀測器的反饋線性化控制對轉(zhuǎn)速突變和外部負(fù)載擾動有更強(qiáng)的魯棒性。