張美娟 焦建林

(江蘇省泰興市洋思中學(xué) 225400)

一、原題呈現(xiàn)

2011年泰州中考第28題：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，邊長(zhǎng)為a(a為大于0的常數(shù))的正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)P，頂點(diǎn)A在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，頂點(diǎn)B在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)(x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點(diǎn)O)，頂點(diǎn)C、D都在第一象限.

(1)當(dāng)∠BAO=45°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)求證：無論點(diǎn)A在x軸正半軸上、點(diǎn)B在y軸正半軸上怎樣運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P都在∠AOB的平分線上；

(3)設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為h，試確定h的取值范圍，并說明理由.

二、試題分析

這試題來源于蘇科版教材八年級(jí)(下)第95頁的第22題：如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，正方形A′B′C′D′的頂點(diǎn)A′與點(diǎn)O重合，將正方形A′B′C′D′繞點(diǎn)A′旋轉(zhuǎn)，在這個(gè)過程中，這兩個(gè)正方形的重疊部分的面積會(huì)發(fā)生變化嗎？

該試題保留了原來的正方形ABCD，并把正方形ABCD放置到平面直角坐標(biāo)系中，然后讓正方形ABCD的頂點(diǎn)A和頂點(diǎn)B分別在坐標(biāo)軸上運(yùn)動(dòng)，保持邊長(zhǎng)不變．

重點(diǎn)考查點(diǎn)的坐標(biāo)、勾股定理、全等三角形、三角形的中位線、角平分線定理的逆定理、等弧所對(duì)的圓心角相等、不等式組、三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)．

這種命題方式是從教材出發(fā)，充分挖掘教材的命題價(jià)值，一方面關(guān)注了學(xué)生的應(yīng)試心理，另一方面，引導(dǎo)教師教學(xué)要追本溯源，發(fā)揮教材的教學(xué)價(jià)值．

三、解法探索

(2)本小題我們可以從多個(gè)角度、用多種方法解決．

方法1要證明點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，其實(shí)就是要說明點(diǎn)P到∠AOB的兩邊距離相等，因此就可以考慮經(jīng)過點(diǎn)P分別作OA、OB的垂線段，垂足分別為點(diǎn)F、點(diǎn)E，如圖2.因?yàn)椤螦OB=90°，∠EPF=90°.由(1)可知，∠BPA=90°，所以∠EPB=∠FPA.由(1)可知，PB=PA，所以△EPB≌△FPA(AAS)，所以PE=PF，即點(diǎn)P到∠AOB的兩邊距離相等.所以無論點(diǎn)A在x軸正半軸上、點(diǎn)B在y軸正半軸上怎樣運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P都在∠AOB的平分線上.

方法3要證明點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，其實(shí)就是要說明點(diǎn)∠AOP(或∠BOP)=45°，那原來圖形中有

(3)過點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，因?yàn)辄c(diǎn)P到x軸的距離為h，所以PG=h.

好的中考試題不僅考查數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，還應(yīng)該具有充分的發(fā)展性，讓學(xué)生有回味無窮的感覺．

總之，本題的本質(zhì)就是 “由特殊及一般”，通過減少或弱化條件實(shí)行一般化，利用數(shù)形結(jié)合由數(shù)量關(guān)系和圖形關(guān)數(shù)形結(jié)合，以及對(duì)現(xiàn)象提出質(zhì)疑、猜想結(jié)論并驗(yàn)證結(jié)論，建構(gòu)模型解決問題等等都是創(chuàng)新的方法，這些方法是聯(lián)結(jié)數(shù)學(xué)知識(shí)與遷移創(chuàng)新之間的橋梁.