張海霞

(江蘇省如皋市江安鎮(zhèn)濱江初級中學 226500)

一、“將軍飲馬”模型解讀

幾何最值問題的形式靈活多變，但是它之間蘊含的基本模型是一定的，模型如下：

模型滿足的條件：如圖1所示，有一條已知直線l和直線外兩點A、B，并且點A、B在直線l的同一側(cè)，點P為一個動點，它只能在直線l上運動.

根據(jù)模型提出問題：如果要使得PA+PB的值最小，那么，動點點P應該處在直線l的哪一處？

解析作出所需的輔助線，作點A關于直線l的對稱點，設為點A1，然后連接線段A1B,并且線段A1B與直線l相交產(chǎn)生交點，此交點為了符合題意時點P的位置，那么，PA+PB=A1P+PB=A1B.

方法解讀因為在作輔助線時，首先找的是點A關于直線l的對稱點，點P在直線l上運動，所以不管點P在直線l上的哪一點，根據(jù)軸對稱的特性可以知道:PA=A1P,這時這個題目就被轉(zhuǎn)化為求A1P+PB的最小值，又因為求的是三個點之間的所連線段的最小值，因此，可以根據(jù)原理：“兩點之間線段最短”，將三點化為兩點，即當點A1、P、B共線時，A1P+PB可以取得最小值，從而實現(xiàn)了線段的“化”“折”“為”“直”.

二、問題探究

類型幾何圖形中的線段與最值

例1如圖2所示，此圖由一個正方形ABCD和一個等邊三角形ABE所組成，并且已知在正方形ABCD的對角線BD上有一個動點M，點M不與點B重合，如若將線段BM以點B為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)60°，這時點B落在了點N處，最后將CM、AM和EN連接起來，請根據(jù)以上條件回答問題.

(1)試證明：ΔAMB?ΔENB.

(2)①如要使得AM+CM有最小值，那么，點M應該在線段BD的哪一處；

②如果要使得AM+BM+CM有最小值，那么，這時點M又該位于和位置呢，請說明理由.

解析對于第一小問，本小題比較簡單，只需要根據(jù)正方形和等邊三角形的性質(zhì)，找到兩個需要證明全等的三角形對應邊相等即可，過程略.

第二小問，①這道題目和例題“將軍飲馬”很相似，解題方法是一樣的，其中涉及三個點，由于兩點之間線段最短，可以得出線段AC與線段BD的交點為點M時，就是題目所求的最小值的情況，那么，此時點M為BD的中點.

②求解線段和的最小值，我們需要采用等線段轉(zhuǎn)化的方法，如圖3所示，首先作出所需輔助線，連接CE、MN，然后過點E作CB延長線上的垂線，設垂足為點F，在這里我們需要利用第一小問的結(jié)論即△AMB?△ENB,∴AM=EN,∠MBN=60°,MB=NB,∴△BMN為等邊三角形，∴BM=MN,那么，AM+BM+CM=EN+MN+CM.

又兩點之間線段最短，可知當點E、N、M、C共線時，有EN+MN+CM=EC，

綜上所述，當點M為EC和BD的交點時距離最短.

解析這道例題是幾何圖形的線段和最值問題，涉及三線、四點，但是不管怎樣，解題的原理還是一樣的，碰到需要化“折”為“直”的問題時，可以采用軸對稱來進行變換，還可以利用“兩點之間線段最短”的原理來確定最值的情況.

三、幾何圖形的周長最值問題

例2如圖4所示，在四邊形ABCD之中有兩個直角，分別為∠B和∠D,并且∠C=50°，已知點E位于線段BC上，點F位于線段DC上，試求當△AEF的周長取得最小值時，∠EAF的度數(shù)是多少？

解析本道例題求解周長的最值問題，我們可以先確定ΔAEF周長最小時的情況，再來求∠EAF的度數(shù)，L△AEF=AE+AF+EF,需要根據(jù)基本的模型來進行轉(zhuǎn)化才可以解出題目.如圖5，過點A作出關于BC的對稱點M,再過點A作關于CD對稱的點N，然后將MN連接起來，設線段MN與線段BC的交點為E,線段MN與線段CD的交點為F，那么在這時點M、E、F、N四點共線，AE+AF+EF=EM+NF+EF=MN,ΔAEF的周長是最小的.

由軸對稱的特性可以知道，∠M=∠BAE,∠N=∠DAF,又∵∠BAD=130°,并且∠M+∠N=50°,∴∠BAE+∠DAF=50°,∴∠EAF=130°-50°=80°.

本題屬于幾何圖形周長的最值問題，需要結(jié)合周長公式將求解幾何圖形的最值問題轉(zhuǎn)化為求解線段和的最值問題，此類題型的特點就在于它涉及到的線段和關鍵點更多，雖然難度增加了，但是只要掌握了原理，在實際分析時進行多次軸對稱變換，這類題目就會迎刃而解.

通過上述幾道例題的解析與思路分析，我們不難發(fā)現(xiàn)這類題型的關鍵點在于掌握“兩點之間線段最短”原理，并根據(jù)原理進行多次轉(zhuǎn)換就可以簡化題目，根據(jù)軸對稱的特性，做到化“折”為“直”，再結(jié)合“兩點之間線段最短”找出動點滿足題意的位置，當涉及三線、四點時，更應該找到線段相等的線段，將其替換，然后找到它們的交點，一般這個交點就是我們所求的點.不難發(fā)現(xiàn)，這類題型涉及的知識點還是挺多的，比如“兩點之間線段最短”“垂線段最短”以及“線段平移”，還有軸對稱的特性，因此，在平時就要求學生對這些基礎知識點非常熟悉，并且需要掌握一些基礎的問題模型，研究透這些模型，夯實基礎，勤加練習才是最重要的.