吳惠琴

(江蘇省海門中學(xué) 226100)

在高中數(shù)學(xué)關(guān)于方程與不等式、函數(shù)、數(shù)列、集合、幾何等多種問題中，數(shù)形結(jié)合思想都能夠發(fā)揮出重要作用.因此，教師在課堂教學(xué)中，需要注意對學(xué)生數(shù)形結(jié)合、數(shù)形轉(zhuǎn)化的思維培養(yǎng)，進而提高學(xué)生的解題綜合能力.

本文先是對數(shù)形結(jié)合思想的含義進行了簡要闡述，然后通過結(jié)合一些典型的數(shù)學(xué)問題，探究應(yīng)該怎樣恰當?shù)娜谌霐?shù)形結(jié)合思想.

一、數(shù)形結(jié)合思想的簡述

事實上，數(shù)形結(jié)合的教學(xué)思想由來已久，只是在實踐應(yīng)用的過程中還存在不足之處.對于高中的數(shù)學(xué)知識內(nèi)容本身來說，大致可以概括為是解決數(shù)和形問題，其中，如一般的數(shù)學(xué)符號、公式、數(shù)字表達等可以被稱為“數(shù)”.而那些幾何圖形、函數(shù)圖像等可以被稱為“形”.二者是數(shù)量關(guān)系與空間圖形的指代，兩者的合二為一，可以使學(xué)生對知識內(nèi)容的學(xué)習(xí)印象更深刻、理解更簡便.在教學(xué)中將數(shù)形結(jié)合思想良好的教授或傳遞給學(xué)生，可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形轉(zhuǎn)化思維與能力，進而幫助學(xué)生更容易找到解題思路并獲得答案.

此外，與傳統(tǒng)教學(xué)方法相比，采用數(shù)形結(jié)合思想開展教學(xué)，不僅可以讓課堂變得更加富有生趣，而且還可以實現(xiàn)對學(xué)生學(xué)習(xí)動力的充分激發(fā).這是因為學(xué)生一旦掌握了這種思想方法會發(fā)現(xiàn)，高中數(shù)學(xué)原來并沒有想象的那么難，而且通過數(shù)與形的結(jié)合，還會發(fā)現(xiàn)其中的解題趣味.當然，由于一些學(xué)生感覺高中數(shù)學(xué)知識內(nèi)容相對比較難，他們的注意力不容易集中，從而也會影響到教學(xué)質(zhì)量.而當學(xué)生在探究數(shù)學(xué)問題的過程中，可以通過數(shù)與形之間的關(guān)聯(lián)找到轉(zhuǎn)化方法，并將抽象的數(shù)的問題進行具體的形的問題轉(zhuǎn)化能力時，學(xué)生的解題思路便會越來越清晰.最終起到對學(xué)生學(xué)習(xí)積極性的調(diào)動以及解決數(shù)學(xué)問題能力的提高作用.因此，教師在課堂教學(xué)過程中所要做的，就是將數(shù)形結(jié)合思想有效的傳遞給學(xué)生.

總體來說，教師要努力培養(yǎng)學(xué)生的“以形助數(shù)”和“以數(shù)助形”的思辨能力.在解題過程中，懂得將數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化為更為直觀的圖形語言，把抽象性的數(shù)學(xué)思維轉(zhuǎn)化為直觀的形象思維，最終實現(xiàn)數(shù)學(xué)綜合能力的提升目標.

二、數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的融入

在高中數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的講解過程中，教師應(yīng)始終將數(shù)形結(jié)合思想進行講解，從而起到助力理解能力提升、助力解題能力提升、助力數(shù)學(xué)思維建設(shè)的作用.

1.數(shù)形結(jié)合思想在集合問題中的融入

作為高中階段的基礎(chǔ)知識，集合問題一直都是各類數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)內(nèi)容.所以，在高中初期，集合一直都是作為重點內(nèi)容，需要學(xué)生進行扎實掌握的.因此，這就需要教師在教學(xué)過程中，更靈活的開展集合教學(xué)，從而使學(xué)生更容易理解和接受相關(guān)知識內(nèi)容.數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)集合問題中的應(yīng)用，主要表現(xiàn)就是數(shù)軸法和維恩圖法.這種方法比較適用于那些給出的數(shù)量關(guān)系相對比較復(fù)雜，題干線索不容易找出的數(shù)學(xué)問題.良好的運用維恩圖法往往能夠達到事半功倍的教學(xué)效果.如下圖所示：

圖1

2.數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)問題中的融入

在數(shù)形結(jié)合思想的融入過程中，函數(shù)問題是良好的教學(xué)載體.在教學(xué)過程中，教師除了教授學(xué)生對一些比較常見的函數(shù)圖像進行熟練掌握外，還需要將函數(shù)與方程、以及曲線之間的差別和統(tǒng)一等知識內(nèi)容教授給學(xué)生，從而提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)條件中的幾何意義的能力，進而順利的將相對應(yīng)的幾何圖形刻畫出來.此外，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，還要參照圖形的性質(zhì)，能夠?qū)?shù)學(xué)式的幾何意義分析出來.只有這樣，學(xué)生才能充分的發(fā)揮出數(shù)形結(jié)合思想的作用，從而實現(xiàn)個人解題能力的全面提升.如在一些函數(shù)不等式問題中，由于運用代數(shù)的方法進行解題存在步驟和過程比較繁瑣的情況，且不利于學(xué)生的思維鍛煉與形成.為此，教師還是需要引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合的思想進行解題，懂得將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題的思想方法的運用，從而實現(xiàn)對問題的化簡目標，最終達到提高解題效率的效果.

圖2

此外，在函數(shù)零點的問題教學(xué)中，以及方程的根等問題教學(xué)中，教師需通過數(shù)形結(jié)合思想的導(dǎo)入，讓學(xué)生了解它們與函數(shù)圖像交點的密切聯(lián)系.例如：函數(shù)f(x)=|x-2|-lnx的定義域內(nèi)的零點個數(shù)是幾？根據(jù)問題可以知道這一函數(shù)的定義域是(0,+∞)，在同一直角坐標系中，可以進行函數(shù)圖像繪制，即y1=|x-2|(x〉0),y2=lnx(x>0)，詳見下圖.然后，引導(dǎo)并組織學(xué)生進行圖像觀察，從而觀察得到最終答案是2.

圖3

3.數(shù)形結(jié)合思想在幾何問題中的融入

在幾何問題中，包含平面解析幾何、立體解析集合，前者屬于二維空間上的解析幾何問題、后者屬于三維空間上的解析幾何問題，后者要比前者更為復(fù)雜而抽象.而在眾多幾何問題的解答過程中，良好的應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，可以將題干或條件中的數(shù)和形進行一一對應(yīng)，進而將數(shù)量關(guān)系通過圖形、位置關(guān)系更加直接的表現(xiàn)出來，從而達到以形助數(shù)、或以數(shù)解形的效果.因此，當遇到幾何問題時，教師最重要的是要教授學(xué)生將條件和問題之間的數(shù)量，以及二者的位置關(guān)系加以厘清，徹底的弄清楚數(shù)和形之間的對應(yīng)關(guān)系.當學(xué)生通過長期的訓(xùn)練，對數(shù)形結(jié)合方法有了熟練的掌握后，便能夠做到舉一反三，融會貫通了.為此，一方面，學(xué)生要理清以幾何條件、元素為基礎(chǔ)，而構(gòu)建的各種概念，如復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等；另一方面，學(xué)生要對自己所面對的題目中，理清等式結(jié)構(gòu)，或代數(shù)方程式結(jié)構(gòu)，以及其中所包含的比較明顯的幾何意義；再一方面，還要理清圖像和函數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系；最后一方面，學(xué)生要對曲線和方程之間的對應(yīng)關(guān)系進行理清等.

這種通過數(shù)形結(jié)合來解決問題的過程，能夠快速而準確的找到解題思路并獲得正確答案.

總而言之，數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)過程中的合理融入，對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的形成，以及數(shù)學(xué)問題的解題能力的提升，都具有重要的促進作用.通過圖形的融入，可以讓學(xué)生對各類題目的理解更加深刻而清晰，不僅能夠徹底的提高其解題的速度與準度，更能夠鍛煉其數(shù)學(xué)思維能力，從而讓學(xué)生懂得運用轉(zhuǎn)化思維、逆向思維進行數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí).