文/徐志強(qiáng)
(作者單位:江蘇省常州市第二十四中學(xué)天寧分校)
在古埃及,尼羅河年年洪水泛濫,洪水退后,便會(huì)出現(xiàn)不規(guī)則的新田。在當(dāng)時(shí),如何分地才能使得每塊田都有合適的尺寸和形狀呢?古埃及人用12個(gè)等距離的繩結(jié),就能構(gòu)造出邊長(zhǎng)為3、4、5 的直角三角形,然后又通過(guò)拼湊三角形,得到許多其他圖形。
3、4、5 是滿足勾股定理的3 個(gè)整數(shù),被稱為勾股三元數(shù)。在西方,勾股定理又叫作畢達(dá)哥拉斯定理,相傳是由畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)的。畢達(dá)哥拉斯青年時(shí)期遠(yuǎn)赴埃及,甚至到印度,學(xué)到了很多知識(shí),尤其是數(shù)學(xué)。對(duì)他而言,數(shù)字是神圣的,他相信整個(gè)宇宙都是以整數(shù)建立的。畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為,小數(shù)不屬于自然界,任何事物都可以用整數(shù)解釋。
但是,這個(gè)想法有個(gè)大問(wèn)題,恰恰來(lái)自勾股定理本身。
例如,我們?cè)O(shè)正方形的邊長(zhǎng)是1,從一個(gè)角畫一條對(duì)角線,就得到兩個(gè)直角三角形,那么它的弦有多長(zhǎng)呢?勾和股都是1,弦長(zhǎng)就是。什么數(shù)自乘等于2 呢?這可沒(méi)有整數(shù)解,只有一串復(fù)雜的小數(shù)。因此,這個(gè)簡(jiǎn)單的勾股定理例子表明了畢達(dá)哥拉斯的理念并不成立。
同學(xué)們現(xiàn)在大致能理解這個(gè)危機(jī)中的矛盾,但是數(shù)學(xué)史上卻有很多問(wèn)題讓數(shù)學(xué)家花了大量的時(shí)間進(jìn)行研究。
公元前370 年,這個(gè)矛盾被畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的歐多克索斯通過(guò)給比例下新定義的方法解決了。按照“萬(wàn)物皆數(shù)”的理論,這個(gè)對(duì)角線是數(shù),但是人們無(wú)法用數(shù)將它表示出來(lái),也無(wú)法從幾何角度解釋“邊長(zhǎng)為1 的正方形的對(duì)角線”是什么。歐多克索斯的比例新定義出現(xiàn)后,人們知道了:正方形對(duì)角線的長(zhǎng)度和邊長(zhǎng)成比例,它是比例當(dāng)中的一個(gè)變量。人們能從幾何角度解釋“邊長(zhǎng)為1 的正方形對(duì)角線”了,也就消除了幾何上的危機(jī)。關(guān)于歐多克索斯的比例論,感興趣的同學(xué)可以閱讀歐幾里得的《幾何原本》第二卷“比例論”的相關(guān)內(nèi)容。
雖然如此,但是代數(shù)上的危機(jī)一直沒(méi)有被消除,由無(wú)理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì)下半葉。
1872 年,德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā),用有理數(shù)的“分割”來(lái)定義無(wú)理數(shù),并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上,從而結(jié)束了無(wú)理數(shù)被認(rèn)為“無(wú)理”的時(shí)代,也結(jié)束了數(shù)學(xué)史上持續(xù)2000多年的第一次大危機(jī)。
第一次數(shù)學(xué)危機(jī)表明,幾何學(xué)的某些真理與算術(shù)無(wú)關(guān),幾何量不能完全由整數(shù)及其比值來(lái)表示。反之,數(shù)卻可以由幾何量表示出來(lái)。整數(shù)的地位受到挑戰(zhàn),古希臘的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)受到極大的沖擊。于是,幾何學(xué)開(kāi)始在希臘數(shù)學(xué)中占有特殊地位。