文／徐志強(qiáng)

（作者單位：江蘇省常州市第二十四中學(xué)天寧分校）

在古埃及，尼羅河年年洪水泛濫，洪水退后，便會(huì)出現(xiàn)不規(guī)則的新田。在當(dāng)時(shí)，如何分地才能使得每塊田都有合適的尺寸和形狀呢？古埃及人用12個(gè)等距離的繩結(jié)，就能構(gòu)造出邊長(zhǎng)為3、4、5 的直角三角形，然后又通過(guò)拼湊三角形，得到許多其他圖形。

3、4、5 是滿足勾股定理的3 個(gè)整數(shù)，被稱為勾股三元數(shù)。在西方，勾股定理又叫作畢達(dá)哥拉斯定理，相傳是由畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)的。畢達(dá)哥拉斯青年時(shí)期遠(yuǎn)赴埃及，甚至到印度，學(xué)到了很多知識(shí)，尤其是數(shù)學(xué)。對(duì)他而言，數(shù)字是神圣的，他相信整個(gè)宇宙都是以整數(shù)建立的。畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為，小數(shù)不屬于自然界，任何事物都可以用整數(shù)解釋。

但是，這個(gè)想法有個(gè)大問(wèn)題，恰恰來(lái)自勾股定理本身。

例如，我們?cè)O(shè)正方形的邊長(zhǎng)是1，從一個(gè)角畫一條對(duì)角線，就得到兩個(gè)直角三角形，那么它的弦有多長(zhǎng)呢？勾和股都是1，弦長(zhǎng)就是。什么數(shù)自乘等于2 呢？這可沒(méi)有整數(shù)解，只有一串復(fù)雜的小數(shù)。因此，這個(gè)簡(jiǎn)單的勾股定理例子表明了畢達(dá)哥拉斯的理念并不成立。

同學(xué)們現(xiàn)在大致能理解這個(gè)危機(jī)中的矛盾，但是數(shù)學(xué)史上卻有很多問(wèn)題讓數(shù)學(xué)家花了大量的時(shí)間進(jìn)行研究。

公元前370 年，這個(gè)矛盾被畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的歐多克索斯通過(guò)給比例下新定義的方法解決了。按照“萬(wàn)物皆數(shù)”的理論，這個(gè)對(duì)角線是數(shù)，但是人們無(wú)法用數(shù)將它表示出來(lái)，也無(wú)法從幾何角度解釋“邊長(zhǎng)為1 的正方形的對(duì)角線”是什么。歐多克索斯的比例新定義出現(xiàn)后，人們知道了：正方形對(duì)角線的長(zhǎng)度和邊長(zhǎng)成比例，它是比例當(dāng)中的一個(gè)變量。人們能從幾何角度解釋“邊長(zhǎng)為1 的正方形對(duì)角線”了，也就消除了幾何上的危機(jī)。關(guān)于歐多克索斯的比例論，感興趣的同學(xué)可以閱讀歐幾里得的《幾何原本》第二卷“比例論”的相關(guān)內(nèi)容。

雖然如此，但是代數(shù)上的危機(jī)一直沒(méi)有被消除，由無(wú)理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì)下半葉。

1872 年，德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來(lái)定義無(wú)理數(shù)，并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，從而結(jié)束了無(wú)理數(shù)被認(rèn)為“無(wú)理”的時(shí)代，也結(jié)束了數(shù)學(xué)史上持續(xù)2000多年的第一次大危機(jī)。

第一次數(shù)學(xué)危機(jī)表明，幾何學(xué)的某些真理與算術(shù)無(wú)關(guān)，幾何量不能完全由整數(shù)及其比值來(lái)表示。反之，數(shù)卻可以由幾何量表示出來(lái)。整數(shù)的地位受到挑戰(zhàn)，古希臘的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)受到極大的沖擊。于是，幾何學(xué)開(kāi)始在希臘數(shù)學(xué)中占有特殊地位。