陳善學(xué)，杜文正，馮葉青，李方偉

（重慶郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院，重慶 400065）

引 言

隨著無線通信技術(shù)的迅猛發(fā)展，人們對(duì)通信的速率和安全也提出了更高的要求。而根據(jù)通信理論，二進(jìn)制數(shù)據(jù)傳輸?shù)乃俣仁紫热Q于基帶的調(diào)制方式，通常調(diào)制方式越高數(shù)據(jù)傳輸速率越快，但其調(diào)制的各個(gè)參數(shù)（振幅、相位和頻率）之間的相互影響也越嚴(yán)重，誤碼率也越高，要保障其傳輸質(zhì)量只能通過提高信噪比或采用更加復(fù)雜的接收技術(shù)。而高維信號(hào)在信號(hào)能量相等的情況下，可以實(shí)現(xiàn)更低的誤碼率并且可以在實(shí)際環(huán)境中實(shí)現(xiàn)更加高效和可靠的通信［1?2］。同時(shí)物理層中由于信道固有的開放性與廣播性，使得物理層成了通信系統(tǒng)中最脆弱的一環(huán)，因此物理層安全也引起了學(xué)術(shù)界的廣泛研究。物理層安全中的星座旋轉(zhuǎn)是一種調(diào)整信號(hào)星座使竊聽者無法正確解碼接收到的信息的技術(shù)［3］，目前對(duì)于調(diào)制信號(hào)的加密方式主要有相位旋轉(zhuǎn)［4］、幅相變換［5］和星座間跳轉(zhuǎn)［6］。而文獻(xiàn)［5?6］復(fù)雜度較高，實(shí)現(xiàn)起來比較困難。文獻(xiàn)［7］對(duì)調(diào)制信號(hào)進(jìn)行星座旋轉(zhuǎn)并添加少許人工噪聲以保證OFDM系統(tǒng)的安全，但人工噪聲會(huì)降低信道資源的利用率，文獻(xiàn)［8?9］研究了QPSK信號(hào)的三維星座設(shè)計(jì)并推導(dǎo)了三維星座點(diǎn)的誤碼率。文獻(xiàn)［10?11］設(shè)計(jì)了高階的三維信號(hào)星座，相比于傳統(tǒng)的二維星座，三維星座可以在相同信號(hào)能量前提下降低誤碼率。而傳統(tǒng)的調(diào)制方式，隨著調(diào)制階數(shù)的增大，星座信號(hào)之間的最小歐式距離（Minimum euclidean distance，MED）逐漸減少，致使信號(hào)在信道中的魯棒性受到了損害，信號(hào)的誤碼率開始逐漸增大，而三維星座可以在相同誤碼率的前提下實(shí)現(xiàn)更高的吞吐量，并且提高了信號(hào)的魯棒性。這使得三維信號(hào)星座在提高信息傳輸速率方面具有重大的潛力，尤其是對(duì)于數(shù)據(jù)較大的文件（如音頻、視頻和壓縮包等）的傳輸具有重大意義。而文獻(xiàn)［12］將三維星座分別繞x軸、y軸和z軸旋轉(zhuǎn)不同的角度，這種算法每個(gè)星座點(diǎn)需要依次乘以3個(gè)三維旋轉(zhuǎn)矩陣，空間復(fù)雜度太高。而四元數(shù)可以實(shí)現(xiàn)繞任意軸的旋轉(zhuǎn)［13?14］，且其所需的內(nèi)存遠(yuǎn)小于3個(gè)三維旋轉(zhuǎn)矩陣。而時(shí)間反演（Time reversal，TR）等效于一個(gè)空時(shí)匹配濾波器，可以降低OFDM系統(tǒng)的誤碼率，減小循環(huán)前綴長度。故本文針對(duì)TR?OFDM系統(tǒng)，提出了一種四元數(shù)加密的物理層加密傳輸算法。

1 系統(tǒng)模型

本文的TR?OFDM系統(tǒng)模型主要有3個(gè)節(jié)點(diǎn)，如圖1所示：基站是Alice，合法用戶Bob，而Bob附近有一個(gè)潛在的竊聽者Eve，Eve的位置和信道狀態(tài)信息未知。Bob和Eve都只配備一根天線，基站Alice與合法用戶Bob需要實(shí)現(xiàn)安全傳輸通信。設(shè)Alice到Bob之間的信道為主信道，Alice與Eve之間的信道為竊聽信道。假設(shè)Alice和Bob采用時(shí)分雙工（Time division duplex，TDD）通信模式，通信雙方Alice和Bob利用估計(jì)到的信道狀態(tài)信息生成加密和解密所需的四元數(shù)。根據(jù)本文所采用的安全傳輸模型，采用N個(gè)子載波傳輸?shù)膫鬏擮FDM符號(hào)。主信道和竊聽信道都是瑞利多徑信道。

圖1 系統(tǒng)模型Fig.1 System model

2 四元數(shù)加密算法

三維TR?OFDM系統(tǒng)如圖2所示。

圖2 三維TR?OFDM系統(tǒng)方框圖Fig.2 Block diagram of three?dimensional TR?OFDM system

假設(shè)Alice需要傳輸一組比特序列，先將二進(jìn)制序列進(jìn)行串并變換，然后把每M個(gè)比特映射為一個(gè)三維的信號(hào)si=[xiyizi]T。將每個(gè)三維星座點(diǎn)進(jìn)行四元數(shù)加密后的星座點(diǎn)s'i=[x'iy'iz'i]T表示為

式中：q為四元數(shù)，q=[q0q1q2q3]，s'i等效于三維星座點(diǎn)si繞軸n旋轉(zhuǎn)θ后的三維星座點(diǎn)。

圖3是加密前4?ary的三維星座點(diǎn)，4個(gè)三維星座點(diǎn)均勻分布在一個(gè)半徑為1的球面上，并且4個(gè)點(diǎn)剛好構(gòu)成一個(gè)正四面體。圖4是加密后4?ary的三維星座點(diǎn)，三維星座點(diǎn)經(jīng)過四元數(shù)加密，隨機(jī)地分布在半徑為1的球面上。圖5是加密前16?ary的三維星座點(diǎn)分布，16個(gè)點(diǎn)分別在兩個(gè)不同半徑的球面上，每個(gè)球面上8個(gè)點(diǎn)，而且每個(gè)球面上的8個(gè)點(diǎn)剛好構(gòu)成一個(gè)正方體。圖6是加密后16?ary的三維星座點(diǎn)分布，16?ary的三維星座點(diǎn)經(jīng)過旋轉(zhuǎn)加密后，隨機(jī)地分布在兩個(gè)球的球面上。接著對(duì)加密過的信號(hào)s'i=[x'iy'iz'i]T進(jìn)行I/Q變換（I：同相分量，Q：正交分量）。加密過的信號(hào)s'為

圖3 加密前的三維信號(hào)（4?ary）Fig.3 Three?dimensional signal before en?cryption(4?ary)

圖4 加密后的三維信號(hào)（4?ary）Fig.4 Three?dimensional signal after encryp?tion(4?ary)

圖5 加密前的三維信號(hào)（16?ary）Fig.5 Three?dimensional signal before encryption(16?ary)

圖6 加密后的三維信號(hào)（16?ary）Fig.6 Three?dimensional signal after encryption(16?ary)

I/Q轉(zhuǎn)換后的信號(hào)s''為

將信號(hào)s''進(jìn)行快速傅里葉逆變換（Inverse fast fourier transform，IFFT），為了消除載波間的干擾和符號(hào)間干擾加入循環(huán)前綴，在并串變換后通過時(shí)間反演操作后發(fā)送出去。Bob第k個(gè)子載波上接收到的頻域信號(hào)為

式中：hr(k)為Alice和Bob之間的信道的第k個(gè)子載波的頻域沖激響應(yīng)；hr(k)H為時(shí)間反演鏡，它是主信道在頻域的共軛；nr(k)是均值為0、方差為σ2的加性高斯白噪聲。

式中：L為多徑總數(shù)，αl為第l條多徑的幅度值，Δf為子載波間隔，τl為第l條多徑的時(shí)延。

Bob接收到信號(hào)后對(duì)接收到的信號(hào)進(jìn)行一系列處理（串并變換，傅里葉變換（Fast fourier tansform，F(xiàn)FT），去循環(huán)前綴）后進(jìn)行閾值判決，即可得到聚焦的有用信號(hào)

接著將信號(hào)s''進(jìn)行I/Q逆變換，重新映射為N行3列的三維星座點(diǎn)

與發(fā)送端相對(duì)應(yīng)，Bob利用四元數(shù)對(duì)接收到的信號(hào)進(jìn)行解密，也就是對(duì)三維星座點(diǎn)繞與n對(duì)稱的軸旋轉(zhuǎn)θ，進(jìn)行旋轉(zhuǎn)解密后的信號(hào)為si。

解密后的三維星座點(diǎn)，利用最小距離檢測器，對(duì)接收到的信號(hào)進(jìn)行解調(diào)得到初始的比特信息。

Eve第k個(gè)子載波上接收到的頻域信號(hào)為

式中：he(k)為Alice和Eve之間的信道的第k個(gè)子載波的頻域沖激響應(yīng)，ne(k)是均值為0方差、為σ2的加性高斯白噪聲。

本文所提出的四元數(shù)加密算法流程如圖7所示。

圖7 四元數(shù)加密算法Fig.7 Quaternion encryption algorithm

3 實(shí)驗(yàn)仿真

3.1 MED對(duì)比

最小歐氏距離是衡量星座好壞的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)，在信號(hào)能量相等的條件下，二維星座圖和三維星座圖的MED參數(shù)如表1所示。

表1中三維信號(hào)星座和二維信號(hào)星座的對(duì)應(yīng)關(guān)系為：4?ary?QPSK，16?ary?16QAM，64?ary?64QAM，128?ary?128QAM。從 表1的MED可以看出在信號(hào)能量相等的條件下三維星座圖的MED基本上優(yōu)于二維星座圖的MED，尤其對(duì)于高階調(diào)制信號(hào)，增加比尤其明顯。

表1 最小歐式距離Table 1 MED

3.2 實(shí)驗(yàn)仿真

本節(jié)對(duì)三維星座點(diǎn)的四元數(shù)加密的算法利用MATLAB進(jìn)行了仿真，設(shè)一幀為6個(gè)OFDM符號(hào)，每個(gè)OFDM符號(hào)有128個(gè)子載波，循環(huán)前綴為32，信道為均值為0，方差為1的瑞利多徑信道，信道的多徑長度為9，蒙特卡洛次數(shù)為10 000。

3.2.1 誤符號(hào)率對(duì)比

從圖8可見，三維星座信號(hào)的誤符號(hào)率性能相較于二維星座信號(hào)都有較大的提升，對(duì)于4?ary的信號(hào)三維相較于二維在誤符號(hào)率為10-6時(shí)提升了約2.5個(gè)信噪比，而對(duì)于16?ary三維星座信號(hào)也提升了約2個(gè)信噪比。三維星座信號(hào)改善誤符號(hào)率性能基本上與表1中MED的增加比相符。

圖8 三維星座信號(hào)與傳統(tǒng)二維星座信號(hào)誤符號(hào)率對(duì)比圖Fig.8 Comparison of symbol error rate be?tween 3D constellation signal and tradi?tional 2D constellation signal

3.2.2 誤符號(hào)率降低比

為了對(duì)比二維星座點(diǎn)和三維星座點(diǎn)在相同信噪比下的誤符號(hào)率性能，本文定義了一個(gè)誤符號(hào)率降低比η

式中：e3D為三維星座點(diǎn)對(duì)應(yīng)的誤符號(hào)率，e2D為二維星座點(diǎn)對(duì)應(yīng)的誤符號(hào)率。

從圖9可知，隨著信噪比的增大，誤符號(hào)率降低比也逐漸增大。4?ary的三維星座點(diǎn)對(duì)比于QPSK，當(dāng)信噪比為12 d B時(shí)，誤符號(hào)率降低比到達(dá)下界，而16?ary的三維星座點(diǎn)對(duì)比于16QAM，當(dāng)信噪比為20 d B時(shí)，誤符號(hào)率降低比到達(dá)下界。并且4?ary誤符號(hào)率降低比明顯比16?ary的誤符號(hào)率降低比下降的快。與表1中4?ary和16?ary的MED增加比相對(duì)應(yīng)。

圖9 誤符號(hào)率降低比Fig.9 Symbol error rate reduction ratio

3.2.3 誤符號(hào)率

本文所采用的四元數(shù)加密算法和文獻(xiàn)［15］的人工噪聲（Artificial noise，AN）方案誤符號(hào)率對(duì)比如圖10所示，隨著人工噪聲的能量比例增大，竊聽者的誤符號(hào)率明顯增大，但同時(shí)合法用戶的誤符號(hào)率也會(huì)受到損害。且當(dāng)人工噪聲的能量比例為90%時(shí)，盡管竊聽者的誤符號(hào)率也保持在較高的水平，但仍低于本文所提的方案。而合法用戶的誤符號(hào)率卻受到了較大的影響。

圖10 人工噪聲方案和本文算法的誤符號(hào)率性能對(duì)比Fig.10 Comparison of symbol error rate perfor?mance of the artificial noise scheme and the proposed algorithm

3.2.4 保密傳輸速率

根據(jù)文獻(xiàn)［16］對(duì)于二進(jìn)制廣播信道的保密傳輸速率為Cs=H(eAE)-H(eAB)=

式中：eAB為合法用戶Bob的誤符號(hào)率，eAE為竊聽用戶Eve的誤符號(hào)率。本文對(duì)4?ary的三維星座點(diǎn)和16?ary的三維星座點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的保密傳輸速率進(jìn)行了仿真。仿真結(jié)果如圖11所示。

從圖11可知，文獻(xiàn)［15］的人工噪聲方案的人工噪聲能量比例較小時(shí)，其歸一化保密傳輸速率隨著信噪比增大，逐漸減小，但是當(dāng)人工噪聲的比例為90%時(shí)，人工噪聲方案的歸一化保密傳輸速率也開始上升，但由于人工噪聲能量比例過高，對(duì)合法用戶的誤符號(hào)率也有一定的損害，故其歸一化保密傳輸速率依舊低于本文所提算法。

圖11 保密傳輸速率和人工噪聲方案歸一化保密傳輸速率對(duì)比Fig.11 Comparison of secret transmission rate and the normalized secret transmission rate of the artificial noise scheme

4 結(jié)束語

為了保障TR?OFDM系統(tǒng)的物理層安全傳輸，本文提出一種四元數(shù)加密算法，首先對(duì)TR?OFDM的系統(tǒng)模型進(jìn)行了描述，其次在該模型下，對(duì)本文的四元數(shù)加密算法步驟進(jìn)行了詳細(xì)的說明，最后對(duì)四元數(shù)加密算法的誤符號(hào)率和保密傳輸速率進(jìn)行了仿真，并與傳統(tǒng)的二維星座誤符號(hào)率進(jìn)行了對(duì)比。通過仿真表明：隨著信噪比的增大，本方案可以使竊聽者難以獲得合法通信雙方通信的任何信息，且具有一定的保密傳輸速率，而合法用戶可以獲得比傳統(tǒng)的二維星座信號(hào)更優(yōu)的誤符號(hào)率。相較于人工噪聲方案，本文所提算法不會(huì)影響合法用戶的誤符號(hào)率，這對(duì)于提高數(shù)據(jù)傳輸速率具有重要的意義，在下一代通信或者軍事安全通信中具有重大的潛力。