彈藥傳輸機械臂固定時間終端滑?？刂?/h1>
2021-12-21 05:26:20姚來鵬侯保林
哈爾濱工業(yè)大學學報 2021年1期
姚來鵬, 侯保林
(南京理工大學 機械工程學院, 南京 210094)
彈藥傳輸機械臂是坦克炮彈藥自動裝填系統(tǒng)的重要組成部分，其作用是將彈藥軸線協(xié)調到與待發(fā)射炮管軸線平行的位置[1]. 坦克在運動時由于路面不平度的激勵，車體會產生基礎振動，基礎振動對安裝在車體上的彈藥傳輸機械臂的定位精度產生嚴重影響. 現(xiàn)有的彈藥傳輸機械臂控制器設計大多基于固定參數(shù)的PID控制，魯棒性較差[2]. 因此，如何構造彈藥傳輸機械臂的魯棒控制器是一個亟待解決的難題. 彈藥傳輸機械臂是一種受擾動的不確定性系統(tǒng). 文獻[2-3]根據一種特殊的Lyapunov函數(shù)構造了彈藥傳輸機械臂的控制策略，仿真研究了有振動干擾的彈藥傳輸機械臂位置控制，但是沒有進行實驗研究.
滑?？刂剖且活愄厥獾姆蔷€性控制方法，由于對匹配性模型不確定具有不變性，因而廣泛應用在受擾動不確定系統(tǒng)中[4-5]. 普通線性滑模在系統(tǒng)狀態(tài)抵達滑模面后，只能無限逼近平衡點，不能有限時間收斂；而終端滑模可使系統(tǒng)狀態(tài)有限時間收斂，且比線性滑模具有更好的收斂性能，但是普通終端滑模存在奇異問題. 為了使繩驅動機械臂在復雜不確定工況下獲得滿意的控制性能，文獻[6]設計了新型非奇異終端滑模方法，確保系統(tǒng)有限時間收斂，實現(xiàn)了兩自由度繩驅動機械臂高精度控制. 為了解決高超聲速飛行器在受外界擾動下的飛行控制問題，文獻[7]構造了一種時變滑模方法，理論推導證明了系統(tǒng)所有狀態(tài)有限時間收斂，仿真驗證了控制的有效性.
固定時間控制是一類特殊的有限時間控制，這類控制的收斂時間和系統(tǒng)初始條件情況無關，能夠固定時間收斂. 和一般的有限時間控制相比，固定時間控制中因為同時包含大于1和小于1的分數(shù)冪項，所以無論系統(tǒng)初始狀態(tài)是在平衡點附近還是遠離平衡點處，都能改善系統(tǒng)狀態(tài)的收斂速度，保證系統(tǒng)在固定時間內收斂. 文獻[8]構造了新型固定時間快速終端滑模面，使滑模面的收斂時間不依賴系統(tǒng)初始條件，和傳統(tǒng)的終端滑?？刂破飨啾染哂懈玫氖諗啃阅? 文獻[9]針對航天器受外界干擾下的位置姿態(tài)耦合控制問題，基于固定時間概念構造了終端滑模自適應控制策略，能較好地控制航天器的相對位置和姿態(tài)，干擾抑制能力好. 文獻[10]針對機動目標的末制導攔截問題，構造了一種新型固定時間終端滑模制導律，和有限時間制導律相比，收斂時間獨立于系統(tǒng)初始條件，可以根據制導律預先給定，優(yōu)化系統(tǒng)收斂速率，縮短攔截時間，提高攔截精度. 文獻[11]針對再入飛行器飛行環(huán)境復雜多變的特征，設計了全局滑模跟蹤制導律，實現(xiàn)了固定時間收斂的魯棒跟蹤控制. 文獻[12]針對受海風海浪等擾動情況下潛射導彈姿態(tài)跟蹤控制問題，設計了一種新型固定時間終端滑模控制器，典型導彈發(fā)射軌跡的仿真證明了控制策略魯棒性良好.
在控制系統(tǒng)設計中聯(lián)合干擾觀測器技術形成復合控制，是解決不確定系統(tǒng)控制問題的有效方法之一. 通過估計包含外界干擾及不確定性的復合擾動并加以補償，可以有效抑制系統(tǒng)抖振. 文獻[13]針對無人機中存在不確定干擾問題，采用滑模干擾觀測器對干擾進行估計，實現(xiàn)了無人機對期望指令的有限時間跟蹤. 文獻[14]針對目標攔截過程中存在不確定性和建模誤差的問題，構造了基于固定時間收斂干擾觀測器的終端滑模制導律，仿真表明所設計的制導律有良好的收斂性能和抖振抑制能力. 針對受有界擾動的動力學系統(tǒng)，文獻[15]和文獻[16]設計了一種基于超螺旋算法的固定時間干擾觀測器，使得收斂時間不依賴系統(tǒng)初始狀態(tài)，計算結果證明了控制策略有效. 文獻[17]針對含有參數(shù)攝動、外界干擾的某飛行器彈性模型含有強不確定性問題，采用固定時間超螺旋擾動觀測器估計系統(tǒng)的不確定性并補償?shù)娇刂浦?，改善了控制器的魯棒?
為了解決彈藥傳輸機械臂在基礎振動情況下的準確定位問題，本文以某坦克彈藥傳輸機械臂為研究背景，針對某彈藥傳輸機械臂原理樣機，設計了一種基于固定時間干擾觀測器和固定時間終端滑?？刂葡嘟Y合的復合控制策略. 固定時間干擾觀測器用于估計和補償系統(tǒng)總的干擾，改善系統(tǒng)的抗干擾性能. 固定時間終端滑模用于設計彈藥傳輸機械臂的主控制器，避免了傳統(tǒng)終端滑模的奇異問題，并且使得系統(tǒng)狀態(tài)的收斂時間存在和系統(tǒng)初始狀態(tài)無關的可估計上界. 采用Lyapunov穩(wěn)定理論證明了系統(tǒng)固定時間收斂. 3種不同振動工況下的原理樣機實驗表明，與傳統(tǒng)固定參數(shù)PID控制器相比，復合控制策略魯棒性更強，精度更高，算法先進有效.
1 動力學模型
圖1為彈藥傳輸機械臂原理樣機的工作原理. 彈藥傳輸機械臂主要由機架、升降部分、翻轉部分組成. 升降電機驅動主動鏈輪、傳動鏈條、從動鏈輪轉動，傳動鏈條帶動升降部分沿升降導軌進行升降運動. 翻轉部分由翻轉電機驅動支臂進行回轉運動.
1—升降電機；2—主動鏈輪；3—升降導軌；4—支臂；5— 翻轉電機；6—從動鏈輪；7—傳動鏈條；8—機架
為便于分析，此處只考慮彈藥傳輸機械臂在垂直平面內運動的動力學模型，如圖2所示. 其中，XOY為笛卡爾坐標系；B1、B2、B3分別表示安裝機架、升降部分與翻轉部分，C2與C3分別為B2與B3的質心；假設B3的轉軸過C2點，yr1為安裝機架的基礎振動位移；yr2為B2相對B1的位移；θ3為彈藥傳輸機械臂支臂繞C2的翻轉角位移；L3為C2和C3之間的距離.
圖2 彈藥傳輸機械臂的簡化動力學模型
設B2與B3的質量分別為m2與m3，B3相對其質心的轉動慣量為J3. 選擇q=[yr2,θ3]T為系統(tǒng)的廣義坐標，則由第二類Lagrange方程可得彈藥傳輸機械臂的動力學模型為
(1)
式中：KT2、KT3分別為升降電機和翻轉電機的轉矩系數(shù)；I2、I3分別為升降電機和翻轉電機的控制電流；i2、i3分別為升降部分和翻轉部分的傳動比；η2、η3分別為升降部分和翻轉部分的傳動效率.
2 固定時間控制器設計
(2)
2.1 固定時間干擾觀測器設計
受文獻[18]啟發(fā)，固定時間干擾觀測器可設計為：
(3)
定理1對于系統(tǒng)(2)，若干擾觀測器設計為式(3)，則觀測器的估計誤差σ固定時間收斂到原點，收斂時間T1滿足
式中：
(i=1,2),ε=(k1/k2)1/(p+1/2).
證明對σ求導，代入式(2)和式(3)可得
代入式(3)可得
由文獻[18]可知，觀測誤差σ在固定時間T1內收斂到原點，T1滿足
2.2 固定時間終端滑?？刂坡稍O計
s=φ(e1)e1+sigr2(e2).
(4)
式中：φ(e1)=diag(φ(e11),φ(e12))為對稱矩陣，其元素為φ(e1i)=(α|e1i|g1-1/(kr2)+β|e1i|g2-1/(kr2))kr2，i=1,2；α、β、k、r2、g1、g2為常數(shù)，且α、β>0,k>1,2>r2>1, 1/r21.
定義非負函數(shù)φ(x)為
式中：τ為常數(shù)，τ>0，函數(shù)φ(x)滿足x→0,(φ(x))/x→0.
結合固定時間收斂雙冪次趨近律[19]，則固定時間終端滑?？刂坡煽稍O計為
(1/r2)diag(φ(|e2|r2-1))diag(|e2|1-r2)×
[l1siga1(s)+l2siga2(s)]-
(5)
定理2對于式(2)，若采用固定時間觀測器(3)、滑模面式(4)和控制律(5)，則系統(tǒng)誤差在時間T內收斂到原點，收斂時間T滿足
T≤T1+T2+T3.
證明取Lyapunov函數(shù)為V=0.5sTs，對其求導得
sT{-diag(φ(|e2|r2-1))[l1siga1(s)+l2siga2(s)]+
(6)
r2diag(|e2|r2-1)ηsign(s)}=
即
如果e2i≠0則φ(|e2i|r2-1)>0,(i=1,2)，系統(tǒng)狀態(tài)空間被劃分如下兩個區(qū)域：
Ω1={(e1i,e2i)||e2i|r2-1>τ,i=1,2}，
Ω2={(e1i,e2i)||e2i|r2-1≤τ,i=1,2}.
內到達滑模面[12].
當系統(tǒng)狀態(tài)在區(qū)域Ω2時，代入控制律(5)到系統(tǒng)(2)中可得
[l1siga1(s)+l2siga2(s)]-ηsign(s).
(7)
當系統(tǒng)狀態(tài)到達滑模面后，由滑模面(4)可知，
(8)
定義輔助變量χi=|e1i|1-g1k,(i=1,2)，則式(8)可以改寫成
(9)
式中μ=(g2-g1)/(1-g1k).
對式(9)進行積分，可得
故系統(tǒng)狀態(tài)到達滑模面后在固定時間T3內到達原點.
綜上所述，系統(tǒng)狀態(tài)在固定時間T≤T1+T2+T3內收斂到原點. 證畢.
為了說明本文所采用滑模面的優(yōu)越性，選取傳統(tǒng)非奇異終端滑模面和文獻[21]的非奇異快速終端滑模面與本文的非奇異固定時間終端滑模面進行仿真對比研究.
1)傳統(tǒng)非奇異終端滑模面為
式中：σ1為大于0的常數(shù).
2)文獻[21]的非奇異快速終端滑模面為
式中：σ2、r3為大于0的常數(shù)，且r3>r2.
為了便于公平比較，仿真中選取系數(shù)α=β=1,k=2,r2=5/3,g1=3/10,g2=7/10,σ1=σ2=1,r3=7/3. 則本文的非奇異固定時間終端滑模面可化為
傳統(tǒng)非奇異終端滑模面可化為
文獻[21]的非奇異快速終端滑模面可化為
仿真選取初始狀態(tài)x(0)=0.1(狀態(tài)變量距離平衡點較近)和x(0)=10(狀態(tài)變量距離平衡點較遠)兩種情況進行對比. 仿真結果如圖3所示.
(a) 初始狀態(tài)x(0)=0.1
(b)初始狀態(tài)x(0)=10
從圖3(a)和3(b)可以看出，與滑模面s1、s2相比，本文采用的固定時間終端滑模面無論系統(tǒng)初始狀態(tài)是在平衡點附近還是遠離平衡點處，都能改善系統(tǒng)狀態(tài)的收斂速度，具有更快的收斂速度. 證明了本文固定時間終端滑模的優(yōu)越性.
3 實驗驗證
為檢驗提出的控制器的有效性，搭建了如圖4所示的彈藥傳輸機械臂樣機實驗裝置. 基礎振動臺用來模擬路面產生的激勵.
圖4 彈藥傳輸機械臂實驗裝置
圖5為彈藥傳輸機械臂系統(tǒng)控制框圖. 實驗控制算法在上位機中采用LabVIEW編寫，執(zhí)行電機選用 Maxon 公司的EC45型無刷直流電機，控制器采用70/10型EPOS2數(shù)字位置控制器，控制器通過USB 和上位機進行通訊交換數(shù)據，編碼器采用 HEDL9140 型光電編碼器，電機工作在電流模式下.
圖5 彈藥傳輸機械臂系統(tǒng)控制框圖
彈藥傳輸機械臂樣機參數(shù)如下：m2=8.6 kg,m3=3.6 kg,J3=1.6 kg·m2,L3=0.25 m，g=9.8 m/s2，KT2=KT3=45.5 mN·m/A,η2=η3=0.9,i2=113,i3=353. 控制器參數(shù)設置為：k1=20,k2=15,k3=5,p=3,α=1,β=1,k=2,r2=16/15,g1=5/12,g2=1,l1=1,l2=2,a1=2,a2=1/2,η=1,τ=0.005.
為說明所設計方法的實用性和優(yōu)越性，選取工程上彈藥傳輸機械臂系統(tǒng)常用的固定參數(shù)PID控制方法進行對比實驗. 升降部分的PID控制參數(shù)取值為Kp1=4 400,Ki1=1 200,Kd1=1 800；翻轉部分的PID控制參數(shù)取值為Kp2=290,Ki2=40,Kd2=40.
進行考慮3種不同正弦垂直振動工況下的定位實驗，工況1：振動臺振幅為10 mm，頻率為1 Hz；工況2：振動臺振幅為20 mm，頻率為1 Hz；工況3：振動臺振幅為50 mm，頻率為0.5 Hz. 升降定位目標為0.3 m，翻轉定位目標為π/3·rad. 3種工況實驗結果分別如圖6～8所示.
(a) 升降位移
(c) 升降滑模面
(b)翻轉角位移
(d) 翻轉滑模面
(a) 升降位移
(c) 升降滑模面
(b) 翻轉角位移
(d) 翻轉滑模面
(a) 升降位移
(c) 升降滑模面
(b) 翻轉角位移
(d) 翻轉滑模面
由圖6(a)和6(b)可以看出，工況1振動下，F(xiàn)TSMC算法和PID算法都能使得彈藥傳輸機械臂快速準確定位到位. 這是因為PID算法的控制參數(shù)是在工況1下整定得到，因而PID算法也有較好的控制精度. 但是，結合固定時間收斂干擾觀測器的FTSMC算法的升降和翻轉定位時間都要明顯小于PID算法相應的定位時間，表明結合固定時間收斂干擾觀測器的FTSMC算法收斂速度更快.
對比3種振動工況的實驗結果可知，3種振動工況下FTSMC算法的升降和翻轉定位誤差都要小于PID算法相應的定位誤差，并且隨著基礎振動的加強，F(xiàn)TSMC算法的升降和翻轉定位誤差都沒有明顯增加，說明設計的固定時間收斂干擾觀測器能夠有效地估計和補償外界的振動激勵影響，表明結合固定時間收斂干擾觀測器的FTSMC算法具有很強的魯棒性. 相比之下，由圖7(a)、7(b)、8(a)和8(b)可知，PID算法在基礎振動加強后，升降和翻轉的定位誤差都有明顯增加，特別是圖7(b)和8(b)翻轉部分的定位誤差已趨于惡化，分別為0.016 rad和0.021 rad，遠遠高于FTSMC算法的0.005 rad和0.003 rad. 說明當外界振動激勵增強后，PID算法控制精度大大下降，抗干擾能力較差. 同時，3種工況下結合固定時間收斂干擾觀測器的FTSMC算法的升降和翻轉定位時間都要小于PID算法相應的定位時間，再次驗證了結合固定時間收斂干擾觀測器的FTSMC算法收斂速度更快. 升降滑模面和翻轉滑模面都能在固定時間內收斂，驗證了定理2的結論.
綜上所述，本文提出的FTSMC算法在定位誤差精度和時間上都要明顯優(yōu)于傳統(tǒng)固定參數(shù)的PID控制算法，所設計的固定時間控制律能夠使彈藥傳輸機械臂在更短的時間內收斂到期望位置，振動抑制效果明顯優(yōu)于傳統(tǒng)固定參數(shù)PID算法，魯棒性強 ，更有利于實際工程應用。
4 結 論
1)針對彈藥傳輸機械臂在路面激勵外界擾動下的位置控制問題，基于拉格朗日方程，建立了考慮垂直基礎振動的彈藥傳輸機械臂動力學方程.
2)提出了固定時間觀測器和固定時間終端滑模相結合的復合控制策略，固定時間觀測器用于估計和補償外界的總干擾項，固定時間終端滑模用于設計彈藥傳輸機械臂的主控制器，采用Lyapunov穩(wěn)定理論證明了系統(tǒng)固定時間收斂.
3)實驗結果驗證了所設計算法的有效性和強魯棒性. 與固定參數(shù)PID控制算法相比，本文提出的算法具有更高的控制精度和干擾抑制能力，對其他具有基礎振動的機械臂控制器設計有工程實際參考意義.
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彈藥傳輸機械臂是坦克炮彈藥自動裝填系統(tǒng)的重要組成部分，其作用是將彈藥軸線協(xié)調到與待發(fā)射炮管軸線平行的位置[1]. 坦克在運動時由于路面不平度的激勵，車體會產生基礎振動，基礎振動對安裝在車體上的彈藥傳輸機械臂的定位精度產生嚴重影響. 現(xiàn)有的彈藥傳輸機械臂控制器設計大多基于固定參數(shù)的PID控制，魯棒性較差[2]. 因此，如何構造彈藥傳輸機械臂的魯棒控制器是一個亟待解決的難題. 彈藥傳輸機械臂是一種受擾動的不確定性系統(tǒng). 文獻[2-3]根據一種特殊的Lyapunov函數(shù)構造了彈藥傳輸機械臂的控制策略，仿真研究了有振動干擾的彈藥傳輸機械臂位置控制，但是沒有進行實驗研究.
滑?？刂剖且活愄厥獾姆蔷€性控制方法，由于對匹配性模型不確定具有不變性，因而廣泛應用在受擾動不確定系統(tǒng)中[4-5]. 普通線性滑模在系統(tǒng)狀態(tài)抵達滑模面后，只能無限逼近平衡點，不能有限時間收斂；而終端滑模可使系統(tǒng)狀態(tài)有限時間收斂，且比線性滑模具有更好的收斂性能，但是普通終端滑模存在奇異問題. 為了使繩驅動機械臂在復雜不確定工況下獲得滿意的控制性能，文獻[6]設計了新型非奇異終端滑模方法，確保系統(tǒng)有限時間收斂，實現(xiàn)了兩自由度繩驅動機械臂高精度控制. 為了解決高超聲速飛行器在受外界擾動下的飛行控制問題，文獻[7]構造了一種時變滑模方法，理論推導證明了系統(tǒng)所有狀態(tài)有限時間收斂，仿真驗證了控制的有效性.
固定時間控制是一類特殊的有限時間控制，這類控制的收斂時間和系統(tǒng)初始條件情況無關，能夠固定時間收斂. 和一般的有限時間控制相比，固定時間控制中因為同時包含大于1和小于1的分數(shù)冪項，所以無論系統(tǒng)初始狀態(tài)是在平衡點附近還是遠離平衡點處，都能改善系統(tǒng)狀態(tài)的收斂速度，保證系統(tǒng)在固定時間內收斂. 文獻[8]構造了新型固定時間快速終端滑模面，使滑模面的收斂時間不依賴系統(tǒng)初始條件，和傳統(tǒng)的終端滑?？刂破飨啾染哂懈玫氖諗啃阅? 文獻[9]針對航天器受外界干擾下的位置姿態(tài)耦合控制問題，基于固定時間概念構造了終端滑模自適應控制策略，能較好地控制航天器的相對位置和姿態(tài)，干擾抑制能力好. 文獻[10]針對機動目標的末制導攔截問題，構造了一種新型固定時間終端滑模制導律，和有限時間制導律相比，收斂時間獨立于系統(tǒng)初始條件，可以根據制導律預先給定，優(yōu)化系統(tǒng)收斂速率，縮短攔截時間，提高攔截精度. 文獻[11]針對再入飛行器飛行環(huán)境復雜多變的特征，設計了全局滑模跟蹤制導律，實現(xiàn)了固定時間收斂的魯棒跟蹤控制. 文獻[12]針對受海風海浪等擾動情況下潛射導彈姿態(tài)跟蹤控制問題，設計了一種新型固定時間終端滑模控制器，典型導彈發(fā)射軌跡的仿真證明了控制策略魯棒性良好.
在控制系統(tǒng)設計中聯(lián)合干擾觀測器技術形成復合控制，是解決不確定系統(tǒng)控制問題的有效方法之一. 通過估計包含外界干擾及不確定性的復合擾動并加以補償，可以有效抑制系統(tǒng)抖振. 文獻[13]針對無人機中存在不確定干擾問題，采用滑模干擾觀測器對干擾進行估計，實現(xiàn)了無人機對期望指令的有限時間跟蹤. 文獻[14]針對目標攔截過程中存在不確定性和建模誤差的問題，構造了基于固定時間收斂干擾觀測器的終端滑模制導律，仿真表明所設計的制導律有良好的收斂性能和抖振抑制能力. 針對受有界擾動的動力學系統(tǒng)，文獻[15]和文獻[16]設計了一種基于超螺旋算法的固定時間干擾觀測器，使得收斂時間不依賴系統(tǒng)初始狀態(tài)，計算結果證明了控制策略有效. 文獻[17]針對含有參數(shù)攝動、外界干擾的某飛行器彈性模型含有強不確定性問題，采用固定時間超螺旋擾動觀測器估計系統(tǒng)的不確定性并補償?shù)娇刂浦?，改善了控制器的魯棒?
為了解決彈藥傳輸機械臂在基礎振動情況下的準確定位問題，本文以某坦克彈藥傳輸機械臂為研究背景，針對某彈藥傳輸機械臂原理樣機，設計了一種基于固定時間干擾觀測器和固定時間終端滑?？刂葡嘟Y合的復合控制策略. 固定時間干擾觀測器用于估計和補償系統(tǒng)總的干擾，改善系統(tǒng)的抗干擾性能. 固定時間終端滑模用于設計彈藥傳輸機械臂的主控制器，避免了傳統(tǒng)終端滑模的奇異問題，并且使得系統(tǒng)狀態(tài)的收斂時間存在和系統(tǒng)初始狀態(tài)無關的可估計上界. 采用Lyapunov穩(wěn)定理論證明了系統(tǒng)固定時間收斂. 3種不同振動工況下的原理樣機實驗表明，與傳統(tǒng)固定參數(shù)PID控制器相比，復合控制策略魯棒性更強，精度更高，算法先進有效.
1 動力學模型
圖1為彈藥傳輸機械臂原理樣機的工作原理. 彈藥傳輸機械臂主要由機架、升降部分、翻轉部分組成. 升降電機驅動主動鏈輪、傳動鏈條、從動鏈輪轉動，傳動鏈條帶動升降部分沿升降導軌進行升降運動. 翻轉部分由翻轉電機驅動支臂進行回轉運動.
1—升降電機；2—主動鏈輪；3—升降導軌；4—支臂；5— 翻轉電機；6—從動鏈輪；7—傳動鏈條；8—機架
為便于分析，此處只考慮彈藥傳輸機械臂在垂直平面內運動的動力學模型，如圖2所示. 其中，XOY為笛卡爾坐標系；B1、B2、B3分別表示安裝機架、升降部分與翻轉部分，C2與C3分別為B2與B3的質心；假設B3的轉軸過C2點，yr1為安裝機架的基礎振動位移；yr2為B2相對B1的位移；θ3為彈藥傳輸機械臂支臂繞C2的翻轉角位移；L3為C2和C3之間的距離.
圖2 彈藥傳輸機械臂的簡化動力學模型
設B2與B3的質量分別為m2與m3，B3相對其質心的轉動慣量為J3. 選擇q=[yr2,θ3]T為系統(tǒng)的廣義坐標，則由第二類Lagrange方程可得彈藥傳輸機械臂的動力學模型為
(1)
式中：KT2、KT3分別為升降電機和翻轉電機的轉矩系數(shù)；I2、I3分別為升降電機和翻轉電機的控制電流；i2、i3分別為升降部分和翻轉部分的傳動比；η2、η3分別為升降部分和翻轉部分的傳動效率.
2 固定時間控制器設計
(2)
2.1 固定時間干擾觀測器設計
受文獻[18]啟發(fā)，固定時間干擾觀測器可設計為：
(3)
定理1對于系統(tǒng)(2)，若干擾觀測器設計為式(3)，則觀測器的估計誤差σ固定時間收斂到原點，收斂時間T1滿足
式中：
(i=1,2),ε=(k1/k2)1/(p+1/2).
證明對σ求導，代入式(2)和式(3)可得
代入式(3)可得
由文獻[18]可知，觀測誤差σ在固定時間T1內收斂到原點，T1滿足
2.2 固定時間終端滑?？刂坡稍O計
s=φ(e1)e1+sigr2(e2).
(4)
式中：φ(e1)=diag(φ(e11),φ(e12))為對稱矩陣，其元素為φ(e1i)=(α|e1i|g1-1/(kr2)+β|e1i|g2-1/(kr2))kr2，i=1,2；α、β、k、r2、g1、g2為常數(shù)，且α、β>0,k>1,2>r2>1, 1/r2
定義非負函數(shù)φ(x)為
式中：τ為常數(shù)，τ>0，函數(shù)φ(x)滿足x→0,(φ(x))/x→0.
結合固定時間收斂雙冪次趨近律[19]，則固定時間終端滑?？刂坡煽稍O計為
(1/r2)diag(φ(|e2|r2-1))diag(|e2|1-r2)×
[l1siga1(s)+l2siga2(s)]-
(5)
定理2對于式(2)，若采用固定時間觀測器(3)、滑模面式(4)和控制律(5)，則系統(tǒng)誤差在時間T內收斂到原點，收斂時間T滿足
T≤T1+T2+T3.
證明取Lyapunov函數(shù)為V=0.5sTs，對其求導得
sT{-diag(φ(|e2|r2-1))[l1siga1(s)+l2siga2(s)]+
(6)
r2diag(|e2|r2-1)ηsign(s)}=
即
如果e2i≠0則φ(|e2i|r2-1)>0,(i=1,2)，系統(tǒng)狀態(tài)空間被劃分如下兩個區(qū)域：
Ω1={(e1i,e2i)||e2i|r2-1>τ,i=1,2}，
Ω2={(e1i,e2i)||e2i|r2-1≤τ,i=1,2}.
內到達滑模面[12].
當系統(tǒng)狀態(tài)在區(qū)域Ω2時，代入控制律(5)到系統(tǒng)(2)中可得
[l1siga1(s)+l2siga2(s)]-ηsign(s).
(7)
當系統(tǒng)狀態(tài)到達滑模面后，由滑模面(4)可知，
(8)
定義輔助變量χi=|e1i|1-g1k,(i=1,2)，則式(8)可以改寫成
(9)
式中μ=(g2-g1)/(1-g1k).
對式(9)進行積分，可得
故系統(tǒng)狀態(tài)到達滑模面后在固定時間T3內到達原點.
綜上所述，系統(tǒng)狀態(tài)在固定時間T≤T1+T2+T3內收斂到原點. 證畢.
為了說明本文所采用滑模面的優(yōu)越性，選取傳統(tǒng)非奇異終端滑模面和文獻[21]的非奇異快速終端滑模面與本文的非奇異固定時間終端滑模面進行仿真對比研究.
1)傳統(tǒng)非奇異終端滑模面為
式中：σ1為大于0的常數(shù).
2)文獻[21]的非奇異快速終端滑模面為
式中：σ2、r3為大于0的常數(shù)，且r3>r2.
為了便于公平比較，仿真中選取系數(shù)α=β=1,k=2,r2=5/3,g1=3/10,g2=7/10,σ1=σ2=1,r3=7/3. 則本文的非奇異固定時間終端滑模面可化為
傳統(tǒng)非奇異終端滑模面可化為
文獻[21]的非奇異快速終端滑模面可化為
仿真選取初始狀態(tài)x(0)=0.1(狀態(tài)變量距離平衡點較近)和x(0)=10(狀態(tài)變量距離平衡點較遠)兩種情況進行對比. 仿真結果如圖3所示.
(a) 初始狀態(tài)x(0)=0.1
(b)初始狀態(tài)x(0)=10
從圖3(a)和3(b)可以看出，與滑模面s1、s2相比，本文采用的固定時間終端滑模面無論系統(tǒng)初始狀態(tài)是在平衡點附近還是遠離平衡點處，都能改善系統(tǒng)狀態(tài)的收斂速度，具有更快的收斂速度. 證明了本文固定時間終端滑模的優(yōu)越性.
3 實驗驗證
為檢驗提出的控制器的有效性，搭建了如圖4所示的彈藥傳輸機械臂樣機實驗裝置. 基礎振動臺用來模擬路面產生的激勵.
圖4 彈藥傳輸機械臂實驗裝置
圖5為彈藥傳輸機械臂系統(tǒng)控制框圖. 實驗控制算法在上位機中采用LabVIEW編寫，執(zhí)行電機選用 Maxon 公司的EC45型無刷直流電機，控制器采用70/10型EPOS2數(shù)字位置控制器，控制器通過USB 和上位機進行通訊交換數(shù)據，編碼器采用 HEDL9140 型光電編碼器，電機工作在電流模式下.
圖5 彈藥傳輸機械臂系統(tǒng)控制框圖
彈藥傳輸機械臂樣機參數(shù)如下：m2=8.6 kg,m3=3.6 kg,J3=1.6 kg·m2,L3=0.25 m，g=9.8 m/s2，KT2=KT3=45.5 mN·m/A,η2=η3=0.9,i2=113,i3=353. 控制器參數(shù)設置為：k1=20,k2=15,k3=5,p=3,α=1,β=1,k=2,r2=16/15,g1=5/12,g2=1,l1=1,l2=2,a1=2,a2=1/2,η=1,τ=0.005.
為說明所設計方法的實用性和優(yōu)越性，選取工程上彈藥傳輸機械臂系統(tǒng)常用的固定參數(shù)PID控制方法進行對比實驗. 升降部分的PID控制參數(shù)取值為Kp1=4 400,Ki1=1 200,Kd1=1 800；翻轉部分的PID控制參數(shù)取值為Kp2=290,Ki2=40,Kd2=40.
進行考慮3種不同正弦垂直振動工況下的定位實驗，工況1：振動臺振幅為10 mm，頻率為1 Hz；工況2：振動臺振幅為20 mm，頻率為1 Hz；工況3：振動臺振幅為50 mm，頻率為0.5 Hz. 升降定位目標為0.3 m，翻轉定位目標為π/3·rad. 3種工況實驗結果分別如圖6～8所示.
(a) 升降位移
(c) 升降滑模面
(b)翻轉角位移
(d) 翻轉滑模面
(a) 升降位移
(c) 升降滑模面
(b) 翻轉角位移
(d) 翻轉滑模面
(a) 升降位移
(c) 升降滑模面
(b) 翻轉角位移
(d) 翻轉滑模面
由圖6(a)和6(b)可以看出，工況1振動下，F(xiàn)TSMC算法和PID算法都能使得彈藥傳輸機械臂快速準確定位到位. 這是因為PID算法的控制參數(shù)是在工況1下整定得到，因而PID算法也有較好的控制精度. 但是，結合固定時間收斂干擾觀測器的FTSMC算法的升降和翻轉定位時間都要明顯小于PID算法相應的定位時間，表明結合固定時間收斂干擾觀測器的FTSMC算法收斂速度更快.
對比3種振動工況的實驗結果可知，3種振動工況下FTSMC算法的升降和翻轉定位誤差都要小于PID算法相應的定位誤差，并且隨著基礎振動的加強，F(xiàn)TSMC算法的升降和翻轉定位誤差都沒有明顯增加，說明設計的固定時間收斂干擾觀測器能夠有效地估計和補償外界的振動激勵影響，表明結合固定時間收斂干擾觀測器的FTSMC算法具有很強的魯棒性. 相比之下，由圖7(a)、7(b)、8(a)和8(b)可知，PID算法在基礎振動加強后，升降和翻轉的定位誤差都有明顯增加，特別是圖7(b)和8(b)翻轉部分的定位誤差已趨于惡化，分別為0.016 rad和0.021 rad，遠遠高于FTSMC算法的0.005 rad和0.003 rad. 說明當外界振動激勵增強后，PID算法控制精度大大下降，抗干擾能力較差. 同時，3種工況下結合固定時間收斂干擾觀測器的FTSMC算法的升降和翻轉定位時間都要小于PID算法相應的定位時間，再次驗證了結合固定時間收斂干擾觀測器的FTSMC算法收斂速度更快. 升降滑模面和翻轉滑模面都能在固定時間內收斂，驗證了定理2的結論.
綜上所述，本文提出的FTSMC算法在定位誤差精度和時間上都要明顯優(yōu)于傳統(tǒng)固定參數(shù)的PID控制算法，所設計的固定時間控制律能夠使彈藥傳輸機械臂在更短的時間內收斂到期望位置，振動抑制效果明顯優(yōu)于傳統(tǒng)固定參數(shù)PID算法，魯棒性強 ，更有利于實際工程應用。
4 結 論
1)針對彈藥傳輸機械臂在路面激勵外界擾動下的位置控制問題，基于拉格朗日方程，建立了考慮垂直基礎振動的彈藥傳輸機械臂動力學方程.
2)提出了固定時間觀測器和固定時間終端滑模相結合的復合控制策略，固定時間觀測器用于估計和補償外界的總干擾項，固定時間終端滑模用于設計彈藥傳輸機械臂的主控制器，采用Lyapunov穩(wěn)定理論證明了系統(tǒng)固定時間收斂.
3)實驗結果驗證了所設計算法的有效性和強魯棒性. 與固定參數(shù)PID控制算法相比，本文提出的算法具有更高的控制精度和干擾抑制能力，對其他具有基礎振動的機械臂控制器設計有工程實際參考意義.
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