呂嘉琳 牛江川 申永軍 楊紹普

(石家莊鐵道大學交通工程結構力學行為與系統(tǒng)安全國家重點實驗室，石家莊 050043)

(石家莊鐵道大學機械工程學院，石家莊 050043)

引言

在機械零件中帶孔零件占比為50%～ 80%[1]，因此孔加工在金屬切削加工中占有重要地位.孔加工約占金屬切削總量的33%[2]，而深孔加工是孔加工中的一個重要領域.鏜桿在深孔加工中應用廣泛，當鏜桿的長度與直徑比大于5 時便容易發(fā)生顫振，從而導致零件的加工質量大幅下降[3-5].因此，對鏜桿進行減振就顯得尤為重要[6-8].

學者們對鏜桿的振動控制進行了深入研究，主要采用阻尼減振和吸振技術抑制鏜桿系統(tǒng)的振動.Mei 等[9]提出了一種基于磁流變液控制鏜桿顫振的方法.Li 等[10]在鏜桿內部增加變剛度動力吸振器來減振，通過改變軸向壓縮力調節(jié)吸振器的剛度來適應不同激勵頻率下的振動控制.Hayati 等[11]通過一種內部摩擦阻尼結構，在彎曲振動期間向鏜桿施加額外的能量耗散，以減小加工過程中的顫振.Yadav等[12]在細長鏜桿內集成了調諧質量阻尼器，以提高鏜削過程的抗顫振性能.基于約束層阻尼梁理論和有限元方法，Song 等[13]提出了一種約束層阻尼鏜桿專用鏜刀的設計與優(yōu)化方法.侯學元等[14]將彈性質量塊安裝在不同的角度位置來改變鏜桿的固有頻率，然后利用Ansys 進行參數(shù)優(yōu)化并利用Adams 軟件進行仿真.劉強等[15]提出通過調整變質量吸振器的吸振塊質量對減振鏜桿的減振性能進行調節(jié)，從而提高減振鏜桿的減振性能.孔天榮[16]提出了支撐剛度可控型的磁流變自抑振智能鏜桿設計方案，并對關鍵結構磁流變液抑振單元進行了參數(shù)優(yōu)化.趙勛等[17]開展了一種新材料鏜桿在深孔加工的抗振性能研究.譚駿等[18]研究了一款內置阻尼減振器的減振鏜桿.張紅衛(wèi)和吳伏家[19]設計了一套在鏜桿中裝有減振裝置及復合層疊結構的新型抗振鏜桿.

非線性能量阱(nonlinear energy sink，NES)在振動抑制方面效果顯著[20-21].非線性能量阱由較輕的附加質量，強非線性剛度彈簧和阻尼元件組成，可以將振動能量從主體結構單向傳遞至耗能元件.非線性能量阱的定義是由Vakakis[22]在2001 年提出的，其非線性剛度可以通過將質量塊與兩根剛度相同且長度相等的線性彈簧相連接來實現(xiàn)，這樣兩根線性彈簧所提供的恢復力與彈簧的伸長量可近似等效為3 次剛度[23].研究發(fā)現(xiàn)[24-26]，非線性能量阱能夠在較寬的頻帶范圍內有效吸收主體結構的振動能量，并利用阻尼元件將其耗散，具有更寬的減振頻帶和更高的魯棒性.Etienne 等[27]在車刀上附加非線性能量阱吸振器，以減少車削過程中的顫振.Ahmadabadi和Khadem[28]發(fā)現(xiàn)將非線性能量阱吸振器附接到鉆柱的不同部件上可以有助于降低振幅.Giuseppe 和Francesco[29]提出了一種用于減輕主體結構系統(tǒng)振動的調諧雙穩(wěn)態(tài)非線性能量阱，并證實其對寬范圍的脈沖振動具有很好的吸收效果.Ding 和Chen[30]綜述了非線性能量阱的發(fā)展及其重要的振動控制特性，并強調了結構附加非線性能量阱后可能導致的復雜動力學行為.時成龍等[31]對非線性能量阱在建筑結構等方面的減振應用進展進行了綜述.李晨等[32]提出了一種杠桿型并聯(lián)非線性能量阱的吸振系統(tǒng)，并基于諧波平衡法和偽弧長延伸法得到了系統(tǒng)的幅頻響應曲線.王國旭等[33]研究了簡諧激勵下雙彈簧非線性能量阱的優(yōu)化問題.劉良坤等[34]對基底簡諧激勵下的非線性能量阱系統(tǒng)減振特性及其最優(yōu)參數(shù)進行了研究.

本文通過將線性動力吸振器和非線性能量阱組合附加到鏜桿內部，基于線性鏜桿模型研究復合式吸振器對鏜桿在簡諧激勵下受迫振動的減振效果.建立附加線性動力吸振器和非線性能量阱吸振器的線性鏜桿系統(tǒng)模型，然后基于平均法研究鏜桿系統(tǒng)在簡諧激勵下受迫振動的近似解析解，并利用數(shù)值解進行驗證.詳細分析復合式動力吸振器的減振效果，并對線性動力吸振器和非線性能量阱吸振器進行參數(shù)優(yōu)化.

1 系統(tǒng)模型

忽略鏜桿模型中的非線性因素[35]，在附加線性動力吸振器的兩自由度鏜桿模型的基礎上，將非線性能量阱附加到鏜桿內部用于吸振，系統(tǒng)的物理模型如圖1 所示.圖1 中m1是鏜桿系統(tǒng)的等效質量，c1是鏜桿系統(tǒng)的等效阻尼，k1是鏜桿系統(tǒng)的等效線性剛度.m2，k2和c2分別是線性動力吸振器的質量、線性剛度和阻尼，m3，k3和c3分別是非線性能量阱的質量、非線性剛度和阻尼.x1，x2和x3分別表示質量塊m1，m2以及m3的位移.將包括切削力在內的組合外力簡化為Fcos(ωt)，其中F為激勵幅值，ω為激勵角頻率.

圖1 附加復合式吸振器的鏜桿系統(tǒng)模型Fig.1 System model of boring bar with combined absorber

建立鏜桿系統(tǒng)的動力學模型，得到運動方程

將相對位移表示為xr1=x1-x2，xr2=x1-x3，代入式(1)中可以得到

2 近似解析解

利用平均法研究鏜桿系統(tǒng)的受迫振動，設系統(tǒng)的周期解為

其中，ψ1=ωt+θ1，ψ2=ωt+θ2，ψ3=ωt+θ3.

對式(4)關于t求導，得到

根據(jù)式(3)～式(5)可以得到

其中

求解式(6)，可以得到

利用一個振動周期T=2π/ω 內的平均值來代替振幅和相位的慢變真值，則式(7)可以改寫為

對式(8)進行求解，可以得到

為了確定系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運動的定常解振幅，和以及相位，和，令式(9)中的=0，=0，=0，=0，=0，=0，并代入系統(tǒng)的原參數(shù)從而得到穩(wěn)態(tài)運動方程

3 數(shù)值解驗證

根據(jù)文獻[36]選取鏜桿的參數(shù):m1=44 kg，k1=1.3 MN/m，c1=0.01 N·s/m，以及線性動力吸振器的參數(shù)m2=18 kg，k2=350 kN/m，c2=207 N·s/m;非線性能量阱的參數(shù)選擇為:m3=4 kg，k3=130 kN/m3，c3=100 N·s/m;外部激勵幅值為F=500 N.根據(jù)式(1)，利用龍格-庫塔法可以得到線性鏜桿的幅頻響應曲線，如圖2 所示.根據(jù)式(10)，利用近似解析解也可以得到線性鏜桿的幅頻響應曲線.從圖2 中可以看出，近似解析解與數(shù)值解完全一致，從而驗證了近似解析解的正確性.

圖2 系統(tǒng)幅頻響應曲線對比Fig.2 Comparison of amplitude-frequency response curves

4 吸振器的振動控制效果

4.1 復合式吸振器的作用

為了更好地展示復合式動力吸振器的作用，通過數(shù)值解得到線性鏜桿無吸振器、單獨附加線性動力吸振器(LDVA)和單獨附加非線性能量阱(NES)時的穩(wěn)態(tài)幅頻響應曲線，如圖3 所示.同時，利用近似解析解得到附加復合式動力吸振器時線性鏜桿主系統(tǒng)的幅頻響應曲線.從圖3 中可以看出，線性動力吸振器、非線性能量阱和復合式動力吸振器都可以降低鏜桿系統(tǒng)的振動幅值，其中復合式動力吸振器對鏜桿的減振效果最好.

圖3 附加不同吸振器的系統(tǒng)幅頻響應曲線Fig.3 Amplitude-frequency curves for different absorbers

4.2 線性吸振器參數(shù)的影響

利用近似解析解分析線性動力吸振器參數(shù)對復合式動力吸振器減振效果的影響.線性動力吸振器的質量m2分別為10 kg，18 kg，26 kg 和44 kg，其余參數(shù)保持不變，可以得到附加復合式動力吸振器的鏜桿主系統(tǒng)的幅頻響應曲線，如圖4 所示.從圖4中可以看出隨著線性動力吸振器質量的逐漸增大，第一共振峰值逐漸下降，而第二共振峰值逐漸增大.而且，鏜桿系統(tǒng)的共振頻率也逐漸降低.另外，動力吸振器的質量越大，內置式減振鏜桿的制造難度就越大.因此，需要選擇適中的動力吸振器質量，使其具有合適的質量和滿意的減振效果.

圖4 不同m2 的幅頻響應曲線對比Fig.4 Amplitude-frequency curves of different m2

當線性動力吸振器的剛度k2分別為300 kN/m，350 kN/m 和400 kN/m 時，根據(jù)式(10)分別繪制鏜桿主系統(tǒng)的幅頻響應曲線，如圖5 所示.從圖5 中可以看出，隨著線性吸振器剛度的逐漸增大，第一共振峰值逐漸增大，而第二共振峰逐漸減小.而且，鏜桿系統(tǒng)的共振頻率也逐漸增大.

圖5 不同k2 的幅頻響應曲線Fig.5 Amplitude-frequency curves of different k2

當線性動力吸振器的阻尼c2分別為207 N·s/m，1207 N·s/m，2207 N·s/m 和3207 N·s/m 時，根據(jù)式(10)繪制鏜桿主系統(tǒng)的幅頻響應曲線，如圖6 所示.隨著線性動力吸振器阻尼系數(shù)的增大，第一共振峰先減小后增大，第二共振峰先減小后消失.因此，通過選擇合適的線性動力吸振器阻尼，可以使線性鏜桿系統(tǒng)只有一個共振峰.另外，需要注意的是當線性動力吸振器的阻尼變化時主系統(tǒng)的幅頻響應曲線會近似的通過兩個固定點.

圖6 不同c2 的幅頻響應曲線Fig.6 Amplitude-frequency curves of different c2

4.3 非線性能量阱參數(shù)的影響

當非線性能量阱的質量m3分別為1 kg，4 kg和18 kg 時，根據(jù)式(10)分別繪制鏜桿主系統(tǒng)的幅頻響應曲線，如圖7 所示.隨著非線性能量阱質量的增大，系統(tǒng)的兩個共振峰值同時下降.但是，當非線性能量阱的質量增加到一定程度時，其增加的減振程度會降低.而且非線性能量阱質量越大，也會增加內置式減振鏜桿的制造難度.

圖7 不同m3 的幅頻響應曲線Fig.7 Amplitude-frequency curves of different m3

當非線性能量阱阻尼c3分別為100 N·s/m，300 N·s/m 和1000 N·s/m 時，根據(jù)式(10)分別繪制鏜桿主系統(tǒng)的幅頻響應曲線，如圖8 所示.隨著非線性能量阱阻尼的增大，第一共振峰值先減小然后增大，而第二共振峰值逐漸減小.說明通過選擇合適的非線性能量阱阻尼，可以提高系統(tǒng)的減振效果.

圖8 不同c3 的幅頻響應曲線Fig.8 Amplitude-frequency curves of different c3

當非線性能量阱的非線性剛度k3分別為130 kN/m3和1 kN/m3時，利用近似解析解得到鏜桿主系統(tǒng)的幅頻響應曲線，如圖9 所示.改變非線性能量阱的非線性剛度并不會改變鏜桿主系統(tǒng)的抗振性能，可以根據(jù)其他設計條件確定非線性剛度.

圖9 不同k3 的幅頻響應曲線Fig.9 Amplitude-frequency curves of different k3

5 參數(shù)優(yōu)化

5.1 線性吸振器參數(shù)優(yōu)化

首先對線性吸振器利用H∞優(yōu)化方法進行參數(shù)優(yōu)化，也就是使用固定點理論，當將共振幅值調整為相等的高度時使最大幅值響應最小化[37].文獻[38]對含有阻尼的主系統(tǒng)附加的線性動力吸振器進行了H∞優(yōu)化，并得到了一階近似解析表達式

對于給定鏜桿主系統(tǒng)參數(shù)和線性動力吸振器的質量m2=18 kg，代入式(11)～ 式(20)可以得到最優(yōu)調諧比v=0.709 7和最優(yōu)阻尼比 ζ2=0.33.因此，可以得到優(yōu)化以后的剛度和阻尼分別為:k2=267 850 N/m 和c2=1449 N·s/m.利用近似解析解分別繪制線性動力吸振器參數(shù)優(yōu)化前后鏜桿主系統(tǒng)的幅頻響應曲線，如圖10 所示.可以看出，通過優(yōu)化線性動力吸振器的參數(shù)可以得到更好的振動控制效果，而且優(yōu)化后的兩個共振峰值基本相等.

圖10 線性動力吸振器優(yōu)化前后系統(tǒng)的幅頻響應Fig.10 Amplitude-frequency curves before and after optimization of LDVA

5.2 非線性能量阱參數(shù)優(yōu)化

為了進一步提高復合式動力吸振器對線性鏜桿受迫振動的減振效果，對非線性能量阱的參數(shù)進行優(yōu)化.通過4.3 節(jié)的分析可以發(fā)現(xiàn)，對于給定質量的非線性能量阱，只有阻尼需要優(yōu)化.在優(yōu)化后的線性動力吸振器參數(shù)的基礎上，對非線性能量阱的阻尼進行優(yōu)化.當非線性能量阱的阻尼從0 增加到2000 N·s/m 時，利用近似解析解可以得到m3=4 kg 時對應的線性鏜桿的最大共振峰值曲線，如圖11 所示.從圖11 中可以看出，隨著非線性能量阱阻尼的增大，主系統(tǒng)的最大峰值先減小后增大.也就是說，當非線性能量阱的質量確定后，存在一個最佳阻尼值可以使主系統(tǒng)的共振峰值最小，最小峰值對應的阻尼為c3=150 N·s/m.需要注意的是，當非線性能量阱的阻尼從0 增大到350 N·s/m 時，線性鏜桿的最大共振峰值變化量僅約為0.01 mm.

圖11 隨c3 變化的最大峰值Fig.11 Maximum peak value with c3

利用近似解析解繪制復合式動力吸振器參數(shù)優(yōu)化前后鏜桿主系統(tǒng)的幅頻響應曲線，如圖12 所示.從圖12 中可以看出，優(yōu)化后的復合式動力吸振器能夠很好地抑制線性鏜桿的受迫振動幅值.

圖12 復合式動力吸振器優(yōu)化前后系統(tǒng)的幅頻響應Fig.12 Amplitude-frequency curves before and after optimization of LDVA and NES

為了進一步說明附加非線性能量阱的作用，利用數(shù)值解得到鏜桿主系統(tǒng)單獨附加優(yōu)化后的線性動力吸振器時的幅頻響應曲線，如圖13 所示.同時，利用近似解析解將鏜桿主系統(tǒng)附加優(yōu)化后的復合式動力吸振器的幅頻響應曲線也顯示到圖13 中.可以發(fā)現(xiàn)，對于參數(shù)優(yōu)化后的線性動力吸振器，非線性能量阱仍然可以提高其振動抑制性能.結合圖3，可以得出如下結論:即使是由于剛度失效等原因導致線性動力吸振器的剛度降低后，附加非線性能量阱仍然可以保證復合式動力吸振器達到一定的振動控制效果.因此，附加非線性能量阱可以提高振動控制系統(tǒng)的魯棒性.

圖13 不同吸振器優(yōu)化后系統(tǒng)的幅頻響應Fig.13 Amplitude-frequency curves for different optimized absorbers

6 結論

本文利用平均法研究了附加線性動力吸振器和非線性能量阱吸振器的線性鏜桿系統(tǒng)的受迫振動，通過與數(shù)值解得到的線性鏜桿幅頻響應曲線進行對比，驗證了近似解析解的準確性.通過比較線性鏜桿單獨附加線性動力吸振器、單獨附加非線性能量阱吸振器和附加復合式動力吸振器時的幅頻響應曲線，證實了線性動力吸振器復合非線性能量阱吸振器可以更好地控制鏜桿系統(tǒng)的受迫振動.詳細分析了復合式動力吸振器的參數(shù)對線性鏜桿系統(tǒng)減振效果的影響，發(fā)現(xiàn)適當增加非線性能量阱的質量可以獲得較好的減振效果;調整非線性能量阱的阻尼可以在一定程度上提高減振效果，但調整非線性能量阱的非線性剛度并不能提高減振效果.在分析復合式動力吸振器參數(shù)對振動控制影響規(guī)律的基礎上，對復合式動力吸振器的參數(shù)進行了優(yōu)化.分析結果表明，參數(shù)優(yōu)化后的復合式動力吸振器能更好地抑制線性鏜桿的受迫振動幅值，而且非線性能量阱可以提高線性動力吸振器的振動抑制效果和振動控制系統(tǒng)的魯棒性.本文的分析結果可以為內置式減振鏜桿的設計提供理論基礎，也可以為其他系統(tǒng)的受迫振動控制提供參考.