黃曉婷 鄭澤濱 鄭靜遠(yuǎn) 呂 輝

(1. 廣州城市理工學(xué)院汽車與交通工程學(xué)院 廣州 510800； 2. 華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院 廣州 510641)

發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)是汽車振動(dòng)的主要來(lái)源之一，汽車動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)(Powertrain mounting systems, PMS)的隔振性能直接影響著發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)向車身傳遞。在實(shí)際工程中，受結(jié)構(gòu)復(fù)雜性、加工制造以及材料老化等因素影響，PMS不可避免地存在各種不確定因素[1-2]。因此，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)存在不確定性時(shí)，有必要對(duì)PMS的固有特性開展不確定性傳播和可靠性分析研究。

當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)信息充足時(shí)，隨機(jī)模型是處理PMS不確定性傳播和優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題最常用的工具[3-4]。Xin等[5]開展了電動(dòng)汽車懸架剛度參數(shù)為正態(tài)隨機(jī)變量的多目標(biāo)優(yōu)化。張武等[6]分別基于3σ和6σ的隨機(jī)模型開展了PMS解耦率的穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計(jì)。系統(tǒng)參數(shù)信息匱乏的情況下，難以精確構(gòu)建隨機(jī)模型。為此，一些非概率模型受到了廣泛關(guān)注，如區(qū)間模型[7]和模糊模型[9]等。Cai等[8]將Chebyshev級(jí)數(shù)展開與頂點(diǎn)法相結(jié)合，提出了一種PMS區(qū)間不確定性傳播分析的高效方法，并進(jìn)一步用于PMS的優(yōu)化設(shè)計(jì)?；谀：Ｐ?，呂輝等[9]開展了含模糊不確定性的PMS固有特性的可靠性分析與優(yōu)化。

上述的PMS不確定性研究均基于單一的不確定性模型開展，沒(méi)有考慮到PMS可能存在一部分參數(shù)信息充足而另一部分參數(shù)信息不足的混合不確定情形。針對(duì)這種情形，Cai等[10]基于隨機(jī)與區(qū)間混合不確定性模型，提出了一種混合不確定情形下PMS的不確定性傳播分析方法。工程中，PMS還可能遇到一部分參數(shù)因信息充足可視為隨機(jī)變量，另一部分參數(shù)因存在模糊特性而視為模糊變量的混合不確定情形。目前，隨機(jī)與模糊不確定情形下PMS的不確定性傳播分析和可靠性分析研究尚不多見。

本文旨在開展隨機(jī)與模糊混合不確定情形下PMS固有特性的不確定性傳播分析和可靠性研究。首先引入隨機(jī)與模糊混合不確定性模型處理系統(tǒng)參數(shù)；然后提出一種求解PMS固有頻率和解耦率不確定性響應(yīng)的蒙特卡洛法；接著將泰勒展開和中心差分法相結(jié)合提出一種快速求解PMS固有特性響應(yīng)的混合攝動(dòng)中心差分法；再基于模糊可靠性和準(zhǔn)則提出一種PMS固有特性的可靠性分析方法。通過(guò)算例驗(yàn)證了方法的有效性。

1 PMS的固有特性

1.1 固有頻率

PMS一般通過(guò)若干個(gè)懸置將動(dòng)力總成支撐在車架上，動(dòng)力總成可視為一個(gè)剛體。圖1給出了某一PMS的6自由度動(dòng)力學(xué)模型。該模型中，懸置被簡(jiǎn)化為具有三向剛度和阻尼特性的彈性元件。由于懸置阻尼對(duì)系統(tǒng)固有特性影響很小，因此PMS通常被視作無(wú)阻尼的自由振動(dòng)系統(tǒng)。其運(yùn)動(dòng)方程為：

圖1 PMS動(dòng)力學(xué)6自由度模型Fig.1 Six degree-of-freedom model of PMS

(1)

其中，M和K分別為PMS的質(zhì)量和剛度矩陣；q為PMS廣義坐標(biāo)的位移向量。

求解式(1)可得PMS的固有頻率及對(duì)應(yīng)的振型：

ft=ωt/2π，φt={φ1t,φ2t,…φ6t}T,

t=1,2,…6

(2)

其中ft代表第t階固有頻率，φt表示第t階振型。

1.2 解耦率

當(dāng)PMS以第t階固有頻率振動(dòng)時(shí)，第t階振型振動(dòng)能量分布為：

(3)

其中k表示第k個(gè)主坐標(biāo)系列向量；Mkl為M的第k行第l列元素；φkt和φl(shuí)t分別為φt的第k個(gè)和第l個(gè)元素。第t階模態(tài)的解耦率定義為:

dt=max{E(k,t)},t=1,2,…6

(4)

dt越大，表明第t階方向的振動(dòng)解耦程度越高。

2 PMS固有特性的混合不確定性傳播分析

2.1 隨機(jī)與模糊混合不確定性模型

(5)

(6)

(7)

圖2 三角模糊數(shù)Fig.2 A triangular fuzzy number

實(shí)際工程中，PMS中可能存在這樣的不確定情形：一部分參數(shù)信息充足適合采用隨機(jī)變量描述；另一部分參數(shù)由于缺乏足夠的數(shù)據(jù)而具有模糊特性，宜采用模糊變量來(lái)描述。這種情形下，PMS的固有特性響應(yīng)S(Y)可表示為：

Y={Y1,Y2,…Yn}T

R={R1,R2,…Rm}T

(8)

2.2 不確定性傳播的蒙特卡洛法

(3)對(duì)隨機(jī)變量R進(jìn)行隨機(jī)抽樣，記為R(q)，q=1,2,…Q，Q為隨機(jī)抽樣次數(shù)。

2.3 不確定性傳播的混合攝動(dòng)中心差分法

E(YFα)=E(Y1,Fα,Y2,Fα,…Yn,Fα)=

(E(Y1,Fα),E(Y2,Fα),…E(Yn,Fα))

V(YFα)=V(Y1,Fα,Y2,Fα,…Yn,Fα)=

(V(Y1,Fα),V(Y2,Fα),…V(Yn,Fα))

(9)

區(qū)間向量Fα可表示為：

(10)

為求解S(YFα)，先假定Fα為常數(shù)向量，則S(YFα)變成一隨機(jī)函數(shù)?；陔S機(jī)矩法[13]，一階原點(diǎn)矩和二階中心矩分別代表隨機(jī)函數(shù)的均值和方差。S(YFα)在YFα均值處的泰勒展開式為：

(Yi,Fα-E(Yi,Fα))×(Yj,Fα-E(Yj,Fα))+…

(11)

忽略高階項(xiàng)(二階及以上)，S(YFα)的均值和方差可以近似為:

E(S(YFα))≈S(E(YFα))

(12)

Cov(Yi,Fα,Yj,Fα)

(13)

其中E(·)，V(·)和Cov(·)分別表示均值、方差和協(xié)方差函數(shù)；YFα的變量相互獨(dú)立時(shí)上式可簡(jiǎn)化為：

(14)

重新考慮區(qū)間變量Fα對(duì)S(YFα)的影響，上述E(S(YFα))和V(S(YFα))以及S(YFα)的一階偏導(dǎo)均是Fα的函數(shù)。E(S(YFα))和V(S(YFα))在Fα中點(diǎn)處的一階泰勒展開式為[14]：

(15)

(16)

(17)

(18)

其中δFl,α≤ΔFl,α，δFl,α為Fl,α微小增量，δFl,α={0,…δFl,α,…0}T。當(dāng)Fα不確定水平較小時(shí)，δFl,α可用ΔFl,α來(lái)近似替代，則式(17)和式(18)可改寫為：

(19)

(20)

將式(19)和式(20)分別代入式(15)和式(16)中可得到：

(21)

(22)

根據(jù)區(qū)間算法，E(S(YFα))和V(S(YFα))的上下界可以近似為：

(23)

(24)

(25)

(26)

3）SAGD污水處理方式中，如MVC和MVR之類的蒸發(fā)式污水處理技術(shù)較為成熟且應(yīng)用前景廣泛，因此考慮結(jié)合MVC和MVR來(lái)進(jìn)行余熱回收利用的方案設(shè)計(jì)。

3 PMS固有特性的可靠性分析

(27)

結(jié)合可靠性分析理論，分別定義SI(R,Fα)大于Smin和SI(R,Fα)小于Smax的極限狀態(tài)函數(shù)為：

M1,α=SI(R,Fα)-Smin

(28)

M2,α=Smax-SI(R,Fα)

(29)

一個(gè)區(qū)間數(shù)大于或小于另一個(gè)區(qū)間數(shù)的可能性可以采用區(qū)間可靠度進(jìn)行量化。根據(jù)區(qū)間可靠度，在截集水平α處，SI(R,Fα)大于Smin和SI(R,Fα)小于Smax的可靠度h1(α)和h2(α)可以分別定義為：

h1(α)=Poss(M1,α=SI(R,Fα)-Smin>0)=

(30)

h2(α)=Poss(M2,α=Smax-SI(R,Fα)>0)=

(31)

(32)

(33)

4 算例分析

4.1 分析模型

為驗(yàn)證所提出方法的有效性，以圖 3所示的PMS模型為研究對(duì)象進(jìn)行分析，相關(guān)參數(shù)取值如表 1-表 4所示。

圖3 PMS示意圖Fig.3 PMS schematic diagram

表1 動(dòng)力總成質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與慣性積Table 1 Mass，moment of inertia and product of inertia of powertrain

表2 懸置的初始剛度(單位：N·mm-1)Table 2 Initial stiffness of each mount (unit: N·mm-1)

表3 懸置的安裝位置Table 3 Assembly location of each mount

表4 懸置的安裝角度Table 4 Assembly orientation of each mount

繞曲軸中心線旋轉(zhuǎn)方向(Pitch方向)是發(fā)動(dòng)機(jī)主要的振動(dòng)激勵(lì)方向，本文將重點(diǎn)研究該方向的固有特性，即固有頻率fP和解耦率dP，其中下標(biāo)P指Pitch方向。

結(jié)合工程實(shí)際，將懸置安裝位置參數(shù)視為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，其均值為各參數(shù)初始值，標(biāo)準(zhǔn)差取3 mm。同時(shí)，將懸置靜剛度視為模糊變量，用最大不確定度為±5%的三角模糊數(shù)對(duì)其進(jìn)行描述，且將每個(gè)模糊數(shù)均勻劃分為11個(gè)隸屬度水平(α=0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0)進(jìn)行分析。模糊數(shù)的相關(guān)取值如表 5所示。

表5 模糊數(shù)取值及類型Table 5 Values and types of fuzzy numbers

此外，系統(tǒng)固有特性響應(yīng)的設(shè)計(jì)上下限要求給定為fP,min=9 Hz，fP,max=12 Hz和dP,min=80%。由于解耦率值越大越好，故本文不對(duì)解耦率的上限進(jìn)行限定，僅給出了其設(shè)計(jì)的下限要求。

4.2 不確定性傳播分析

當(dāng)抽樣次數(shù)足夠多時(shí)蒙特卡洛法能獲得非常高的計(jì)算精度。因此，本文將蒙特卡洛法視為參考方法，對(duì)比分析所提出混合攝動(dòng)中心差分法的計(jì)算性能。經(jīng)仿真收斂性分析，選取蒙特卡洛法的抽樣次數(shù)為：P=104，Q=104。圖 4和表 6分別給出了固有頻率fP和解耦率dP的均值和方差的響應(yīng)圖和響應(yīng)誤差。

從圖 4和表 6可得出以下結(jié)論：

表6 固有特性的均值和方差響應(yīng)的誤差Table 6 Errors of expectation and variance responses of inherent characteristics

圖4 固有特性的均值和方差響應(yīng)Fig.4 Expectation and variance responses of inherent characteristics

(1)由混合攝動(dòng)中心差分法求得的響應(yīng)曲線和蒙特卡洛法獲得的結(jié)果具有很好的一致性，最大的誤差僅3.811%。說(shuō)明所提出的混合攝動(dòng)中心差分法在解決隨機(jī)與模糊混合不確定情形下的PMS固有特性響應(yīng)時(shí)具有較高的計(jì)算精度。此外，混合攝動(dòng)中心差分法求解固有頻率的精度略高于求解解耦率的精度，這是由于解耦率響應(yīng)對(duì)不確定因素較為敏感。

(2)大部分情況下，隨隸屬度逐漸增大，混合攝動(dòng)中心差分法的計(jì)算誤差逐漸減小，最大誤差基本處于α=0時(shí)的對(duì)應(yīng)值，而在α=1.0時(shí)則最小。因此，在不確定性水平較低時(shí)，混合攝動(dòng)中心差分法的計(jì)算效率更高。

在計(jì)算效率方面，蒙特卡洛法求解上述結(jié)果的時(shí)間約為17.6×104s，而混合攝動(dòng)中心差分法的計(jì)算時(shí)間僅為2.13 s。因此，混合攝動(dòng)中心差分法處理隨機(jī)與模糊混合情形下的PMS不確定性響應(yīng)時(shí)具有很好的計(jì)算效率。

4.3 可靠性分析

利用3σ準(zhǔn)則可以將PMS固有特性的均值和方差結(jié)果進(jìn)行綜合考慮，并可確定固有特性響應(yīng)的上下界范圍。基于第4.2節(jié)的分析結(jié)果，圖 5給出了利用3σ準(zhǔn)則計(jì)算得到的固有頻率fP和解耦率dP的上下界范圍。為便于比較，系統(tǒng)固有特性響應(yīng)的設(shè)計(jì)上下限要求fP,min=9 Hz，fP,max=12 Hz和dP,min=80%也分別繪在圖中。

圖5 固有頻率和解耦率上下界范圍Fig.5 Lower and upper bounds of natural frequency and decoupling rate

從圖 5可得出以下結(jié)論：

(1)混合攝動(dòng)中心差分法求得的固有頻率和解耦率上下界范圍與參考結(jié)果十分接近。這說(shuō)明混合攝動(dòng)中心差分法在計(jì)算隨機(jī)與模糊混合不確定情形下的PMS固有特性響應(yīng)上下界范圍方面具有很高的計(jì)算精度。此外，兩種方法求得的固有頻率響應(yīng)曲線幾乎重合，而求得的解耦率響應(yīng)曲線略有差異。這表明相對(duì)于解耦率的求解，混合攝動(dòng)中心差分法在求解固有頻率時(shí)具有更高的計(jì)算精度。

(2)固有頻率的響應(yīng)曲線完全位于其設(shè)計(jì)上下限范圍之內(nèi)，解耦率的響應(yīng)曲線大部分位于其設(shè)計(jì)下限曲線的左邊。這說(shuō)明固有頻率的響應(yīng)完全滿足設(shè)計(jì)要求，而解耦率的響應(yīng)僅在一小部分情況下滿足設(shè)計(jì)要求。

進(jìn)一步，采用可靠度對(duì)上述結(jié)果進(jìn)行度量?；谏鲜銮蟮玫木岛头讲铐憫?yīng)，表 7和表 8分別給出了fP和dP響應(yīng)滿足設(shè)計(jì)要求的區(qū)間可靠度和模糊可靠度。由于解耦率dP沒(méi)有給定上限要求，故表 8 只給出了解耦率滿足dP>dP,min=80%的可靠度結(jié)果。

表7 fP響應(yīng)滿足設(shè)計(jì)要求的可靠度Table 7 Reliability of fP meeting design requirement

表8 dP響應(yīng)滿足設(shè)計(jì)要求的可靠度Table 8 Reliability of dP meeting design requirement

從表 7和表 8可得出以下結(jié)論：

(1)固有頻率fP滿足設(shè)計(jì)要求的區(qū)間可靠度和模糊可靠度均為100%，這說(shuō)明在隨機(jī)與模糊混合不確定情形下系統(tǒng)的fP響應(yīng)完全滿足給定的上下限設(shè)計(jì)要求。此外，兩種方法求得fP響應(yīng)的區(qū)間可靠度和模糊可靠度結(jié)果完全一致，說(shuō)明混合攝動(dòng)中心差分法可有效用于處理隨機(jī)與模糊混合不確定情形下的固有頻率可靠性分析。

(2)對(duì)于解耦率dP，兩種方法求得其滿足設(shè)計(jì)要求的模糊可靠度分別為0.50%和1.40%，結(jié)果差異不大，求得的可靠性結(jié)果具有較好的一致性。此外，兩種方法求得的模糊可靠度值遠(yuǎn)小于100%，這說(shuō)明在隨機(jī)與模糊混合不確定情形下dP的響應(yīng)幾乎不滿足設(shè)計(jì)下限的要求，后續(xù)需要進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文開展了隨機(jī)與模糊混合不確定情形下汽車PMS固有特性的不確定性傳播和可靠性分析研究。引入隨機(jī)與模糊混合不確定性模型處理了PMS同時(shí)存在的隨機(jī)變量和模糊變量，提出了求解PMS固有頻率和解耦率響應(yīng)的蒙特卡洛法和混合攝動(dòng)中心差分法，并提出了一種PMS固有特性的可靠性分析方法。算例分析結(jié)果表明，所提出的混合攝動(dòng)中心差分法能有效處理隨機(jī)與模糊不確定情形下PMS固有特性的不確定性響應(yīng)分析以及可靠度計(jì)算。以蒙特卡洛法為參考，混合攝動(dòng)中心差分法具有較高計(jì)算精度和計(jì)算效率。本文所提出的可靠性分析方法可為PMS固有特性優(yōu)化設(shè)計(jì)提供參考。