黃賢振, 朱會(huì)彬, 姜智元, 姜 睿

(1. 東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院, 遼寧 沈陽 110819; 2. 東北大學(xué) 航空動(dòng)力裝備振動(dòng)及控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 遼寧 沈陽 110819)

角接觸球軸承因其壽命長、能耗低,能同時(shí)承受軸向和徑向載荷,被廣泛用于旋轉(zhuǎn)機(jī)械中.然而,軸承長期服役于高速工況下,除了常見的疲勞[1]破壞之外,更多的是軸承出現(xiàn)打滑現(xiàn)象,嚴(yán)重的打滑行為會(huì)造成溝道表面摩擦磨損,同時(shí)會(huì)引起主軸振動(dòng)和嚴(yán)重的軸承溫升,降低軸承的使用壽命和可靠性.因此,為了保證機(jī)械設(shè)備的可靠性和安全性,有關(guān)軸承打滑的研究極為重要.

國內(nèi)外學(xué)者對軸承打滑行為進(jìn)行了大量研究.在理論分析方面,Harris[2]考慮了滾動(dòng)體所受的離心力、接觸應(yīng)力和摩擦力,建立了預(yù)測滾動(dòng)軸承打滑行為的力學(xué)分析模型.Jain等[3]建立了滾動(dòng)軸承的動(dòng)力學(xué)模型,研究分析了軸、徑向聯(lián)合載荷作用下的軸承打滑特性.Laniado-Jacome等[4]通過有限元的方法對滾動(dòng)體與內(nèi)外溝道之間的相對滑動(dòng)進(jìn)行了仿真分析.陳渭等[5]研究分析了渦動(dòng)狀態(tài)下的打滑問題.涂文兵等[6]建立了考慮軸承非線性因素的動(dòng)態(tài)模型,研究了不同工況對滾動(dòng)體打滑的影響.在實(shí)驗(yàn)分析方面,Hirano[7]通過監(jiān)測軸承鋼球磁通量的變化,確定出軸承打滑判據(jù).Xu等[8]基于主軸熱分析實(shí)驗(yàn)得到不同轉(zhuǎn)速下軸承避免打滑的最佳預(yù)緊力,通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了Hirano[7]判據(jù)的可行性.Dong等[9]和Oktaviana等[10]通過Hirano[7]判據(jù)研究分析了避免軸承打滑的最小預(yù)緊力.王海同等[11]建立大尺寸球軸承擬靜力學(xué)方程,基于Hirano[7]判據(jù)得出了軸承打滑的臨界轉(zhuǎn)速.Zheng等[12]通過光纖傳感器監(jiān)測脈沖信號(hào)對滾動(dòng)體的通過頻率,實(shí)現(xiàn)對軸承打滑的預(yù)測.Zhan等[13]采用弱磁探測器檢測滾子和內(nèi)溝道轉(zhuǎn)速來預(yù)測軸承的打滑行為.上述理論和實(shí)驗(yàn)研究中,通常認(rèn)為軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)和材料參數(shù)是確定的、無誤差的.然而,由于制造和加工的影響,軸承的結(jié)構(gòu)參數(shù)和材料參數(shù)存在一定的隨機(jī)不確定性[14],這就導(dǎo)致球軸承打滑特性的分析產(chǎn)生較大的偏差.

本文綜合考慮隨機(jī)因素對軸承參數(shù)的影響,將軸承擬靜力學(xué)分析模型和Hirano軸承打滑的判定依據(jù)相結(jié)合,以軸承是否打滑為判別條件,建立軸承打滑的極限狀態(tài)方程,提出了一種球軸承打滑行為的可靠性分析模型.應(yīng)用MCS方法和Kriging方法構(gòu)造高精度的響應(yīng)面函數(shù)進(jìn)行可靠性靈敏度分析,以確定軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)對打滑現(xiàn)象的影響程度.為減少或避免軸承發(fā)生打滑引起早期失效提供理論依據(jù).

1 球軸承擬靜力學(xué)分析

圖1表示角接觸球軸承的幾何結(jié)構(gòu)及參數(shù),圖2顯示了軸承中每個(gè)球的相對角位置(方位角),其中第j個(gè)滾動(dòng)體方位角為φj,其表達(dá)式為

φj=2π(j-1)/Z.

(1)

圖2 軸承滾動(dòng)體的方位角

1.1 軸承幾何相容方程

球軸承運(yùn)動(dòng)過程中,在聯(lián)合載荷作用下,滾珠沿著軸向和徑向相對移動(dòng),如圖3所示,對軸承幾何位置進(jìn)行分析.

圖3中,變形后任意方位角φj處,內(nèi)外溝道曲率中心相對軸向距離A1j和徑向距離A2j分別為

A1j=BDsinα0+δa+θRicosφj,

(2)

A2j=BDcosα0+δrcosφj.

(3)

任意方位角φj處的角度方程為

(4)

(5)

(6)

(7)

式中:fi,fo分別為內(nèi)、外圈溝道曲率半徑系數(shù);X1j,X2j為滾珠中心與外圈溝道曲率中心之間的軸、徑向距離;δa,δr,θ分別為變形后軸、徑向位移和角位移;δij,δoj分別為內(nèi)外圈的接觸變形;BD為內(nèi)外圈曲率中心初始距離.

圖3 滾動(dòng)體中心與溝道曲率中心的相對位置

根據(jù)幾何位置關(guān)系,以第j個(gè)球?yàn)檠芯繉ο?確定溝道接觸的變形幾何相容方程為

(8)

(A1j-X1j)2+(A2j-X2j)2- [(fi-0.5)Dw+δij]2=0 .

(9)

1.2 滾動(dòng)體受力平衡方程

軸承滾動(dòng)體運(yùn)動(dòng)過程中,運(yùn)動(dòng)方式復(fù)雜.如圖4所示,以第j個(gè)滾動(dòng)體為研究對象,對其建立受力平衡方程.

圖4中,λij和λoj分別為滾珠和內(nèi)外圈溝道之間的控制參數(shù),高速角接觸球軸承運(yùn)動(dòng)中,根據(jù)外溝道控制理論,即滾珠在外溝道只發(fā)生純滾動(dòng),因此控制參數(shù)取λij=0,λoj=2;Qij,Qoj分別為滾珠和內(nèi)外圈的接觸載荷,根據(jù)赫茲接觸理論,接觸載荷計(jì)算公式為

(10)

式中,Kij和Koj分別為內(nèi)外圈的載荷變形系數(shù).

滾珠受到離心力Fcj,陀螺力矩Mgj分別為

(11)

(12)

式中:dm為中心圓直徑;ωm,ωR分別為滾珠的公轉(zhuǎn)角速度、自轉(zhuǎn)角速度;βj為第j個(gè)滾珠的螺旋角.其求解方式詳見文獻(xiàn)[15].

根據(jù)圖4中的受力平衡關(guān)系,滾珠的受力平衡方程為

(13)

(14)

圖4 滾動(dòng)體受力分析

1.3 軸承內(nèi)圈整體平衡方程

軸承在軸、徑向載荷作用下,處于受力平衡狀態(tài),建立軸承內(nèi)圈受力平衡方程為

(15)

(16)

(17)

式中:Ri=dm/2+(fi-0.5)Dwcosα0;Fa為軸向載荷;Fr為徑向載荷;M為軸承彎矩.

應(yīng)用Newton-Raphson迭代法求解上述列出的非線性方程組,可計(jì)算出內(nèi)外圈的接觸角αij,αoj,接觸載荷Qij,Qoj等動(dòng)態(tài)參數(shù).

2 球軸承打滑預(yù)測方法

角接觸球軸承服役于高速工況時(shí),隨著轉(zhuǎn)速的增加,由于離心力和陀螺力矩的作用,滾珠與內(nèi)圈溝道之間的赫茲接觸面積減小.當(dāng)轉(zhuǎn)速提高到一定速度時(shí),軸承內(nèi)圈與滾珠之間的摩擦力小于陀螺力矩的作用,滾珠與內(nèi)圈溝道失去接觸時(shí),滾動(dòng)體就會(huì)發(fā)生打滑,導(dǎo)致摩擦力增大,產(chǎn)生大量的熱量,容易引起軸承的早期失效.Hirano[7]確定出角接觸球軸承打滑的判定依據(jù)式(18),當(dāng)軸承動(dòng)態(tài)參數(shù)滿足此判據(jù)時(shí),滾珠會(huì)發(fā)生打滑現(xiàn)象.

(18)

式中:SF為打滑系數(shù)[10],決定球軸承打滑行為的發(fā)生;Qi為內(nèi)溝道與球的接觸載荷;αi為內(nèi)溝道與球的接觸角;Fc為球的離心力.

3 軸承打滑可靠性分析

根據(jù)上述研究,考慮隨機(jī)因素對軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響,通過擬靜力學(xué)分析模型結(jié)合軸承打滑判據(jù)式(18),以軸承是否打滑為判別條件,即可以建立極限狀態(tài)函數(shù)為

Z=g(X)=S(X)-10 .

(19)

式中:X為影響軸承打滑的參數(shù)隨機(jī)變量;S(X)為數(shù)值模擬方法SF的輸出值.

X=[Do,Di,Dw,ri,ro,α0]T.

函數(shù)Z>0時(shí),表示軸承處于不發(fā)生打滑的可靠狀態(tài),稱為可靠性概率或可靠度,用Pr表示.對隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)積分[16]可得到Pr為

(20)

然而,通過Newton-Raphson迭代法計(jì)算大量的軸承動(dòng)態(tài)參數(shù)數(shù)據(jù),采用Monte-Carlo方法[17]計(jì)算可靠度需要耗費(fèi)很長時(shí)間.因此提出用Kriging模型來代替上述過程,提高計(jì)算效率[18].

3.1 Kriging模型

Kriging模型是一種半?yún)?shù)化插值模型,可以通過已知點(diǎn)的數(shù)據(jù)預(yù)測出未知點(diǎn)的數(shù)據(jù)[19-20],在解決強(qiáng)非線性問題中具有顯著優(yōu)勢,Kriging模型的具體形式為

y(x)=F(β,x)+z(x)=f(x)Tβ+z(x) .

(21)

式中：f(x)為樣本點(diǎn)x的多項(xiàng)式函數(shù);F(β,x)為線性回歸模型;β為回歸系數(shù).f(x)反映模型的全局近似;z(x)為隨機(jī)分布函數(shù),反映模型的局部近似,影響整個(gè)模型的準(zhǔn)確性,且z(x)服從正態(tài)分布,均值μ=0,方差為σ2,其協(xié)方差為

cov[z(xi),z(xj)]=σ2R(θ,xi,xj) .

(22)

式中：xi,xj為任意兩個(gè)樣本點(diǎn);R(θ,xi,xj)為帶有參數(shù)θ的相關(guān)函數(shù),反映樣本點(diǎn)之間的空間相關(guān)性,直接影響到模型的準(zhǔn)確性,選用計(jì)算效果最好的高斯函數(shù)作為相關(guān)函數(shù).

已知點(diǎn)的響應(yīng)值Y=[y1,y2,…,ym],采用線性組合向量c來估計(jì)未知點(diǎn)x的響應(yīng)值,即

(23)

估計(jì)值與真值之間的偏差為

(24)

誤差為0時(shí),可保證估計(jì)值的無偏性,即

FTc-f(x)=0 .

(25)

預(yù)測的均方誤差為

(26)

式中:R為相關(guān)函數(shù)矩陣;r為相關(guān)向量.

為了模型的準(zhǔn)確性,要使φ(x)為最小值,因此求線性組合向量c轉(zhuǎn)化為如下最優(yōu)化問題.

findc. minφ(x).s.t.FTc=f(x).

(27)

通過求解得到Kriging模型的估計(jì)值為

(28)

β*和σ2采用極大似然估計(jì)可得估計(jì)值為

β*=(FTR-1F)-1FTR-1Y,

(29)

(30)

根據(jù)上述分析,通過輸入變量樣本和輸出響應(yīng)值構(gòu)建完成Kriging模型，提高計(jì)算的效率.

3.2 可靠性靈敏度分析

失效概率Pf對基本變量xi的分布參數(shù)θxi的偏導(dǎo)數(shù)定義為可靠性靈敏度:

(31)

為了得到軸承各結(jié)構(gòu)參數(shù)對可靠度的影響程度,需要進(jìn)行無量綱處理,得到失效概率對第i個(gè)變量的均值μxi和標(biāo)準(zhǔn)差σxi的靈敏度系數(shù):

(32)

(33)

應(yīng)用Kriging方法進(jìn)行可靠性靈敏度分析,計(jì)算流程如圖5所示.

4 數(shù)值算例

4.1 軸承打滑預(yù)測方法驗(yàn)證

為了驗(yàn)證球軸承打滑預(yù)測方法的有效性,以

圖5 Kriging可靠性分析流程圖

角接觸球軸承B7007C為例,以轉(zhuǎn)速n=5 000 r/min為研究對象,與文獻(xiàn)中計(jì)算和實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比,軸承的原始參數(shù)如表1所示.

表1 角接觸球軸承的原始參數(shù)

表2顯示了轉(zhuǎn)速n=5 000 r/min時(shí),本文計(jì)算出軸承防止打滑的預(yù)緊力,與文獻(xiàn)[8,10]計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)得到軸承避免打滑的最佳預(yù)緊力比較,理論計(jì)算值接近實(shí)驗(yàn)值,驗(yàn)證了本文的軸承打滑預(yù)測方法的有效性和準(zhǔn)確性.

4.2 軸承打滑可靠性靈敏度分析

根據(jù)上文對比已經(jīng)驗(yàn)證了軸承打滑預(yù)測方法的正確性,本文以B7005C軸承作為研究對象.

軸承生產(chǎn)制造過程中,由于受到大量獨(dú)立因素的影響,軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)具有隨機(jī)不確定性,這些隨機(jī)參數(shù)一般符合正態(tài)分布,參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差可以由變差系數(shù)c決定,本文假設(shè)c=0.003.軸承的隨機(jī)參數(shù)對應(yīng)的均值和變差系數(shù)如表3所示.

表2 軸承避免打滑的最佳預(yù)緊力

表3 軸承參數(shù)隨機(jī)變量

為了研究不同工況對軸承打滑行為的影響,計(jì)算出不同轉(zhuǎn)速和預(yù)緊力的打滑系數(shù)SF,計(jì)算結(jié)果如圖6所示.通過SF=10建立一個(gè)臨界平面區(qū)，分出打滑區(qū)域和非打滑區(qū)域.

圖6 軸承打滑臨界平面

軸承轉(zhuǎn)速n=10 000 r/min,預(yù)緊力Fa=400 N條件下,利用拉丁超立方方法隨機(jī)抽取60組軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)樣本數(shù)據(jù),作為Kriging模型的輸入量.通過擬靜力學(xué)模型求得打滑系數(shù)SF作為Kriging模型的輸出量,建立完成Kriging模型,抽取30組隨機(jī)變量測試樣本數(shù)據(jù),分別代入軸承擬靜力學(xué)分析模型和Kriging模型中計(jì)算,得到30組SF的對比情況,如圖7所示.圖8為Kriging模型的預(yù)測誤差,經(jīng)過Kriging模型計(jì)算的SF與軸承擬靜力學(xué)分析計(jì)算結(jié)果之間的誤差非常小,驗(yàn)證了建立的Kriging模型的有效性.

圖7 Kriging計(jì)算值與確定性計(jì)算值的對比

圖8 Kriging計(jì)算值與確定性計(jì)算值的相對誤差

根據(jù)本文建立的極限狀態(tài)函數(shù),分別采用Monte-Carlo方法和Kriging方法進(jìn)行可靠度的計(jì)算,如圖9和圖10所示.兩種方法具有良好的一致性,進(jìn)而驗(yàn)證了Kriging方法的準(zhǔn)確性.

為了探究預(yù)緊力對軸承打滑可靠度的影響,在轉(zhuǎn)速n=10 000 r/min條件下進(jìn)行可靠性分析,得到打滑可靠度隨預(yù)緊力的變化規(guī)律.由圖6可知,打滑系數(shù)SF=10時(shí),計(jì)算得到防止打滑所需的預(yù)緊力為370 N,圖9表明其可靠度為0.519,可知由于隨機(jī)因素的影響,發(fā)生打滑的概率仍然較大;當(dāng)預(yù)緊力達(dá)到440 N時(shí),可靠度為0.996,即軸承發(fā)生打滑概率較低.當(dāng)轉(zhuǎn)速一定時(shí),隨著軸向預(yù)緊力的增大,可靠度增加.

為了探究轉(zhuǎn)速對軸承打滑可靠度的影響,在預(yù)緊力Fa=400 N條件下進(jìn)行可靠性分析,得到打滑可靠度隨轉(zhuǎn)速的變化規(guī)律.由圖10可知,當(dāng)轉(zhuǎn)速低于9 500 r/min時(shí),軸承打滑可靠度為1,即軸承沒有發(fā)生打滑行為,當(dāng)轉(zhuǎn)速超過9 500 r/min,可靠度開始下降,軸承開始出現(xiàn)打滑現(xiàn)象,達(dá)到12 000 r/min時(shí),可靠度降為0,隨著轉(zhuǎn)速的增加,可靠度降低.

圖9 可靠度隨預(yù)緊力的變化

圖10 可靠度隨轉(zhuǎn)速的變化

為了探究軸承隨機(jī)變量的變化對軸承打滑的影響程度,利用建立的Kriging模型對隨機(jī)變量進(jìn)行了可靠性靈敏度分析,如圖11和圖12所示.

圖11 均值靈敏度分析

由圖11和圖12可知,隨著內(nèi)外圈溝道直徑以及滾動(dòng)體直徑、接觸角的增加,打滑可靠度降低；隨軸承內(nèi)外圈溝道曲率半徑增加,打滑可靠度增加.

圖12 標(biāo)準(zhǔn)差靈敏度分析

5 結(jié) 論

1) 本文建立了球軸承擬靜力學(xué)分析模型,并基于Hirano試驗(yàn)打滑判據(jù),考慮軸承參數(shù)的隨機(jī)性更加符合軸承實(shí)際工況,提出一種角接觸球軸承打滑行為的可靠性分析模型,對防止軸承發(fā)生打滑引起早期失效、提高軸承的可靠性具有重要意義.

2) 本文采用Kriging方法進(jìn)行了可靠度的計(jì)算及可靠性靈敏度分析.軸承打滑可靠度會(huì)隨內(nèi)外圈溝道直徑以及滾動(dòng)體直徑、接觸角的增加而降低,隨軸承內(nèi)外圈溝道曲率半徑增加而增加.其中,軸承滾動(dòng)體直徑的變化對軸承打滑現(xiàn)象影響最大,軸承內(nèi)外圈溝道直徑和曲率半徑的變化對其影響次之,接觸角的變化對其影響較小.