韋政鵬，朱良生

(華南理工大學 土木與交通學院，廣東 廣州 510540)

斜坡堤是保護近海、沿海地區(qū)免受波浪沖擊或越浪影響的海岸安全工程設施之一，在海岸、港口工程中，通過在斜坡堤坡面上鋪設人工護面塊體來達到消浪的目的。波浪爬高是指波浪沖擊斜坡堤等水工建筑物斜面時波面爬升而高于靜水面的現象，波浪上爬最高點與靜水面高度差為波浪爬高值，簡稱爬高。在工程設計中，波浪爬高是確定防波堤堤頂高程和結構形式的重要參數。中外學者對斜坡堤的波浪爬高做了大量研究工作，Diwedar[1]通過物理模型試驗探究，分析了波陡和相對水深對加糙斜坡堤波浪爬高影響；王鵬等[2]運用計算流體力學(CFD)數值波浪水槽進行斜坡堤爬高和越浪方面的研究工作；Devolder等[3]采用SST k-ω模型，研究數值波浪水槽內規(guī)則波作用下單樁周圍的波浪爬高；楊錦凌等[4]基于Fluent軟件，模擬了規(guī)則波在不可滲透斜坡堤上的波浪爬高和越浪；黃元中[5]、朱良生等[6]通過Flow-3D軟件中的波浪數值水槽，對非線性波進行了合理性驗證；朱嘉玲等[7]通過斜向規(guī)則波作用下斜坡堤的物理模型試驗,研究了不同波向角與爬高的關系并提出了斜坡堤規(guī)則波作用下斜向波浪爬高的修正公式；Didier等[8]在海灘上對波浪爬高的經驗模型進行研究，探究了水動力參數與波浪爬高的函數關系。由以往的研究可知，數值模擬方法可應用于研究波浪爬高問題，而現有成果缺乏針對波浪爬高公式在淺水范圍強非線性條件下的系統(tǒng)性研究。

基于Flow-3D軟件建立數值波浪水槽和斜坡堤波浪爬高數學模型，應用龔崇準等[9]物理模型試驗結果對數學模型進行驗證，并通過對物理模型、規(guī)范公式、數學模型的斜坡堤波浪爬高結果進行對比分析，指出規(guī)范公式存在問題。在大量斜坡堤波浪爬高數學模型試驗基礎上，分析斜坡堤強非線性波的波浪爬高過程和變化規(guī)律，并提出修正公式，為工程實際應用提供參考。

1 數學模型及計算方法

1.1 控制方程

波浪在斜坡堤上爬高出現的波浪翻卷、破碎等現象需要考慮流體黏性的影響。數學模型設定流體為不可壓縮黏性流體。連續(xù)性方程和動量方程的數學表達式為：

(1)

動量方程式：

(2)

式中：ρ為流體的密度，VF是具有流動性的體積分數，Ax、Ay、Az分別表示x、y、z坐標軸上具有流動性的面積分數，u、v、w表示x、y、z的速度分量。Gx、Gy、Gz為模擬物體在x、y、z三個方向的重力加速度，fx、fy、fz表示三個方向的黏滯力加速度。

1.2 紊流模型

考慮到防波堤與波浪作用時會產生紊動，選取RNG k-ε紊流模型封閉控制方程。VF加入體積分率和面積分率Ax、Ay、Az，k方程和ε方程，k方程和ε方程的數學算法表達式為：

(3)

(4)

其中，C1、C2、C3為常數項，C1=1.44，C2=1.92，C3=0.2；PT為紊動動能k的產生項；DkT和Dε為擴散項。

數值離散方法采用有限差分法。數學模型采用流體體積(VOF)對流法來追蹤自由液面。對流項采用非守恒形式進行離散。速度—壓力項采用廣義極小殘差(GMRES)方法求解離散方程。

2 基于物理模型、數學模型、規(guī)范公式波浪爬高驗證試驗

2.1 波浪爬高物理模型試驗條件

以龔崇準等[9]在波浪水槽中已完成的物理模型試驗為依據，具體試驗參數如下：波浪水槽的尺寸為32 m×0.5 m×0.7 m(長×寬×高)，左端裝置造波機進行試驗造波，選取斜坡堤平面為平滑光面的情況，即KΔ=1(KΔ為斜坡堤表面粗糙程度系數)。斜坡堤坡度m為1.5、2.0、3.0，圖1為物理試驗斜坡堤的模型示意。造波機產生的波浪一共有9組，具體參數見表1。

圖1 物理模型試驗光滑斜坡堤水槽示意Fig. 1 Schematic diagram of flume of slope dike in physical model test

表1 規(guī)則波光面斜坡堤物理模型水槽爬高試驗工況Tab. 1 Flume climbing test conditions of physical model of sloping breakwater with regular wave surface

2.2 波浪爬高數學模型的建立

為了達到還原物模試驗的目的，數學模型的試驗條件與物理模型一致：設置斜坡堤模型寬為0.5 m，高為0.7 m，坡度為1.5、2.0、3.0，長由坡度確定，分別為1.05、1.40、2.10 m；數值水槽設置的長、寬、高與物理模型試驗保持一致，尺寸為32 m×0.5 m×0.7 m(長×寬×高)。由于重力作用，Z方向設置重力加速度為-9.81 m/s2。橫坐標設置Xmin為波浪造波邊界，邊界造波根據波浪要素選擇斯托克斯波、橢圓余弦波模型；水平出口邊界Xmax設置為出流邊界；水槽頂部與空氣接觸，因此Zmax設置為大氣壓力邊界，水槽底部Zmin邊界條件設置為墻邊界；縱向邊界Ymin、Ymax均設置為對稱邊界。波浪要素按表1相應的組別設置。數模試驗中應用非恒定流模型與VOF模型。數值水槽初始條件設置邊界造波。求解時長設置為50 s，初始時間為0.001 s，時間步長設置為0.1 s。數學模型網格如圖2所示。

圖2 光面斜坡堤水槽波浪數學模型網格Fig. 2 Mesh of wave mathematical model for flume of smooth sloping breakwater

2.3 波浪爬高的規(guī)范計算公式

《港口與航道水文規(guī)范》(JTS145—2015)[10]中正向規(guī)則波爬高公式，由試驗得到一個波陡、相對水深和斜坡坡度的函數R1，結合入射波浪和與斜坡護面結構形式相關的糙滲系數KΔ，得到計算公式為：

R=KΔR1H

(5)

R1=K1tanh(0.432M)+[(R1)m-K2]R(M)

(6)

(7)

(8)

R(M)=1.09M3.32exp(-1.25M)

(9)

式中：R為正向規(guī)則波在斜坡式建筑物上的波浪爬高；KΔ為與斜坡堤護面結構形式或粗糙程度相關的系數(光面斜坡堤取KΔ=1)；H為堤前的波高；M代表與斜坡m對爬高影響的函數；(R1)m為相應d/L時的最大爬高；R(M)為爬高函數；m為斜坡堤坡度系數；L為波長；d為堤前水深；K1、K2、K3均為經驗系數，分別為K1=1.24，K2=1.029，K3=4.98。

其適用條件包含以下內容：1) 規(guī)則波浪對建筑物正向作用；2) 斜坡坡度1∶m，m在1～5之間；3) 建筑物堤前水深d=1.5H～5.0H；4) 建筑物前底坡i≤150。

2.4 數學模型、物理模型和規(guī)范公式的波浪爬高比較分析

數學模型進行數值模擬所得的爬高數據，采用肖睿[11]提出的波浪爬高分析方法進行整理，為了分析設計規(guī)范中正向規(guī)則波波浪爬高計算公式的精確性與適用性，加入規(guī)范計算公式(5)的計算值，以進行對比，可得表2與圖3。

表2 光面斜坡堤波浪爬高實測數據及規(guī)范計算值與模擬數據對比Tab. 2 Comparison of measured wave run-up data, code calculation value and simulation data of smooth slope breakwater

圖3 光面斜坡堤不同強度非線性波浪規(guī)范公式與物模、數模數據對比Fig. 3 Comparison of nonlinear wave code formula with physical model and numerical model data of smooth sloping breakwater with different strengths

從表2和圖3可以看出，基于Flow-3D的數學模型爬高試驗與物理模型試驗的最大爬高值非常接近，隨著厄塞爾數的不斷增大，相對誤差絕對值均小于8%，最大誤差絕對值僅為7.36%，因此可得出結論：1) 數學模型試驗誤差較小，數值試驗爬高數據置信程度較高，驗證了基于Flow-3D軟件建立的斜坡堤波浪爬高數值水槽具有可靠性；2) 在波浪非線性逐漸增大的過程中，物理模型爬高和數學模型爬高依然保持很好的一致性，說明了在波浪厄塞爾數較大時，進一步進行波浪爬高數值試驗具有可行性；3) 規(guī)范公式爬高計算值在厄塞爾數小于20時，與物理模型和數學模型數據相比均偏大。隨著波浪非線性逐漸增強，規(guī)范爬高計算值在厄塞爾數大于20時，與物理模型和數學模型數據相比均偏小，最大相對偏小誤差已達35%，隨著非線性繼續(xù)增強，誤差絕對值依然有繼續(xù)增大的趨勢。

由物理模型、數學模型、規(guī)范計算公式的波浪爬高驗證試驗可知，隨著波浪非線性的繼續(xù)增強，相對誤差絕對值呈現繼續(xù)增大的趨勢，以至于嚴重超出工程允許范圍；若規(guī)范公式(5)在強非線性條件下遠超出規(guī)范允許范圍，則爬高計算公式需要在適用范圍上作進一步界定，在適用范圍以外(波浪極強非線性)的規(guī)范爬高公式，需要通過修正參數提高計算精度。

3 強非線性規(guī)則波光面斜坡堤爬高的數學模型試驗

3.1 數學模型試驗方案

根據波浪理論[12]，波浪的非線性作用取決于3個特征比值，分別是波陡H/L、相對波高H/d和相對水深d/L，流體動力學中用厄塞爾數表示波浪的非線性程度，橢圓余弦波理論中界定當厄塞爾數大于26，相對水深小于0.125，為淺水強非線性長波，因此將通過改變波浪要素來改變波浪厄塞爾數，從而控制波浪的非線性程度，進一步分析規(guī)范爬高公式在淺水范圍波浪非線性條件下的適用性。數學模型設置與上一節(jié)相同，對照波浪理論[12]中的各種適用范圍后，將試驗工況根據波浪要素的變化設置如表3。

表3 強非線性數學模型波浪要素及厄塞爾數Tab. 3 Wave elements of strong nonlinear mathematical model

(續(xù)表)

3.2 強非線性波浪爬高過程模擬

為驗證強非線性規(guī)則波的爬高規(guī)律，以工況5為例，即波長為2.5 m，水深為0.26 m，厄塞爾數為35.6的工況，截取波形穩(wěn)定時間段6～20 s中，斜坡堤前5 m的爬高過程進行傳播過程觀測。爬高過程模擬如圖4所示。

圖4 波浪爬高過程模擬Fig. 4 Simulation of wave run-up process

波浪在堤前保持橢圓余弦波規(guī)則波波形，其堤前數據波長和波高與數值方案設計一致，滿足非線性淺水長波理論。波浪爬高過程中出現翻卷破碎現象，波浪傳播到斜坡堤時，在斜坡堤上不斷爬高，能量持續(xù)耗散，直到波浪到達峰值，到達之后就開始回落。在峰值的水質點發(fā)生運動方向的改變，由此表明，水質點無法繼續(xù)爬高，處于波浪爬高和回落的臨界點，此時可以認為波浪達到了最大爬高值。水質點回落之后會低于水平線，直到下一列波浪到達，進行下一列波浪的爬高。波浪在數值水槽X方向沿斜坡堤護面上爬高的時間序列如圖5，采用肖睿[11]的波浪爬高分析方法，對結果進行無量綱化處理得最大相對爬高值R/H。

圖5 最大爬高處波浪爬高時間序列Fig. 5 Time series of wave climbing at maximum height

3.3 強非線性波浪爬高數學模型結果分析

整理數學模型爬高數據，對比規(guī)范公式(5)計算結果，得到兩者爬高的關系，如圖6所示。

由圖6可以看出，數學模型試驗通過控制水深逐漸增大波長和通過控制波長逐漸減小水深，使得厄塞爾數不斷增大，從而使得波浪非線性增大，結果具體表現為在厄塞爾數較小的時候，誤差相對較小，爬高曲線下降的速度大致相同。隨著厄塞爾數逐漸增大，數學模型爬高值呈緩慢下降，而規(guī)范爬高計算值與數學模型爬高值相比，曲線下降速度較為迅速，從而造成了誤差。從控制變量的變波長和變水深圖可知，厄塞爾數中水深和波長，影響波浪最大相對爬高。規(guī)范公式在這種強非線性條件下，無法很好地計算實際爬高，誤差呈逐漸增大的趨勢，為尋找誤差增大的規(guī)律，將進一步探究誤差與厄塞爾數之間的整體關系。

圖6 波浪爬高數學模型結果Fig. 6 Results of mathematical model for wave run-up

由圖7可以看出，波浪在較強非線性條件下，厄塞爾數在20到200之間時，規(guī)范相對誤差隨厄塞爾數的增大而逐漸增大，呈大致的正相關關系。當厄塞爾數在20到60之間，相對誤差普遍偏小，均在15%以內，驗證了規(guī)范爬高公式適用于該范圍的爬高計算。當厄塞爾數在60到80之間，規(guī)范公式相對誤差已經較大，多數處于15%以上，最大誤差達到25%。當厄塞爾數在80到190之間，規(guī)范爬高公式與數學模型試驗值相對誤差基本在20%以上，最大誤差已達到了50%，遠遠超出規(guī)范允許范圍。

圖7 規(guī)范波浪爬高誤差與非線性參數關系Fig. 7 Relationship between gauge wave run-up error and nonlinear parameters

由于厄塞爾數與誤差僅僅呈現大致的規(guī)律性，在相同厄塞爾數時存在差距較大的誤差，圖6已經驗證波長和相對水深與爬高的規(guī)律性關系。厄塞爾數由兩個影響參數組成，分別是相對水深d/L和相對波高H/d，由圖7可知，相對水深d/L參數是厄塞爾數影響爬高的主要參數，相對水深與誤差之間存在明顯的規(guī)律性，隨著相對水深的逐漸減少，誤差逐漸增大，兩者之間存在負相關關系，這說明厄塞爾數中相對水深參數影響波浪非線性從而影響爬高。但考慮到厄塞爾數是波浪中反映相對水深和相對波高的綜合特征參數，易于工程設計使用，因此討論使用厄塞爾數而不直接使用相對水深。

由波浪爬高數學模型試驗結果可得結論：對規(guī)范波浪爬高公式提出建議，適用條件需要增加一個波浪非線性適用范圍，厄塞爾數在20到60時，規(guī)范爬高公式計算精度較高，計算結果依然適用于工程設計；在厄塞爾數大于60時，公式計算精度較低，還需加入一個波浪強非線性擬合參數進行計算。

4 強非線性波浪爬高的計算公式擬合和驗證

4.1 規(guī)范公式最大相對爬高值擬合

文中的公式擬合未考慮到斜坡堤的外形以及護面粗糙程度的影響，由數學模型試驗可知，對于強非線性波浪在光滑面斜坡堤上(KΔ=1)的爬高，厄塞爾數與規(guī)范公式誤差成正相關，通過進一步的探討，厄塞爾數中相對水深與規(guī)范公式誤差呈負相關關系，根據Iribarren等[13]的研究成果，考慮到破碎參數中波陡這個影響爬高的因素。因此，可以確定對原規(guī)范公式的修正參數與厄塞爾數、相對水深和波陡參數相關，具體形式如式(10)：

R*=f(R0,Ur,d/L)

(10)

根據式(10)，參考《港口與航道水文規(guī)范》(JTS145—2015)[10]中，經驗公式的擬合方法，確定無量綱化規(guī)則波爬高取為R*(相對爬高)，最小二乘回歸方法擬合公式按照式(11)進行：

R*=C1R0(Ur)a(d/L)b+C2

(11)

其中，R*為相對爬高修正值，R0為原規(guī)范公式相對爬高計算值，Ur為厄塞爾數，d/L為相對水深，a、b、C1、C2均為待定參數。

對于擬合范圍，非線性強度在0到60時，規(guī)范公式爬高計算值與物理模型和數學模型的誤差較小，具有較高的計算精度，適用于工程設計，而需要擬合的范圍則是規(guī)范計算值無法達到工程設計要求的部分，即厄塞爾數從60到190的非線性波浪爬高計算部分。選取數學模型數據中厄塞爾數處于60到190之間的所有數據，作無量綱化處理后，作為目標值，取對應的規(guī)范公式計算值，作為擬合值，利用Matlab軟件，通過反復代入試驗確定其指數參數，再采用最小二乘回歸方法進行擬合，擬合結果如下：

當厄塞爾數Ur小于60時，

R*=R0

(12)

當厄塞爾數Ur大于60時，

(13)

其中，R0為原規(guī)范公式相對爬高計算值，R*為相對爬高修正值，Ur為波浪的厄塞爾數，d為堤前水深，L為波浪的波長。

4.2 公式置信度驗算

為了進一步驗證公式的擬合效果，將原規(guī)范公式爬高值、擬合公式的修正值與數學模型中的60組試驗值進行對比，從而計算出誤差絕對值參數，如表4所示。

由表4可知，擬合公式(13)的計算值與數學模型試驗值的最小、最大相對誤差絕對值及其平均值遠小于原規(guī)范公式(5)，置信程度為90%；從標準差和平均相對誤差來看，擬合公式穩(wěn)定性好，與數學模型試驗相關性很高，因此說明擬合公式(13)具有較高的精度。

表4 規(guī)范公式、擬合公式置信度驗證Tab. 4 verification of standard formula and fitting formula confidence

4.3 基于原物模試驗修正公式的適用性論證

針對原規(guī)范與物理模型在強非線性條件下出現誤差較大的問題，取原物理模型試驗數據中波浪厄塞爾數較大的幾組波浪數據，與新公式擬合數據結果對比，驗證擬合的效果，如表5所示。

表5 規(guī)范公式、擬合公式與物理模型爬高驗證Tab. 5 specification formula, fitting formula and physical model climbing verification

由表5可知，規(guī)范公式在部分工況計算精度比修正公式高，在部分工況由于坡度和相對水深的影響，計算結果不能作為工程參考，而修正公式通過大量數學模型數據擬合，有效地降低了平均誤差，修正結果均滿足工程要求。規(guī)范公式是通過大量不同條件的物理模型數據的擬合結果，適用范圍較廣，但在波浪極強非線性條件下，極淺水深范圍內，并不能完全達到工程設計的要求。此情況下，可以發(fā)揮數學模型的優(yōu)勢，通過改變數學模型條件產生大量數據，基于規(guī)范公式的計算結果進行修正，使相對誤差控制在規(guī)范允許范圍內，從而達到擴大規(guī)范公式適用范圍，提高計算精度的效果，為實際工程設計提供重要參考。

5 結 語

在海堤高程和護面形式設計中，波浪爬高是非常重要的設計參數?；谖锢砟Ｐ驮囼?，對強非線性規(guī)則波作用下斜坡堤波浪爬高進行數學模型試驗，重點分析和討論波浪波陡、厄塞爾數、相對水深等非線性影響因素與波浪爬高的關系，并提出修正的波浪爬高計算公式，具體結論如下：

1) 試驗是基于Flow-3D的數值模擬，從物模驗證階段的貼合程度、數字模型模擬階段兩個適用范圍的計算準確程度、修正公式校驗階段的擬合程度，三個方面均可說明，基于Flow-3D的數學模型試驗可應用于解決實際工程問題。

2) 建議規(guī)范適用條件增加一個波浪非線性適用范圍，在厄塞爾數小于60時，規(guī)范爬高公式計算精度很高，計算結果依然適用于工程設計。在厄塞爾數大于60時，部分工況原公式計算值誤差嚴重偏小，超出了規(guī)范誤差允許范圍。因此應用現有規(guī)范的波浪爬高公式時應滿足厄塞爾數Ur<60的適用條件。

3) 建議規(guī)范爬高公式，波浪爬高計算根據波浪非線性分范圍討論，文中試驗的經驗公式如下：

當厄塞爾數Ur小于60時，

R*=R0

當厄塞爾數Ur大于60時，