林何 洪靈 江俊 胥光申

摘要： 為掌握齒輪系統(tǒng)激振參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響規(guī)律，建立了考慮多種激勵(lì)的并車弧齒錐齒輪系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型。應(yīng)用胞映射（CMM）與區(qū)域離散分解技術(shù)（DDM）構(gòu)建并數(shù)值求解了多組兩參量平面上的解域界結(jié)構(gòu)，算法基于吸引子在Poincaré截面上的點(diǎn)映射準(zhǔn)則。通過分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)等分析了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)特性，結(jié)果表明，嚙合頻率分岔路徑上外加誤差激勵(lì)可使分岔中的部分周期分支收縮和轉(zhuǎn)變。求解了阻尼比和綜合傳動(dòng)誤差分別與其他參數(shù)配置下的解域界演變，解析出周期域、混沌帶與邊界胞等分布特征，確定了目標(biāo)參數(shù)域中周期分岔全局覆蓋性態(tài)，通過最大Lyapunov指數(shù)和Poincaré映射驗(yàn)證了解域界算法中各態(tài)子域胞集的有效性。

關(guān)鍵詞： 非線性振動(dòng); 并車弧齒錐齒輪; 胞映射; 區(qū)域離散分解; 解域界

中圖分類號(hào)： O322; TH113.1 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A 文章編號(hào)： 1004-4523（2021）05-1020-07

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2021.05.016

引 言

齒輪裝置在運(yùn)轉(zhuǎn)中常伴隨著多樣化的內(nèi)、外部激勵(lì)，這些激勵(lì)的強(qiáng)度與系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)特性息息相關(guān)，因而對(duì)齒輪系統(tǒng)振動(dòng)規(guī)律與參數(shù)配置間作用機(jī)制研究具有實(shí)際指導(dǎo)意義[1]。相比常規(guī)齒輪傳動(dòng)，并車弧齒錐齒輪具有多嚙合副同時(shí)工作，構(gòu)型緊湊的特點(diǎn)，可實(shí)現(xiàn)高速大功率與重載高傳動(dòng)比應(yīng)用，因而在航空、艦船與風(fēng)電等動(dòng)力分配要求高的場(chǎng)合受到青睞，如黑鷹UH?60A型直升機(jī)主減中即采用了并車弧齒錐齒輪構(gòu)型[2?3]。在對(duì)其動(dòng)力學(xué)研究中，相空間解的問題受到了學(xué)者們的較多重視，同樣，掌握激振參數(shù)下豐富的解域構(gòu)造與解域趨勢(shì)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定控制與全局優(yōu)化、預(yù)測(cè)同樣意義顯著，亦逐漸受到關(guān)注[4?6]。

通常分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)可對(duì)多源激勵(lì)從獨(dú)立維度離散解析，而多參量層面揭示則略顯不足與低效。解域界研究基于胞映射思想對(duì)參數(shù)空間胞化求解，將同狀態(tài)胞參數(shù)歸入同一域內(nèi)，域與域間分界為域邊界，胞映射（Cell Mapping Method， CMM）是由Hsu提出的[7]，經(jīng)后期改進(jìn)發(fā)展出諸多版本，較典型的如插值胞映射（ICM）和廣義胞映射圖論法（GCMD）等。劉曉君等[8]在GCMD基礎(chǔ)上還提出拓展廣義胞映射法（EGCM），并成功應(yīng)用在分?jǐn)?shù)階Duffing系統(tǒng)全局域邊界激變和內(nèi)部激變研究中。為規(guī)避齒輪系統(tǒng)的混沌問題，文獻(xiàn)[9?10]借助Melnikov原理在不同參數(shù)空間追蹤了時(shí)變直齒輪模型下全局同宿分岔臨界值和混沌遷移，從數(shù)值仿真上驗(yàn)證了參數(shù)域分析的優(yōu)勢(shì)。Gou等[11]采用簡(jiǎn)單胞映射與逃逸時(shí)間算法針對(duì)扭振齒輪副模型進(jìn)一步在參數(shù)域平面上得到周期吸引子域分形結(jié)構(gòu)，并揭示了同宿或異宿軌道是由不同周期軌跡交匯引起的。文獻(xiàn)[12?14]還從全局解域角度研究了多類非自治系統(tǒng)中內(nèi)嵌的Wada域、瞬胞集與混沌散射（chaotic scattering）等深層物理現(xiàn)象。Liu等[15]較早地嘗試以參數(shù)胞區(qū)域分解方式對(duì)弾性輻板齒輪系統(tǒng)進(jìn)行解域界研究，基于域界區(qū)指導(dǎo)了系統(tǒng)混沌響應(yīng)激振控制。此外，齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)參數(shù)解域界構(gòu)造，兼顧宏觀與微觀層面對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)演化廣泛研判，從二維或多維視角靈活統(tǒng)籌，詳盡解析相胞穩(wěn)態(tài)域在解域界內(nèi)的Poincaré映射集，在多參數(shù)下持續(xù)遍歷受激胞元信息，反饋出分岔集、窗口帶、臨界值及敏感域等;反之，特定需求下亦可快速尋找定位其主導(dǎo)激勵(lì)振源，甚至關(guān)鍵誘導(dǎo)值域，進(jìn)而避開混沌或噪聲復(fù)雜區(qū)間，特別對(duì)系統(tǒng)初期動(dòng)載設(shè)計(jì)及參數(shù)全局優(yōu)化意義顯著。

本文建立了并車弧齒錐齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，在一維參數(shù)域中對(duì)比分析了兩種參數(shù)協(xié)同作用下嚙合振動(dòng)中分岔分支的斷裂收縮行為及分岔節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)移。面對(duì)嚙合傳動(dòng)誤差和阻尼比等主要?jiǎng)恿W(xué)參數(shù)構(gòu)建了多組解域界，從不同維度數(shù)值模擬激勵(lì)參數(shù)的全局性態(tài)和相互耦合狀況，同時(shí)為多源激勵(lì)優(yōu)化明確目標(biāo)周期態(tài)下的參數(shù)值域交集提供了一種思路，最后提取相關(guān)參數(shù)胞值利用最大Lyapunov指數(shù)驗(yàn)證了解域界的準(zhǔn)確性。

1 動(dòng)力學(xué)建模與振動(dòng)方程

圖1中設(shè)系統(tǒng)為正交嚙合副，為90°，兩處齒輪副呈幾何對(duì)稱，不考慮齒面摩擦;各齒輪單元，和視為剛體;動(dòng)力學(xué)建模時(shí)考慮各齒輪橫向和軸向振動(dòng)，對(duì)嚙合副處計(jì)入齒側(cè)間隙與綜合傳動(dòng)誤差的影響。首先進(jìn)行受力分析，分別建立主動(dòng)輪，坐標(biāo)系和，從動(dòng)齒輪坐標(biāo)系，將嚙合力分解于各坐標(biāo)軸，和（）上，分別記為，和，各分力由節(jié)錐角、法向壓力角和齒寬中點(diǎn)螺旋角可計(jì)算出。定義，間嚙合副為;，間的嚙合副為。各齒輪在，和（）支撐上的剛度和阻尼分別記為和（; ）。，和分別為各齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，，和分別為扭轉(zhuǎn)方向的振動(dòng)角位移，（）為輸入轉(zhuǎn)矩，為輸出轉(zhuǎn)矩。

圖1中主動(dòng)輪齒數(shù)均為23，從動(dòng)輪齒數(shù)為78;和均為左旋，為右旋;螺旋角均為35°，各齒輪法向模數(shù)mn均為4.25 mm，法向壓力角均為20°，其他參數(shù)如表1所示。

根據(jù)牛頓力學(xué)定律建立各齒輪單元振動(dòng)微分方程，主動(dòng)弧齒錐齒輪和的振動(dòng)方程為

式中 表示中各坐標(biāo)軸上的振動(dòng)向中相對(duì)位移上的投影;表示中各坐標(biāo)軸上的振動(dòng)向的相對(duì)位移上的投影;和分別表示坐標(biāo)系各坐標(biāo)軸上的振動(dòng)位移分別向和的相對(duì)位移上的投影。

式（9），（10）經(jīng)變量代換，剛體位移消除后系統(tǒng)總自由度數(shù)目減為11個(gè)，相應(yīng)生成新的廣義坐標(biāo)矢量為

并車弧齒錐齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)無量綱動(dòng)力學(xué)微分方程矩陣形式為

最后，采用變步長(zhǎng)Runge?Kutta法求解式（11）。

2 解域界求解基礎(chǔ)

對(duì)存在多個(gè)控制參數(shù)的非自治微分方程系統(tǒng)，其模型可描述為

當(dāng)控制參數(shù)變化時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)隨之改變，為分析激勵(lì)與響應(yīng)間的關(guān)聯(lián)機(jī)制，將一維分岔思想擴(kuò)展為空間平面上的離散。二維域則由兩個(gè)參數(shù)在x和方向構(gòu)造的平面域，參數(shù)胞為（; ）。其中和分別代表起點(diǎn)與終點(diǎn)，和分別為離散胞在x，方向的尺度。鑒于矩形胞單元尺寸均勻性好，將參數(shù)域劃分為個(gè)矩形規(guī)則胞元，胞與胞間彼此毗鄰。同一域內(nèi)劃分的胞數(shù)目越多則胞的尺寸越小、精度越高，當(dāng)某一維度上的胞數(shù)目為個(gè)時(shí)，那么在該維度上的胞尺度為

某一維度上胞序列為，將各胞下相軌跡在Poincaré截面上映射截?cái)?，由吸引子狀態(tài)判定參數(shù)胞解域界歸屬，判定準(zhǔn)則為

式中 表示映射法則，為周期值，若時(shí)映射關(guān)系仍不滿足，則表明胞為混沌參數(shù)胞。

式（18）中，如果小于給定的正數(shù)（1.010-2），那么可認(rèn)為點(diǎn)集和歸屬相同狀態(tài)吸引子，落在相同解域內(nèi)。

3 分岔通道與解域界

3.1 分岔通道

圖2為一維參數(shù)和E下位移的分岔行為與分岔點(diǎn)位置變化。由圖2（a）可知，E=28時(shí)，出現(xiàn)了分別位于0.917，0.935和0.951處的三個(gè)分岔點(diǎn)。在[0.9， 0.954]范圍內(nèi)系統(tǒng)完全處于周期態(tài)運(yùn)行，同時(shí)此段過程在2周期分支上發(fā)生跳躍式斷裂，破裂造成原分支后半部無征兆性收縮，在進(jìn)入P1（1周期）前一直維持兩條分支，因位移隨之突變，表明在0.935點(diǎn)誘發(fā)激變導(dǎo)致嚙合副產(chǎn)生碰撞不穩(wěn)定。此后當(dāng)1周期發(fā)展到時(shí)系統(tǒng)步入一段持續(xù)混沌期。由圖2（b），（c），（d）可見，隨著E的增大，在[0.935， 0.951]期間，P2因受抑制而衰弱，同時(shí)在時(shí)振動(dòng)越來越無規(guī)則，E為29時(shí)2周期退化愈加明顯，直至E=30時(shí)右側(cè)P2分支已完全消失，取而代之的是振動(dòng)短暫恢復(fù)單周期。整體上分岔點(diǎn)在軸上隨P2上下分支收縮而移動(dòng)，在綜合誤差和嚙合頻率共同作用下系統(tǒng)混沌屬性持續(xù)增強(qiáng)，二者共同作用時(shí)在一定范圍可抑制多周期振動(dòng)，但達(dá)到某一臨界值后又將加劇系統(tǒng)混沌響應(yīng)。

3.2 綜合傳動(dòng)誤差-剛度波動(dòng)系數(shù)解域界

圖3中取有限域，各維度上胞數(shù)目細(xì)分為401，解域界內(nèi)規(guī)則矩形胞總數(shù)為4012，可知胞在誤差和間隙域上尺度分別為2.24×10-4和4.0×10-3。參數(shù)平面域內(nèi)含3個(gè)動(dòng)力學(xué)解子域，即P1解域，P4解域和混沌（Chaotic）解域。整體上P1域內(nèi)嵌于混沌域中形成數(shù)個(gè)周期窗口，邊界清晰，E變化時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)換頻繁。部分主要為P4解域，從維度上對(duì)比E和知在該解域界內(nèi)誤差參數(shù)的改變引起系統(tǒng)狀態(tài)的變化更顯著。同時(shí)，圖4揭示了各解域邊界形態(tài)，邊界胞代表狀態(tài)響應(yīng)切換點(diǎn)處激勵(lì)參數(shù)的臨界值，即分岔節(jié)點(diǎn)，具有實(shí)際參考意義，因?yàn)橄噜徑庥驙顟B(tài)在此處遷移或突變，在全局域上勾畫出分岔集演化規(guī)律。

3.3 嚙合頻率-綜合傳動(dòng)誤差解域界

圖5揭示存在復(fù)雜區(qū)解域交錯(cuò)現(xiàn)象，參數(shù)域內(nèi)同時(shí)存在P1，P2，P3和混沌胞元類型，主要是分散P3胞誘發(fā)不穩(wěn)定吸引子在混沌域邊界附近造成該區(qū)域動(dòng)態(tài)性質(zhì)復(fù)雜，暗示齒輪振動(dòng)此時(shí)對(duì)誤差和嚙合頻率組合的解域較敏感，激勵(lì)間相互耦合影響，參數(shù)設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)主動(dòng)避開該不規(guī)則域。P1，P2胞占據(jù)整個(gè)平面中大部分區(qū)域，混沌域形成二者隔離區(qū)。P1胞域左右兩側(cè)均存在，在E從2.5減小為1.2過程中，P1過渡到P2期間出現(xiàn)周期加倍行為。隨著誤差的持續(xù)減小，P2過渡中出現(xiàn)P3胞和混沌胞雜亂交錯(cuò)帶，聚集在[0.76， 0.8]附近，可視該局部為不穩(wěn)定區(qū)，進(jìn)入P1域干涉現(xiàn)象減弱，敏感參數(shù)區(qū)通常預(yù)示著動(dòng)態(tài)特性的振蕩。部分邊界胞還揭示了系統(tǒng)可從P1態(tài)直接跨入混沌未經(jīng)歷周期倍化。圖6中由圖5結(jié)果分別取為三組不同參數(shù)歷經(jīng)了誤差變化下的最大Lyapunov指數(shù)，三組演化趨勢(shì)驗(yàn)證了解域界參數(shù)胞區(qū)的有效性。

3.4 阻尼比-綜合傳動(dòng)誤差解域界

圖7對(duì)指導(dǎo)或?qū)ふ易罴逊植砺窂揭饬x顯著，隨著減小，混沌解域占據(jù)主導(dǎo)因素，倍周期分岔依次經(jīng)歷P2，P4，P8和P16等窗口。特別指出僅少量P16胞散落于混沌前邊界處（如圖8所示），對(duì)高周期胞數(shù)量與位置分析可知，倍周期分岔時(shí)高周期窗口呈快速收縮態(tài)勢(shì)，且對(duì)激擾參數(shù)極其敏感，精密揭示需對(duì)目標(biāo)區(qū)做更細(xì)密地離散，那么計(jì)算資源消耗將劇增。值越小系統(tǒng)不穩(wěn)定振動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)越大，同時(shí)，目標(biāo)域內(nèi)參數(shù)胞集聚分布特性構(gòu)成映射子域更有助于指導(dǎo)系統(tǒng)狀態(tài)的優(yōu)化與控制。圖9從中取3個(gè)獨(dú)立胞元（0.1， 0.35），（0.3， 0.35）和（0.4， 0.35），由Runge?Kutta法求解進(jìn)一步驗(yàn)證了Poincaré截面信息分別為Chaotic，P4和P2狀態(tài)。

為揭示多源激勵(lì)下對(duì)系統(tǒng)性態(tài)影響的分布和關(guān)聯(lián)傾向，構(gòu)建了圖10所示誤差和間隙分別與阻尼比的P4解域界，整體各維度胞數(shù)目均為401，以整個(gè)區(qū)域內(nèi)特定胞數(shù)量占比衡量對(duì)響應(yīng)狀態(tài)的敏感度S，即S=ni/N，ni表示狀態(tài)為i的胞數(shù)量，N為總的胞數(shù)目。其中[0.05， 0.45]，中P4占比16.67%，下P4占比20.21%，故此時(shí)系統(tǒng)對(duì)域內(nèi)P4狀態(tài)敏感傾向強(qiáng)于域。該思路為多源激勵(lì)不同參數(shù)下的全局動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供了借鑒。

4 結(jié) 論

將胞映射與區(qū)域分解思想引入齒輪系統(tǒng)多源激勵(lì)全局研究中，通過胞域離散賦值求解了目標(biāo)參數(shù)區(qū)解域界結(jié)構(gòu)，相較單維分岔而言，從更廣泛角度對(duì)引起并車弧齒錐齒輪響應(yīng)性態(tài)的激振因素進(jìn)行了解析。

（1）構(gòu)建了二維參數(shù)胞區(qū)域離散與解域界求解判定準(zhǔn)則，在嚙合頻率分岔路徑上綜合傳動(dòng)誤差可迫使分岔通道中部分周期分支斷裂、收縮及軌道遷移。

（2）在綜合傳動(dòng)誤差分別與嚙合頻率和剛度波動(dòng)系數(shù)的解域界中，得到分岔集、混沌帶、邊界胞和敏感激變參數(shù)區(qū)，應(yīng)用最大Lyapunov指數(shù)追蹤驗(yàn)證了解域界中分岔區(qū)間的演化路徑。

（3）阻尼比下解域界中存在倍周期分岔集區(qū)，隨著阻尼比減小，高周期窗口快速收窄，P8和P16域界異常狹窄或離散分布且參數(shù)敏感性增強(qiáng)，Poincaré映射點(diǎn)集證實(shí)了參數(shù)胞值的準(zhǔn)確性，最后從參數(shù)胞域性態(tài)全局占比角度為多源激勵(lì)動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)與優(yōu)化提供了思路。

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作者簡(jiǎn)介： 林 何（1985-），男，副教授。電話：15891736934;E-mail： linhe@xpu.edu.cn

通訊作者： 胥光申（1964-），男，教授。電話：（029）62779109;E-mail： xugs988@126.com