張士杰 王穎明 王琦 李晨宇 李日

(河北工業(yè)大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院,天津 300401)

合金凝固過(guò)程中,游離枝晶在熔體中的運(yùn)動(dòng)行為是研究合金凝固組織形成過(guò)程的關(guān)鍵問(wèn)題之一.元胞自動(dòng)機(jī)-格子玻爾茲曼耦合模型是近年來(lái)進(jìn)行凝固微觀組織數(shù)值模擬的主要數(shù)值模型.本文改進(jìn)了模擬枝晶生長(zhǎng)的元胞自動(dòng)機(jī)和格子玻爾茲曼模型,使其能夠模擬過(guò)冷熔體中等軸晶的運(yùn)動(dòng)行為.改進(jìn)的模型采用伽利略不變的動(dòng)量交換法計(jì)算流體力,通過(guò)求解質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程計(jì)算枝晶的運(yùn)動(dòng)位移,并通過(guò)動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)實(shí)現(xiàn)枝晶的運(yùn)動(dòng),運(yùn)用硬球模型處理枝晶的碰撞.采用該模型模擬了Al-4.7%Cu 合金過(guò)冷熔體中單枝晶的沉降、牛頓流體中兩圓形粒子的沉降和兩枝晶的彈性碰撞.模擬結(jié)果表明,本模型在計(jì)算枝晶生長(zhǎng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程時(shí)可以很好地維持枝晶的形貌.采用本模型計(jì)算等軸枝晶的碰撞過(guò)程表明,枝晶的運(yùn)動(dòng)會(huì)擾動(dòng)其周?chē)娜垠w,造成周?chē)垠w濃度顯著變化,進(jìn)而影響枝晶的生長(zhǎng),加劇枝晶生長(zhǎng)的不對(duì)稱(chēng)性.

1 引言

合金凝固過(guò)程中,鑄型壁面的表層細(xì)晶粒可能會(huì)脫落,已經(jīng)凝固的枝晶臂(特別是二次枝晶臂)也可能發(fā)生熔斷現(xiàn)象,再加上在熔體中隨機(jī)出現(xiàn)的數(shù)量可觀的自由等軸晶,所以在液相區(qū)會(huì)出現(xiàn)大量游離的等軸晶,這些游離的等軸晶在重力和對(duì)流的推動(dòng)下在合金熔體中運(yùn)動(dòng)(平移和旋轉(zhuǎn)),且常常會(huì)發(fā)生碰撞現(xiàn)象[1].熔體中游離枝晶的運(yùn)動(dòng)對(duì)鑄件的組織形貌和成分分布會(huì)有很大的影響[2].

當(dāng)前,對(duì)合金凝固過(guò)程中枝晶生長(zhǎng)的數(shù)值模擬研究已經(jīng)比較成熟,可以有效地計(jì)算出純擴(kuò)散和對(duì)流作用下枝晶的生長(zhǎng)過(guò)程[3-5],并已發(fā)展到了三維(3 dimension,3D)[6-8].而關(guān)于枝晶運(yùn)動(dòng)的模擬,由于在計(jì)算枝晶運(yùn)動(dòng)的同時(shí)還要同時(shí)計(jì)算枝晶生長(zhǎng),所以有一定難度.目前該方面的研究比較少,已發(fā)表的枝晶運(yùn)動(dòng)的文獻(xiàn)中大多采用相場(chǎng)(phase field,PF)方法[9-13].采用PF 計(jì)算出的界面是連續(xù)擴(kuò)散界面,對(duì)運(yùn)動(dòng)界面的處理有天然的優(yōu)勢(shì),但是計(jì)算量非常大,計(jì)算效率較低,計(jì)算規(guī)模小.而具有計(jì)算簡(jiǎn)單快速、天然并行等優(yōu)點(diǎn)的元胞自動(dòng)機(jī)(cellular automata,CA)模型在模擬微觀組織方面的應(yīng)用,大多數(shù)都只模擬了靜止枝晶的生長(zhǎng)[14-17],對(duì)于枝晶運(yùn)動(dòng)的模擬研究很少,且不能很好地維持枝晶的形貌[18,19].本文旨在改進(jìn)CA 模型,使其在模擬枝晶運(yùn)動(dòng)時(shí)能夠較好地維持枝晶的形貌和成分,在提升效率的同時(shí)提高模擬精度;同時(shí),在模型中還加入了碰撞處理機(jī)制,使該模型能夠處理枝晶運(yùn)動(dòng)引起的碰撞現(xiàn)象.

2 模擬方法

采用格子玻爾茲曼(lattice Boltzmann,LB)模型計(jì)算流場(chǎng)、溫度場(chǎng)和濃度場(chǎng),采用CA 方法模擬微觀枝晶生長(zhǎng),通過(guò)求解運(yùn)動(dòng)方程來(lái)計(jì)算枝晶的運(yùn)動(dòng)位移(平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)),采用硬球模型計(jì)算枝晶碰撞(假設(shè)枝晶碰撞為完全彈性碰撞),耦合上述方法建立起枝晶運(yùn)動(dòng)生長(zhǎng)的數(shù)值模型以研究枝晶在熔體中的運(yùn)動(dòng)行為.

2.1 LB 模型

采用單松弛時(shí)間的D2Q9 雙分布函數(shù)模型[20],流場(chǎng)、溫度場(chǎng)和濃度場(chǎng)的玻爾茲曼方程為

其中ωi是權(quán)重函數(shù);c是格子速度;u是流體宏觀速度,溫度場(chǎng)和濃度場(chǎng)的格式和流場(chǎng)一樣.流體的流場(chǎng)、溫度場(chǎng)和濃度場(chǎng)的松弛時(shí)間τf,τt,τc分別和動(dòng)力學(xué)黏度ν、熱擴(kuò)散系數(shù)α、溶質(zhì)擴(kuò)散系數(shù)D有關(guān):

流場(chǎng)、溫度場(chǎng)和濃度場(chǎng)的源項(xiàng)為

其中 Δfs是固相率增量;L是潛熱;Cp是比熱容;Cl是液相濃度;k是平衡分配系數(shù);F是粒子受到的合力,由Boussinesq 近似[21]給出:

其中g(shù)為重力加速度;ρ0,T0,C0分別為初始密度、溫度和濃度;βT和βC分別為溫度膨脹系數(shù)和溶質(zhì)膨脹系數(shù).

流體宏觀密度ρ,速度u,溫度T和濃度C分別為

2.2 CA 模型

溶質(zhì)擴(kuò)散模型最早由Rappaz和Thévoz[22]于1987 年提出的,之后經(jīng)過(guò)多次改進(jìn).2007 年,Zhu和Stefanescu[23]提出了用于定量化計(jì)算合金凝固過(guò)程中樹(shù)枝晶生長(zhǎng)的虛擬前沿跟蹤模型.該模型認(rèn)為合金枝晶生長(zhǎng)是由局部液體平衡成分和局部液體實(shí)際成分的差異所驅(qū)動(dòng)的.根據(jù)局部平衡的熱力學(xué)概念,界面平衡溫度T*定義為

fs為元胞的固相分?jǐn)?shù).根據(jù)Gibbs-Thomson公式,界面能各向異性函數(shù)可以表示為

其中δ為各向異性系數(shù).因此,界面平衡濃度可以計(jì)算為

如果當(dāng)前時(shí)刻界面元胞液相濃度小于界面平衡濃度,則該元胞固相增加.固相率增量為

2.3 枝晶運(yùn)動(dòng)方程

將運(yùn)動(dòng)枝晶看作剛體處理,枝晶在熔體中運(yùn)動(dòng)所受到的流體力采用伽利略不變的動(dòng)量交換法[24]計(jì)算,流體對(duì)α枝晶的邊界點(diǎn)x的作用力為

其中Ω是α枝晶的邊界區(qū)域;ρl和ρs分別為流體和固體的密度,固體質(zhì)量

枝晶的速度和角速度為

其中Iα為慣性張量.

2.4 碰撞模型

游離的枝晶在熔體中碰撞的情況很復(fù)雜,初步假定枝晶間的碰撞為完全彈性碰撞,因此采用硬球模型來(lái)處理碰撞步驟.將枝晶看做剛性粒子處理.對(duì)枝晶應(yīng)用動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理:

其中m為枝晶質(zhì)量;v0和v是碰撞前、后的速度;ω0和ω是碰撞前、后的角速度;S為內(nèi)力沖量.

枝晶碰撞的瞬間,由于兩枝晶碰撞所受內(nèi)力沖量相等,根據(jù)沖量定理和沖量矩定理,可以求得

其中ω10,ω20和ω1,ω2分別為碰撞前、后枝晶1和枝晶2 的角速度;v10,v20和v1,v2分別為碰撞前、后枝晶1和枝晶2 的速度;I1,I2為枝晶1,2 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;r1和r2分別為碰撞點(diǎn)與枝晶1和枝晶2 質(zhì)心的位置矢量.

再引入恢復(fù)系數(shù)e,并與(26)式聯(lián)立寫(xiě)成矩陣AX=b形式:

2.5 動(dòng)網(wǎng)格方案

雖然CA 方法計(jì)算效率高,但是在處理移動(dòng)邊界問(wèn)題上存在困難.由于CA 方法的界面是尖銳界面,所以其界面在空間上的移動(dòng)是不連續(xù)的,然而濃度在空間上的傳輸必須保證是連續(xù)的,這導(dǎo)致了在處理枝晶運(yùn)動(dòng)時(shí)溶質(zhì)濃度在枝晶周?chē)e聚,人為地改變了枝晶的環(huán)境,影響了枝晶的生長(zhǎng).為了解決這個(gè)問(wèn)題,本文改進(jìn)了CA-LB 模型,采用局部動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)處理枝晶的運(yùn)動(dòng).

每個(gè)枝晶都擁有一個(gè)局部的可移動(dòng)網(wǎng)格,動(dòng)網(wǎng)格會(huì)隨著枝晶的長(zhǎng)大而增大,動(dòng)網(wǎng)格的角速度和平動(dòng)速度與內(nèi)部枝晶一樣(如圖1所示).在背景網(wǎng)格中求解流場(chǎng)和溫度場(chǎng),計(jì)算枝晶受到的力和轉(zhuǎn)矩.在每個(gè)動(dòng)網(wǎng)格和背景網(wǎng)格中同時(shí)求解濃度場(chǎng),將動(dòng)網(wǎng)格中的溶質(zhì)濃度覆蓋背景網(wǎng)格,動(dòng)網(wǎng)格中流體節(jié)點(diǎn)的速度是相對(duì)速度,

圖1 動(dòng)網(wǎng)格方案示意圖Fig.1.Schematic diagram of dynamic grid scheme.

其中,M(θ)是旋轉(zhuǎn)矩陣,v1是流體節(jié)點(diǎn)在動(dòng)網(wǎng)格中的速度,vg是流體節(jié)點(diǎn)在背景網(wǎng)格中的速度,vd是動(dòng)網(wǎng)格在該點(diǎn)的合速度,由方程(19)求出.旋轉(zhuǎn)矩陣被定義為

其中,θ是枝晶的轉(zhuǎn)動(dòng)角度.動(dòng)網(wǎng)格的邊界從全局網(wǎng)格插值得出.枝晶的生長(zhǎng)和捕獲在動(dòng)網(wǎng)格中計(jì)算,將枝晶的固相分?jǐn)?shù)在每一步插值到背景網(wǎng)格中.

對(duì)于全域而言,可能會(huì)出現(xiàn)多個(gè)動(dòng)網(wǎng)格部分重疊的情況.對(duì)于重疊的部分:如果都是流體節(jié)點(diǎn),方程(3)中的源項(xiàng)為0,方程退化為簡(jiǎn)單的對(duì)流擴(kuò)散方程,因?yàn)閯?dòng)網(wǎng)格中的速度是相對(duì)速度,每個(gè)動(dòng)網(wǎng)格中的流動(dòng)相對(duì)于背景網(wǎng)格都是一樣的,所以每個(gè)動(dòng)網(wǎng)格中的濃度值都是相等的;如果有界面節(jié)點(diǎn)和固體節(jié)點(diǎn),則選定該值為背景網(wǎng)格的值.本方法的優(yōu)點(diǎn)是將不連續(xù)的枝晶移動(dòng)轉(zhuǎn)化為連續(xù)的熔體流動(dòng),通過(guò)局部網(wǎng)格中流體的相對(duì)流動(dòng)體現(xiàn)枝晶的運(yùn)動(dòng),避免了直接處理枝晶時(shí)溶質(zhì)的積聚現(xiàn)象.

2.6 算法

模型的耦合算法流程如圖2所示,算法如下:

圖2 算法流程圖Fig.2.Algorithm flowchart.

1) 初始化計(jì)算域,給計(jì)算域中每個(gè)元胞的密度、溫度和濃度屬性賦初值,設(shè)置晶核在計(jì)算域中的位置和擇優(yōu)生長(zhǎng)方向,計(jì)算枝晶的質(zhì)量、質(zhì)心和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;

2) 求解方程(1)計(jì)算流場(chǎng),根據(jù)方程(18)—方程(21)計(jì)算枝晶受到的力和扭矩;

3) 計(jì)算全局溫度場(chǎng)和溶質(zhì)場(chǎng),方程(2)和方程(3);

4) 采用雙線性插值方法將背景網(wǎng)格中的濃度、溫度和速度插值到局部動(dòng)態(tài)網(wǎng)格中;

5) 計(jì)算局部網(wǎng)格中的溫度場(chǎng)和濃度場(chǎng),在局部網(wǎng)格中求解方程(13)—方程(17)計(jì)算枝晶的生長(zhǎng)和捕獲,更新枝晶的質(zhì)量、質(zhì)心和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;

6) 根據(jù)方程(22)和方程(23)計(jì)算枝晶的位移和轉(zhuǎn)動(dòng)角,據(jù)此移動(dòng)局部網(wǎng)格;

7) 將局部網(wǎng)格中的固相分?jǐn)?shù)fs、溫度和濃度插值到背景網(wǎng)格;

8)枝晶碰撞處理;

9) 重復(fù)(2)—(8)步,直至程序結(jié)束.

3 模擬結(jié)果與討論

選取Al-4.7%Cu(質(zhì)量含量)合金為模擬材料,其物性參數(shù)如表1所列.

表1 Al-4.7%Cu(質(zhì)量含量)合金的熱物性參數(shù)[26]Table 1.Physical properties of Al-4.7%Cu (weight percent) alloy[26].

3.1 自然對(duì)流下單枝晶沉降

將計(jì)算區(qū)域劃分為300× 600 個(gè)網(wǎng)格,網(wǎng)格間距為0.5 μm,時(shí)間步長(zhǎng)為 2.5×10-6s,初始過(guò)冷度為7 K,流場(chǎng)邊界為非平衡外推邊界條件,溫度場(chǎng)和濃度場(chǎng)采用無(wú)擴(kuò)散邊界條件,固液邊界為無(wú)滑移邊界條件.初始時(shí)刻,在計(jì)算域(150,450)處設(shè)置1 個(gè)擇優(yōu)生長(zhǎng)角為45°的晶核.圖3為自然對(duì)流下單枝晶沉降過(guò)程中溶質(zhì)濃度和流體速度演化.在枝晶運(yùn)動(dòng)早期,由于枝晶運(yùn)動(dòng)速度較小,運(yùn)動(dòng)及熔體對(duì)流對(duì)枝晶生長(zhǎng)的影響較小,枝晶生長(zhǎng)比較均衡,四個(gè)一次枝晶臂形貌比較接近,如圖3(a)所示.隨著枝晶的下落,枝晶迎流端生長(zhǎng)加快,二次枝晶臂相比于順流端發(fā)達(dá),枝晶的下游熔體的溶質(zhì)濃度高于上游的溶質(zhì)濃度,如圖3(b)和圖3(c)所示.

將運(yùn)動(dòng)對(duì)枝晶生長(zhǎng)的影響進(jìn)行定量分析.圖4為圖3(b)中O點(diǎn)(150,250)豎直方向上的溶質(zhì)濃度變化.圖中橫坐標(biāo)r為距O點(diǎn)的距離,O點(diǎn)水平線下邊為枝晶的迎流端上邊為順流端.從圖4可以看出,迎流端的峰值比順流端的高,這是因?yàn)橹С?5°生長(zhǎng)時(shí),隨著枝晶的下落溶質(zhì)會(huì)積聚在枝晶凹形的枝晶臂間;在溶質(zhì)變化平穩(wěn)后,順流端的溶質(zhì)濃度略高于迎流端,即如圖3(b)所示,在枝晶后會(huì)形成一段淡淡的拖尾.圖5為枝晶尖端生長(zhǎng)速度隨時(shí)間的變化.從圖5中可以看出,在枝晶凝固初期,無(wú)論是上游尖端還是下游尖端的生長(zhǎng)速率基本一致,都處于快速下降,這是由于凝固初期枝晶生長(zhǎng)所需的過(guò)冷以熱過(guò)冷為主.隨著生長(zhǎng)進(jìn)入穩(wěn)定階段,可以看出上游尖端的生長(zhǎng)速度明顯高于下游尖端,上游尖端的穩(wěn)態(tài)生長(zhǎng)速度平均約為2.49 mm/s,下游尖端的穩(wěn)態(tài)生長(zhǎng)速度平均約為1.47 mm/s,上游尖端的生長(zhǎng)速度比下游尖端的生長(zhǎng)速度快了約1.7 倍.從圖3可以看出,相比于之前的研究[18,19],采用本文提出的動(dòng)網(wǎng)格方案計(jì)算枝晶移動(dòng)可以很好地保持枝晶的形貌.對(duì)于單個(gè)枝晶而言,小的計(jì)算域便可以展示枝晶的運(yùn)動(dòng)情況,因此設(shè)置的計(jì)算域較小,應(yīng)用本模型在Intel Reon E5-2650 v42.20 GHz CPU,內(nèi)存64 G 的服務(wù)器上單線程計(jì)算時(shí)間為1085 s,而采用openMP加速后,12 線程計(jì)算共用時(shí)246 s.

圖3 自然對(duì)流下單枝晶沉降過(guò)程中溶質(zhì)濃度和流體速度的時(shí)間演化 (a) t=0.005 s;(b) t=0.015 s;(c) t=0.025 sFig.3.Evolution of solute concentration and fluid velocity during precipitation of single dendrite under natural convection:(a) t=0.005 s;(b) t=0.015 s;(c) t=0.025 s.

圖4 t=0.015 s 時(shí),模擬域O 點(diǎn)處豎直方向上的溶質(zhì)濃度變化Fig.4.When t=0.015 s,the solute concentration change in the vertical direction at point O in the simulation domain.

圖5 枝晶尖端生長(zhǎng)速度隨時(shí)間的變化Fig.5.The change of dendrite tip growth rate with time.

3.2 牛頓流體中兩圓形粒子的沉降

為了驗(yàn)證碰撞程序的可行性,模擬了牛頓流體中兩圓形粒子的沉降.模擬域設(shè)置為寬W=2 cm,高H=8 cm,兩密度ρp=1.01 g·cm-3,直徑D=0.2 cm 粒子位于模擬域水平方向的中間,豎直方向兩粒子分別在7.2和6.8 cm 處.域中充滿密度ρf=1 g·cm-3,運(yùn)動(dòng)黏度νf=0.01 cm2/s 的水.在LB 模型中,將模擬域剖分為200× 800 的網(wǎng)格,松弛時(shí)間τ=0.65,上下邊界采用非平衡外推格式,左右邊界采用無(wú)滑移邊界條件.這里使用的條件與Feng和Michaelides[27]使用的條件一樣.初始時(shí)刻,兩粒子和流體都處于靜止?fàn)顟B(tài),粒子受到重力和浮力的作用開(kāi)始運(yùn)動(dòng).

圖6(a)—(d)分別是t=1.0 s,t=1.5 s,t=2.5 s,t=4.0 s 時(shí)兩粒子沉降過(guò)程的瞬時(shí)渦量輪廓.圖7(a)和圖7(b)分別為粒子質(zhì)心橫、縱坐標(biāo)隨時(shí)間變化的圖像.多粒子沉降時(shí)會(huì)出現(xiàn)漂移-接觸-翻滾(drafting-kissing-tumblin,DKT)現(xiàn)象,由圖6中可以看出,運(yùn)動(dòng)早期粒子1 被粒子2 沉降產(chǎn)生的尾渦捕獲使其沉降速度加快,到1.5 s 時(shí)與粒子1 接觸,直至2.5 s 時(shí)兩粒子發(fā)生翻滾.運(yùn)用本文的模型成功模擬再現(xiàn)了Feng 的結(jié)果.在圖7中比較了Feng和Michaelides[27]的結(jié)果,可以看出粒子下落的軌跡是一致的,存在的一些誤差是本文對(duì)流體力和碰撞的處理與Feng和Michaelides 的不同,本文計(jì)算流體力采用的動(dòng)量交換法滿足伽利略不變性,排除了邊界速度的影響,Feng和Michaelides[27]采用的動(dòng)量交換法不滿足伽利略不變性.由于粒子邊界速度的影響造成計(jì)算流體力時(shí)存在誤差.

圖6 兩個(gè)球形粒子沉降過(guò)程中,四個(gè)時(shí)間的瞬時(shí)渦量輪廓 (a) 1.0 s;(b) 1.5 s;(c) 2.5 s;(d) 4.0 sFig.6.The instantaneous vorticity profiles of two spherical particles in the process of settling at four times:(a) 1.0 s;(b) 1.5 s;(c) 2.5 s;(d) 4.0 s.

圖7 粒子質(zhì)心坐標(biāo) (a) 橫坐標(biāo);(b) 縱坐標(biāo)Fig.7.Coordinates of the particles centroid:(a) Transverse coordinates;(b) longitudinal coordinates.

3.3 雙枝晶彈性碰撞

計(jì)算區(qū)域?yàn)?00× 400 個(gè)網(wǎng)格,初始過(guò)冷度為7 K,溫度場(chǎng)邊界為絕熱邊界條件,溶質(zhì)場(chǎng)為無(wú)擴(kuò)散邊界條件.為了便于研究枝晶的碰撞行為,將初始流場(chǎng)設(shè)置為靜止?fàn)顟B(tài),在計(jì)算域(200,200)和(400,230)的位置放置兩個(gè)晶核,相對(duì)于水平方向的擇優(yōu)生長(zhǎng)角分別為0°和45°,組成為Cs=kCl.當(dāng)枝晶生長(zhǎng)一定大小時(shí),枝晶不在生長(zhǎng)并直接賦給兩個(gè)枝晶0.1和—0.1 (lattice unit)的水平速度,忽略重力的影響.

兩枝晶運(yùn)動(dòng)前的位置和形貌如圖8(a),左邊是枝晶1 右邊是枝晶2,兩個(gè)枝晶受到熔體的阻力作減速運(yùn)動(dòng)直至發(fā)生碰撞如圖8(b),碰撞前枝晶1,2 的水平速度分別為0.08和—0.082,碰撞后速度分別為—0.029和0.024,碰后角速度為0和0.0036 rad.圖8(c)和圖8(d)顯示兩枝晶碰撞后的運(yùn)動(dòng)情況.碰撞時(shí),由于碰撞點(diǎn)和枝晶1 的質(zhì)心在同一高度,所以碰撞產(chǎn)生的沖量對(duì)枝晶1 的轉(zhuǎn)矩為0,枝晶1不發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng).

圖8 枝晶偏心碰撞形貌圖 (a) 0.008 s;(b) 0.0089 s;(c) 0.009 s;(d) 0.00915 s.箭頭表示速度v 的大小和方向,灰度表示流體溶質(zhì)濃度CFig.8.The morphology of dendrite eccentric collision:(a) 0.008 s;(b) 0.0089 s;(c) 0.009 s;(d) 0.00915 s.The arrow indicates the size and direction of velocity v,and the gray scale indicates the concentration of solute C.

圖9為0.008和0.009 s 時(shí),枝晶2 周?chē)垠w的平均溶質(zhì)濃度Cave,x-軸表示距離枝晶2 質(zhì)心的元胞個(gè)數(shù).Cave的計(jì)算規(guī)則如圖10所示,圖10中白色格子表示枝晶的質(zhì)心,x表示距離質(zhì)心的元胞數(shù).當(dāng)x=1 時(shí),Cave等于淺灰色格子中所有液相格點(diǎn)的平均濃度;當(dāng)x=2 時(shí),Cave等于淺黑色格子中所有液相格點(diǎn)的平均濃度;其他與x值對(duì)應(yīng)的Cave同理計(jì)算.從圖9中可以看出,在0.008 s時(shí)枝晶處于靜止生長(zhǎng)狀態(tài),枝晶2 周?chē)娜苜|(zhì)濃度在界面處最大隨后緩慢的減少直至穩(wěn)定.這是因?yàn)橹L(zhǎng)時(shí)在固液界面處向外排出溶質(zhì),排出的溶質(zhì)向周?chē)鶆虻臄U(kuò)散,所以形成了這樣的濃度梯度.在0.009 s 時(shí),溶質(zhì)濃度的變化變得不均衡,在枝晶尖端附近濃度最高.因?yàn)橹? 在碰撞后發(fā)生了轉(zhuǎn)動(dòng),對(duì)周?chē)垠w進(jìn)行了擾動(dòng),使周?chē)娜垠w濃度變化混亂,將溶質(zhì)甩在了枝晶的尖端附近.通過(guò)對(duì)雙枝晶彈性碰撞的計(jì)算可以證明本文所用碰撞模型可以表達(dá)不規(guī)則等軸枝晶的碰撞過(guò)程.

圖9 枝晶2 附近熔體平均溶質(zhì)濃度Fig.9.Average solute concentration of melt near dendrite 2.

圖10 熔體平均溶質(zhì)濃度計(jì)算規(guī)則Fig.10.Calculation rules of melt average solute concentration.

4 結(jié)論

本文建立了一個(gè)改進(jìn)的CA-LB 模型,該模型采用動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)實(shí)現(xiàn)枝晶的運(yùn)動(dòng),每個(gè)枝晶擁有一個(gè)可移動(dòng)的局部網(wǎng)格,在局部網(wǎng)格內(nèi)通過(guò)流體的相對(duì)流動(dòng)來(lái)體現(xiàn)枝晶的移動(dòng);模型中還加入了處理枝晶的碰撞的機(jī)制.應(yīng)用該模型模擬了自然對(duì)流下單枝晶的沉降過(guò)程,模擬結(jié)果表明,枝晶運(yùn)動(dòng)的上游端濃度變化梯度大,生長(zhǎng)速度加快,二次枝晶臂發(fā)達(dá);同時(shí)表明該模型可以很好地模擬枝晶的運(yùn)動(dòng)過(guò)程,并維持枝晶的形貌.對(duì)模型的碰撞機(jī)制進(jìn)行了測(cè)試,模擬了牛頓流體中兩圓形粒子的沉降,成功再現(xiàn)了DKT 現(xiàn)象,證明了碰撞算法的可行性.計(jì)算了兩枝晶的彈性碰撞,模擬結(jié)果表明該模型可以處理不規(guī)則枝晶的偏心碰撞.